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\documentclass[a4paper,10pt]{article}
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\usepackage{myXsim}
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\author{Benjamin Bertrand}
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\title{Limites de fonctions - Cours}
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\date{Mai 2021}
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\pagestyle{empty}
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\begin{document}
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\maketitle
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\setcounter{section}{2}
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\section{Limites des fractions rationnelles en $+\infty$ et $-\infty$}
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\begin{propriete}[Limites des fractions rationnelles]
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\begin{minipage}{0.5\textwidth}
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Soit $n$ un nombre entier positif alors
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\[
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\lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{1}{x^n} = \lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{1}{x^n} = 0
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\]
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\end{minipage}
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\begin{minipage}{0.5\textwidth}
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\begin{tikzpicture}[yscale=.5, xscale=.8]
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\tkzInit[xmin=-4,xmax=4,xstep=1,
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ymin=-5,ymax=5,ystep=1]
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\tkzGrid
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\tkzAxeXY[up space=0.5,right space=.5]
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\tkzFct[domain = -5:-0.01, line width=1pt]{1/x}
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\tkzFct[domain = 0.01:5, line width=1pt]{1/x}
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\tkzText[draw,fill = brown!20](3,4){$f(x)=\frac{1}{x}$}
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\tkzFct[domain = -5:-0.01, line width=1pt, color=red]{1/(\x**2)}
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\tkzFct[domain = 0.01:5, line width=1pt, color=red]{1/(\x**2)}
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\tkzText[draw,fill = red!20](-3,4){$f(x)=\frac{1}{x^2}$}
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\tkzFct[domain = -5:-0.01, line width=1pt, color=green]{1/(\x**3)}
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\tkzFct[domain = 0.01:5, line width=1pt, color=green]{1/(\x**3)}
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\tkzText[draw,fill = green!20](-3,-4){$f(x)=\frac{1}{x^3}$}
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\end{tikzpicture}
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\end{minipage}
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\end{propriete}
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\paragraph{Exemples} Calculs de limites
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\begin{multicols}{2}
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$\ds \lim_{x\rightarrow +\infty} \dfrac{1}{x^2} = $
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$\ds \lim_{x\rightarrow -\infty} \dfrac{1}{x^5} = $
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\columnbreak
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$\ds \lim_{x\rightarrow +\infty} \dfrac{-2}{x^2} = $
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$\ds \lim_{x\rightarrow -\infty} -3\dfrac{1}{x^5} = $
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\end{multicols}
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\afaire{Calculer les limites}
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\begin{propriete}[Simplification des limites de fractions rationnelles]
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Pour calculer la limite en $+\infty$ et $-\infty$ d'une fraction rationnelles, on peut conserver uniquement les termes de plus haut degré au numérateur et au dénominateur puis simplifier.
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\end{propriete}
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\paragraph{Exemple} Calculs des limites
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\begin{multicols}{2}
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$\ds \lim_{x\rightarrow +\infty} \dfrac{3x^2 + 2x + 1}{x + 1} = $
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\columnbreak
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$\ds \lim_{x\rightarrow -\infty} \frac{-2x^3 + 10x^2 - 100}{x^4 + x^2} = $
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\end{multicols}
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\end{document}
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