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TST/01_Derivation/index.rst

@@ -1,5 +1,5 @@
-Dérivation
+Dérivation TST
-##########
+##############
 
 :date: 2020-08-24
 :modified: 2020-08-25

TST_sti2d/01_Derivation/1B_vitesse.tex

@@ -31,4 +31,8 @@ Illustration avec géogégra:
 
 De façon similaire, il est possible de définir des vitesses instantanées de n'importe quelle quantité qui varie. Par exemple, la vitesse d'une réaction chimique.
 
+\subsection*{Remarque}
+
+\afaire{À quoi correspond la vitesse de la vitesse?}
+
 \end{document}

TST_sti2d/01_Derivation/2B_derivee.tex

@@ -0,0 +1,87 @@
+\documentclass[a4paper,10pt]{article}
+\usepackage{myXsim}
+\usepackage{qrcode}
+
+\author{Benjamin Bertrand}
+\title{Dérivation - Cours}
+\date{août 2020}
+
+\pagestyle{empty}
+
+\begin{document}
+
+\maketitle
+
+\setcounter{section}{1}
+\section{Dérivée}
+
+Nous allons définir la dérivée en s'inspirant de ce qui a été fait précédement avec la vitesse.
+
+\subsection*{Définitions}
+
+\begin{tabular}{m{0.3\textwidth}*{2}{|m{0.3\textwidth}}}
+    Position $x(t)$ & Fonction $f(x)$ & Signification graphique \\
+    Vitesse moyenne & Taux de variation & Corde \\
+    $v_m(t) = \dfrac{x_2 - x_1}{t_2 - t_1} = \dfrac{\Delta x}{\Delta t}$  & $\dfrac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1} = \dfrac{\Delta f}{\Delta x}$ & 
+    \begin{tikzpicture}[baseline=(current bounding box.south), 
+        xscale=0.5, yscale=0.5]
+        \tkzInit[xmin=-2,xmax=5,xstep=1,
+        ymin=0,ymax=5,ystep=1]
+        \tkzGrid
+        \tkzAxeXY
+        \tkzFct[domain=-2:5,color=red,very thick,%
+        ]{0.08*(5-x)*exp(x)};
+    \end{tikzpicture}
+    \\
+    Vitesse instannée & Dérivée & Tangente\\
+    $v(t) = \dfrac{dx}{dt}$ & $f'(x) = \dfrac{df}{dx} = \dot f(t)$ & 
+    \begin{tikzpicture}[baseline=(current bounding box.south), 
+        xscale=0.5, yscale=0.5]
+        \tkzInit[xmin=-2,xmax=5,xstep=1,
+        ymin=0,ymax=5,ystep=1]
+        \tkzGrid
+        \tkzAxeXY
+        \tkzFct[domain=-2:5,color=red,very thick,%
+        ]{0.08*(5-x)*exp(x)};
+    \end{tikzpicture}
+
+\end{tabular}
+
+\subsection*{Formules de dérivations}
+
+\begin{center}
+    \begin{tabular}{|m{4cm}|m{4cm}|}
+     \hline
+    \rowcolor{highlightbg}
+     Fonction $f$ & Fonction dérivée $f'$ \\
+     \hline
+     $a$ & $0$ \\
+     \hline
+     $ax$ & $a$ \\
+     \hline 
+    $ax^2$ & $2ax$ \\
+    \hline
+    $ax^3$ & $3ax^2$\\
+    \hline
+    $ax^n$ & $nax^{n-1}$\\
+    \hline
+    $\frac{1}{x}$ & $\frac{-1}{x^2}$\\
+    \hline
+    \end{tabular}
+\end{center}
+
+\subsection*{Opérations}
+
+Soit $u$ et $v$ deux fonctions dérivables sur un intervalle $I$ et $k$ un nombre réel alors
+
+\begin{itemize}
+    \item La dérivée de $f(x) = u(x) + v(x)$ est $f'(x) = u'(x) + v'(x)$.
+    \item La dérivée de $f(x) = k \times u(x)$ est $f'(x) = k \times u'(x)$.
+    \item La dérivée de $f(x) = u(x) \times v(x)$ est $f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)$.
+\end{itemize}
+
+\subsection*{Exemple}
+\afaire{Dériver la fonction $f(x) = (2x+1)\times\dfrac{1}{x}$}
+
+
+\end{document}

TST_sti2d/01_Derivation/2E_derivation.tex

@@ -0,0 +1,18 @@
+\documentclass[a4paper,10pt]{article}
+\usepackage{myXsim}
+
+\author{Benjamin Bertrand}
+\title{Dérivation - Cours}
+\date{août 2020}
+
+\DeclareExerciseCollection{banque}
+\xsimsetup{
+    step=2,
+}
+
+\begin{document}
+
+\input{exercises.tex}
+\printcollection{banque}
+
+\end{document}

TST_sti2d/01_Derivation/exercises.tex

@@ -51,7 +51,6 @@
 \end{exercise}
 
 \begin{exercise}[subtitle={Réaction chimique autocatalytique}, step={1}, origin={Création}, topics={Dérivation}, tags={Dérivation}]
-
     \begin{minipage}{0.5\textwidth}
     Une réaction autocatalytique est une réaction chimique dont le catalyseur figure parmi les produits de la réaction. On concidère une telle réaction où deu élément A et B réagissent pour donner deux B. L'évolution de la concentration de B au cours de l'expérience est donnée par le graphique ci-contre.
     \medskip
@@ -75,4 +74,71 @@
     \end{minipage}
 \end{exercise}
 
+\begin{exercise}[subtitle={Dérivation -- technique}, step={2}, origin={Création}, topics={Dérivation}, tags={Dérivation, technique}]
+    Déterminer les dérivées des fonctions suivantes
+    \begin{multicols}{3}
+        \begin{enumerate}
+            \item $f(x) = 2x^3 + 3x + 1$
+            \item $g(x) = 0.1x^5 + 2x^4 + x$
+            \item $h(x) = 5x^8 + 4x^4 + \frac{1}{x}$
+
+            \item $f(x) = (2x + 1) + (4x^2 - 1)$
+            \item $f(x) = -3x^4 + \frac{1}{3}x^3 - \frac{3}{4}x^2 + 10$
+            \item $f(x) = 5x + \frac{3x^2}{2}$
+
+            \item $f(x) = (2x + 1)(4x^2 - 1)$
+            \item $f(x) = x^2(x-1)$
+            \item $f(x) = 5x(x^4 + x)$
+        \end{enumerate}
+    \end{multicols}
+\end{exercise}
+
+\begin{exercise}[subtitle={Cercle et rayon}, step={2}, origin={Création}, topics={Dérivation}, tags={Dérivation, technique}]
+    On travaille avec un cercle de rayon $R$. On définit les deux formules suivantes
+    \[
+        \mbox{Périmètre: } P(R) = 2\pi R \qquad \qquad \qquad
+        \mbox{Aire } A(R) = \pi R^2
+    \]
+    \begin{enumerate}
+        \item Calculer $\dfrac{dP}{dR}$.
+        \item Calculer $\dfrac{dA}{dR}$.
+        \item (*) Exprimer $A$ en fonction $P$ et en déduire $\dfrac{dA}{dP}$.
+    \end{enumerate}
+\end{exercise}
+
+\begin{exercise}[subtitle={Étude de variations}, step={2}, origin={Création}, topics={Dérivation}, tags={Dérivation, technique}]
+    Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par
+    \[ f(t) = 0.5t^4 + t^3 + t^2 + 3t + 1 \]
+    \begin{enumerate}
+        \item Calculer $f'(t)$ puis en déduire que $f'(t) = (t^2+1)(2t+3)$.
+        \item Étudier le signe de $f'(t)$ et en déduire les variations de $f(t)$.
+        \item La fonction $f$ a-t-elle un maximum? Un minimum? Quelle est alors sa valeur?
+    \end{enumerate}
+\end{exercise}
+
+\begin{exercise}[subtitle={Démonstrations}, step={2}, origin={Création}, topics={Dérivation}, tags={Dérivation, Démonstration}]
+    Dans cet exercice, nous allons démontrer quelques formules de dérivations (toutes les autres formules se démontrent de la même manière, les calculs sont juste un peu plus long).
+    \begin{enumerate}
+        \item Formule de dérivation de $f(x) = 1$.
+
+            On veut connaître la dérivée de $f(x)$ au point $x$. Pour cela, on définit $x_1 = x$ et $x_2 = x + h$ avec $h$ un nombre que l'on rendra très petit.
+            \begin{enumerate}
+                \item Calculer $\dfrac{\Delta f}{\Delta x}$.
+                \item En rendant $h$ très petit (proche de 0) déterminer $f'(x) = \dfrac{df}{dx}$.
+            \end{enumerate}
+
+        \item Formule de dérivation de $g(x) = 2x$.
+
+            On veut connaître la dérivée de $g(x)$ au point $x$. Pour cela, on définit $x_1 = x$ et $x_2 = x + h$ avec $h$ un nombre que l'on rendra très petit.
+            \begin{enumerate}
+                \item Calculer $\dfrac{\Delta g}{\Delta x}$.
+                \item En rendant $h$ très petit (proche de 0) déterminer $g'(x) = \dfrac{dg}{dx}$.
+            \end{enumerate}
+
+        \item De la même façon que dans les deux questions précédentes, démontrer que la dérivée de $h(x) = x^2$ est 
+
+            $h'(x) = \dfrac{dh}{dx} = 2x$.
+    \end{enumerate}
+\end{exercise}
+
 \collectexercisesstop{banque}

TST_sti2d/01_Derivation/index.rst

@@ -1,5 +1,5 @@
-Dérivation
+Dérivation Tsti2d
-##########
+#################
 
 :date: 2020-08-26
 :modified: 2020-08-26
@@ -23,6 +23,10 @@ Il faudra inciter les élèves à utiliser les notations avec delta pour faire l
 
 Cours: Vitesse/débit sur un intervalle de temps et instantanée.
 
+.. image:: ./1B_vitesse.pdf
+    :height: 200px
+    :alt: Cours sur le construction de la vitesse instantanée.
+
 Étape 2: Généralisation aux fonctions
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@@ -32,6 +36,10 @@ On reproduit ce qui a été fait dans l'étape précédente mais avec une foncti
 
 Cours: Définition taux de variation, fonction dérivée, tangente et parallèle avec la vitesse. Formulaire des dérivées et des opérations avec les dérivées.
 
+.. image:: ./2B_derivee.pdf
+    :height: 200px
+    :alt: Vision mathématique de la dérivation.
+
 Étape 3: Problèmes physiques
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