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\documentclass[a4paper,10pt]{article}
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\usepackage{myXsim}
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\usepackage{moreverb}
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% Title Page
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\title{DS 10 \hfill Sujet 1}
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\tribe{TST}
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\date{02 juin 2021}
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\duree{1h}
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\DeclareExerciseCollection{banque}
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\xsimsetup{
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%type=Exercise,
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tribe=1,
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}
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\newcommand{\reponse}[1]{%
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\begin{bclogo}[barre=none, logo=]{Réponse}
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\vspace{#1}
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\end{bclogo}
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}
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\pagestyle{empty}
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\begin{document}
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\maketitle
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Le barème est donné à titre indicatif, il pourra être modifié.
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\input{exercises.tex}
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\printcollection{banque}
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\end{document}
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%%% Local Variables:
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%%% mode: latex
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%%% TeX-master: "master"
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%%% End:
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\collectexercises{banque}
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\begin{exercise}[subtitle={Recyclage}, points=10, tribe={1}, type={Exercise}]
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\begin{minipage}{0.5\linewidth}
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Une entreprise est spécialisée dans le recyclage de bouteilles d'eau en plastique.
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Elle peut produire chaque jour entre $0$ et $10$ tonnes de plastique qu'elle revend en totalité au prix
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unitaire de $700$~\euro{} la tonne.
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On rappelle que le coût moyen correspondant à la production de $x$ tonnes de plastique est défini par
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$C_M(x) = \dfrac{C_T (x)}{x}$, où $C_T(x)$ est le coût total pour la production de $x$ tonnes de plastique.
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Le coût marginal, noté $C_m$, est le coût induit par la production d'une tonne de plastique supplémentaire
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lorsqu'on a déjà produit $x$ tonnes de plastique.
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\smallskip
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Les parties A et B sont indépendantes.
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\end{minipage}
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\begin{minipage}{0.5\linewidth}
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\includegraphics[scale=0.3]{./fig/couts}
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\end{minipage}
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\textbf{Partie A}
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Sur l'annexe sont tracées les courbes représentant les coûts moyen et marginal (en euro) en fonction
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de la quantité de plastique produite (en tonne) ainsi que la droite représentant le prix de vente
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unitaire.
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On admet que le coût moyen est minimal lorsqu'il est égal au coût marginal.
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\begin{enumerate}
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\item Déterminer graphiquement la quantité de plastique que doit produire l'entreprise pour que le coût
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moyen soit minimal.
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\item Déterminer graphiquement ce coût moyen minimal et en déduire le coût total correspondant.
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\end{enumerate}
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\bigskip
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\textbf{Partie B}
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On dit qu'il y a profit lorsque le prix de vente unitaire est strictement supérieur au coût moyen.
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On admet que le profit de l'entreprise est maximal lorsque le coût marginal est égal au prix de vente
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unitaire.
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\medskip
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\begin{enumerate}
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\item Pour quelles quantités de plastique produites, l'entreprise réalise-t-elle un profit ? Le résultat
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sera donné sous la forme d'un intervalle.
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\item Déterminer graphiquement la quantité de plastique que doit produire l'entreprise pour que le
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profit soit maximal.
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\item Quel est le coût moyen correspondant à cette production ?
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\item En déduire le coût total correspondant.
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\item Calculer le profit total maximal.
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\end{enumerate}
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\end{exercise}
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\begin{exercise}[subtitle={Chiffre d'affaires mondial}, points=8, tribe={1}, type={Exercise}]
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Le tableau suivant donne le chiffre d'affaires mondial d'une entreprise entre 2010 et 2016 en millions d'euros.
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\begin{center}
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\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3.cm}|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
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Année &2010 &2011 &2012 &2013 &2014 &2015 &2016\\ \hline
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Rang de l'année $x_i$ & 0 &1 &2 &3 &4 &5 &6\\ \hline
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Chiffre d'affaires $y_i$
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(en millions d'euros) &18,3 &20,1 &23,3 &25,3 &27,8 &30,6 &32,4\\ \hline
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\end{tabularx}
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\end{center}
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\textbf{Partie A : étude d'un premier modèle}
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\begin{enumerate}
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\item Sur le graphique donné à la fin de l'exercice , représenter le nuage de points de coordonnées $\left(x_i~;~y_i\right)$ pour $i$ variant de $0$ à $6$.
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\item
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\begin{enumerate}
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\item À l'aide de la calculatrice, donner une équation de la droite d'ajustement affine de $y$ en $x$ obtenue par la méthode des moindres carrés. Les coefficients seront arrondis au centième.
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Dans la suite, on choisit la droite d d'équation $y = 2,4x + 18,1$ comme ajustement affine du nuage de points.
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\item Tracer la droite $d$ sur le même graphique donné en annexe.
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\end{enumerate}
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\item En supposant que cet ajustement demeure valable pendant plusieurs années, donner par lecture graphique le chiffre d'affaires de cette entreprise en 2020. Arrondir au million près.
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\end{enumerate}
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\textbf{Partie B : étude d'un second modèle}
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\begin{enumerate}
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\setcounter{enumi}{4}
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\item Déterminer, à l'aide du tableau, le taux d'évolution global du chiffre d'affaires de l'entreprise entre 2010 et 2016. On exprimera le résultat en pourcentage arrondi au centième.
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\item Déterminer le taux d'évolution moyen annuel entre 2010 et 2016, exprimé en pourcentage arrondi à l'entier le plus proche.
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\item On suppose que le taux d'évolution annuel sera de 10\,\% entre 2016 et 2020. Estimer le chiffre d'affaires de l'entreprise en 2020. Arrondir au million près.
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\end{enumerate}
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\bigskip
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\begin{center}
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\begin{tikzpicture}[baseline=(a.north), xscale=1, yscale=0.5]
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\tkzInit[xmin=0,xmax=12,xstep=1,
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ymin=0,ymax=52,ystep=2]
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\tkzDrawX[label=Rang de l'année, above=10pt]
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\tkzLabelX
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\tkzDrawY[label=Chiffre d'affaire en millions d'euros, right=15pt]
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\tkzLabelY
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\tkzGrid
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\end{tikzpicture}
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\end{center}
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\end{exercise}
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\collectexercisesstop{banque}
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TST/DS/DS_21_06_02/fig/couts.png
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TST/DS/DS_21_06_02/fig/couts.png
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