Bertrand Benjamin
a50b4529a3
All checks were successful
continuous-integration/drone/push Build is passing
213 lines
9.2 KiB
TeX
213 lines
9.2 KiB
TeX
\collectexercises{banque}
|
|
\begin{exercise}[subtitle={Vrai-Faux}, step={1}, origin={Création}, topics={Probabilités conditionnelles}, tags={probabilité, simulation}]
|
|
On interroge un échantillon de \np{1500} jeunes ayant entre 14 et 18ans pour savoir s'ils fument et si au moins l'un de leurs parents fume.
|
|
|
|
Les résultats de l'enquête sont consignés dans le tableau suivant.
|
|
\begin{center}
|
|
\begin{tabular}{|>{\columncolor{highlightbg}}c|*{2}{p{4cm}|}|p{4cm}|}
|
|
\hline
|
|
\rowcolor{highlightbg}
|
|
& Fumeur & Non fumeur & Total\\
|
|
\hline
|
|
Au moins un parent fumeur & 300 & 300 & 600\\
|
|
\hline
|
|
Aucun parent fumeur & 200 & 700 & 900\\
|
|
\hline
|
|
Total &500 & \np{1000} & \np{1500}\\
|
|
\hline
|
|
\end{tabular}
|
|
\end{center}
|
|
|
|
On choisit au hasard un jeune parmi ceux interrogés. On note $A = \left\{ \mbox{Fumeur} \right\}$ et $B = \left\{ \mbox{Au moins un parent fumeur} \right\}$.
|
|
|
|
Pour chacune des phrases suivantes, justifier si elles sont vraies ou fausses.
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\item La probabilité qu'il soit fumeur est de plus de 30\%.
|
|
\item La probabilité qu'il soit fumeur et qu'aucun parent ne soit fumeur est de moins de 0.1.
|
|
\item La probabilité qu'au moins un de ses parents soit fumeur et qu'il ne le soit pas est de $\frac{1}{5}$.
|
|
\item La probabilité qu'il soit fumeur ou qu'un de ses parents le soit est de plus de 70\%.
|
|
\item Sachant qu'il est fumeur, la probabilité que ses parents le soit aussi est de 0.6.
|
|
\item Sachant qu'aucun de ses parents ne soit fumeur, la probabilité qu'il ne soit pas aussi est de 50\%.
|
|
\end{enumerate}
|
|
\end{exercise}
|
|
|
|
\begin{exercise}[subtitle={Moyen de paiement}, step={2}, origin={Création}, topics={Probabilités conditionnelles}, tags={probabilité, simulation}]
|
|
Le gérant d'une grande enseigne de distribution a commandé une étude statistique des moyens de paiement de ses clients. Les résultats ont été représenté dans l'arbre ci-dessous.
|
|
|
|
\bigskip
|
|
\begin{tikzpicture}[sloped]
|
|
\node {.}
|
|
child {node {Moins de 20\euro}
|
|
child {node {Espèce}
|
|
edge from parent
|
|
node[above] {0.6}
|
|
}
|
|
child[missing] {}
|
|
child {node {Paiement sans contact}
|
|
edge from parent
|
|
node[above] {0.3}
|
|
}
|
|
child[missing] {}
|
|
child {node {Carte bleu}
|
|
edge from parent
|
|
node[above] {0.1}
|
|
}
|
|
edge from parent
|
|
node[above] {0.4}
|
|
}
|
|
child[missing] {}
|
|
child[missing] {}
|
|
child[missing] {}
|
|
child[missing] {}
|
|
child[missing] {}
|
|
child { node {Plus de 20\euro}
|
|
child {node {Espèce}
|
|
edge from parent
|
|
node[above] {0.4}
|
|
}
|
|
child[missing] {}
|
|
child {node {Paiement sans contact}
|
|
edge from parent
|
|
node[above] {0.1}
|
|
}
|
|
child[missing] {}
|
|
child {node {Carte bleu}
|
|
edge from parent
|
|
node[above] {0.5}
|
|
}
|
|
edge from parent
|
|
node[above] {0.6}
|
|
} ;
|
|
\end{tikzpicture}
|
|
\bigskip
|
|
|
|
On sélectionne un client de cette enseigne au hasard. On note
|
|
\[
|
|
M = \left\{ \mbox{ Moins de 20\euro } \right\} \qquad E = \left\{ \mbox{ Espèce }\right\} \qquad B = \left\{ \mbox{ carte bleu }\right\}
|
|
\]
|
|
Pour chacune des phrases suivantes, justifier si elles sont vraies ou fausses.
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\item La probabilité qu'un client achète pour plus de 20\euro est de 0.6.
|
|
\item Si l'achat est de moins de 20\euro, il y a une probabilité de 10\% qu'il soit fait en avec une carte bleu.
|
|
\item Parmi les achats de plus de 20\euro, la probabilité qu'il ait été fait avec de l'espèce est de 0.4.
|
|
\item La probabilité qu'un achat soit de plus de 20\euro et payé avec une carte bleu est de 90\%.
|
|
\item La probabilité qu'un achat soit de moins de 20\euro et payé avec une carte bleu est de 0.04.
|
|
\item La probabilité qu'un achat soit de moins de 20\euro et payé avec de l'espère est de 1.
|
|
\item La probabilité ait été payé avec de l'espèce est de 72\%.
|
|
\end{enumerate}
|
|
\end{exercise}
|
|
|
|
\begin{exercise}[subtitle={Neuf ou occasion?}, step={3}, origin={Création}, topics={Probabilités conditionnelles}, tags={probabilité, simulation}]
|
|
Un concessionnaire automobile vend chaque année 65\% de véhicules neufs. Une étude montre que parmi les acheteurs de véhicules neufs, 40\% adhèrent à un contrat d'assurance. Par ailleurs, 7\% des acheteurs qui ont acquis un véhicule d'occasion, ont adhéré à un contrat de maintenance.
|
|
|
|
\begin{minipage}{0.6\textwidth}
|
|
On choisit un client au hasard parmi les clients de ce concessionnaire et on considère les évènements suivants:
|
|
\begin{itemize}
|
|
\item $N = \left\{ \mbox{ Le client achète un véhicule neuf } \right\}$
|
|
\item $M = \left\{ \mbox{ Le client souscrit à un contrat de maintenance } \right\}$
|
|
\end{itemize}
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\item Traduire les données de l'énoncé en terme de probabilité en utilisant les évènements $N$ et $M$.
|
|
\item À partir des données de l'énoncé, compléter l'arbre de probabilité traduisant la situation.
|
|
|
|
\end{enumerate}
|
|
|
|
\end{minipage}
|
|
\hfill
|
|
\begin{minipage}{0.3\textwidth}
|
|
\begin{tikzpicture}[sloped]
|
|
\node {.}
|
|
child {node {$N$}
|
|
child {node {$M$}
|
|
edge from parent
|
|
node[above] {...}
|
|
}
|
|
child {node {$\overline{M}$}
|
|
edge from parent
|
|
node[above] {...}
|
|
}
|
|
edge from parent
|
|
node[above] {...}
|
|
}
|
|
child[missing] {}
|
|
child { node {$\overline{N}$}
|
|
child {node {$M$}
|
|
edge from parent
|
|
node[above] {...}
|
|
}
|
|
child {node {$\overline{M}$}
|
|
edge from parent
|
|
node[above] {...}
|
|
}
|
|
edge from parent
|
|
node[above] {...}
|
|
} ;
|
|
\end{tikzpicture}
|
|
\end{minipage}
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\setcounter{enumi}{2}
|
|
\item Traduire en français les probabilités suivantes, les calculer puis les placer sur l'arbre.
|
|
\begin{multicols}{3}
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\item $P(\overline{N})$
|
|
\item $P_N(\overline{M})$
|
|
\item $P(M \cap N)$
|
|
\item $P(M \cap \overline{N})$
|
|
\item $P_{\overline{N}}(M)$
|
|
\item $P_{\overline{N}}(\overline{M})$
|
|
\end{enumerate}
|
|
\end{multicols}
|
|
\end{enumerate}
|
|
\end{exercise}
|
|
|
|
\begin{exercise}[subtitle={Sécurité}, step={3}, origin={?annale?}, topics={Probabilités conditionnelles}, tags={probabilité, simulation}]
|
|
Dans un aéroport, les portiques de sécurité servent à détecter les objets métalliques que peuvent emporter les voyageurs.
|
|
|
|
On choisit au hasard un voyageur franchissant un portique. Et on note $S$ l'événement "le voyageur fait sonner le portique" , $M$ l'événement " le voyageur porte un objet métallique"
|
|
|
|
On considère qu'un voyageur sur 500 porte sur lui un objet métallique. Et on note que
|
|
|
|
\begin{minipage}{0.6\textwidth}
|
|
\begin{itemize}
|
|
\item Lorsqu'un voyageur franchit le portique avec un objet métallique, la probabilité que le portique sonne est égale à $0,98$;
|
|
\item Lorsqu'un voyageur franchit le portique sans objet métallique, la probabilité que le portique ne sonne pas est aussi égale à $0,98$.
|
|
\end{itemize}
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\item À l'aide des données de l'énoncé, préciser les valeurs de $P(M)$, $P_{M}(S)$ et $P_{\overline{M}}(\overline{S})$.
|
|
\item Recopier et compléter l'arbre pondéré ci-contre illustrant cette situation.
|
|
\end{enumerate}
|
|
\end{minipage}
|
|
\hfill
|
|
\begin{minipage}{0.3\textwidth}
|
|
\begin{tikzpicture}[sloped]
|
|
\node {.}
|
|
child {node {$M$}
|
|
child {node {$S$}
|
|
edge from parent
|
|
node[above] {...}
|
|
}
|
|
child {node {$\overline{S}$}
|
|
edge from parent
|
|
node[above] {...}
|
|
}
|
|
edge from parent
|
|
node[above] {...}
|
|
}
|
|
child[missing] {}
|
|
child { node {$\overline{M}$}
|
|
child {node {$S$}
|
|
edge from parent
|
|
node[above] {...}
|
|
}
|
|
child {node {$\overline{S}$}
|
|
edge from parent
|
|
node[above] {...}
|
|
}
|
|
edge from parent
|
|
node[above] {...}
|
|
} ;
|
|
\end{tikzpicture}
|
|
\end{minipage}
|
|
\end{exercise}
|
|
\collectexercisesstop{banque}
|