Feat: exercices sur la primitive et les intégrales et l'exponentielle

TST_sti2d/05_Fonction_Exponentielle/3B_primitive.tex

@@ -0,0 +1,46 @@
+\documentclass[a4paper,10pt]{article}
+\usepackage{myXsim}
+
+\author{Benjamin Bertrand}
+\title{Fonction Expronentielle - Cours}
+\date{décembre 2020}
+
+\pagestyle{empty}
+
+\begin{document}
+
+\maketitle
+
+\setcounter{section}{2}
+
+\section{Primitive de la fonction exponentielle}
+
+\begin{propriete}
+    Soit $f(x) = e^x$ la fonction exponentielle. Alors une primitive est 
+    \[
+        F(x) = e^x
+    \]
+\end{propriete}
+
+\begin{propriete}
+Soit $u$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$, on note $u'$ sa dérivée.
+
+\noindent
+Soit $f(x) = u'\times e^{u}$. Alors une primitive de $f(x)$ est 
+\[
+    F(x) = e^{u}
+\]
+\end{propriete}
+
+\subsection*{Exemple}
+
+Calcul d'une primitive de $f(x) = -0.1e^{-0.1x}$
+
+\afaire{}
+
+Calcul d'une primitive de $g(x) = e^{4x}$
+
+\afaire{}
+
+
+\end{document}

TST_sti2d/05_Fonction_Exponentielle/3E_primitive.tex

@@ -0,0 +1,29 @@
+\documentclass[a4paper,10pt]{article}
+\usepackage{myXsim}
+
+\author{Benjamin Bertrand}
+\title{Fonction Exponentielle - dérivation et étude de signe}
+\date{décembre 2020}
+
+\DeclareExerciseCollection{banque}
+\xsimsetup{
+    step=3,
+}
+
+\setlength{\columnseprule}{0pt}
+\setlength{\columnsep}{0.5cm}
+\setlength{\multicolsep}{6.0pt plus 2.0pt minus 1.5pt}
+
+\pagestyle{empty}
+
+\begin{document}
+
+\setcounter{exercise}{6}
+
+\input{exercises.tex}
+\printcollection{banque}
+\vfill
+\printcollection{banque}
+\vfill
+
+\end{document}

TST_sti2d/05_Fonction_Exponentielle/exercises.tex

@@ -1,5 +1,5 @@
 \collectexercises{banque}
-\begin{exercise}[subtitle={Dérivation}, step={1}, origin={Création}, topics={Fonction Expronentielle}, tags={Analyse, exponentielle}]
+\begin{exercise}[subtitle={Dérivation}, step={1}, origin={Création}, topics={Fonction Exponentielle}, tags={Analyse, exponentielle}]
     \begin{multicols}{3}
         \begin{enumerate}
             \item $f(x) = e^x - 1$
@@ -12,7 +12,7 @@
     \end{multicols}
 \end{exercise}
 
-\begin{exercise}[subtitle={Étude de signe}, step={1}, origin={Création}, topics={Fonction Expronentielle}, tags={Analyse, exponentielle}]
+\begin{exercise}[subtitle={Étude de signe}, step={1}, origin={Création}, topics={Fonction Exponentielle}, tags={Analyse, exponentielle}]
     \begin{multicols}{2}
         \begin{enumerate}
             \item $f(x) = e^x + 1$ sur $I=\R$
@@ -23,7 +23,7 @@
     \end{multicols}
 \end{exercise}
 
-\begin{exercise}[subtitle={Étude de fonctions}, step={1}, origin={Création}, topics={Fonction Expronentielle}, tags={Analyse, exponentielle}]
+\begin{exercise}[subtitle={Étude de fonctions}, step={1}, origin={Création}, topics={Fonction Exponentielle}, tags={Analyse, exponentielle}]
     Pour chacune des fonctions suivantes,trouver le domaine de définition, calculer la dérivée, étudier son signe et en déduire les variations de la fonction initiale.
     \begin{multicols}{3}
         \begin{enumerate}
@@ -35,7 +35,7 @@
     \end{multicols}
 \end{exercise}
 
-\begin{exercise}[subtitle={Étude de fonctions}, step={2}, origin={Création}, topics={Fonction Expronentielle}, tags={Analyse, exponentielle}]
+\begin{exercise}[subtitle={Étude de fonctions}, step={2}, origin={Création}, topics={Fonction Exponentielle}, tags={Analyse, exponentielle}]
     Calculer la dérivée, étudier son signe et en déduire les variations de la fonction initiale.
     \begin{multicols}{3}
         \begin{enumerate}
@@ -46,7 +46,7 @@
     \end{multicols}
 \end{exercise}
 
-\begin{exercise}[subtitle={Décroissance radioactive}, step={2}, origin={Création}, topics={Fonction Expronentielle}, tags={Analyse, exponentielle}]
+\begin{exercise}[subtitle={Décroissance radioactive}, step={2}, origin={Création}, topics={Fonction Exponentielle}, tags={Analyse, exponentielle}]
     La loi de décroissance radioactive est décrite par la formule suivant où $t$ représente le temps en $s$, $N(t)$ la quantité d'éléments radioactifs et $\tau$ le temps de demi-vie en $s^{-1}$: $N(t) = N_0 \times e^{-\frac{t}{\tau}}$
 
     On fixe $\tau = 2$.
@@ -59,7 +59,7 @@
     \end{enumerate}
 \end{exercise}
 
-\begin{exercise}[subtitle={Charge d'une batterie}, step={2}, origin={Inspiration de l'annal Antille septembre 2019}, topics={Fonction Expronentielle}, tags={Analyse, exponentielle}]
+\begin{exercise}[subtitle={Charge d'une batterie}, step={2}, origin={Inspiration de l'annal Antille septembre 2019}, topics={Fonction Exponentielle}, tags={Analyse, exponentielle}]
     On souhaite charger une batterie de 22kWh. Le profil de charge est décrit par le fonction $c(t) = 22 - 22e^{-0.55t}$ où $t$ décrit le temps en heure.
     \begin{enumerate}
         \item Calculer et interpréter $c(0)$.
@@ -70,4 +70,74 @@
     \end{enumerate}
 \end{exercise}
 
+\begin{exercise}[subtitle={Calculs techniques de primitives}, step={3}, origin={}, topics={Fonction Exponentielle}, tags={Analyse, exponentielle}]
+    Pour chaque fonctions suivantes, identifier $u$, calculer $u'$ puis déterminer une primitive de la fonction.
+    \begin{multicols}{4}
+        \begin{enumerate}
+            \item $f(x) = 5e^{5x}$
+            \item $g(x) = -0.4e^{-0.4x+1}$
+
+            \item $h(x) = 6e^{2x-2}$
+            \item $i(x) = -10e^{5x}$
+
+            \item $j(x) = e^{5x}$
+            \item $k(x) = e^{-0.5x}$
+
+            \item $l(x) = xe^{x^2}$
+            \item $m(x) = xe^{2x^2 - 3}$
+        \end{enumerate}
+    \end{multicols}
+\end{exercise}
+
+\begin{exercise}[subtitle={Calculs d'intégrales}, step={3}, origin={}, topics={Fonction Exponentielle}, tags={Analyse, exponentielle}]
+    \begin{multicols}{2}
+        Soit $f(x) = e^{3x}$.
+        \begin{enumerate}
+            \item Déterminer une primitive de $f(x)$.
+            \item En déduire la valeur de $\ds \int_0^{10} f(x) \; dx$
+        \end{enumerate}
+        \columnbreak
+        Soit $g(x) = e^{-\frac{x}{2}}$.
+        \begin{enumerate}
+            \item Déterminer une primitive de $g(x)$.
+            \item En déduire la valeur de $\ds \int_0^{10} e^{-\frac{x}{2}} \; dx$
+        \end{enumerate}
+    \end{multicols}
+\end{exercise}
+
+\begin{exercise}[subtitle={Poteaux éléctriques}, step={3}, origin={Depuis 148p279 Indice}, topics={Fonction Exponentielle}, tags={Analyse, exponentielle}]
+    \begin{minipage}{0.45\textwidth}
+        La hauteur (en $m$) par rapport au sol d'une ligne éléctrique est modélisée par la fonction $f$ définie sur $\intFF{-50}{50}$ par
+        \[
+            f(x) =  11(e^{0.01x} + e^{-0.01x})
+        \]
+        \begin{enumerate}
+            \item À quelle hauteur du poteau électrique le câble est-il accroché? On arrondira le résultat au dixième de mètre.
+            \item Déterminer une primitive de $f(x)$.
+            \item Calculer la quantité $\ds \int_{-50}^{50} f(x) \;dx$ et représenter cette quantité sur le schéma.
+            \item En déduire l'air de la surface grisée.
+            \item Quelle est la hauteur moyenne de la ligne électrique?
+        \end{enumerate}
+    \end{minipage}
+    \begin{minipage}{0.55\textwidth}
+        \begin{tikzpicture}[baseline=(a.north), xscale=0.75, yscale=0.8]
+            \tkzInit[xmin=-60,xmax=60,xstep=10,
+            ymin=0,ymax=35,ystep=5]
+            \tkzGrid
+            \tkzAxeXY
+
+            \draw (0, 0) node [above right] {sol};
+            \draw[very thick] (-5, 0) -- node [midway, right] {Poteau} (-5, 5);
+            \draw[very thick] (5, 0) -- node [midway, left] {Poteau} (5, 5);
+
+            \tkzFct[domain=-50:50,color=blue,very thick]%
+            {11*(exp(0.01*\x) + exp(-0.01*\x))}
+            \draw (1.5, 4) node [above right] {Ligne éléctrique};
+
+            \tkzFct[domain=-50:50]{25}
+
+            \tkzDrawAreafg[between= b and a, color = gray!50,domain = -50:50]
+        \end{tikzpicture}
+    \end{minipage}
+\end{exercise}
 \collectexercisesstop{banque}

TST_sti2d/05_Fonction_Exponentielle/index.rst

@@ -2,7 +2,7 @@ Fonction Exponentielle
 ######################
 
 :date: 2020-12-07
-:modified: 2021-01-02
+:modified: 2021-01-09
 :authors: Benjamin Bertrand
 :tags: Analyse, Exponentielle
 :category: TST_sti2d
@@ -42,4 +42,14 @@ Cours sur le dérivation de fonctions composées avec exponentielle.
 Étape 3: intégration de l'exponentielle
 =======================================
 
+Exercices de calculs de primitives et d'intégrales avec l'exponentielle.
 
+.. image:: ./3E_primitive.pdf
+    :height: 200px
+    :alt: Exercices de calculs de primitives et d'intégrales avec l'exponentielle.
+
+Cours sur les formules de primitives de l'exponentielle
+
+.. image:: ./3B_primitive.pdf
+    :height: 200px
+    :alt: Cours sur la primitive de l'exponentielle