Feat: Bilan sur la formule de Bayes

Complementaire/02_Inference_Baysienne/3B_formule_bayes.tex

@@ -0,0 +1,115 @@
+\documentclass[a4paper,10pt]{article}
+\usepackage{myXsim}
+\usepackage{qrcode}
+
+\author{Benjamin Bertrand}
+\title{Probabilités conditionnelles - Cours}
+\date{Mars 2021}
+
+\pagestyle{empty}
+
+\begin{document}
+
+\maketitle
+
+\setcounter{section}{2}
+\section{Formule de Bayes}
+
+\subsection*{Arbre de probabilité}
+Les probabilités conditionnelles peuvent se représenter sous forme d'arbre de probabilité.
+
+    Soit $A$ deux évènements de $E$ avec $P(A) \neq 0$ et $B$, $C$ et $D$ trois autres évènements de $E$. Alors on peut considérer l'arbre de probabilité ci-contre et on obtient les propriétés suivantes:
+
+\begin{minipage}{0.3\textwidth}
+    \begin{tikzpicture}[grow=right, sloped, xscale=2, yscale=1.5]
+        \node {.} 
+        child [red]  {node {$A$}
+            child {node {$B$} 
+                edge from parent
+                node[above] {$P_A(B)$}
+            }
+            child [black] {node {$C$}
+                edge from parent
+                node[above] {$P_A(C)$}
+            } 
+            child [black] {node {$D$}
+                edge from parent
+                node[above] {$P_A(D)$}
+            } 
+            edge from parent
+            node[above] {$P(A)$}
+        }
+        child[missing] {}
+        child[missing] {}
+        child { node {$\overline{A}$}
+            child {node {$B$} 
+                edge from parent
+                node[above] {$P_{\overline{A}}(B)$}
+            }
+            child [black] {node {$C$}
+                edge from parent
+                node[above] {$P_{\overline{A}}(C)$}
+            } 
+            child [black] {node {$D$}
+                edge from parent
+                node[above] {$P_{\overline{A}}(D)$}
+            } 
+            edge from parent
+            node[above] {$P(\overline{A})$}
+        }%
+        ;
+    \end{tikzpicture}
+\end{minipage}
+\hfill
+\begin{minipage}{0.6\textwidth}
+    \begin{itemize}
+        \item La somme des probabilités des branches issues d'un même noeud est égale à 1. 
+
+            On a alors
+            \[
+                P(A) + P(\overline{ A }) = 1 
+            \]
+            ou encore
+            \[
+                P_A(B) + P_A(C) + P_A(D) = 1
+            \]
+        \item La probabilité d'un chemin est égale au produit des probabilités des branches parcourues. 
+
+            On a alors (chemin rouge)
+            \[
+                P(A \cap B) = P(A) \times P_A(B)
+            \]
+            Ou encore 
+            \[
+                P_A(B) = \frac{P(A \cap B)}{ P(A) }
+            \]
+        \item La probabilité d'un évènement est égale à la somme des probabilités des chemins qui conduisent à cet évènement. 
+
+            C'est la loi des probabilités totale qui peut se traduire dans notre exemple par
+            \[
+                P(B) = P(A\cap B) + P(\overline{A} \cap B)
+            \]
+            ou
+            \[
+                P(C) = P(A\cap C) + P(\overline{A} \cap C)
+            \]
+    \end{itemize}
+\end{minipage}
+
+\begin{definition}[ Formule de Bayes ]
+    Soit $A$ et $B$ deux évènements avec $P(A)$ non nul, Alors
+    \[
+        P_A(B) = \frac{P_B(A) \times P(B)}{P(A)}
+    \]
+\end{definition}
+
+\paragraph{Démonstration} \afaire{Démontrer la formule de Bayes à partir de la formule $P_A(B) = \frac{P(A \cap B)}{ P(A) }$.}
+
+\paragraph{Exemple}
+En utilisant les données et les notations de le l'exemple précédent, calculer la probabilité d'être malade sachant que l'on est positif.
+
+\afaire{}
+
+
+
+\end{document}

Complementaire/02_Inference_Baysienne/index.rst

@@ -2,7 +2,7 @@ Inférence Bayésienne
 ####################
 
 :date: 2021-03-15
-:modified: 2021-03-23
+:modified: 2021-03-29
 :authors: Benjamin Bertrand
 :tags: Probabilité, Bayes
 :category: Complementaire
@@ -53,6 +53,10 @@ Utilisation des probabilités conditionnelles pour comprendre les tests ADN et l
 
 Bilan: Formule de Bayes
 
+.. image:: ./3B_formule_bayes.pdf
+    :height: 200px
+    :alt: Formule de Bayes
+
 Étape 4: D'où vient le biscuit?
 ===============================