2020-2021/TST_sti2d/05_Fonction_Exponentielle/exercises.tex

\collectexercises{banque}
\begin{exercise}[subtitle={Dérivation}, step={1}, origin={Création}, topics={Fonction Expronentielle}, tags={Analyse, exponentielle}]
    \begin{multicols}{3}
        \begin{enumerate}
            \item $f(x) = e^x - 1$
            \item $f(x) = -2e^{x} + x$
            \item $f(x) = (x+1)e^{x}$
            \item $f(x) = \dfrac{e^x}{2}$
            \item $f(x) = -2xe^x$
            \item $f(x) = (x^2 - x )e^x$
        \end{enumerate}
    \end{multicols}
\end{exercise}

\begin{exercise}[subtitle={Étude de signe}, step={1}, origin={Création}, topics={Fonction Expronentielle}, tags={Analyse, exponentielle}]
    \begin{multicols}{2}
        \begin{enumerate}
            \item $f(x) = e^x + 1$ sur $I=\R$
            \item $g(x) = (x-2)e^x$ sur $I = \R$
            \item $h(x) = (2x^2+x-3)e^x$ sur $I = \R$
            \item $i(x) = \dfrac{(2x+1)e^{x}}{4-x}$ sur $I = \intOO{-\infty}{4} \cup \intOO{4}{+\infty}$
        \end{enumerate}
    \end{multicols}
\end{exercise}

\begin{exercise}[subtitle={Étude de fonctions}, step={1}, origin={Création}, topics={Fonction Expronentielle}, tags={Analyse, exponentielle}]
    Pour chacune des fonctions suivantes,trouver le domaine de définition, calculer la dérivée, étudier son signe et en déduire les variations de la fonction initiale.
    \begin{multicols}{3}
        \begin{enumerate}
            \item $g(x) = e^x + 3$
            \item $f(x) = (3x-1)e^{x}$
            \item $h(x) = (x^2+3x-1)e^{x}$
            %\item $g(x) = \dfrac{2xe^{x}}{x-1}$
        \end{enumerate}
    \end{multicols}
\end{exercise}

\begin{exercise}[subtitle={Étude de fonctions}, step={2}, origin={Création}, topics={Fonction Expronentielle}, tags={Analyse, exponentielle}]
    Calculer la dérivée, étudier son signe et en déduire les variations de la fonction initiale.
    \begin{multicols}{3}
        \begin{enumerate}
            \item $f(x) = e^{-3x}$ , $I = \R$
            \item $g(x) = 100e^{-0.5x + 1}$ , $I=\R$
            \item $h(x) = e^{-x^2}$ , $I = \R$
        \end{enumerate}
    \end{multicols}
\end{exercise}

\begin{exercise}[subtitle={Décroissance radioactive}, step={2}, origin={Création}, topics={Fonction Expronentielle}, tags={Analyse, exponentielle}]
    La loi de décroissance radioactive est décrite par la formule suivant où $t$ représente le temps en $s$, $N(t)$ la quantité d'éléments radioactifs et $\tau$ le temps de demi-vie en $s^{-1}$: $N(t) = N_0 \times e^{-\frac{t}{\tau}}$

    On fixe $\tau = 2$.
    \begin{enumerate}
        \item Quel est la valeur de $N_0$ si $N$ vaut 15 après 90s?
        \item Calculer $N'(t)$ la dérivée de $N(t)$.
        \item Étudier le signe de $N'(t)$ et en déduire les variations de $N(t)$.
        \item Tracer l'allure de la courbe représentative de $N(t)$.
        \item Que peut-on dire de la quantité d'éléments radioactifs après un long moment?
    \end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}[subtitle={Charge d'une batterie}, step={2}, origin={Inspiration de l'annal Antille septembre 2019}, topics={Fonction Expronentielle}, tags={Analyse, exponentielle}]
    On souhaite charger une batterie de 22kWh. Le profil de charge est décrit par le fonction $c(t) = 22 - 22e^{-0.55t}$ où $t$ décrit le temps en heure.
    \begin{enumerate}
        \item Calculer et interpréter $c(0)$.
        \item Calculer $C'(t)$ la dérivée de $C(t)$.
        \item Étudier le signe de $C'(t)$ et en déduire les variations de $C(t)$.
        \item Tracer l'allure de la représentation graphique de $C(t)$.
        \item Est-il possible de charger entièrement la batterie?
    \end{enumerate}
\end{exercise}

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