2020-2021/TST_sti2d/05_Fonction_Exponentielle/exercises.tex

74 lines
3.6 KiB
TeX

\collectexercises{banque}
\begin{exercise}[subtitle={Dérivation}, step={1}, origin={Création}, topics={Fonction Expronentielle}, tags={Analyse, exponentielle}]
\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}
\item $f(x) = e^x - 1$
\item $f(x) = -2e^{x} + x$
\item $f(x) = (x+1)e^{x}$
\item $f(x) = \dfrac{e^x}{2}$
\item $f(x) = -2xe^x$
\item $f(x) = (x^2 - x )e^x$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{exercise}
\begin{exercise}[subtitle={Étude de signe}, step={1}, origin={Création}, topics={Fonction Expronentielle}, tags={Analyse, exponentielle}]
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $f(x) = e^x + 1$ sur $I=\R$
\item $g(x) = (x-2)e^x$ sur $I = \R$
\item $h(x) = (2x^2+x-3)e^x$ sur $I = \R$
\item $i(x) = \dfrac{(2x+1)e^{x}}{4-x}$ sur $I = \intOO{-\infty}{4} \cup \intOO{4}{+\infty}$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{exercise}
\begin{exercise}[subtitle={Étude de fonctions}, step={1}, origin={Création}, topics={Fonction Expronentielle}, tags={Analyse, exponentielle}]
Pour chacune des fonctions suivantes,trouver le domaine de définition, calculer la dérivée, étudier son signe et en déduire les variations de la fonction initiale.
\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}
\item $g(x) = e^x + 3$
\item $f(x) = (3x-1)e^{x}$
\item $h(x) = (x^2+3x-1)e^{x}$
%\item $g(x) = \dfrac{2xe^{x}}{x-1}$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{exercise}
\begin{exercise}[subtitle={Étude de fonctions}, step={2}, origin={Création}, topics={Fonction Expronentielle}, tags={Analyse, exponentielle}]
Calculer la dérivée, étudier son signe et en déduire les variations de la fonction initiale.
\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}
\item $f(x) = e^{-3x}$ , $I = \R$
\item $g(x) = 100e^{-0.5x + 1}$ , $I=\R$
\item $h(x) = e^{-x^2}$ , $I = \R$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{exercise}
\begin{exercise}[subtitle={Décroissance radioactive}, step={2}, origin={Création}, topics={Fonction Expronentielle}, tags={Analyse, exponentielle}]
La loi de décroissance radioactive est décrite par la formule suivant où $t$ représente le temps en $s$, $N(t)$ la quantité d'éléments radioactifs et $\tau$ le temps de demi-vie en $s^{-1}$: $N(t) = N_0 \times e^{-\frac{t}{\tau}}$
On fixe $\tau = 2$.
\begin{enumerate}
\item Quel est la valeur de $N_0$ si $N$ vaut 15 après 90s?
\item Calculer $N'(t)$ la dérivée de $N(t)$.
\item Étudier le signe de $N'(t)$ et en déduire les variations de $N(t)$.
\item Tracer l'allure de la courbe représentative de $N(t)$.
\item Que peut-on dire de la quantité d'éléments radioactifs après un long moment?
\end{enumerate}
\end{exercise}
\begin{exercise}[subtitle={Charge d'une batterie}, step={2}, origin={Inspiration de l'annal Antille septembre 2019}, topics={Fonction Expronentielle}, tags={Analyse, exponentielle}]
On souhaite charger une batterie de 22kWh. Le profil de charge est décrit par le fonction $c(t) = 22 - 22e^{-0.55t}$$t$ décrit le temps en heure.
\begin{enumerate}
\item Calculer et interpréter $c(0)$.
\item Calculer $C'(t)$ la dérivée de $C(t)$.
\item Étudier le signe de $C'(t)$ et en déduire les variations de $C(t)$.
\item Tracer l'allure de la représentation graphique de $C(t)$.
\item Est-il possible de charger entièrement la batterie?
\end{enumerate}
\end{exercise}
\collectexercisesstop{banque}