Feat: 2E sur la formalisation des suites TST

TST/04_Formalisation_des_suites/1B_formalisation.tex

@@ -3,7 +3,7 @@
 
 \author{Benjamin Bertrand}
 \title{Formalisation des suites - Cours}
-\date{août 2020
+\date{août 2020}
 
 \pagestyle{empty}
 
@@ -11,4 +11,111 @@
 
 \maketitle
 
+
+\begin{multicols}{2}
+    \begin{center}
+        \large{\textbf{Suite Arithmétique}}
+    \end{center}
+    \columnbreak
+    \begin{center}
+        \large{\textbf{Suite Géométrique}}
+    \end{center}
+\end{multicols}
+\subsection*{Définitions}
+\begin{multicols}{2}
+    Une suite arithmétique modélise les situations où l'on répète une \textbf{addition}.
+    \begin{center}
+        \begin{tikzpicture}[
+            roundnode/.style={circle, draw=highlightbg, fill=green!5, very thick, minimum size=3mm},
+            ]
+            %Nodes
+            \node[roundnode]        (premier)        {\makebox[0.5cm]{$u_0$}};
+            \node[roundnode]        (deuxieme)      [right=of premier] {\makebox[0.5cm]{$u_1$}};
+            \node[roundnode]        (troisieme)      [right=of deuxieme] {\makebox[0.5cm]{$u_2$}};
+            \node[roundnode]        (ad)      [right=of troisieme] {\makebox[0.5cm]{$u_n$}};
+            \node[roundnode]        (der)      [right=of ad] {\makebox[0.5cm]{$u_{n+1}$}};
+
+            %Lines
+            \path[->] (premier.east) edge [bend left] node [above]  {$+r$} (deuxieme.west);
+            \path[->] (deuxieme.east) edge [bend left] node [above]  {$+r$} (troisieme.west);
+            \path (troisieme.east) node [right] {....} (ad.west);
+            \path[->] (ad.east) edge [bend left] node [above]  {$+r$} (der.west);
+        \end{tikzpicture}
+    \end{center}
+    La quantité ajoutée $r$ est appelée la \textbf{raison}.
+
+    \columnbreak
+    Une suite géométrique modélise les situations où l'on répète une \textbf{multiplication}.
+    \begin{center}
+        \begin{tikzpicture}[
+            roundnode/.style={circle, draw=highlightbg, fill=green!5, very thick, minimum size=3mm},
+            ]
+            %Nodes
+            \node[roundnode]        (premier)        {\makebox[0.5cm]{$u_0$}};
+            \node[roundnode]        (deuxieme)      [right=of premier] {\makebox[0.5cm]{$u_1$}};
+            \node[roundnode]        (troisieme)      [right=of deuxieme] {\makebox[0.5cm]{$u_2$}};
+            \node[roundnode]        (ad)      [right=of troisieme] {\makebox[0.5cm]{$u_n$}};
+            \node[roundnode]        (der)      [right=of ad] {\makebox[0.5cm]{$u_{n+1}$}};
+
+            %Lines
+            \path[->] (premier.east) edge [bend left] node [above]  {$\times q$} (deuxieme.west);
+            \path[->] (deuxieme.east) edge [bend left] node [above]  {$\times q$} (troisieme.west);
+            \path (troisieme.east) node [right] {....} (ad.west);
+            \path[->] (ad.east) edge [bend left] node [above]  {$\times q$} (der.west);
+        \end{tikzpicture}
+    \end{center}
+    La quantité par laquelle on multiplie $q$ est appelée la \textbf{raison}.
+\end{multicols}
+
+\subsection*{Formules de récurrence}
+\begin{multicols}{2}
+    \[
+        u_{n+1} = u_{n} + r
+    \]
+    \columnbreak
+    \[
+        u_{n+1} = u_{n} \times q
+    \]
+\end{multicols}
+
+\subsection*{Formules explicite}
+\begin{multicols}{2}
+    \[
+        u_{n} = u_{0} + r\times n
+    \]
+    \columnbreak
+    \[
+        u_{n} = u_{0} \times q^n
+    \]
+\end{multicols}
+\subsection*{Déterminer la nature d'une suite}
+\begin{multicols}{2}
+    On calcule la \textbf{différence} entre deux termes consécutifs. Le résultat doit être toujours le même et ne pas dépendre de $n$.
+    \[
+        u_1 - u_0 = ...
+    \]
+    \[
+        u_2 - u_3 = ...
+    \]
+    Ou plus généralement,
+    \[
+        u_{n+1} - u_n = ...
+    \]
+
+
+    \columnbreak
+
+    On calcule la \textbf{quotient} entre deux termes consécutifs. Le résultat doit être toujours le même et ne pas dépendre de $n$.
+    \[
+        \frac{u_1}{u_0} = ...
+    \]
+    \[
+        \frac{u_2}{u_3} = ...
+    \]
+    Ou plus généralement,
+    \[
+        \frac{u_{n+1}}{u_n} = ...
+    \]
+\end{multicols}
+
 \end{document}

TST/04_Formalisation_des_suites/1E_formalisation.tex

@@ -10,9 +10,12 @@
     step=1,
 }
 
+\pagestyle{empty}
+
 \begin{document}
 
 \input{exercises.tex}
 \printcollection{banque}
+\printcollection{banque}
 
 \end{document}

TST/04_Formalisation_des_suites/2E_technique.tex

@@ -0,0 +1,25 @@
+\documentclass[a4paper,10pt]{article}
+\usepackage{myXsim}
+
+\author{Benjamin Bertrand}
+\title{Formalisation des suites - Cours}
+\date{octobre 2020}
+
+\DeclareExerciseCollection{banque}
+\xsimsetup{
+    step=2,
+}
+
+\pagestyle{empty}
+
+\begin{document}
+
+\input{exercises.tex}
+\printcollection{banque}
+\vfill
+\printcollection{banque}
+\vfill
+\printcollection{banque}
+\vfill
+
+\end{document}

TST/04_Formalisation_des_suites/exercises.tex

@@ -1,20 +1,35 @@
 \collectexercises{banque}
 \begin{exercise}[subtitle={Continuer une suite}, step={1}, origin={Création}, topics={Formalisation des suites}, tags={Suites, Analyse}]
-    Ci-dessous, vous trouverez 2 début de suites de nombre.
+    Ci-dessous, vous trouverez des débuts de suites de nombre.
+    \begin{multicols}{3}
+        \begin{enumerate}
+            \item $u_0 = 10$, $u_1 = 15$, $u_2 = 22.5$
+            \item $v_0 = 10$, $v_1 = 15$, $v_2 = 20$
+
+            \item $w_0 = 90$, $w_1 = 108$, $w_2 = 129,6$
+            \item $x_0 = 90$, $x_1 = 54$, $x_2 = 32.4$
+
+            \item $y_0 = 5$, $y_1 = 2$, $y_2 = -1$
+            \item $z_0 = 5$, $z_1 = 25$, $z_2 = 125$
+        \end{enumerate}
+    \end{multicols}
     \begin{enumerate}
-        \item Identifier la nature des suites $(u_n)$ et $(v_n)$
+        \item Identifier la nature et les paramètres des suites.
-        \item Calculer les 3 termes qui suivent, le 10e terme, le 100e et le 1000e terme.
+        \item Pour chaque suites, calculer les 3 termes qui suivent, le 10e terme, le 100e et le 1000e terme.
-        \item Donner une formule générale pour calculer le n-ième terme d'une suite arithmétique.
-        \item Donner une formule générale pour calculer le n-ième terme d'une suite géométrique.
     \end{enumerate}
 \end{exercise}
 
 \begin{exercise}[subtitle={Placement banquaire}, step={1}, origin={??}, topics={Formalisation des suites}, tags={Suites, Analyse}]
     On veut placer sur un compte en banque 1000\euro. Le banquier propose deux solutions.
 
-    \begin{enumerate}
+    \begin{itemize}
         \item Placement à rendement fixe: La valeur du compte en banque augmente de 5\% du placement initiale chaque année.
         \item Placement avec intérêt composés: la valeur du compte en banque augmente de 3\% chaque année.
+    \end{itemize}
+
+    \begin{enumerate}
+        \item Pour chaque placement, calculer le solde du compte après 1an, 2ans puis 3ans.
+        \item Quel placement est le plus intéressant?
     \end{enumerate}
 \end{exercise}
 
@@ -35,5 +50,39 @@
     \end{enumerate}
 \end{exercise}
 
+\begin{exercise}[subtitle={Évaluation de suites}, step={2}, origin={Création}, topics={Formalisation des suites}, tags={Suites, Analyse}]
+
+    Pour chacune des suites suivantes, calculer 3 premiers termes, identifier la nature et les paramètres de la suite, écrire la relation de récurrence puis exprimer $u_n$ en fonction de $n$.
+
+    \begin{multicols}{3}
+        \begin{enumerate}
+            \item $u_{n+1} = u_n + 6$ et $u_0 = 10$
+            \item $u_{n+1} = -0.5 + u_n$ et $u_0 = 15$
+            \item $u_{n+1} = 1.3u_n$ et $u_0 = 2$
+
+            \item $u_{n+1} = 0.95u_n$ et $u_0 = 10$
+            \item $u_{n} = 2n + 5$
+            \item $u_{n+1} = 10\times0.5^n$
+
+            \item $u_{n+1} = 2u_n-5$ et $u_0 = 10$
+            \item $u_{n} = 0.3\times 4^n$
+            \item $u_{n+1} = 2n^2 - n + 2$ 
+        \end{enumerate}
+    \end{multicols}
+\end{exercise}
+
+\begin{exercise}[subtitle={Retrouver ce qui manque}, step={2}, origin={Création}, topics={Formalisation des suites}, tags={Suites, Analyse}]
+    Pour chacune des suites suivantes retrouver la raison et le premier terme, écrire la relation de récurrence puis exprimer $u_n$ en fonction de $n$.
+    \begin{multicols}{2}
+        \begin{enumerate}
+            \item $(u_n)$ suite arithmétique telle que $u_2 = 10$ et $u_4=20$.
+            \item $(v_n)$ suite arithmétique telle que $u_{10} = 5$ et $u_{15} = 6$.
+
+            \item $(w_n)$ suite géométrique telle que $u_2 = 5$ et $u_3 = 6$.
+            \item $(x_n)$ suite géométrique telle que $u_3 = 10$ et $u_5 = 20$.
+        \end{enumerate}
+    \end{multicols}
+\end{exercise}
+
 
 \collectexercisesstop{banque}

TST/04_Formalisation_des_suites/index.rst

@@ -11,10 +11,18 @@ Formalisation des suites
 Étape 1: Trouver les formules explicites
 ========================================
 
+.. image:: ./1E_formalisation.pdf
+    :height: 200px
+    :alt: Calculs de termes d'une suite
+
 Les élèves choisissent une suite géométrique et une suite arithmétique. Ils doivent calculer u100 et u1000!
 
 Formalisation dans le cours des deux formules trouvées.
 
+.. image:: ./1B_formalisation.pdf
+    :height: 200px
+    :alt: Toutes les formules sur les suites
+
 Étape 2: Technique
 ==================
 
@@ -22,6 +30,11 @@ Calculer les termes d'une suite à partir de différentes formes.
 Passage explicite <-> recu.
 À partir de deux termes + nature ou de 3 termes retrouver u0 et la raison.
 
+.. image:: ./2E_technique.pdf
+    :height: 200px
+    :alt: Exercices techniques pour retrouver la raison et le premier terme.
+
+
 Étape 3: Moyenne arithmétique et géométrique
 ============================================
 
@@ -32,4 +45,7 @@ Questions d'intro puis cours puis exercices techniques.
 
 Type E3C
 
-
+Exercices à revoir mais sympa:
+- MATH2T-122A0-1125 (avec graph exponentiel)
+- MATH2T-122A0-1130 (avec formule explicite)
+- MATH2T-123A0-1126 (formule puis modélisation)