Complementaire/02_Inference_Baysienne/3B_formule_bayes.tex

@@ -1,115 +0,0 @@
-\documentclass[a4paper,10pt]{article}
-\usepackage{myXsim}
-\usepackage{qrcode}
-
-\author{Benjamin Bertrand}
-\title{Probabilités conditionnelles - Cours}
-\date{Mars 2021}
-
-\pagestyle{empty}
-
-\begin{document}
-
-\maketitle
-
-\setcounter{section}{2}
-\section{Formule de Bayes}
-
-\subsection*{Arbre de probabilité}
-Les probabilités conditionnelles peuvent se représenter sous forme d'arbre de probabilité.
-
-    Soit $A$ deux évènements de $E$ avec $P(A) \neq 0$ et $B$, $C$ et $D$ trois autres évènements de $E$. Alors on peut considérer l'arbre de probabilité ci-contre et on obtient les propriétés suivantes:
-
-\begin{minipage}{0.3\textwidth}
-    \begin{tikzpicture}[grow=right, sloped, xscale=2, yscale=1.5]
-        \node {.} 
-        child [red]  {node {$A$}
-            child {node {$B$} 
-                edge from parent
-                node[above] {$P_A(B)$}
-            }
-            child [black] {node {$C$}
-                edge from parent
-                node[above] {$P_A(C)$}
-            } 
-            child [black] {node {$D$}
-                edge from parent
-                node[above] {$P_A(D)$}
-            } 
-            edge from parent
-            node[above] {$P(A)$}
-        }
-        child[missing] {}
-        child[missing] {}
-        child { node {$\overline{A}$}
-            child {node {$B$} 
-                edge from parent
-                node[above] {$P_{\overline{A}}(B)$}
-            }
-            child [black] {node {$C$}
-                edge from parent
-                node[above] {$P_{\overline{A}}(C)$}
-            } 
-            child [black] {node {$D$}
-                edge from parent
-                node[above] {$P_{\overline{A}}(D)$}
-            } 
-            edge from parent
-            node[above] {$P(\overline{A})$}
-        }%
-        ;
-    \end{tikzpicture}
-\end{minipage}
-\hfill
-\begin{minipage}{0.6\textwidth}
-    \begin{itemize}
-        \item La somme des probabilités des branches issues d'un même noeud est égale à 1. 
-
-            On a alors
-            \[
-                P(A) + P(\overline{ A }) = 1 
-            \]
-            ou encore
-            \[
-                P_A(B) + P_A(C) + P_A(D) = 1
-            \]
-        \item La probabilité d'un chemin est égale au produit des probabilités des branches parcourues. 
-
-            On a alors (chemin rouge)
-            \[
-                P(A \cap B) = P(A) \times P_A(B)
-            \]
-            Ou encore 
-            \[
-                P_A(B) = \frac{P(A \cap B)}{ P(A) }
-            \]
-        \item La probabilité d'un évènement est égale à la somme des probabilités des chemins qui conduisent à cet évènement. 
-
-            C'est la loi des probabilités totale qui peut se traduire dans notre exemple par
-            \[
-                P(B) = P(A\cap B) + P(\overline{A} \cap B)
-            \]
-            ou
-            \[
-                P(C) = P(A\cap C) + P(\overline{A} \cap C)
-            \]
-    \end{itemize}
-\end{minipage}
-
-\begin{definition}[ Formule de Bayes ]
-    Soit $A$ et $B$ deux évènements avec $P(A)$ non nul, Alors
-    \[
-        P_A(B) = \frac{P_B(A) \times P(B)}{P(A)}
-    \]
-\end{definition}
-
-\paragraph{Démonstration} \afaire{Démontrer la formule de Bayes à partir de la formule $P_A(B) = \frac{P(A \cap B)}{ P(A) }$.}
-
-\paragraph{Exemple}
-En utilisant les données et les notations de le l'exemple précédent, calculer la probabilité d'être malade sachant que l'on est positif.
-
-\afaire{}
-
-
-
-\end{document}

Complementaire/02_Inference_Baysienne/index.rst

@@ -2,7 +2,7 @@ Inférence Bayésienne
 ####################
 
 :date: 2021-03-15
-:modified: 2021-03-29
+:modified: 2021-03-23
 :authors: Benjamin Bertrand
 :tags: Probabilité, Bayes
 :category: Complementaire
@@ -53,10 +53,6 @@ Utilisation des probabilités conditionnelles pour comprendre les tests ADN et l
 
 Bilan: Formule de Bayes
 
-.. image:: ./3B_formule_bayes.pdf
-    :height: 200px
-    :alt: Formule de Bayes
-
 Étape 4: D'où vient le biscuit?
 ===============================
 

TST/10_Probabilites_conditionnelles/4B_Bayes.tex

@@ -1,120 +0,0 @@
-\documentclass[a4paper,10pt]{article}
-\usepackage{myXsim}
-
-\author{Benjamin Bertrand}
-\title{Probabilités conditionnelles - Cours}
-\date{Mars 2021}
-
-\pagestyle{empty}
-
-\begin{document}
-
-\maketitle
-
-\setcounter{section}{2}
-\subsection*{Exemple de l'utilisation des formules - test anti-covid}
-
-On s'intéresse aux tests anti-covid et on considère les évènements suivants
-
-\[
-    A = \left\{ \mbox{Malade du covid} \right\}
-\]
-\[
-    B = \left\{ \mbox{Testé positif} \right\}
-\]
-
-On considère que l'on a 1\% de chance d'être malade du covid.
-
-Les tests anti-covid ne sont pas fiables à 100\% (aucun test ne peut l'être). Voici les données du fabriquant
-
-\begin{itemize}
-    \item \textbf{Sensibilité} - probabilité qu'une personne malade soit testée positive - vrai positifs
-        \[
-            70\%
-        \]
-    \item \textbf{Spécificité} - probabilité qu'une personne saine soit testée négative - vrai négatifs
-        \[
-            95\%
-        \]
-\end{itemize}
-
-\begin{center}
-    \textbf
-    On est testé positif, quelle est la probabilité que l'on soit malade?
-\end{center}
-
-Complétons l'arbre de probabilité de gauche avec les données.
-
-\begin{center}
-    \begin{tikzpicture}[sloped, grow=right]
-        \node {.} 
-        child {node {$A$}
-            child {node {$B$} 
-                edge from parent
-                node[above] {...}
-            }
-            child {node {$\overline{B}$}
-                edge from parent
-                node[above] {...}
-            } 
-            edge from parent
-            node[above] {...}
-        }
-        child[missing] {}
-        child { node {$\overline{A}$}
-            child {node {$B$}
-                edge from parent
-                node[above] {...}
-            }
-            child {node {$\overline{B}$}
-                edge from parent
-                node[above] {...}
-            } 
-            edge from parent
-            node[above] {...}
-        } ;
-    \end{tikzpicture}
-    \hspace{3cm}
-    \begin{tikzpicture}[sloped, grow=left]
-        \node {.} 
-        child {node {$B$}
-            child {node {$A$} 
-                edge from parent
-                node[above] {...}
-            }
-            child {node {$\overline{A}$}
-                edge from parent
-                node[above] {...}
-            } 
-            edge from parent
-            node[above] {...}
-        }
-        child[missing] {}
-        child { node {$\overline{B}$}
-            child {node {$A$}
-                edge from parent
-                node[above] {...}
-            }
-            child {node {$\overline{A}$}
-                edge from parent
-                node[above] {...}
-            } 
-            edge from parent
-            node[above] {...}
-        } ;
-    \end{tikzpicture}
-\end{center}
-
-Calculons la probabilité d'être testé positif.
-\[
-    P(\cdots) = 
-\]
-
-Calculons la probabilité d'être malade sachant que l'on est testé positif.
-\[
-    P_{\cdots}(\cdots) = 
-\]
-
-\afaire{compléter les pointillés et faire les calculs}
-
-\end{document}

TST/10_Probabilites_conditionnelles/4E_annales.tex

@@ -1,22 +0,0 @@
-\documentclass[a4paper,10pt]{article}
-\usepackage{myXsim}
-
-\author{Benjamin Bertrand}
-\title{Probabilités conditionnelles - Exercice}
-\date{Mars 2021}
-
-\DeclareExerciseCollection{banque}
-\xsimsetup{
-    step=4,
-}
-
-\pagestyle{empty}
-\geometry{left=10mm,right=10mm, top=5mm, bottom=5mm}
-
-\begin{document}
-\setcounter{exercises}{4}
-
-\input{exercises.tex}
-\printcollection{banque}
-
-\end{document}

TST/10_Probabilites_conditionnelles/exercises.tex

@@ -209,273 +209,4 @@
         \end{tikzpicture}
     \end{minipage}
 \end{exercise}
-
-\begin{exercise}[subtitle={Voyage}, step={4}, origin={STMG - Pondichéry mai 2018 - Ex2}, topics={Probabilités conditionnelles}, tags={probabilité, simulation}]
-    Une agence de voyage a effectué un sondage auprès de ses clients pendant la période estivale.
-
-    Le sondage est effectué sur l’ensemble des clients. Ce sondage montre que 38\,\% des clients voyagent en France, que 83\,\% des clients voyageant en France sont satisfaits et que 78\,\% des clients voyageant à l’étranger sont satisfaits.
-
-    \smallskip
-    \noindent
-    \begin{minipage}{0.6\linewidth}
-        On interroge un client au hasard. On considère les évènements suivants :
-
-        \begin{itemize}
-            \item[\textbullet] $F$ : \og le client a voyagé en France \fg;
-            \item[\textbullet] $E$ : \og le client a voyagé à l’étranger \fg ;
-            \item[\textbullet] $S$ : \og le client est satisfait du voyage \fg.
-        \end{itemize}
-        \medskip 
-
-        \begin{enumerate}
-            \item Recopier et compléter l’arbre de probabilité ci-contre.
-            \item Définir par une phrase l’évènement $E\cap S$ et calculer sa probabilité.
-            \item Montrer que $P(S)=0,799$ .
-        \end{enumerate}
-    \end{minipage}
-    \hfill
-    \begin{minipage}{0.3\linewidth}
-        \begin{tikzpicture}[sloped]
-                \node {.} 
-                child {node {$F$}
-                    child {node {$S$} 
-                        edge from parent
-                        node[above] {...}
-                    }
-                    child {node {$\overline{S}$}
-                        edge from parent
-                        node[above] {...}
-                    } 
-                    edge from parent
-                    node[above] {...}
-                }
-                child[missing] {}
-                child { node {$E$}
-                    child {node {$S$}
-                        edge from parent
-                        node[above] {...}
-                    }
-                    child {node {$\overline{S}$}
-                        edge from parent
-                        node[above] {...}
-                    } 
-                    edge from parent
-                    node[above] {...}
-                } ;
-            \end{tikzpicture}
-    \end{minipage}
-    \begin{enumerate}
-        \setcounter{enumi}{3}
-        \item Sachant que le client est satisfait, quelle est la probabilité qu’il ait voyagé à l’étranger ?
-                \emph{On arrondira pour cette question le résultat au millième.}
-    \end{enumerate}
-\end{exercise}
-
-\begin{exercise}[subtitle={Numéro INE}, step={4}, origin={STMG - Métropole Juin 2018 - Ex2}, topics={Probabilités conditionnelles}, tags={probabilité, simulation}]
-    Parmi les étudiants de l'enseignement supérieur de France métropolitaine et des DOM, 26\,\% sont
-    inscrits dans un établissement d'\^{I}le-de-France. Parmi ces étudiants inscrits dans un établissement
-    d'\^{I}le-de-France, 51\,\% le sont dans une université.
-
-    Parmi les étudiants inscrits en province ou dans les DOM, 62\,\% sont inscrits dans une université.
-
-    \emph{Source : Ministère de l'Enseignement Supérieur, de la Recherche et de l'Innovation.}
-
-    \noindent
-    \begin{minipage}{0.6\linewidth}
-        Dans la base recensant l'INE (Identifiant National Étudiant) de chaque étudiant, on choisit de façon
-        équiprobable un identifiant.
-
-        On considère les évènements suivants :
-
-        \setlength\parindent{9mm}
-        \begin{description}
-            \item[] $A $: \og l'INE est celui d'un étudiant inscrit dans un établissement d'\^{I}le-de-France \fg
-            \item[] $B$ : \og l'INE est celui d'un étudiant inscrit dans une université\fg.
-        \end{description}
-        \setlength\parindent{0mm}
-
-        \begin{enumerate}
-            \item Compléter l'arbre de probabilité représentant la situation de l'énoncé.
-            \item Traduire l'évènement $A \cap \overline{B}$ par une phrase et calculer sa probabilité.
-            \item Montrer que la probabilité de l'évènement $B$ est égale à \np{0,5914}.
-        \end{enumerate}
-    \end{minipage}
-    \hfill
-    \begin{minipage}{0.3\linewidth}
-        \begin{tikzpicture}[sloped]
-            \node {.} 
-            child {node {$A$}
-                child {node {$B$} 
-                    edge from parent
-                    node[above] {...}
-                }
-                child {node {$\overline{B}$}
-                    edge from parent
-                    node[above] {...}
-                } 
-                edge from parent
-                node[above] {...}
-            }
-            child[missing] {}
-            child { node {$\overline{A}$}
-                child {node {$B$}
-                    edge from parent
-                    node[above] {...}
-                }
-                child {node {$\overline{B}$}
-                    edge from parent
-                    node[above] {...}
-                } 
-                edge from parent
-                node[above] {...}
-            } ;
-        \end{tikzpicture}
-    \end{minipage}
-    \begin{enumerate}
-        \setcounter{enumi}{3}
-        \item Un responsable du ministère déclare : \og Parmi les étudiants inscrits à l'université, moins d'un sur quatre et plus d'un sur cinq sont inscrits dans un établissement d'\^{I}le-de-France\fg. Que peut-on penser de cette affirmation ?
-    \end{enumerate}
-\end{exercise}
-
-\begin{exercise}[subtitle={Hand Spinner}, step={4}, origin={STMG - Antilles Sept 2018 - Ex1}, topics={Probabilités conditionnelles}, tags={probabilité, simulation}]
-    L'entreprise \emph{Gadgets En Stock} vend des \emph{hand spinners}. Elle les achète auprès de trois fournisseurs étrangers Advanceplay, Betterspin et Coolgame. Advanceplay et Betterspin fournissent chacun 30\,\% des hand spinners de \emph{Gadgets En Stock}. Coolgame fournit les 40\,\% restant.
-
-    Les données de ces trois entreprises indiquent que :
-
-    \begin{itemize}
-        \item 1\,\% des \emph{hand spinners} provenant du fournisseur Advanceplay sont défectueux ;
-        \item 4\,\% des \emph{hand spinners} provenant du fournisseur Betterspin sont défectueux ;
-        \item 2\,\% des \emph{hand spinners} provenant du fournisseur Coolgame sont défectueux.
-    \end{itemize}
-
-    On choisit de façon équiprobable un hand spinner dans le stock de l'entreprise \emph{Gadgets En Stock} et
-    on définit les évènements suivants :
-
-    $A$ : \og le \emph{hand spinner} provient du fournisseur Advanceplay \fg
-    $B$ : \og le \emph{hand spinner} provient du fournisseur Betterspin \fg
-
-    $C$ : \og le \emph{hand spinner} provient du fournisseur Coolgame \fg
-    $D$ : \og le \emph{hand spinner} est défectueux\fg
-
-    \noindent
-    \begin{minipage}{0.6\linewidth}
-        \begin{enumerate}
-            \item Compléter l'arbre pondéré donné en \textbf{annexe, à rendre avec la copie}.
-            \item Calculer la probabilité que le \emph{hand spinner} choisi provienne du fournisseur Betterspin et soit défectueux.
-            \item Montrer que la probabilité que le \emph{hand spinner} choisi soit défectueux est égale à $0,023$.
-            \item On achète un \emph{hand spinner} chez \emph{Gadgets En Stock}. On constate que celui-ci est défectueux.
-
-                Quelle est la probabilité qu'il provienne du fournisseur Coolgame ?
-        \end{enumerate}
-    \end{minipage}
-    \begin{minipage}{0.3\linewidth}
-        \begin{tikzpicture}[sloped]
-            \node {.} 
-            child {node {$A$}
-                child {node {$D$} 
-                    edge from parent
-                    node[above] {...}
-                }
-                child {node {$\overline{D}$}
-                    edge from parent
-                    node[above] {...}
-                } 
-                edge from parent
-                node[above] {...}
-            }
-            child[missing] {}
-            child { node {$B$}
-                child {node {$D$}
-                    edge from parent
-                    node[above] {...}
-                }
-                child {node {$\overline{D}$}
-                    edge from parent
-                    node[above] {...}
-                } 
-                edge from parent
-                node[above] {...}
-            }
-            child[missing] {}
-            child { node {$C$}
-                child {node {$D$}
-                    edge from parent
-                    node[above] {...}
-                }
-                child {node {$\overline{D}$}
-                    edge from parent
-                    node[above] {...}
-                } 
-                edge from parent
-                node[above] {...}
-            } ;
-        \end{tikzpicture}
-    \end{minipage}
-\end{exercise}
-
-\begin{exercise}[subtitle={Sécurité}, step={5}, origin={STMG - Antilles Juin 2018 - Ex2}, topics={Probabilités conditionnelles}, tags={probabilité, simulation}]
-    Les batteries sont fabriquées dans deux ateliers, Arobase et Bestphone ; 55\,\% d'entre elles sont fabriquées dans l'atelier Arobase et le reste dans l'atelier Bestphone.
-
-    À l'issue de la fabrication, certaines batteries sont contrôlées.
-
-    Ces contrôles permettent d'affirmer que:
-
-    \setlength\parindent{9mm}
-    \begin{itemize}
-        \item[$\bullet~~$] parmi les batteries fabriquées dans l'atelier Arobase, 94\,\% ne présentent aucun défaut;
-        \item[$\bullet~~$] parmi les batteries fabriquées dans l'atelier Bestphone, 4\,\% présentent au moins un défaut.
-    \end{itemize}
-    \setlength\parindent{0mm}
-
-    Une batterie est prélevée de façon équiprobable dans le stock constitué des batteries produites par les deux ateliers.
-
-    On considère les évènements suivants :
-
-    \begin{center}
-        \hfill
-        $A$ : \og la batterie provient de l'atelier Arobase \fg\hfill
-        $B$ : \og la batterie provient de l'atelier Bestphone\fg \hfill
-        \\
-        $D$ : \og la batterie présente au moins un défaut\fg
-    \end{center}
-
-    \medskip
-
-    \begin{enumerate}
-        \item Compléter l'arbre de probabilité donné en annexe, à rendre avec la copie.
-        \item Calculer la probabilité que la batterie provienne de l'atelier Bestphone et présente au moins un défaut.
-        \item Montrer que la probabilité que la batterie présente au moins un défaut est égale à $0,051$.
-        \item Sachant que la batterie choisie présente au moins un défaut, peut-on affirmer qu'il y a plus de deux chances sur trois que cette batterie provienne de l'atelier Arobase ?
-
-            Justifier la réponse.
-    \end{enumerate}
-        \begin{tikzpicture}[sloped]
-            \node {.} 
-            child {node {$A$}
-                child {node {$B$} 
-                    edge from parent
-                    node[above] {...}
-                }
-                child {node {$\overline{B}$}
-                    edge from parent
-                    node[above] {...}
-                } 
-                edge from parent
-                node[above] {...}
-            }
-            child[missing] {}
-            child { node {$\overline{A}$}
-                child {node {$B$}
-                    edge from parent
-                    node[above] {...}
-                }
-                child {node {$\overline{B}$}
-                    edge from parent
-                    node[above] {...}
-                } 
-                edge from parent
-                node[above] {...}
-            } ;
-        \end{tikzpicture}
-\end{exercise}
 \collectexercisesstop{banque}

TST/10_Probabilites_conditionnelles/index.rst

@@ -2,7 +2,7 @@ Probabilités conditionnelles
 ############################
 
 :date: 2021-02-07
-:modified: 2021-03-29
+:modified: 2021-03-26
 :authors: Benjamin Bertrand
 :tags: Probabilité, Simulation
 :category: TST
@@ -55,19 +55,10 @@ Bilan: représentation d'une situation avec des arbres
     :height: 200px
     :alt: Construction d'un arbre de probabilités
 
+Bilan: multiplication des probabilités sur les branches pour obtenir la probabilité du chemin.
 
 Étape 4: Calculer des probabilités avec un arbre
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-Exercices de calculs de probabilités tirés d'annales STMG. Les exercices ont à chaque fois la même forme. Seul la dernière question est nouvelle et utilise la formule de Bayes. Cette étape s'étalera sur 2 séances et entre les deux, on donnera le bilan sur la formule de Bayes.
-
-.. image:: ./4E_annales.pdf
-    :height: 200px
-    :alt: Annales STMG sur les probabilités conditionnelles.
-
-Bilan: Utilisation de la formule des probabilités totales et de la formule de Bayes.
-
-.. image:: ./4B_Bayes.pdf
-    :height: 200px
-    :alt: Exemple de l'utilisation de la formule de Bayes
+Exercices de calculs de probabilités