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2.5 KiB
TeX
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%- set latex = sympy.latex
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%- set sqrt = sympy.sqrt
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%- set exp = sympy.functions.exp
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%- set integrate = sympy.integrate
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\begin{exercise}[subtitle={Bassin}]
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%- set a = round(random()*10, 1)
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%- set b = round(random()*10, 1)
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%- set x = sympy.symbols("x")
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%- set f = -(x**2 - a*x + b)*exp(-x) + b
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%- set F = integrate(f, x)
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Le tour d'un bassin au niveau du sol présente deux axes de symétrie : l’axe des abscisses et la droite d’équation $x=4$. Il est obtenu par symétrie de la courbe $\mathcal{C}_f$ sur $\intFF{0}{4}$ où $f$ est la fonction définie par
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\[
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f(x) = \Var{latex(f)}
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\]
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On admet que sur $\intFF{0}{4}$ la fonction $f$ est positive.
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\begin{enumerate}
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\item Sur un repère, tracer l'allure de la courbe $\mathcal{C}_f$, les axes de symétries puis compléter pour dessiner la forme du bassin.
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\item Montrer que la fonction $f$ admet comme primitive sur $\R$ la fonction $F$ définie par
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\[
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F(x) = \Var{latex(F) | replace("1.0", "")}
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\]
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\item Calculer la quantité $\ds \int_0^4 f(x) \; dx$, vous donnerez le résultat sous forme exacte. Interpréter le résultat et reportez cette quantité sur le graphique.
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\item On considère que l'échelle de votre graphique est de 1unité pour 15m. Calculer l'aire du bassin. Vous donnerez un résultat arrondi au $m^2$ près.
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\end{enumerate}
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\end{exercise}
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\begin{solution}
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\begin{enumerate}
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\item
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\begin{tikzpicture}[baseline=(a.north), xscale=1, yscale=0.5]
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\tkzInit[xmin=0,xmax=5,xstep=1,
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ymin=0,ymax=10,ystep=1]
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\tkzGrid
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\tkzAxeXY
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\tkzFct[domain=0:10,color=red,very thick]%
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{ \Var{f} };
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\end{tikzpicture}
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\item Il faut dériver $F(x)$ et vérifier que $F'(x) = f(x)$.
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%- set surf = integrate(f, (x, 0, 4))
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\item $\ds \int_0^4 f(x) \; dx = F(4) - F(0) = \Var{latex(surf)}$
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\item La quantité calculée à la question précédente se retrouve 4fois pour former le bassin. Il faut ensuite prendre en compte l'échelle, comme 1unité de longueur correspond à 15m, une unité d'air correspond à $15\times15 = 225m^2$. Ainsi l'aire du bassin est égale à
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\[
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(\Var{latex(surf)})\times 4 \times 15^2 = \Var{round(sympy.N(surf*4*15**2, 10), 0)}
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\]
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\end{enumerate}
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\end{solution}
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%%% Local Variables:
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%%% mode: latex
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%%% TeX-master: "master"
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%%% End:
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