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Complementaire/DS/DS_21_01_07/DS_21_01_07.tex

@@ -0,0 +1,85 @@
+\documentclass[a5paper,10pt]{article}
+\usepackage{myXsim}
+\usepackage{tasks}
+
+% Title Page
+\title{DS 1 -- Loi binomiale}
+\tribe{Math complémentaires}
+\date{7 janvier 2021}
+\duree{30min}
+
+\begin{document}
+\maketitle
+
+Le barème est donné à titre indicatif, il pourra être modifié.
+
+\begin{exercise}[subtitle={Jeu}, points=5, tribe={complementaire}, type={Exercise}, origin={Une annale du bac ES}, tribe={1}]
+    Victor a téléchargé un jeu sur son téléphone. Le but de ce jeu est d'affronter des obstacles à l'aide de personnages qui peuvent être de trois types: \og Terre \fg, \og Air\fg{} ou \og Feu \fg. Le jeu a été programmer de telle sorte que chaque partie est indépendante des précédentes.
+
+    Au début de chaque partie, Victor obtient de façon aléatoire un personnage. La probabilité qu'un type \og Terre \fg soit obtenu est de 0.45.
+
+    On considère $3$ parties jouées par Victor, prises indépendamment les unes des autres. $X$ désigne la variable aléatoire qui compte le nombre de personnages de type \og Terre \fg{} obtenus au début de ses $3$ parties.
+
+    \begin{enumerate}
+        \item Justifier que cette situation peut être modélisée par une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
+        \item Tracer l'arbre de probabilité modélisant cette situation.
+        \item Calculer la probabilité que Victor ait obtenu exactement 2 personnages de type \og Terre \fg{} au début de ses $3$ parties.
+        \item Calculer la probabilité que Victor ait obtenu au moins une fois un personnage de type \og Terre \fg.
+        \item Combien de personnages de type \og Terre \fg{} peut-il espérer avoir en moyenne sur ses 3 parties?
+    \end{enumerate}
+\end{exercise}
+
+\begin{exercise}[subtitle={Technique}, points=5, tribe={complementaire}, type={Exercise}, tribe={1}]
+    Soit $X \sim \mathcal{B}(60; 0.3)$.
+    \begin{enumerate}
+        \item Calculer le quantité suivante en détaillant la formule utilisée: $P(X = 25)$.
+        \item Calculer les quantités suivantes
+            \[
+                P(X \leq 30) \qquad \qquad P(X > 50)
+            \]
+        \item Calculer l'espérance et l'écart-type de $X$.
+    \end{enumerate}
+\end{exercise}
+
+\pagebreak
+
+\setcounter{exercise}{0}
+
+\maketitle
+
+Le barème est donné à titre indicatif, il pourra être modifié.
+
+\begin{exercise}[subtitle={Technique}, points=5, tribe={complementaire}, type={Exercise}, tribe={2}]
+    Soit $X \sim \mathcal{B}(80; 0.7)$.
+    \begin{enumerate}
+        \item Calculer le quantité suivante en détaillant la formule utilisée: $P(X = 25)$.
+        \item Calculer les quantités suivantes
+            \[
+                P(X \leq 30) \qquad \qquad P(X > 60)
+            \]
+        \item Calculer l'espérance et l'écart-type de $X$.
+    \end{enumerate}
+\end{exercise}
+
+\begin{exercise}[subtitle={Jeu}, points=5, tribe={complementaire}, type={Exercise}, origin={Une annale du bac ES}, tribe={2}]
+    Victor a téléchargé un jeu sur son téléphone. Le but de ce jeu est d'affronter des obstacles à l'aide de personnages qui peuvent être de trois types: \og Terre \fg, \og Air\fg{} ou \og Feu \fg. Le jeu a été programmer de telle sorte que chaque partie est indépendante des précédentes.
+
+    Au début de chaque partie, Victor obtient de façon aléatoire un personnage. La probabilité qu'un type \og Terre \fg soit obtenu est de 0.35.
+
+    On considère $3$ parties jouées par Victor, prises indépendamment les unes des autres. $X$ désigne la variable aléatoire qui compte le nombre de personnages de type \og Terre \fg{} obtenus au début de ses $3$ parties.
+
+    \begin{enumerate}
+        \item Justifier que cette situation peut être modélisée par une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
+        \item Tracer l'arbre de probabilité modélisant cette situation.
+        \item Calculer la probabilité que Victor ait obtenu exactement 2 personnages de type \og Terre \fg{} au début de ses $3$ parties.
+        \item Calculer la probabilité que Victor ait obtenu au moins une fois un personnage de type \og Terre \fg.
+        \item Combien de personnages de type \og Terre \fg{} peut-il espérer avoir en moyenne sur ses 3 parties?
+    \end{enumerate}
+\end{exercise}
+
+\end{document}
+
+%%% Local Variables: 
+%%% mode: latex
+%%% TeX-master: "master"
+%%% End:

TST/07_Logarithme_et_equation_puissance/1E_equations.tex

@@ -2,8 +2,8 @@
 \usepackage{myXsim}
 
 \author{Benjamin Bertrand}
-\title{Logarithme et equation puissance - Cours}
+\title{Logarithme et équation puissance - Cours}
-\date{décembre 2020}
+\date{Janvier 2021}
 
 \DeclareExerciseCollection{banque}
 \xsimsetup{

TST/07_Logarithme_et_equation_puissance/2B_rel_fonctionnelles.tex

@@ -0,0 +1,39 @@
+\documentclass[a4paper,10pt]{article}
+\usepackage{myXsim}
+
+\author{Benjamin Bertrand}
+\title{Logarithme et équation puissance - Cours}
+\date{décembre 2020}
+
+\pagestyle{empty}
+
+\begin{document}
+
+\maketitle
+
+\setcounter{section}{1}
+\section{Fonction logarithme (suite)}
+
+\begin{propriete}{Relations fonctionnelles}
+Soient $a$ et $b$ deux nombres réels strictement positifs et $n$ un entier naturel.
+\begin{align*}
+    \ln(a \times b) &= \ln(a) + \ln(b)\\
+    \ln(a^n) &= n\ln(a) \\
+    \ln\left( \frac{a}{b} \right) &= \ln(a) - \ln(b) \\
+    \ln\left( \frac{1}{a} \right) &= - \ln(a) \\
+\end{align*}
+\end{propriete}
+
+\paragraph{Exemple}
+
+\subsection*{Exemples}
+Écrire avec un seul logarithme le nombre 
+\[
+A = 3\ln(8) - \ln(2) + 4\ln(5)
+\]
+\afaire{Utiliser les formules de la propriété pour simplifier le calcul}
+
+
+
+
+\end{document}

TST/07_Logarithme_et_equation_puissance/2E_puiss_10.tex

@@ -0,0 +1,21 @@
+\documentclass[a4paper,10pt]{article}
+\usepackage{myXsim}
+
+\author{Benjamin Bertrand}
+\title{Logarithme et équation puissance - Cours}
+\date{Janvier 2021}
+
+\DeclareExerciseCollection{banque}
+\xsimsetup{
+    step=2,
+}
+\setlength{\columnseprule}{0pt}
+
+\begin{document}
+
+\input{exercises.tex}
+\printcollection{banque}
+\vfill
+\printcollection{banque}
+
+\end{document}

TST/07_Logarithme_et_equation_puissance/exercises.tex

@@ -70,4 +70,80 @@
     \end{enumerate}
 \end{exercise}
 
+\begin{exercise}[subtitle={Résolution d'équations}, step={2}, origin={Création}, topics={Logarithme et equation puissance}, tags={logarithme, fonctions}]
+    Résoudre les équations suivantes
+    \begin{multicols}{4}
+       \begin{enumerate}
+           \item $10^{x} = 200$
+           \item $10^{x} = 2$
+
+           \item $10^{x} = -10$
+           \item $10^{2x} = 3$
+
+           \item $10^{-3x} = 10$
+           \item $10^{5x+1} = 10$
+
+           \item $2\times10^{x} = 6$
+           \item $-3\times10^{x} = -9$
+       \end{enumerate}
+    \end{multicols}
+\end{exercise}
+
+\begin{exercise}[subtitle={Résolution d'inéquations}, step={2}, origin={Création}, topics={Logarithme et equation puissance}, tags={logarithme, fonctions}]
+    Résoudre les inéquations suivantes
+    \begin{multicols}{4}
+       \begin{enumerate}
+           \item $10^{x} \leq 300$
+           \item $10^{x} > 45$
+
+           \item $10^{x} < 100$
+           \item $10^{3x} \geq 3$
+
+           \item $10^{-0.1x} \leq 10$
+           \item $10^{2x+1} \geq 5$
+
+           \item $3\times10^{x} > 6$
+           \item $-2\times10^{x} < -8$
+       \end{enumerate}
+    \end{multicols}
+\end{exercise}
+
+\begin{exercise}[subtitle={Relation fonctionnelle}, step={2}, origin={Création}, topics={Logarithme et equation puissance}, tags={logarithme, fonctions}]
+    \begin{enumerate}
+        \item Calculer les quantités suivantes arrondis au millième.
+            \begin{multicols}{3}
+                \begin{enumerate}
+                    \item $A = \ln(6)$
+                    \item $B = \ln(32)$
+                    \item $C = \ln(21)$
+                    \item $D = \ln(27)$
+
+                    \item $E = \ln(2) + \ln(3)$
+                    \item $F = \ln(3) + \ln(7)$
+                    \item $G = \ln(2) + \ln(16)$
+                    \item $H = \ln(63) - \ln(3)$
+
+                    \item $I = \ln(108) - \ln(4)$
+                    \item $J = 5\ln(2)$
+                    \item $K = 3\ln(3)$
+                    \item $L = - \ln(\frac{1}{6})$
+                \end{enumerate}
+            \end{multicols}
+        \item Conjecture des formules ci-dessous
+            \[
+                \log(a) + \log(b) = \log(...) \qquad \qquad 
+                \log(a) - \log(b) = \log(...) \qquad \qquad 
+                n\log(a) = \log(...)
+            \]
+
+            \begin{multicols}{2}
+            \item (*) Soient $x$ et $y$ strictement positif. Après avoir calculer séparément  $e^{\ln(x) + \ln(y)}$ et $e^{\ln(x\times y)}$, démontrer que $\ln(x \times y) = \ln(x) + \ln(y)$.
+            \item (*) Démontrer que pour tout $n \in \N$, $\ln(a^n) = n \ln(a)$.
+            \item (*) Démontrer que $\ln(\frac{a}{b}) = \ln(a) - \ln(b)$.
+            \item (*) En déduire une formule pour $\ln(\frac{1}{a})$
+
+            \end{multicols}
+    \end{enumerate}
+\end{exercise}
+
 \collectexercisesstop{banque}

TST/07_Logarithme_et_equation_puissance/index.rst

@@ -2,7 +2,7 @@ Logarithme et équation puissance
 ################################
 
 :date: 2020-12-17
-:modified: 2021-01-02
+:modified: 2021-01-04
 :authors: Benjamin Bertrand
 :tags: Logarithme, Fonctions
 :category: TST
@@ -31,6 +31,20 @@ Bilan: On pose l'inéquation du seuil et on introduit la fonction log décimal
 Étape 2: Premières équations/inéquations
 ========================================
 
+Les élèves commencent à utiliser le logarithme pour résoudre des équations/inéquations avec les puissances de 10. Les exercices 1 et 2 sont à faire en même temps et en colonne pour que la difficulté soit progressive.
+
+On motivera l'exercice 3 par la volonté d'apprendre à maitriser le log et résoudre des équations puissances de bases différentes de 10.
+
+.. image:: ./2E_puiss_10.pdf
+    :height: 200px
+    :alt: Exercices d'équations et inéquations avec des puissances de 10.
+
+Bilan de l'exercice 3 à recopier dans le cours sur les formules algébriques du log
+
+.. image:: ./2B_rel_fonctionnelles.pdf
+    :height: 200px
+    :alt: Cours sur les relations algébriques du logarithme.
+
 Étape 3: Manipulation algébrique du log
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