2020-2021/TST/07_Logarithme_et_equation_puissance/1B_logarithme.tex

\documentclass[a4paper,10pt]{article}
\usepackage{myXsim}

\author{Benjamin Bertrand}
\title{Logarithme et équation puissance - Cours}
\date{décembre 2020}

\pagestyle{empty}

\begin{document}

\maketitle

\section{Question de seuil}

Il est souvent pertinent de chercher la valeur de $x$ à partir de laquelle une fonction va dépasser ou passer en dessous une certaine valeur. On appelle cela un \textbf{seuil}.

Par exemple, dans l'exercice \textit{économie d'échelle}, le coût unitaire est donné par la fonction $f(x) = 200\times10^{-0.1x}$ et l'on se demande à partir de quelle quantité produite, le coût unitaire passe en dessous de 10\euro. Cette question de seuil se traduit par l'inéquation suivante
\[
    f(x) = 200\times 10^{-0.1x} \leq 10
\]

Pour résoudre cette inéquation, on peut envisager 3 méthodes
\begin{itemize}
    \item \textbf{Tâtonnement}: en calculant successivement des valeurs de $f(x)$ et en essayant de s'approcher de 10. Cette méthode peut être rendu efficace en utilisant la calculatrice ou le tableur.
    \item \textbf{Algorithme}: en programmant un algorithme puis en faisant trouver le résultat par un ordinateur. On étudiera cette méthode plus tard.
    \item \textbf{Résolution exacte}: en résolvant de manière exacte l'inéquation. Pour cela, on a besoin d'une nouvelle fonction, le logarithme.
\end{itemize}

\section{Fonction logarithme}

Il existe plusieurs fonction logarithme, nous en étudierons une seule: le logarithme décimal.

\begin{definition}{Fonction logarithme décimal}
    Pour tout nombre réel $a > 0$, il existe un unique nombre $b$ tel que $10^b = a$.
    \medskip

    $b$ est appelé \textbf{logarithme décimal} de $a$ et est noté $\log(a)$. On peut alors noter
    \[
        e^b = a \qquad \equiv \qquad b = \log(a)
    \]
    \medskip

    La fonction \textbf{logarithme décimal}, notée $\log$, est la fonction qui à tout $x$ réel \textbf{strictement positif} associe $\log(x)$
\end{definition}

\begin{propriete}
    \begin{itemize}
        \item Soit $a$ un nombre réel alors $\log(10^a) = a$.
        \item Soit $a$ un nombre réel strictement positif alors $10^{\log(a)} = a$.
        \item Valeurs particulières
            \[
                \log(1) = 0 \qquad \log(10) = 1
            \]
    \end{itemize}
\end{propriete}

\paragraph{Exemple}

Résolution de l'inéquation 
\[
    200\times 10^{-0.1x} \leq 10
\]
\afaire{résoudre cette inéquation}



\end{document}