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\documentclass[a4paper,10pt]{article}
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\usepackage{myXsim}
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\author{Benjamin Bertrand}
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\title{Logarithme Népérien - Cours}
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\date{mars 2021}
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\pagestyle{empty}
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\begin{document}
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\maketitle
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\section{Définitions}
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Il existe une infinité de logarithmes. En tronc commun vous avez étudié le logarithme décimal. En spécialité sti2d, nous étudions le logarithme \textbf{népérien}.
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\begin{definition}[ Logarithme népérien ]
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Pour tout nombre réel $a > 0$, il existe un unique nombre $b$ tel que $\e^b = a$.
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\medskip
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$b$ est appelé \textbf{logarithme népérien} de $a$ et est noté $\ln(a)$. On peut alors noter
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\[
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e^b = a \qquad \equiv \qquad b = \ln(a)
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\]
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\end{definition}
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\begin{propriete}
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\begin{itemize}
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\item Soit $a$ un nombre réel alors $\ln(\e^a) = a$.
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\item Soit $a$ un nombre réel strictement positif alors $\e^{\ln(a)} = a$.
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\item Valeurs particulières
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\[
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\ln(1) = 0 \qquad \ln(\e) = 1
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\]
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\end{itemize}
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\end{propriete}
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\paragraph{Exemples}%
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\begin{itemize}
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\item Résolution de l'équation $e^{2x - 1} = 2$
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\\[2cm]
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\item Résolution de l'équation $\ln(2x + 1) = -2$
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\\[2cm]
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\end{itemize}
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\afaire{Résoudre ces équations}
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\section{Relations fonctionnelles}
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\begin{propriete}{Relations fonctionnelles}
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Soient $a$ et $b$ deux nombres réels strictement positifs et $n$ un entier naturel.
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\begin{align*}
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\log(a \times b) &= \log(a) + \log(b)\\
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\log(a^n) &= n\log(a) \\
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\log\left( \frac{a}{b} \right) &= \log(a) - \log(b) \\
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\log\left( \frac{1}{a} \right) &= - \log(a) \\
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\end{align*}
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\end{propriete}
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\paragraph{Exemple}%
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Soit $f(x) = 10 + 2\ln\left(\frac{5}{4\times x}\right)$. Montrons que l'on peut écrire
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\[
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f(x) = 10 + 2\ln(1,25) - 2\ln(x)
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\]
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\afaire{Démontrer l'égalité}
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\end{document}
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