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\documentclass[a4paper,10pt]{article}
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\usepackage{myXsim}
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\author{Benjamin Bertrand}
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\title{Binomiale et echantillonnage - Cours}
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\date{Novembre 2020}
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\pagestyle{empty}
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\begin{document}
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\maketitle
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\setcounter{section}{3}
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\section{Coefficients binomiaux}
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\begin{bclogo}[barre=none, arrondi=0.1, logo=]{Définition}
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Soit $n$ et $k$ deux entiers naturels tels que $0 \leq k \leq n$.
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\textbf{Le coefficient binomial} $\coefBino{n}{k}$, se lit "$k$ parmi $n$", est le nombre de façon d'obtenir $k$ succès quand on fait $n$ répétitions ou encore le nombre de chemin avec $k$ succès dans un arbre avec $n$ étages.
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Par convention, $\coefBino{0}{0} = 1$.
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\end{bclogo}
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\paragraph{Exemples}%
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\afaire{Tracer l'arbre qui correspond à une loi binomiale $\mathcal{B}(3, 0.1)$. Lister le nombre succès possibles et le nombre de chemins qui y mène puis faire lien avec les coefficients binomiaux.}
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\begin{bclogo}[barre=none, arrondi=0.1, logo=]{Propriétés}
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Soit $n$ et $k$ deux entiers naturels tels que $0 \leq k \leq n$.
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\[
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\coefBino{n}{0} = \coefBino{n}{n} = 1 \qquad \qquad \coefBino{n-1}{k-1} + \coefBino{n-1}{k} = \coefBino{n}{k}
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\]
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Il est possible de calculer ces coefficients binomiaux grâce au triangle de Pascale.
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\begin{center}
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\begin{tabular}{|*{7}{c|}}
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\hline
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n \verb|\| k & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\
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\hline
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0 & & & & & & \\
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\hline
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1 & & & & & & \\
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\hline
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2 & & & & & & \\
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\hline
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3 & & & & & & \\
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\hline
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4 & & & & & & \\
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\hline
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5 & & & & & & \\
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\hline
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\end{tabular}
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\end{center}
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\afaire{Compléter le tableau en utilisant les règles de calculs.}
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\end{bclogo}
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\paragraph{Exemples}%
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Nombre de façon de d'avoir 4 succès en 5 répétitions $\coefBino{...}{...} = ...$
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\afaire{à compléter}
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\section{Formules des probabilités pour la loi binomiale}
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\begin{bclogo}[barre=none, arrondi=0.1, logo=]{Propriétés}
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Soit $X \sim \mathcal{B}(n, p)$ alors pour tout entier naturel $k$ inférieur à $n$
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\[
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P(X = k) = \coefBino{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}
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\]
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\end{bclogo}
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\paragraph{Exemples}%
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Soit $X \sim \mathcal{B}(5, 0.1)$ alors
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\[
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P(X = 3) =
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\]
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\afaire{à compléter}
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\end{document}
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