2020-2021/Complementaire/DM/2105_DM1/tpl_bassin.tex

%- set latex = sympy.latex
%- set sqrt = sympy.sqrt
%- set exp = sympy.functions.exp
%- set integrate = sympy.integrate

\begin{exercise}[subtitle={Bassin}]
    %- set a = round(random()*10, 1)
    %- set b = round(random()*10, 1)
    %- set x = sympy.symbols("x")
    %- set f = -(x**2 - a*x + b)*exp(-x) + b
    %- set F = integrate(f, x)
    Le tour d'un bassin au niveau du sol présente deux axes de symétrie : l’axe des abscisses et la droite d’équation $x=4$. Il est obtenu par symétrie de la courbe $\mathcal{C}_f$ sur $\intFF{0}{4}$ où $f$ est la fonction définie par 

    \[
        f(x) = \Var{latex(f)}
    \]
    On admet que sur $\intFF{0}{4}$ la fonction $f$ est positive.
    \begin{enumerate}
        \item Sur un repère, tracer l'allure de la courbe $\mathcal{C}_f$, les axes de symétries puis compléter pour dessiner la forme du bassin.
        \item Montrer que la fonction $f$ admet comme primitive sur $\R$ la fonction $F$ définie par
            \[
                F(x) = \Var{latex(F) | replace("1.0", "")}
            \]
        \item Calculer la quantité $\ds \int_0^4 f(x) \; dx$, vous donnerez le résultat sous forme exacte. Interpréter le résultat et reportez cette quantité sur le graphique.
        \item On considère que l'échelle de votre graphique est de 1unité pour 15m. Calculer l'aire du bassin. Vous donnerez un résultat arrondi au $m^2$ près.
    \end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{solution}
    \begin{enumerate}
        \item 
            \begin{tikzpicture}[baseline=(a.north), xscale=1, yscale=0.5]
                \tkzInit[xmin=0,xmax=5,xstep=1,
                ymin=0,ymax=10,ystep=1]
                \tkzGrid
                \tkzAxeXY
                \tkzFct[domain=0:10,color=red,very thick]%
                { \Var{f} };
            \end{tikzpicture}
        \item Il faut dériver $F(x)$ et vérifier que $F'(x) = f(x)$.
            %- set surf = integrate(f, (x, 0, 4))
        \item $\ds \int_0^4 f(x) \; dx = F(4) - F(0) = \Var{latex(surf)}$
        \item La quantité calculée à la question précédente se retrouve 4fois pour former le bassin. Il faut ensuite prendre en compte l'échelle, comme 1unité de longueur correspond à 15m, une unité d'air correspond à $15\times15 = 225m^2$. Ainsi l'aire du bassin est égale à 
            \[
                (\Var{latex(surf)})\times 4 \times 15^2 = \Var{round(sympy.N(surf*4*15**2, 10), 0)}
            \]
    \end{enumerate}
\end{solution}

%%% Local Variables: 
%%% mode: latex
%%% TeX-master: "master"
%%% End: