Feat: Exercices d'annales sur l'exponentielle complexe

TST_sti2d/06_Exponentielle_complexe/3E_applications.tex

@@ -0,0 +1,20 @@
+\documentclass[a4paper,10pt]{article}
+\usepackage{myXsim}
+
+\author{Benjamin Bertrand}
+\title{Exponentielle complexe - Cours}
+\date{janvier 2021}
+
+\DeclareExerciseCollection{banque}
+\xsimsetup{
+    step=3,
+}
+
+\pagestyle{empty}
+
+\begin{document}
+
+\input{exercises.tex}
+\printcollection{banque}
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+\end{document}

TST_sti2d/06_Exponentielle_complexe/exercises.tex

@@ -124,4 +124,100 @@
         \item Placer le résultat de ces opérations dans un repère.
     \end{enumerate}
 \end{exercise}
+
+\begin{exercise}[subtitle={Filtres}, step={3}, origin={Création}, topics={Exponentielle complexe}, tags={Complexe}]
+    Les résistances et les condensateurs sont des composants électroniques utilisés dans le domaine du son pour concevoir des filtres. 
+
+    Placé en sortie d'un microphone, un filtre atténue plus ou moins les sons selon leur fréquence $f$, exprimée en Hertz (Hz).
+
+    Pour un filtre donné, l'atténuation d'un son se calcule à l'aide de deux nombres complexes $z_R$. 
+
+    Dans tout l'exercice, on suppose que $z_R = 10$ et $z_C = - \dfrac{\np{1000}\sqrt{3}}{f}i$ , où i désigne le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$.. 
+
+    \noindent
+    \textbf{Partie A : Effet du filtre sur un son grave}
+
+    On choisit un son grave de fréquence $f = 100$.
+
+    \begin{enumerate}
+        \item Montrer que $z_C = - 10\sqrt{3} i$. 
+        \item 
+            \begin{enumerate}
+                \item Déterminer la forme exponentielle de $z_C$. 
+                \item On considère le nombre complexe $Z = z_R + z_C$. On a donc $Z = 10 - 10\sqrt{3} i$. 
+
+                    Déterminer la forme exponentielle de $Z$. 
+                \item On considère le nombre complexe $z_G$ défini par : $z_G = \dfrac{z_C}{z_R + z_C}$. 
+
+                    Montrer que $z_G = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\text{e}^{- i\frac{\pi}{6}}$. 
+                \item Le module du nombre complexe $z_G$ est appelé gain du filtre. 
+
+                    Donner la valeur exacte du gain du filtre puis une valeur approchée au centième.
+            \end{enumerate} 
+    \end{enumerate}
+
+    \noindent
+    \textbf{Partie B : Effet du filtre sur un son aigu }
+
+    On choisit un son aigu de fréquence $f = \np{1000}\sqrt{3}$. 
+
+    \begin{enumerate}
+        \item Montrer que le nombre complexe $z_G$ défini par $z_G = \dfrac{z_C}{z_R + z_C}$ est égal à  $\dfrac{- i}{10 - i}$.
+        \item Déterminer la forme algébrique de $z_G$ . 
+        \item Calculer la valeur exacte du gain du filtre $\left|z_G\right|$  et en donner une valeur approchée au centième. 
+    \end{enumerate}
+\end{exercise}
+
+\begin{exercise}[subtitle={Bras articulé}, step={3}, origin={Création}, topics={Exponentielle complexe}, tags={Complexe}]
+    Dans le plan muni d'un repère orthonormé direct \Ouv, le bras articulé d’un robot, fixé au point O, est représenté par deux segments [OA] et [AB], chacun de longueur 2 unités.
+
+    Deux exemples de position du bras articulé sont donnés ci-dessous à titre indicatif.
+
+    \noindent
+    \begin{minipage}{0.5\linewidth}
+        \begin{enumerate}
+            \item 
+                \begin{enumerate}
+                    \item Tracer sur la copie un repère orthonormé \Ouv.
+
+                        Placer le point A d'affixe $z_{\text A}= 2i$ puis construire l'extrémité B du bras articulé
+                        lorsque son affixe $z_{\text B}$ a pour argument $\dfrac{\pi}{4}$.
+
+                    \item Donner l'affixe du point B sous forme algébrique et sous forme exponentielle.
+                \end{enumerate}
+        \end{enumerate}
+    \end{minipage}
+    \hfill
+    \begin{minipage}{0.4\linewidth}
+        \includegraphics[scale=0.15]{./fig/bras1}
+    \end{minipage}
+
+    \begin{enumerate}
+        \setcounter{enumi}{1}
+        \item L'extrémité B du bras peut-elle atteindre un objet qui se trouve à une distance de $4,5$
+            unités du point O?
+    \end{enumerate}
+            
+    \noindent
+    \begin{minipage}{0.6\linewidth}
+        \begin{enumerate}
+            \setcounter{enumi}{2}
+            \item Pour soulever un objet lourd dont le point d'accroche est le point C (voir figure ci-contre), il faut rigidifier l'articulation en A. On décide alors de bloquer l'angle $\left ( \vec{AO}~,~\vec{AB}\right )$ tel qu'une mesure de cet angle soit constamment égale à $\dfrac{\pi}{2}$ radians.
+            \begin{enumerate}
+                \item Déterminer la longueur OB.
+                \item Le point C a pour affixe $z_{\text C} = 2\sqrt{2}\e^{i\frac{\pi}{12}}$.
+
+                    Justifier que l'extrémité B du bras articulé pourra atteindre le point d'accroche C de l'objet.
+
+                \item Lorsque le bras articulé saisit l'objet, les points B et C sont confondus.
+
+                    Calculer la mesure de l'angle que forme alors le bras [OA] avec l'axe [O$x$).
+            \end{enumerate}
+        \end{enumerate}
+    \end{minipage}
+    \hfill
+    \begin{minipage}{0.35\linewidth}
+        \includegraphics[scale=0.25]{./fig/bras2}
+    \end{minipage}
+\end{exercise}
 \collectexercisesstop{banque}

TST_sti2d/06_Exponentielle_complexe/index.rst

@@ -2,7 +2,7 @@ Exponentielle complexe
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 :date: 2021-01-14
-:modified: 2021-01-25
+:modified: 2021-01-26
 :authors: Benjamin Bertrand
 :tags: Complexe
 :category: TST_sti2d
@@ -35,6 +35,10 @@ Les élèves s'exercent avec la forme trigonométrique avec une série d'exercic
 Étape 3: Applications des nombres complexes 
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-Exercices de géométrie et d'électricité utilisant les nombres complexes.
+Exercices de géométrie et d'électricité utilisant les nombres complexes. J'aurai aimé trouvé des exercices qui laissent les élèves plus libres de la démarche à suivre mais c'est pas évident! Alors on se content d'annale de bac.
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+.. image:: ./3E_applications.pdf
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+    :alt: Exercices d'annales de bac sti2d