Feat: Bilan sur la formule de Bayes

Complementaire/02_Inference_Baysienne/3B_formule_bayes.tex

@@ -0,0 +1,115 @@
+\documentclass[a4paper,10pt]{article}
+\usepackage{myXsim}
+\usepackage{qrcode}
+
+\author{Benjamin Bertrand}
+\title{Probabilités conditionnelles - Cours}
+\date{Mars 2021}
+
+\pagestyle{empty}
+
+\begin{document}
+
+\maketitle
+
+\setcounter{section}{2}
+\section{Formule de Bayes}
+
+\subsection*{Arbre de probabilité}
+Les probabilités conditionnelles peuvent se représenter sous forme d'arbre de probabilité.
+
+    Soit $A$ deux évènements de $E$ avec $P(A) \neq 0$ et $B$, $C$ et $D$ trois autres évènements de $E$. Alors on peut considérer l'arbre de probabilité ci-contre et on obtient les propriétés suivantes:
+
+\begin{minipage}{0.3\textwidth}
+    \begin{tikzpicture}[grow=right, sloped, xscale=2, yscale=1.5]
+        \node {.} 
+        child [red]  {node {$A$}
+            child {node {$B$} 
+                edge from parent
+                node[above] {$P_A(B)$}
+            }
+            child [black] {node {$C$}
+                edge from parent
+                node[above] {$P_A(C)$}
+            } 
+            child [black] {node {$D$}
+                edge from parent
+                node[above] {$P_A(D)$}
+            } 
+            edge from parent
+            node[above] {$P(A)$}
+        }
+        child[missing] {}
+        child[missing] {}
+        child { node {$\overline{A}$}
+            child {node {$B$} 
+                edge from parent
+                node[above] {$P_{\overline{A}}(B)$}
+            }
+            child [black] {node {$C$}
+                edge from parent
+                node[above] {$P_{\overline{A}}(C)$}
+            } 
+            child [black] {node {$D$}
+                edge from parent
+                node[above] {$P_{\overline{A}}(D)$}
+            } 
+            edge from parent
+            node[above] {$P(\overline{A})$}
+        }%
+        ;
+    \end{tikzpicture}
+\end{minipage}
+\hfill
+\begin{minipage}{0.6\textwidth}
+    \begin{itemize}
+        \item La somme des probabilités des branches issues d'un même noeud est égale à 1. 
+
+            On a alors
+            \[
+                P(A) + P(\overline{ A }) = 1 
+            \]
+            ou encore
+            \[
+                P_A(B) + P_A(C) + P_A(D) = 1
+            \]
+        \item La probabilité d'un chemin est égale au produit des probabilités des branches parcourues. 
+
+            On a alors (chemin rouge)
+            \[
+                P(A \cap B) = P(A) \times P_A(B)
+            \]
+            Ou encore 
+            \[
+                P_A(B) = \frac{P(A \cap B)}{ P(A) }
+            \]
+        \item La probabilité d'un évènement est égale à la somme des probabilités des chemins qui conduisent à cet évènement. 
+
+            C'est la loi des probabilités totale qui peut se traduire dans notre exemple par
+            \[
+                P(B) = P(A\cap B) + P(\overline{A} \cap B)
+            \]
+            ou
+            \[
+                P(C) = P(A\cap C) + P(\overline{A} \cap C)
+            \]
+    \end{itemize}
+\end{minipage}
+
+\begin{definition}[ Formule de Bayes ]
+    Soit $A$ et $B$ deux évènements avec $P(A)$ non nul, Alors
+    \[
+        P_A(B) = \frac{P_B(A) \times P(B)}{P(A)}
+    \]
+\end{definition}
+
+\paragraph{Démonstration} \afaire{Démontrer la formule de Bayes à partir de la formule $P_A(B) = \frac{P(A \cap B)}{ P(A) }$.}
+
+\paragraph{Exemple}
+En utilisant les données et les notations de le l'exemple précédent, calculer la probabilité d'être malade sachant que l'on est positif.
+
+\afaire{}
+
+
+
+\end{document}

Complementaire/02_Inference_Baysienne/index.rst

@@ -2,7 +2,7 @@ Inférence Bayésienne
 ####################
 
 :date: 2021-03-15
-:modified: 2021-03-23
+:modified: 2021-03-29
 :authors: Benjamin Bertrand
 :tags: Probabilité, Bayes
 :category: Complementaire
@@ -53,6 +53,10 @@ Utilisation des probabilités conditionnelles pour comprendre les tests ADN et l
 
 Bilan: Formule de Bayes
 
+.. image:: ./3B_formule_bayes.pdf
+    :height: 200px
+    :alt: Formule de Bayes
+
 Étape 4: D'où vient le biscuit?
 ===============================
 

TST/10_Probabilites_conditionnelles/4B_Bayes.tex

@@ -0,0 +1,120 @@
+\documentclass[a4paper,10pt]{article}
+\usepackage{myXsim}
+
+\author{Benjamin Bertrand}
+\title{Probabilités conditionnelles - Cours}
+\date{Mars 2021}
+
+\pagestyle{empty}
+
+\begin{document}
+
+\maketitle
+
+\setcounter{section}{2}
+\subsection*{Exemple de l'utilisation des formules - test anti-covid}
+
+On s'intéresse aux tests anti-covid et on considère les évènements suivants
+
+\[
+    A = \left\{ \mbox{Malade du covid} \right\}
+\]
+\[
+    B = \left\{ \mbox{Testé positif} \right\}
+\]
+
+On considère que l'on a 1\% de chance d'être malade du covid.
+
+Les tests anti-covid ne sont pas fiables à 100\% (aucun test ne peut l'être). Voici les données du fabriquant
+
+\begin{itemize}
+    \item \textbf{Sensibilité} - probabilité qu'une personne malade soit testée positive - vrai positifs
+        \[
+            70\%
+        \]
+    \item \textbf{Spécificité} - probabilité qu'une personne saine soit testée négative - vrai négatifs
+        \[
+            95\%
+        \]
+\end{itemize}
+
+\begin{center}
+    \textbf
+    On est testé positif, quelle est la probabilité que l'on soit malade?
+\end{center}
+
+Complétons l'arbre de probabilité de gauche avec les données.
+
+\begin{center}
+    \begin{tikzpicture}[sloped, grow=right]
+        \node {.} 
+        child {node {$A$}
+            child {node {$B$} 
+                edge from parent
+                node[above] {...}
+            }
+            child {node {$\overline{B}$}
+                edge from parent
+                node[above] {...}
+            } 
+            edge from parent
+            node[above] {...}
+        }
+        child[missing] {}
+        child { node {$\overline{A}$}
+            child {node {$B$}
+                edge from parent
+                node[above] {...}
+            }
+            child {node {$\overline{B}$}
+                edge from parent
+                node[above] {...}
+            } 
+            edge from parent
+            node[above] {...}
+        } ;
+    \end{tikzpicture}
+    \hspace{3cm}
+    \begin{tikzpicture}[sloped, grow=left]
+        \node {.} 
+        child {node {$B$}
+            child {node {$A$} 
+                edge from parent
+                node[above] {...}
+            }
+            child {node {$\overline{A}$}
+                edge from parent
+                node[above] {...}
+            } 
+            edge from parent
+            node[above] {...}
+        }
+        child[missing] {}
+        child { node {$\overline{B}$}
+            child {node {$A$}
+                edge from parent
+                node[above] {...}
+            }
+            child {node {$\overline{A}$}
+                edge from parent
+                node[above] {...}
+            } 
+            edge from parent
+            node[above] {...}
+        } ;
+    \end{tikzpicture}
+\end{center}
+
+Calculons la probabilité d'être testé positif.
+\[
+    P(\cdots) = 
+\]
+
+Calculons la probabilité d'être malade sachant que l'on est testé positif.
+\[
+    P_{\cdots}(\cdots) = 
+\]
+
+\afaire{compléter les pointillés et faire les calculs}
+
+\end{document}

TST/10_Probabilites_conditionnelles/4E_annales.tex

@@ -0,0 +1,22 @@
+\documentclass[a4paper,10pt]{article}
+\usepackage{myXsim}
+
+\author{Benjamin Bertrand}
+\title{Probabilités conditionnelles - Exercice}
+\date{Mars 2021}
+
+\DeclareExerciseCollection{banque}
+\xsimsetup{
+    step=4,
+}
+
+\pagestyle{empty}
+\geometry{left=10mm,right=10mm, top=5mm, bottom=5mm}
+
+\begin{document}
+\setcounter{exercises}{4}
+
+\input{exercises.tex}
+\printcollection{banque}
+
+\end{document}

TST/10_Probabilites_conditionnelles/exercises.tex

@@ -209,4 +209,273 @@
         \end{tikzpicture}
     \end{minipage}
 \end{exercise}
+
+\begin{exercise}[subtitle={Voyage}, step={4}, origin={STMG - Pondichéry mai 2018 - Ex2}, topics={Probabilités conditionnelles}, tags={probabilité, simulation}]
+    Une agence de voyage a effectué un sondage auprès de ses clients pendant la période estivale.
+
+    Le sondage est effectué sur l’ensemble des clients. Ce sondage montre que 38\,\% des clients voyagent en France, que 83\,\% des clients voyageant en France sont satisfaits et que 78\,\% des clients voyageant à l’étranger sont satisfaits.
+
+    \smallskip
+    \noindent
+    \begin{minipage}{0.6\linewidth}
+        On interroge un client au hasard. On considère les évènements suivants :
+
+        \begin{itemize}
+            \item[\textbullet] $F$ : \og le client a voyagé en France \fg;
+            \item[\textbullet] $E$ : \og le client a voyagé à l’étranger \fg ;
+            \item[\textbullet] $S$ : \og le client est satisfait du voyage \fg.
+        \end{itemize}
+        \medskip 
+
+        \begin{enumerate}
+            \item Recopier et compléter l’arbre de probabilité ci-contre.
+            \item Définir par une phrase l’évènement $E\cap S$ et calculer sa probabilité.
+            \item Montrer que $P(S)=0,799$ .
+        \end{enumerate}
+    \end{minipage}
+    \hfill
+    \begin{minipage}{0.3\linewidth}
+        \begin{tikzpicture}[sloped]
+                \node {.} 
+                child {node {$F$}
+                    child {node {$S$} 
+                        edge from parent
+                        node[above] {...}
+                    }
+                    child {node {$\overline{S}$}
+                        edge from parent
+                        node[above] {...}
+                    } 
+                    edge from parent
+                    node[above] {...}
+                }
+                child[missing] {}
+                child { node {$E$}
+                    child {node {$S$}
+                        edge from parent
+                        node[above] {...}
+                    }
+                    child {node {$\overline{S}$}
+                        edge from parent
+                        node[above] {...}
+                    } 
+                    edge from parent
+                    node[above] {...}
+                } ;
+            \end{tikzpicture}
+    \end{minipage}
+    \begin{enumerate}
+        \setcounter{enumi}{3}
+        \item Sachant que le client est satisfait, quelle est la probabilité qu’il ait voyagé à l’étranger ?
+                \emph{On arrondira pour cette question le résultat au millième.}
+    \end{enumerate}
+\end{exercise}
+
+\begin{exercise}[subtitle={Numéro INE}, step={4}, origin={STMG - Métropole Juin 2018 - Ex2}, topics={Probabilités conditionnelles}, tags={probabilité, simulation}]
+    Parmi les étudiants de l'enseignement supérieur de France métropolitaine et des DOM, 26\,\% sont
+    inscrits dans un établissement d'\^{I}le-de-France. Parmi ces étudiants inscrits dans un établissement
+    d'\^{I}le-de-France, 51\,\% le sont dans une université.
+
+    Parmi les étudiants inscrits en province ou dans les DOM, 62\,\% sont inscrits dans une université.
+
+    \emph{Source : Ministère de l'Enseignement Supérieur, de la Recherche et de l'Innovation.}
+
+    \noindent
+    \begin{minipage}{0.6\linewidth}
+        Dans la base recensant l'INE (Identifiant National Étudiant) de chaque étudiant, on choisit de façon
+        équiprobable un identifiant.
+
+        On considère les évènements suivants :
+
+        \setlength\parindent{9mm}
+        \begin{description}
+            \item[] $A $: \og l'INE est celui d'un étudiant inscrit dans un établissement d'\^{I}le-de-France \fg
+            \item[] $B$ : \og l'INE est celui d'un étudiant inscrit dans une université\fg.
+        \end{description}
+        \setlength\parindent{0mm}
+
+        \begin{enumerate}
+            \item Compléter l'arbre de probabilité représentant la situation de l'énoncé.
+            \item Traduire l'évènement $A \cap \overline{B}$ par une phrase et calculer sa probabilité.
+            \item Montrer que la probabilité de l'évènement $B$ est égale à \np{0,5914}.
+        \end{enumerate}
+    \end{minipage}
+    \hfill
+    \begin{minipage}{0.3\linewidth}
+        \begin{tikzpicture}[sloped]
+            \node {.} 
+            child {node {$A$}
+                child {node {$B$} 
+                    edge from parent
+                    node[above] {...}
+                }
+                child {node {$\overline{B}$}
+                    edge from parent
+                    node[above] {...}
+                } 
+                edge from parent
+                node[above] {...}
+            }
+            child[missing] {}
+            child { node {$\overline{A}$}
+                child {node {$B$}
+                    edge from parent
+                    node[above] {...}
+                }
+                child {node {$\overline{B}$}
+                    edge from parent
+                    node[above] {...}
+                } 
+                edge from parent
+                node[above] {...}
+            } ;
+        \end{tikzpicture}
+    \end{minipage}
+    \begin{enumerate}
+        \setcounter{enumi}{3}
+        \item Un responsable du ministère déclare : \og Parmi les étudiants inscrits à l'université, moins d'un sur quatre et plus d'un sur cinq sont inscrits dans un établissement d'\^{I}le-de-France\fg. Que peut-on penser de cette affirmation ?
+    \end{enumerate}
+\end{exercise}
+
+\begin{exercise}[subtitle={Hand Spinner}, step={4}, origin={STMG - Antilles Sept 2018 - Ex1}, topics={Probabilités conditionnelles}, tags={probabilité, simulation}]
+    L'entreprise \emph{Gadgets En Stock} vend des \emph{hand spinners}. Elle les achète auprès de trois fournisseurs étrangers Advanceplay, Betterspin et Coolgame. Advanceplay et Betterspin fournissent chacun 30\,\% des hand spinners de \emph{Gadgets En Stock}. Coolgame fournit les 40\,\% restant.
+
+    Les données de ces trois entreprises indiquent que :
+
+    \begin{itemize}
+        \item 1\,\% des \emph{hand spinners} provenant du fournisseur Advanceplay sont défectueux ;
+        \item 4\,\% des \emph{hand spinners} provenant du fournisseur Betterspin sont défectueux ;
+        \item 2\,\% des \emph{hand spinners} provenant du fournisseur Coolgame sont défectueux.
+    \end{itemize}
+
+    On choisit de façon équiprobable un hand spinner dans le stock de l'entreprise \emph{Gadgets En Stock} et
+    on définit les évènements suivants :
+
+    $A$ : \og le \emph{hand spinner} provient du fournisseur Advanceplay \fg
+    $B$ : \og le \emph{hand spinner} provient du fournisseur Betterspin \fg
+
+    $C$ : \og le \emph{hand spinner} provient du fournisseur Coolgame \fg
+    $D$ : \og le \emph{hand spinner} est défectueux\fg
+
+    \noindent
+    \begin{minipage}{0.6\linewidth}
+        \begin{enumerate}
+            \item Compléter l'arbre pondéré donné en \textbf{annexe, à rendre avec la copie}.
+            \item Calculer la probabilité que le \emph{hand spinner} choisi provienne du fournisseur Betterspin et soit défectueux.
+            \item Montrer que la probabilité que le \emph{hand spinner} choisi soit défectueux est égale à $0,023$.
+            \item On achète un \emph{hand spinner} chez \emph{Gadgets En Stock}. On constate que celui-ci est défectueux.
+
+                Quelle est la probabilité qu'il provienne du fournisseur Coolgame ?
+        \end{enumerate}
+    \end{minipage}
+    \begin{minipage}{0.3\linewidth}
+        \begin{tikzpicture}[sloped]
+            \node {.} 
+            child {node {$A$}
+                child {node {$D$} 
+                    edge from parent
+                    node[above] {...}
+                }
+                child {node {$\overline{D}$}
+                    edge from parent
+                    node[above] {...}
+                } 
+                edge from parent
+                node[above] {...}
+            }
+            child[missing] {}
+            child { node {$B$}
+                child {node {$D$}
+                    edge from parent
+                    node[above] {...}
+                }
+                child {node {$\overline{D}$}
+                    edge from parent
+                    node[above] {...}
+                } 
+                edge from parent
+                node[above] {...}
+            }
+            child[missing] {}
+            child { node {$C$}
+                child {node {$D$}
+                    edge from parent
+                    node[above] {...}
+                }
+                child {node {$\overline{D}$}
+                    edge from parent
+                    node[above] {...}
+                } 
+                edge from parent
+                node[above] {...}
+            } ;
+        \end{tikzpicture}
+    \end{minipage}
+\end{exercise}
+
+\begin{exercise}[subtitle={Sécurité}, step={5}, origin={STMG - Antilles Juin 2018 - Ex2}, topics={Probabilités conditionnelles}, tags={probabilité, simulation}]
+    Les batteries sont fabriquées dans deux ateliers, Arobase et Bestphone ; 55\,\% d'entre elles sont fabriquées dans l'atelier Arobase et le reste dans l'atelier Bestphone.
+
+    À l'issue de la fabrication, certaines batteries sont contrôlées.
+
+    Ces contrôles permettent d'affirmer que:
+
+    \setlength\parindent{9mm}
+    \begin{itemize}
+        \item[$\bullet~~$] parmi les batteries fabriquées dans l'atelier Arobase, 94\,\% ne présentent aucun défaut;
+        \item[$\bullet~~$] parmi les batteries fabriquées dans l'atelier Bestphone, 4\,\% présentent au moins un défaut.
+    \end{itemize}
+    \setlength\parindent{0mm}
+
+    Une batterie est prélevée de façon équiprobable dans le stock constitué des batteries produites par les deux ateliers.
+
+    On considère les évènements suivants :
+
+    \begin{center}
+        \hfill
+        $A$ : \og la batterie provient de l'atelier Arobase \fg\hfill
+        $B$ : \og la batterie provient de l'atelier Bestphone\fg \hfill
+        \\
+        $D$ : \og la batterie présente au moins un défaut\fg
+    \end{center}
+
+    \medskip
+
+    \begin{enumerate}
+        \item Compléter l'arbre de probabilité donné en annexe, à rendre avec la copie.
+        \item Calculer la probabilité que la batterie provienne de l'atelier Bestphone et présente au moins un défaut.
+        \item Montrer que la probabilité que la batterie présente au moins un défaut est égale à $0,051$.
+        \item Sachant que la batterie choisie présente au moins un défaut, peut-on affirmer qu'il y a plus de deux chances sur trois que cette batterie provienne de l'atelier Arobase ?
+
+            Justifier la réponse.
+    \end{enumerate}
+        \begin{tikzpicture}[sloped]
+            \node {.} 
+            child {node {$A$}
+                child {node {$B$} 
+                    edge from parent
+                    node[above] {...}
+                }
+                child {node {$\overline{B}$}
+                    edge from parent
+                    node[above] {...}
+                } 
+                edge from parent
+                node[above] {...}
+            }
+            child[missing] {}
+            child { node {$\overline{A}$}
+                child {node {$B$}
+                    edge from parent
+                    node[above] {...}
+                }
+                child {node {$\overline{B}$}
+                    edge from parent
+                    node[above] {...}
+                } 
+                edge from parent
+                node[above] {...}
+            } ;
+        \end{tikzpicture}
+\end{exercise}
 \collectexercisesstop{banque}

TST/10_Probabilites_conditionnelles/index.rst

@@ -2,7 +2,7 @@ Probabilités conditionnelles
 ############################
 
 :date: 2021-02-07
-:modified: 2021-03-26
+:modified: 2021-03-29
 :authors: Benjamin Bertrand
 :tags: Probabilité, Simulation
 :category: TST
@@ -55,10 +55,19 @@ Bilan: représentation d'une situation avec des arbres
     :height: 200px
     :alt: Construction d'un arbre de probabilités
 
-Bilan: multiplication des probabilités sur les branches pour obtenir la probabilité du chemin.
 
 Étape 4: Calculer des probabilités avec un arbre
 ================================================
 
-Exercices de calculs de probabilités
+Exercices de calculs de probabilités tirés d'annales STMG. Les exercices ont à chaque fois la même forme. Seul la dernière question est nouvelle et utilise la formule de Bayes. Cette étape s'étalera sur 2 séances et entre les deux, on donnera le bilan sur la formule de Bayes.
+
+.. image:: ./4E_annales.pdf
+    :height: 200px
+    :alt: Annales STMG sur les probabilités conditionnelles.
+
+Bilan: Utilisation de la formule des probabilités totales et de la formule de Bayes.
+
+.. image:: ./4B_Bayes.pdf
+    :height: 200px
+    :alt: Exemple de l'utilisation de la formule de Bayes