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\collectexercises{banque}
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\begin{exercise}[subtitle={Position - vitesse - accélération}, step={1}, origin={Création}, topics={Équation differentielle}, tags={analyse, exponentiel, dérivation}]
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\begin{enumerate}
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\item On observe un mobile en mouvement et on décrit sa position verticale en fonction du temps $t$ en secondes par la fonction $z(t) = -4,9t^2 + 12$.
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\begin{enumerate}
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\item Déterminer la fonction décrivant la vitesse du module $v(t) = z'(t)$ (ou en notation physique $\dfrac{dz}{dt}$).
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\item Déterminer la fonction décrivant l'accélération du module $a(t) = v'(t)$ (ou en notation physique $\dfrac{dv}{dt}$).
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\item À quelle hauteur le mobile a été lâché? Quel était alors sa vitesse? Son accélération?
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\end{enumerate}
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\item On étudie un mobile en chute libre. On le lance à une hauteur de 10m au dessus du sol avec une vitesse de 1m/s. Un bilan des forces permet de connaître son accélération au cours du mouvement: $a(t) = -10$.
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\begin{enumerate}
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\item On rappelle que l'accélération est la dérivée de la vitesse ($a(t) = v'(t)$). Déterminer la fonction vitesse du mobile.
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\item On rappelle que la vitesse est la dérivée de la position ($v(t) = z(t)$). Déterminer la fonction position du mobile.
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\item Est-ce que les deux fonctions déterminées aux questions précédentes sont conformes aux conditions initiales?
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\end{enumerate}
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\item On considère maintenant les frottements dûs à l'air. Ils exercent une force proportionnelle à la vitesse. Le bilan des forces mène à la fonction accélération suivante: $a(t) = v'(t) = kv(t)$. Pour simplifier on considèrera que $k = 1$ et on a donc $a(t) = v'(t) = v(t)$
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\begin{enumerate}
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\item Est-ce que $v(t)$ peut-être une fonction constante?
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\item Est-ce que $v(t)$ peut-être une fonction polynôme?
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\item Est-ce que $v(t)$ peut-être une fonction exponentielle?
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\end{enumerate}
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\end{enumerate}
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\end{exercise}
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\begin{exercise}[subtitle={Vérifications}, step={2}, origin={Création}, topics={Équation differentielle}, tags={analyse, exponentiel, dérivation}]
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Vérifier si les fonctions sont oui ou non solution des équations différentielles.
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\end{exercise}
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\collectexercisesstop{banque}
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