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\documentclass[a4paper,10pt]{article}
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\usepackage{myXsim}
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\author{Benjamin Bertrand}
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\title{Logarithme et équation puissance - Cours}
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\date{décembre 2020}
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\pagestyle{empty}
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\begin{document}
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\maketitle
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\section{Question de seuil}
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Il est souvent pertinent de chercher la valeur de $x$ à partir de laquelle une fonction va dépasser ou passer en dessous une certaine valeur. On appelle cela un \textbf{seuil}.
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Par exemple, dans l'exercice \textit{économie d'échelle}, le coût unitaire est donné par la fonction $f(x) = 200\times10^{-0.1x}$ et l'on se demande à partir de quelle quantité produite, le coût unitaire passe en dessous de 10\euro. Cette question de seuil se traduit par l'inéquation suivante
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\[
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f(x) = 200\times 10^{-0.1x} \leq 10
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\]
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Pour résoudre cette inéquation, on peut envisager 3 méthodes
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\begin{itemize}
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\item \textbf{Tâtonnement}: en calculant successivement des valeurs de $f(x)$ et en essayant de s'approcher de 10. Cette méthode peut être rendu efficace en utilisant la calculatrice ou le tableur.
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\item \textbf{Algorithme}: en programmant un algorithme puis en faisant trouver le résultat par un ordinateur. On étudiera cette méthode plus tard.
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\item \textbf{Résolution exacte}: en résolvant de manière exacte l'inéquation. Pour cela, on a besoin d'une nouvelle fonction, le logarithme.
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\end{itemize}
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\section{Fonction logarithme}
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Il existe plusieurs fonction logarithme, nous en étudierons une seule: le logarithme décimal.
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\begin{definition}{Fonction logarithme décimal}
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Pour tout nombre réel $a > 0$, il existe un unique nombre $b$ tel que $10^b = a$.
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\medskip
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$b$ est appelé \textbf{logarithme décimal} de $a$ et est noté $\log(a)$. On peut alors noter
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\[
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e^b = a \qquad \equiv \qquad b = \log(a)
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\]
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\medskip
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La fonction \textbf{logarithme décimal}, notée $\log$, est la fonction qui à tout $x$ réel \textbf{strictement positif} associe $\log(x)$
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\end{definition}
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\begin{propriete}
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\begin{itemize}
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\item Soit $a$ un nombre réel alors $\log(10^a) = a$.
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\item Soit $a$ un nombre réel strictement positif alors $10^{\log(a)} = a$.
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\item Valeurs particulières
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\[
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\log(1) = 0 \qquad \log(10) = 1
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\]
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\end{itemize}
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\end{propriete}
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\paragraph{Exemple}
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Résolution de l'inéquation
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\[
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200\times 10^{-0.1x} \leq 10
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\]
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\afaire{résoudre cette inéquation}
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\end{document}
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