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8.9 KiB
TeX
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\documentclass[a4paper,10pt]{article}
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\usepackage{myXsim}
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\usepackage{pgfplots}
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\pgfplotsset{compat = newest}
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\usepgfplotslibrary{external}
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\tikzexternalize
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% Title Page
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\title{DM2 \hfill \Var{Nom}}
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\tribe{2nd6}
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\date{À rendre pour mardi 11 janvier 2022}
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\xsimsetup{
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solution/print = false
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}
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\begin{document}
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\maketitle
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\begin{exercise}[subtitle={Calculs de fractions}, points=2]
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Détailler les calculs suivants et donner le résultat sous la forme d'une fraction irréductible.
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\begin{multicols}{2}
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\begin{enumerate}[label={\Alph*=}]
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%- set B = rdm.expression("{a} / {b} + {c}", ["a!=b", "b > 1"], global_config={"min_max":(1, 10)})
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\item $\Var{B}$
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%- set C = rdm.expression("{a} / {b} + {c} / {k*b}", ["a!=b", "c!=b", "b > 1"], global_config={"min_max":(1, 10)})
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\item $\Var{C}$
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\end{enumerate}
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\end{multicols}
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\end{exercise}
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\begin{solution}
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\begin{enumerate}[label={\Alph*=}]
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\item $\Var{B.simplify().explain() | join('=')} = \Var{B.simplify().simplified}$
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\item $\Var{C.simplify().explain() | join('=')} = \Var{C.simplify().simplified}$
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\end{enumerate}
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\end{solution}
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\begin{exercise}[subtitle={Développer}, points=2]
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Développer puis réduire les expressions suivantes
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\begin{multicols}{2}
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\begin{enumerate}[label={\Alph*=}]
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%- set A = rdm.expression("{a}x({c}x+{d}) + {b}x", [], global_config={"min_max":(1, 10)})
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\item $\Var{A}$
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%- set B = rdm.expression("({a}x+{b})({c}x+{d})", [], )
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\item $\Var{B}$
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\end{enumerate}
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\end{multicols}
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\end{exercise}
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\begin{solution}
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\begin{enumerate}
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\item
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\begin{align*}
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A &= \Var{A.simplify().explain() | join('\\\\&=')}
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\end{align*}
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\item
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\begin{align*}
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B &= \Var{B.simplify().explain() | join('\\\\&=')}
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\end{align*}
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\end{enumerate}
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\end{solution}
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\begin{exercise}[subtitle={Informations chiffrées}, points=3]
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Répondre aux questions suivantes en détaillant les calculs
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\begin{enumerate}
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%- set pourcentage = random.randint(1, 90)
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%- set part = random.randint(400, 900)
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%- set total = int(part / pourcentage * 100)
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\item Une usine produit des pièces mécaniques. En un mois elle a produit \Var{part} pièces défectueuses ce qui représente \Var{pourcentage}\% de la production totale.
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Combien de pièce cette usine produit par mois?
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%- set vi = random.randint(30, 80)
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%- set vf = vi + random.randint(30, 80)
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%- set tx = (vf - vi)/vi
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\item En 2020, on comptait \Var{vi} écureuils dans la forêt du village. En 2021, on en a compté \Var{vf}.
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Quel est le taux d'évolution du nombre d'écureuils entre 2020 et 2021? Vous exprimerez le taux d'évolution en pourcentage arrondis à l'unité.
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%- set init = random.randint(40, 60)
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%- set evo = random.randint(70, 150)
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%- set final = round(init * (1 + evo / 100), 1)
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\item À la naissance, Pierre mesurait \Var{init}cm. À deux ans, il a grandit de \Var{evo}\% de sa taille à la naissance.
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Combien mesure-t-il à deux ans? Vous arrondirez votre résultat au millimètre.
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\end{enumerate}
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\end{exercise}
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\begin{solution}
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\begin{enumerate}
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\item
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\[
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\mbox{nombre de pièces total} = \frac{\Var{part} \times 100}{\Var{pourcentage}} \approx \Var{total}
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\]
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\item
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\[
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|
\mbox{Taux d'évolution} = \frac{\Var{vf} - \Var{vi}}{\Var{vi}} = \Var{tx} \approx \Var{int(round(tx*100, 0))}\%
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|
\]
|
|
\item
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|
\[
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|
\mbox{Taille à deux ans} = \Var{init} \times \left(1 + \frac{\Var{evo}}{100}\right) = \Var{final}
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|
\]
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\end{enumerate}
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\end{solution}
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\begin{exercise}[subtitle={Tableaux}, points=3]
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%- set f = rdm.expression("{a}(x-{b})(x-{c})", ["b != c"], global_config={"min_max":(-5, 5), "rejected": [-1, 0, 1]}).simplify()
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\begin{enumerate}
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\item Tracer le tableau de signes puis le tableau de variations de la fonction représentée ci-dessous
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\begin{center}
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\begin{tikzpicture}
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\begin{axis}[
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axis lines = center,
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%grid = both,
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xlabel = {$x$},
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ylabel = {$y$},
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]
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\addplot[domain=-6:6,samples=80, color=red, very thick]{\Var{f[2]}*(x - \Var{f.roots[1]})*(x - \Var{f.roots[0]})};
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\end{axis}
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|
\end{tikzpicture}
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|
\end{center}
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|
\item La fonction a-t-elle un minimum ou un maximum sur l'intervalle $\intFF{-6}{6}$? Quelle est sa valeur? Pour quelle valeur de $x$ est-il atteint?
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\end{enumerate}
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\end{exercise}
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\begin{solution}
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\begin{enumerate}
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\item
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|
\begin{itemize}
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|
\item Tableau de signes
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\begin{center}
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\begin{tikzpicture}
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\tkzTabInit[lgt=2,espcl=1]{$ x $/1,Signes de $ f(x) $/2}{, $\Var{f.roots[0]}$, $\Var{f.roots[1]}$ ,}
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%- if f[2] > 0
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\tkzTabLine{, +, z, -, z, + }
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%- else
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\tkzTabLine{, -, z, +, z, - }
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|
%- endif
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|
\end{tikzpicture}
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|
\end{center}
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\item Tableau de variations
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%- set f_derv = f.differentiate()
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%- set extremum_x = f_derv.roots[0]
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%- set extremum_y = f(f_derv.roots[0])
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%- set f6 = f(6)
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%- set fm6 = f(-6)
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\begin{center}
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|
\begin{tikzpicture}
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|
\tkzTabInit[lgt=2,espcl=2]{$ x $/1, Variations de $ f(x) $/2}{-6, $\Var{extremum_x}$, 6}
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%- if f[2] > 0
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|
\tkzTabVar{ +/$\Var{fm6}$, -/$\Var{extremum_y}$, +/$\Var{f6}$}
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|
%- else
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|
\tkzTabVar{ -/$\Var{fm6}$, +/$\Var{extremum_y}$, -/$\Var{f6}$}
|
|
%- endif
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|
\end{tikzpicture}
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|
\end{center}
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|
\end{itemize}
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\item
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%- if f[2] > 0
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La fonction a un minimum.
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%- else
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La fonction a un maximum.
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|
%- endif
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Il vaut $\Var{extremum_y}$ et est atteint en $x = \Var{extremum_x}$.
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\end{enumerate}
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\end{solution}
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\begin{exercise}[subtitle={Inéquation et tableaux}, points=2]
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Tracer le tableau de signe des fonctions suivantes en le démontrant à l'aide de la résolution d'une inéquation.
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\begin{multicols}{2}
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\begin{enumerate}
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%- set f = rdm.expression("x + {a}", global_config={"min_max":(1, 20)})
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\item $f(x) = \Var{f}$
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%- set g = rdm.expression("{a}x + {b}", global_config={"min_max":(1, 20)})
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\item $g(x) = \Var{g}$
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\end{enumerate}
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\end{multicols}
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\end{exercise}
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\begin{solution}
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\begin{enumerate}
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|
\item
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Pour déterminer les valeurs de $x$ pour lesquelles $f(x)$ est positive, il faut résoudre l'inéquation
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%- set racine = -f[0]
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\begin{align*}
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f(x) & \geq 0 \\
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\Var{f} & \geq 0 \\
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|
\Var{f + racine} &\geq \Var{0 + racine} \\
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|
\end{align*}
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|
Donc $f(x)$ est positif quand $x$ est supérieur à $\Var{racine}$. On en déduit le tableau de signe
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\begin{center}
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|
\begin{tikzpicture}
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\tkzTabInit[lgt=2,espcl=1]{$ t $/1,$ f(t) $/1}{, $\Var{racine}$ ,}
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|
\tkzTabLine{, -, z, +, }
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|
\end{tikzpicture}
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|
\end{center}
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|
\item
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Pour déterminer les valeurs de $x$ pour lesquelles $g(x)$ est positive, il faut résoudre l'inéquation
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%- set cst = -g[0]
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%- set coef = g[1]
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%- set racine = cst / coef
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\begin{align*}
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|
g(x) & \geq 0 \\
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|
\Var{g} & \geq 0 \\
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|
\Var{g + cst} &\geq \Var{0 + cst} \\
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|
\frac{\Var{g + cst}}{\Var{coef}} &\geq \frac{\Var{cst}}{\Var{coef}} \\
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|
x &\geq \Var{racine.simplify()} \\
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|
\end{align*}
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|
|
|
Donc $f(x)$ est positif quand $x$ est supérieur à $\Var{racine}$. On en déduit le tableau de signe
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|
\begin{center}
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|
\begin{tikzpicture}
|
|
\tkzTabInit[lgt=2,espcl=1]{$ t $/1,$ g(t) $/1}{, $\Var{racine}$ ,}
|
|
\tkzTabLine{, -, z, +, }
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|
\end{tikzpicture}
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|
\end{center}
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|
\end{enumerate}
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|
\end{solution}
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\end{document}
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