Feat: exercices sur la factorisation des polynômes

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\documentclass[a4paper,10pt]{article}
\usepackage{myXsim}
\title{Polynômes - Racine Factoriser}
\tribe{TST}
\date{Novembre 2020}
\pagestyle{empty}
\begin{document}
\begin{exercise}[subtitle={Développer}]
Identifier les racines des polynômes suivants puis les développer.
\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}
\item $f(x) = (x+4)(x-2)$
\item $g(x) = (x-3)(x-8)$
\item $h(x) = 2(x-4)(x-8)$
\item $i(x) = -3(x-1)(x-6)$
\item $j(x) = 10(x-2)(x-5)$
\item $k(x) = 0.5(x+1)(x+9)$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{exercise}
\begin{exercise}[subtitle={Racines}]
Les phrases suivantes sont-elles justes ou fausses? Justifier
\begin{enumerate}
\item La valeur $x=-1$ est une racine du polynôme $f(x) = 3x^2-2x-3$.
\item La valeur $x=3$ est une racine du polynôme $g(x) = 5(x-3)(x+1)$.
\item La valeur $x=4$ est une racine du polynôme $h(x) = 2x^2-2x-24$.
\item La valeur $x=-3$ est une racine du polynôme $h(x) = 2x^2-2x-24$.
\item Les valeurs $x=-10$ et $x=2$ sont deux racines du polynôme $i(x) = x^2+8x-20$.
\item Les valeurs $x=-10$ et $x=2$ sont deux racines du polynôme $j(x) = (x+10)(x-2)$.
\end{enumerate}
\end{exercise}
\begin{exercise}[subtitle={Racines et factorisation}]
\begin{enumerate}
\item Soient 2 fonctions polynômes du 2nd degré
\[
f(x) = 5x^2 - 26x + 5 \qquad g(x) = 2(x-5)(x-0.2)
\]
\begin{enumerate}
\item Démontrer que $x=5$ et $x=0.2$ sont 2 racines de $f$
\item Démontrer que $x=5$ et $x=0.2$ sont 2 racines de $g$
\item Est-ce que $f(x)$ et $g(x)$ sont égales?
\end{enumerate}
\item Soit $h$ une fonction polynôme du 2nd degré
\[
h(x) = x^2 + 2x - 15
\]
\begin{enumerate}
\item Tracer la représentation graphique de $f$. Conjecturer (lire sur le graphique) les valeurs des 2 racines.
\item Démontrer que les valeurs trouvées à la questions précédentes sont bien des racines de $h(x)$.
\item Déterminer la forme factorisée de $h(x)$
\item En déduire, sans utiliser le graphique, le tableau de signe de $h(x)$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exercise}
\begin{exercise}[subtitle={Factoriser}]
Dans cet exercice, on souhaite factoriser des polynômes du 2nd degré.
\begin{enumerate}
\item On veut factoriser puis étudier le signe de $f(x) = 3x^2 - 9x -30$.
\begin{enumerate}
\item Démontrer que 5 est une racine de $f$.
\item Parmi les nombres suivants, quels sont ceux qui sont des racines de $f$.
\[
-3\qquad -2 \qquad 0 \qquad \qquad 2 \qquad 5
\]
\item Démontrer que $f(x)$ est égal à $3(x+2)(x-5)$.
\item En déduire le tableau de signe de $f(x)$.
\end{enumerate}
\item On veut factoriser puis étudier le signe de $g(x) = 0.1x^3 - 0.2x^2 - 0.5x + 0.6$.
\begin{enumerate}
\item Tracer la courbe représentative de $f$ et trouver les racines de $g$
\item Proposer une factorisation de $g$ en se basant sur les racines.
\item Démontrer que cette factorisation est juste par un calcul.
\item Étudier le signe de $g(x)$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exercise}
\end{document}
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Exercices techniques: Exercices techniques:
.. image:: ./2E_racine_factoriser.pdf
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:alt: Exercices sur l'étude des racines et la factorisation des polynômes.
Étape 3: Étude de signe d'un polynôme de degré 3 Étape 3: Étude de signe d'un polynôme de degré 3
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