Feat: 2E limites de polynômes

TST_sti2d/09_Limites_de_fonctions/2B_limite_polynome.tex

@@ -0,0 +1,61 @@
+\documentclass[a4paper,10pt]{article}
+\usepackage{myXsim}
+
+\author{Benjamin Bertrand}
+\title{Limites de fonctions - Cours}
+\date{avril 2021}
+
+\pagestyle{empty}
+
+\begin{document}
+
+\maketitle
+
+\setcounter{section}{1}
+\section{Limites de polynômes}
+
+\begin{propriete}[Limites des monômes]
+    \begin{center}
+        \begin{tabular}{|l|*{2}{c|}}
+            \hline
+            $\ds \lim_{x\rightarrow ...} x^n = $ & $n$ paire & $n$ impaire\\
+            \hline
+            $+\infty$ & $+\infty$ & $+\infty$ \\
+            \hline
+            $-\infty$ &  $+\infty$ & $-\infty$ \\
+            \hline
+        \end{tabular}
+    \end{center}
+\end{propriete}
+
+\paragraph{Exemples} Calculs de limites
+\begin{multicols}{2}
+    $\ds \lim_{x\rightarrow +\infty} x^2 =  $
+
+    $\ds \lim_{x\rightarrow -\infty} x^4 =  $
+
+    $\ds \lim_{x\rightarrow +\infty} -5x^2 =  $
+
+    \columnbreak
+    $\ds \lim_{x\rightarrow +\infty} x^3 =  $
+
+    $\ds \lim_{x\rightarrow -\infty} x^5 =  $
+
+    $\ds \lim_{x\rightarrow -\infty} -2x^3 =  $
+\end{multicols}
+\afaire{Calculer les limites}
+
+\begin{propriete}[Simplification des limites de polynôme]
+    La limite en $+\infty$ et $-\infty$ d'un polynôme est égale à la limite de son monôme de plus haut degré
+\end{propriete}
+
+\paragraph{Exemple} Calculs des limites
+\begin{multicols}{2}
+    $\ds \lim_{x\rightarrow +\infty} x^2 - 3x + 1 =  $
+
+    \columnbreak
+    $\ds \lim_{x\rightarrow -\infty} -2x^3 + 10x^2 - 100 =  $
+\end{multicols}
+
+
+\end{document}

TST_sti2d/09_Limites_de_fonctions/2E_limite_polynome.tex

@@ -0,0 +1,23 @@
+\documentclass[a4paper,10pt]{article}
+\usepackage{myXsim}
+
+\author{Benjamin Bertrand}
+\title{Limites de fonctions - Cours}
+\date{avril 2021}
+
+\DeclareExerciseCollection{banque}
+\xsimsetup{
+    step=2,
+}
+
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+
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+
+\input{exercises.tex}
+\printcollection{banque}
+\vfill
+\printcollection{banque}
+\vfill
+
+\end{document}

TST_sti2d/09_Limites_de_fonctions/exercises.tex

@@ -1,129 +1,178 @@
 \collectexercises{banque}
 \begin{exercise}[subtitle={Limites de fonctions}, step={1}, origin={Création}, topics={Limites de fonctions}, tags={Fonctions, limites}]
-\begin{tikzpicture}[yscale=.5, xscale=.8]
+    \begin{tikzpicture}[yscale=.5, xscale=.8]
-    \tkzInit[xmin=-5,xmax=5,xstep=1,
+        \tkzInit[xmin=-5,xmax=5,xstep=1,
-    ymin=0,ymax=10,ystep=1]
+        ymin=0,ymax=10,ystep=1]
-    \tkzGrid
+        \tkzGrid
-    \tkzAxeXY
+        \tkzAxeXY
-    \tkzFct[domain = -5:5, line width=1pt]{x**2}
+        \tkzFct[domain = -5:5, line width=1pt]{x**2}
-    \tkzText[draw,fill = brown!20](3,1){$f(x)=x^2$}
+        \tkzText[draw,fill = brown!20](3,1){$f(x)=x^2$}
-\end{tikzpicture}
+    \end{tikzpicture}
-\hfill
+    \hfill
-\begin{tikzpicture}[yscale=0.5, xscale=1]
+    \begin{tikzpicture}[yscale=0.5, xscale=1]
-    \tkzInit[xmin=-4,xmax=4,xstep=1,
+        \tkzInit[xmin=-4,xmax=4,xstep=1,
-    ymin=-10,ymax=10,ystep=2]
+        ymin=-10,ymax=10,ystep=2]
-    \tkzGrid
+        \tkzGrid
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+        \tkzAxeXY
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+        \tkzFct[domain = -5:5, line width=1pt]{x**3}
-    \tkzText[draw,fill = brown!20](1,-2){$f(x)=x^3$}
+        \tkzText[draw,fill = brown!20](1,-2){$f(x)=x^3$}
-\end{tikzpicture}
+    \end{tikzpicture}
 
-\begin{tikzpicture}[yscale=1, xscale=.8]
+    \begin{tikzpicture}[yscale=1, xscale=.8]
-    \tkzInit[xmin=-5,xmax=5,xstep=1,
+        \tkzInit[xmin=-5,xmax=5,xstep=1,
-    ymin=0,ymax=5,ystep=1]
+        ymin=0,ymax=5,ystep=1]
-    \tkzGrid
+        \tkzGrid
-    \tkzAxeXY
+        \tkzAxeXY
-    \tkzFct[domain = -5:5, line width=1pt]{exp(x)}
+        \tkzFct[domain = -5:5, line width=1pt]{exp(x)}
-    \tkzText[draw,fill = brown!20](2,1){$f(x)=\text{e}^{x}$}
+        \tkzText[draw,fill = brown!20](2,1){$f(x)=\text{e}^{x}$}
-\end{tikzpicture}
+    \end{tikzpicture}
-\hfill
+    \hfill
-\begin{tikzpicture}[yscale=1, xscale=1.5]
+    \begin{tikzpicture}[yscale=1, xscale=1.5]
-    \tkzInit[xmin=0,xmax=5,xstep=1,
+        \tkzInit[xmin=0,xmax=5,xstep=1,
-    ymin=-3,ymax=3,ystep=1]
+        ymin=-3,ymax=3,ystep=1]
-    \tkzGrid
+        \tkzGrid
-    \tkzAxeXY
+        \tkzAxeXY
-    \tkzFct[domain = 0.01:5, line width=1pt]{log(x)}
+        \tkzFct[domain = 0.01:5, line width=1pt]{log(x)}
-    \tkzText[draw,fill = brown!20](2,2){$f(x)=\ln(x)$}
+        \tkzText[draw,fill = brown!20](2,2){$f(x)=\ln(x)$}
-\end{tikzpicture}
+    \end{tikzpicture}
 
-\begin{tikzpicture}[yscale=1.5, xscale=1]
+    \begin{tikzpicture}[yscale=1.5, xscale=1]
-    \tkzInit[xmin=-2,xmax=7,xstep=1,
+        \tkzInit[xmin=-2,xmax=7,xstep=1,
-    ymin=-2,ymax=2,ystep=1]
+        ymin=-2,ymax=2,ystep=1]
-    \tkzGrid
+        \tkzGrid
-    \tkzAxeXY
+        \tkzAxeXY
-    \tkzFct[domain = -2:8, line width=1pt]{1 - exp(-x)}
+        \tkzFct[domain = -2:8, line width=1pt]{1 - exp(-x)}
-    \tkzText[draw,fill = brown!20](1,1.5){$f(x)=1-e^{-x}$}
+        \tkzText[draw,fill = brown!20](1,1.5){$f(x)=1-e^{-x}$}
-\end{tikzpicture}
+    \end{tikzpicture}
-\hfill
+    \hfill
-\begin{tikzpicture}[yscale=.5, xscale=.8]
+    \begin{tikzpicture}[yscale=.5, xscale=.8]
-    \tkzInit[xmin=-5,xmax=5,xstep=1,
+        \tkzInit[xmin=-5,xmax=5,xstep=1,
-    ymin=-5,ymax=5,ystep=1]
+        ymin=-5,ymax=5,ystep=1]
-    \tkzGrid
+        \tkzGrid
-    \tkzAxeXY
+        \tkzAxeXY
-    \tkzFct[domain = -5:-0.01, line width=1pt]{1/x}
+        \tkzFct[domain = -5:-0.01, line width=1pt]{1/x}
-    \tkzFct[domain = 0.01:5, line width=1pt]{1/x}
+        \tkzFct[domain = 0.01:5, line width=1pt]{1/x}
-    \tkzText[draw,fill = brown!20](-2,2){$f(x)=\frac{1}{x}$}
+        \tkzText[draw,fill = brown!20](-2,2){$f(x)=\frac{1}{x}$}
-\end{tikzpicture}
+    \end{tikzpicture}
 
-\begin{tikzpicture}[yscale=0.5, xscale=.8]
+    \begin{tikzpicture}[yscale=0.5, xscale=.8]
-    \tkzInit[xmin=-5,xmax=5,xstep=1,
+        \tkzInit[xmin=-5,xmax=5,xstep=1,
-    ymin=-1,ymax=10,ystep=1]
+        ymin=-1,ymax=10,ystep=1]
-    \tkzGrid
+        \tkzGrid
-    \tkzAxeXY
+        \tkzAxeXY
-    \tkzFct[domain = -5:-0.01, line width=1pt]{1/x**2}
+        \tkzFct[domain = -5:-0.01, line width=1pt]{1/x**2}
-    \tkzFct[domain = 0.01:5, line width=1pt]{1/x**2}
+        \tkzFct[domain = 0.01:5, line width=1pt]{1/x**2}
-    \tkzText[draw,fill = brown!20](3,3){$f(x)=\frac{1}{x^2}$}
+        \tkzText[draw,fill = brown!20](3,3){$f(x)=\frac{1}{x^2}$}
-\end{tikzpicture}
+    \end{tikzpicture}
-\hfill
+    \hfill
-\begin{tikzpicture}[yscale=1.5, xscale=.8]
+    \begin{tikzpicture}[yscale=1.5, xscale=.8]
-    \tkzInit[xmin=-5,xmax=5,xstep=1,
+        \tkzInit[xmin=-5,xmax=5,xstep=1,
-    ymin=-2,ymax=2,ystep=1]
+        ymin=-2,ymax=2,ystep=1]
-    \tkzGrid
+        \tkzGrid
-    \tkzAxeXY
+        \tkzAxeXY
-    \tkzFct[domain = -5:5, line width=1pt]{cos(x)}
+        \tkzFct[domain = -5:5, line width=1pt]{cos(x)}
-    \tkzText[draw,fill = brown!20](3,1){$f(x)=\cos{x}$}
+        \tkzText[draw,fill = brown!20](3,1){$f(x)=\cos{x}$}
-\end{tikzpicture}
+    \end{tikzpicture}
 
-À l'aide des graphiques ci-dessus, déterminer graphiquement les quantités suivantes
+    À l'aide des graphiques ci-dessus, déterminer graphiquement les quantités suivantes
 
-\begin{multicols}{3}
+    \begin{multicols}{3}
-    \begin{enumerate}
+        \begin{enumerate}
-        \item 
+            \item 
-            \begin{enumerate}
+                \begin{enumerate}
-                \item $\ds \lim_{x\rightarrow +\infty} x^2 = $
+                    \item $\ds \lim_{x\rightarrow +\infty} x^2 = $
-                \item $\ds \lim_{x\rightarrow -\infty} x^2 = $
+                    \item $\ds \lim_{x\rightarrow -\infty} x^2 = $
-            \end{enumerate}
+                \end{enumerate}
-        \item 
+            \item 
-            \begin{enumerate}
+                \begin{enumerate}
-                \item $\ds \lim_{x\rightarrow +\infty} x^3 = $
+                    \item $\ds \lim_{x\rightarrow +\infty} x^3 = $
-                \item $\ds \lim_{x\rightarrow -\infty} x^3 = $
+                    \item $\ds \lim_{x\rightarrow -\infty} x^3 = $
-            \end{enumerate}
+                \end{enumerate}
-        \item 
+            \item 
-            \begin{enumerate}
+                \begin{enumerate}
-                \item $\ds \lim_{x\rightarrow +\infty} e^x = $
+                    \item $\ds \lim_{x\rightarrow +\infty} e^x = $
-                \item $\ds \lim_{x\rightarrow -\infty} e^x = $
+                    \item $\ds \lim_{x\rightarrow -\infty} e^x = $
-            \end{enumerate}
+                \end{enumerate}
-        \item 
+            \item 
-            \begin{enumerate}
+                \begin{enumerate}
-                \item $\ds \lim_{x\rightarrow +\infty} \ln(x) = $
+                    \item $\ds \lim_{x\rightarrow +\infty} \ln(x) = $
-                \item $\ds \lim_{x\rightarrow 0} \ln(x) = $
+                    \item $\ds \lim_{x\rightarrow 0} \ln(x) = $
-            \end{enumerate}
+                \end{enumerate}
-        \item 
+            \item 
-            \begin{enumerate}
+                \begin{enumerate}
-                \item $\ds \lim_{x\rightarrow +\infty} 1-e^{-x} = $
+                    \item $\ds \lim_{x\rightarrow +\infty} 1-e^{-x} = $
-                \item $\ds \lim_{x\rightarrow -\infty} 1-e^{-x} = $
+                    \item $\ds \lim_{x\rightarrow -\infty} 1-e^{-x} = $
-            \end{enumerate}
+                \end{enumerate}
-        \item 
+            \item 
-            \begin{enumerate}
+                \begin{enumerate}
-                \item $\ds \lim_{x\rightarrow -\infty} \frac{1}{x} = $
+                    \item $\ds \lim_{x\rightarrow -\infty} \frac{1}{x} = $
-                \item $\ds \lim_{\substack{x\rightarrow 0 \\ <}} \frac{1}{x} = $
+                    \item $\ds \lim_{\substack{x\rightarrow 0 \\ <}} \frac{1}{x} = $
-                \item $\ds \lim_{\substack{x\rightarrow 0 \\ >}} \frac{1}{x} = $
+                    \item $\ds \lim_{\substack{x\rightarrow 0 \\ >}} \frac{1}{x} = $
-                \item $\ds \lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{1}{x} = $
+                    \item $\ds \lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{1}{x} = $
-            \end{enumerate}
+                \end{enumerate}
-        \item 
+            \item 
-            \begin{enumerate}
+                \begin{enumerate}
-                \item $\ds \lim_{x\rightarrow -\infty} \frac{1}{x^2} = $
+                    \item $\ds \lim_{x\rightarrow -\infty} \frac{1}{x^2} = $
-                \item $\ds \lim_{\substack{x\rightarrow 0 \\ <}} \frac{1}{x^2} = $
+                    \item $\ds \lim_{\substack{x\rightarrow 0 \\ <}} \frac{1}{x^2} = $
-                \item $\ds \lim_{\substack{x\rightarrow 0 \\ >}} \frac{1}{x^2} = $
+                    \item $\ds \lim_{\substack{x\rightarrow 0 \\ >}} \frac{1}{x^2} = $
-                \item $\ds \lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{1}{x^2} = $
+                    \item $\ds \lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{1}{x^2} = $
-            \end{enumerate}
+                \end{enumerate}
-        \item 
+            \item 
-            \begin{enumerate}
+                \begin{enumerate}
-                \item $\ds \lim_{x\rightarrow +\infty} \cos(x) = $
+                    \item $\ds \lim_{x\rightarrow +\infty} \cos(x) = $
-                \item $\ds \lim_{x\rightarrow -\infty} \cos(x) = $
+                    \item $\ds \lim_{x\rightarrow -\infty} \cos(x) = $
-            \end{enumerate}
+                \end{enumerate}
-    \end{enumerate}
+        \end{enumerate}
-\end{multicols}
+    \end{multicols}
 \end{exercise}
 
+\begin{exercise}[subtitle={Découverte des limites de polynômes}, step={2}, origin={Création}, topics={Limites de fonctions}, tags={Fonctions, limites}]
+    Cet exercice se réaliser avec Géogebra. Son but est de déterminer deux règles pour calculer les limites de polynômes.
+    \begin{enumerate}
+        \item Limites de fonctions du type $x^n$ où $n$ est un entier non nul.
+            \begin{enumerate}
+                \item Régler les curseurs a, b, c, d, e et f pour obtenir le graphique de la fonction $P(x) = x$. Noter les limites en $-\infty$ et en $+\infty$.
+                \item Réaliser le même travail pour les fonctions $x^2$, $x^3$, $x^4$ et $x^5$.
+                \item Conjecturer les limites du tableau suivant:
+
+                    \begin{center}
+                        \begin{tabular}{|l|*{2}{c|}}
+                            \hline
+                            $\ds \lim_{x\rightarrow ...} x^n = $ & $n$ paire & $n$ impaire\\
+                            \hline
+                            $+\infty$ & & \\
+                            \hline
+                            $-\infty$ & & \\
+                            \hline
+                        \end{tabular}
+                    \end{center}
+            \end{enumerate}
+        \item Simplification des limites des polynôme.
+            \begin{enumerate}
+                \item Régler les curseurs pour faire apparaitre la fonction $P(x) = x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1$
+                \item Déplacer les curseurs b, c, d, e et f. Est-ce que ces curseurs ont un impact sur les limites en $+\infty$? en $-\infty$?
+                \item Proposer une façon de simplifier les calculs de limites.
+                \item Faire varier le curseur a, quel est son impact sur les limites?
+            \end{enumerate}
+    \end{enumerate}
+\end{exercise}
+
+\begin{exercise}[subtitle={Calculs de limtes de polynômes}, step={2}, origin={Création}, topics={Limites de fonctions}, tags={Fonctions, limites}]
+    Calculer les limites suites
+    \begin{multicols}{3}
+        \begin{enumerate}
+            \item $\ds \lim_{x\rightarrow +\infty} 2x^2 + 3x + 1 = $
+            \item $\ds \lim_{x\rightarrow -\infty} 2x^2 + 3x + 1 = $
+            \item $\ds \lim_{x\rightarrow +\infty} -4x^2 + 3x + 1 = $
+
+            \item $\ds \lim_{x\rightarrow -\infty} -4x^2 + 100 x - 4 = $
+            \item $\ds \lim_{x\rightarrow +\infty} 4x^3 - 3x + 100 = $
+            \item $\ds \lim_{x\rightarrow -\infty} -7x^5 + 6x + 0.7 = $
+
+            \item $\ds \lim_{x\rightarrow +\infty} 2x^2 - 3x^3 + 19 = $
+            \item $\ds \lim_{x\rightarrow -\infty} -0.1x^11 + x + 1 = $
+            \item $\ds \lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{-1}{2}x^5 + 3x + 1 = $
+        \end{enumerate}
+    \end{multicols}
+\end{exercise}
 \collectexercisesstop{banque}

TST_sti2d/09_Limites_de_fonctions/index.rst

@@ -2,7 +2,7 @@ Limites de fonctions
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 :date: 2021-04-22
-:modified: 2021-04-22
+:modified: 2021-04-27
 :authors: Benjamin Bertrand
 :tags: Fonctions, Limites
 :category: TST_sti2d
@@ -30,6 +30,16 @@ Bilan: Tableau de variation et limites des fonctions de références
 
 Établir les règles de simplifications des limites avec les polynômes. Début du calcul formel de limites.
 
+.. image:: ./2E_limite_polynome.pdf
+    :height: 200px
+    :alt: Découverte et calculs des limites de polynômes.
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+Cours:
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+.. image:: ./2B_limite_polynome.pdf
+    :height: 200px
+    :alt: Cours sur les limites de polynômes
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 Étape 3: Croissances comparés avec l'exponentielle
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