2021-2022/2nd/Evaluations/DM_2022-01-11/tpl_DM2.tex

\documentclass[a4paper,10pt]{article}
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% Title Page
\title{DM2 \hfill \Var{Nom}}
\tribe{2nd6}
\date{À rendre pour mardi 11 janvier 2022}

\xsimsetup{
    solution/print = false
}

\begin{document}
\maketitle

\begin{exercise}[subtitle={Calculs de fractions}, points=2]
    Détailler les calculs suivants et donner le résultat sous la forme d'une fraction irréductible.
    \begin{multicols}{2}
        \begin{enumerate}[label={\Alph*=}]
            %- set B = rdm.expression("{a} / {b} + {c}", ["a!=b", "b > 1"], global_config={"min_max":(1, 10)})
            \item $\Var{B}$

            %- set C = rdm.expression("{a} / {b} + {c} / {k*b}", ["a!=b", "c!=b", "b > 1"], global_config={"min_max":(1, 10)})
            \item $\Var{C}$
        \end{enumerate}
    \end{multicols}
\end{exercise}


\begin{solution}
        \begin{enumerate}[label={\Alph*=}]
            \item $\Var{B.simplify().explain() | join('=')} = \Var{B.simplify().simplified}$
            \item $\Var{C.simplify().explain() | join('=')} = \Var{C.simplify().simplified}$
        \end{enumerate}
\end{solution}

\begin{exercise}[subtitle={Développer}, points=2]
    Développer puis réduire les expressions suivantes
    \begin{multicols}{2}
        \begin{enumerate}[label={\Alph*=}]
            %- set A = rdm.expression("{a}x({c}x+{d}) + {b}x", [], global_config={"min_max":(1, 10)})
            \item $\Var{A}$

            %- set B = rdm.expression("({a}x+{b})({c}x+{d})", [], )
            \item $\Var{B}$
        \end{enumerate}
    \end{multicols}
\end{exercise}


\begin{solution}
        \begin{enumerate}
            \item 
                \begin{align*}
                    A &= \Var{A.simplify().explain() | join('\\\\&=')}
                \end{align*}
            \item 
                \begin{align*}
                    B &= \Var{B.simplify().explain() | join('\\\\&=')}
                \end{align*}
        \end{enumerate}
\end{solution}

\begin{exercise}[subtitle={Informations chiffrées}, points=3]
    Répondre aux questions suivantes en détaillant les calculs
    \begin{enumerate}
        %- set pourcentage = random.randint(1, 90)
        %- set part = random.randint(400, 900)
        %- set total = int(part / pourcentage * 100)
        \item Une usine produit des pièces mécaniques. En un mois elle a produit \Var{part} pièces défectueuses ce qui représente \Var{pourcentage}\% de la production totale.

            Combien de pièce cette usine produit par mois?

        %- set vi = random.randint(30, 80)
        %- set vf = vi + random.randint(30, 80)
        %- set tx = (vf - vi)/vi
        \item En 2020, on comptait \Var{vi} écureuils dans la forêt du village. En 2021, on en a compté \Var{vf}.

            Quel est le taux d'évolution du nombre d'écureuils entre 2020 et 2021? Vous exprimerez le taux d'évolution en pourcentage arrondis à l'unité.

        %- set init = random.randint(40, 60)
        %- set evo = random.randint(70, 150)
        %- set final = round(init * (1 + evo / 100), 1)
        \item À la naissance, Pierre mesurait \Var{init}cm. À deux ans, il a grandit de \Var{evo}\% de sa taille à la naissance.

            Combien mesure-t-il à deux ans? Vous arrondirez votre résultat au millimètre.


    \end{enumerate}
\end{exercise}


\begin{solution}
        \begin{enumerate}
            \item 
                \[
                    \mbox{nombre de pièces total} = \frac{\Var{part} \times 100}{\Var{pourcentage}} \approx \Var{total}
                \]
            \item 
                \[
                    \mbox{Taux d'évolution} = \frac{\Var{vf} - \Var{vi}}{\Var{vi}} = \Var{tx} \approx \Var{int(round(tx*100, 0))}\%
                \]
            \item 
                \[
                    \mbox{Taille à deux ans} = \Var{init} \times \left(1 + \frac{\Var{evo}}{100}\right) = \Var{final}
                \]
        \end{enumerate}
\end{solution}

\begin{exercise}[subtitle={Tableaux}, points=3]
    %- set f = rdm.expression("{a}(x-{b})(x-{c})", ["b != c"], global_config={"min_max":(-5, 5), "rejected": [-1, 0, 1]}).simplify()
    \begin{enumerate}
        \item Tracer le tableau de signes puis le tableau de variations de la fonction représentée ci-dessous

            \begin{center}
                \begin{tikzpicture}
                    \begin{axis}[
                        axis lines = center,
                        %grid = both,
                        xlabel = {$x$},
                        ylabel = {$y$},
                        ]
                        \addplot[domain=-6:6,samples=80, color=red, very thick]{\Var{f[2]}*(x - \Var{f.roots[1]})*(x - \Var{f.roots[0]})};
                    \end{axis}
                \end{tikzpicture}
            \end{center}

        \item La fonction a-t-elle un minimum ou un maximum sur l'intervalle $\intFF{-6}{6}$? Quelle est sa valeur? Pour quelle valeur de $x$ est-il atteint?
    \end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{solution}
    \begin{enumerate}
        \item 
            \begin{itemize}
                \item Tableau de signes
                    \begin{center}
                        \begin{tikzpicture}
                            \tkzTabInit[lgt=2,espcl=1]{$ x $/1,Signes de $ f(x) $/2}{, $\Var{f.roots[0]}$, $\Var{f.roots[1]}$ ,}
                            %- if f[2] > 0
                            \tkzTabLine{, +, z, -, z, + }
                            %- else
                            \tkzTabLine{, -, z, +, z, - }
                            %- endif
                        \end{tikzpicture}
                    \end{center}
                \item Tableau de variations
                    %- set f_derv = f.differentiate()
                    %- set extremum_x = f_derv.roots[0]
                    %- set extremum_y = f(f_derv.roots[0])
                    %- set f6 = f(6)
                    %- set fm6 = f(-6)
                    \begin{center}
                        \begin{tikzpicture}
                            \tkzTabInit[lgt=2,espcl=2]{$ x $/1, Variations de $ f(x) $/2}{-6, $\Var{extremum_x}$, 6}
                            %- if f[2] > 0
                            \tkzTabVar{ +/$\Var{fm6}$, -/$\Var{extremum_y}$, +/$\Var{f6}$}
                            %- else
                            \tkzTabVar{ -/$\Var{fm6}$, +/$\Var{extremum_y}$, -/$\Var{f6}$}
                            %- endif
                        \end{tikzpicture}
                    \end{center}
            \end{itemize}
        \item 
            %- if f[2] > 0
            La fonction a un minimum.
            %- else
            La fonction a un maximum.
            %- endif
            Il vaut $\Var{extremum_y}$ et est atteint en $x = \Var{extremum_x}$.
    \end{enumerate}
    
\end{solution}

\begin{exercise}[subtitle={Inéquation et tableaux}, points=2]
    Tracer le tableau de signe des fonctions suivantes en le démontrant à l'aide de la résolution d'une inéquation.
    \begin{multicols}{2}
        \begin{enumerate}
            %- set f = rdm.expression("x + {a}", global_config={"min_max":(1, 20)})
            \item $f(x) = \Var{f}$
            %- set g = rdm.expression("{a}x + {b}", global_config={"min_max":(1, 20)})
            \item $g(x) = \Var{g}$
        \end{enumerate}
    \end{multicols}
\end{exercise}

\begin{solution}
    \begin{enumerate}
        \item 
            Pour déterminer les valeurs de $x$ pour lesquelles $f(x)$ est positive, il faut résoudre l'inéquation

            %- set racine = -f[0]
            \begin{align*}
                f(x) & \geq 0 \\
                \Var{f} & \geq 0 \\
                \Var{f + racine} &\geq \Var{0 + racine} \\
            \end{align*}
            Donc $f(x)$ est positif quand $x$ est supérieur à $\Var{racine}$. On en déduit le tableau de signe

            \begin{center}
                \begin{tikzpicture}
                    \tkzTabInit[lgt=2,espcl=1]{$ t $/1,$ f(t) $/1}{, $\Var{racine}$ ,}
                    \tkzTabLine{, -, z, +,  }
                \end{tikzpicture}
            \end{center}
        \item 
            Pour déterminer les valeurs de $x$ pour lesquelles $g(x)$ est positive, il faut résoudre l'inéquation

            %- set cst = -g[0]
            %- set coef = g[1]
            %- set racine = cst / coef
            \begin{align*}
                g(x) & \geq 0 \\
                \Var{g} & \geq 0 \\
                \Var{g + cst} &\geq \Var{0 + cst} \\
                \frac{\Var{g + cst}}{\Var{coef}} &\geq \frac{\Var{cst}}{\Var{coef}} \\
                x &\geq \Var{racine.simplify()} \\
            \end{align*}

            Donc $f(x)$ est positif quand $x$ est supérieur à $\Var{racine}$. On en déduit le tableau de signe
            \begin{center}
                \begin{tikzpicture}
                    \tkzTabInit[lgt=2,espcl=1]{$ t $/1,$ g(t) $/1}{, $\Var{racine}$ ,}
                    \tkzTabLine{, -, z, +,  }
                \end{tikzpicture}
            \end{center}
    \end{enumerate}
\end{solution}

\end{document}