73 lines
2.1 KiB
TeX
73 lines
2.1 KiB
TeX
\documentclass[a4paper,12pt]{article}
|
|
\usepackage{myXsim}
|
|
|
|
\author{Benjamin Bertrand}
|
|
\title{Logarithme Népérien - Cours (suite)}
|
|
\date{mars 2021}
|
|
|
|
\begin{document}
|
|
|
|
\maketitle
|
|
|
|
\setcounter{section}{2}
|
|
\section{Dérivée de la fonction logarithme}
|
|
|
|
\begin{definition}[ Fonction logarithme népérien ]
|
|
La \textbf{fonction logarithme} notée $\ln$ est définie sur $\R^{+*}=\intOO{0}{+\infty}$ par $\ln :x \mapsto ln(x)$.
|
|
|
|
\begin{minipage}{0.5\textwidth}
|
|
\begin{itemize}
|
|
\item Elle est continue et dérivable sur $\R^{+*}$
|
|
\item Elle est négative sur $\intOO{0}{1}$
|
|
\item Elle est positive sur $\intOO{1}{+\infty}$
|
|
\item $\ln(1) = 0$ et $\ln(e) = 1$
|
|
\end{itemize}
|
|
\begin{tikzpicture}
|
|
\tkzTabInit[lgt=2,espcl=5]{$x$/1,$f(x)$/2}%
|
|
{$0$, $+\infty$}%
|
|
\tkzTabVar{D-/$-\infty$, +/$+\infty$}%
|
|
\end{tikzpicture}
|
|
\end{minipage}
|
|
\hfill
|
|
\begin{minipage}{0.4\textwidth}
|
|
\begin{tikzpicture}[yscale=0.8, xscale=1]
|
|
\tkzInit[xmin=0,xmax=6,xstep=1,
|
|
ymin=-3,ymax=3,ystep=1]
|
|
\tkzGrid
|
|
\tkzAxeXY[up space=0.5,right space=.5]
|
|
\tkzFct[domain = 0.01:6, line width=1pt]{log(x)}
|
|
\tkzText[draw,fill = brown!20](5,-2.5){$f(x)=\ln(x)$}
|
|
\end{tikzpicture}
|
|
\end{minipage}
|
|
|
|
\end{definition}
|
|
|
|
|
|
\begin{propriete}[(admise) Dérivée ]
|
|
La dérivée de la fonction logarithme est la fonction inverse
|
|
\[
|
|
\forall x \in \R \qquad \ln'(x) = \frac{1}{x}
|
|
\]
|
|
|
|
On en déduit, pour tout $x > 0$:
|
|
\begin{itemize}
|
|
\item $\ln'(x) = \frac{1}{x}$ et $\frac{1}{x} > 0$ alors la fonction logarithme est \dotfill
|
|
\end{itemize}
|
|
\end{propriete}
|
|
|
|
\paragraph{Exemple de calcul}
|
|
|
|
On souhaite étudier les variations de $f(x) = 5x + \ln(x)$
|
|
\begin{itemize}
|
|
\item Valeur de $x$ possibles - ensemble de définition.
|
|
\item Démontrons que la dérivée de $f(x)$ est égale à $f'(x) = \frac{5x + 1}{x}$
|
|
\item Étudions le signe de $f'(x)$ puis les variations de $f(x)$.
|
|
\end{itemize}
|
|
\afaire{}
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\end{document}
|