Feat: Correction jusqu'au 12!

2nd/10_Geometrie_reperee/exercises.tex

@@ -305,15 +305,15 @@
         \item 
             Distance $MN$
             \[
-                MN = \sqrt{\left(3 - (-2)\right)^2 + \left( -2 - (-3)\right)} = \sqrt{5^2 + 1^2} = \sqrt{25 + 1} = \sqrt{26}
+                MN = \sqrt{\left(3 - (-2)\right)^2 + \left( -2 - (-3)\right)^2} = \sqrt{5^2 + 1^2} = \sqrt{25 + 1} = \sqrt{26}
             \]
             Distance $MP$
             \[
-                MP = \sqrt{\left(3 - (-4)\right)^2 + \left( -2 - 3\right)} = \sqrt{7^2 + (-5)^2} = \sqrt{49 + 25} = \sqrt{74}
+                MP = \sqrt{\left(3 - (-4)\right)^2 + \left( -2 - 3\right)^2} = \sqrt{7^2 + (-5)^2} = \sqrt{49 + 25} = \sqrt{74}
             \]
             Distance $NP$
             \[
-                NP = \sqrt{\left(-2 - (-4)\right)^2 + \left( -3 - 3\right)} = \sqrt{2^2 + (-6)^2} = \sqrt{4 + 36} = \sqrt{40}
+                NP = \sqrt{\left(-2 - (-4)\right)^2 + \left( -3 - 3\right)^2} = \sqrt{2^2 + (-6)^2} = \sqrt{4 + 36} = \sqrt{40}
             \]
         \item On sait que $NM = \sqrt{26}$, $MP = \sqrt{74}$ et $NP = \sqrt{40}$
 
@@ -342,8 +342,31 @@
         \draw (-1, 8) node {x} node [below left] {$D$};
     \end{tikzpicture}
 
-    On a l'impression que le quadrilatère est un losange. Pour le démontrer on va calculer la longueur de ses côtés.
+    On a l'impression que le quadrilatère $BACD$ est un losange. Pour le démontrer on va calculer la longueur de ses côtés.
     
+    \begin{itemize}
+        \item 
+            Distance $AB$
+            \[
+                AB = \sqrt{\left(1 - (-6)\right)^2 + \left( 2 - 3\right)^2} = \sqrt{7^2 + (-1)^2} = \sqrt{49 + 1} = \sqrt{50}
+            \]
+        \item
+            Distance $BD$
+            \[
+                BD = \sqrt{\left(-6 - (-1)\right)^2 + \left( 3 - 8\right)} = \sqrt{(-5)^2 + (-5)^2} = \sqrt{25 + 25} = \sqrt{50}
+            \]
+        \item
+            Distance $DC$
+            \[
+                DC = \sqrt{\left(6 - (-1)\right)^2 + \left( 7 - 8\right)} = \sqrt{7^2 + (-1)^2} = \sqrt{49 + 1} = \sqrt{50}
+            \]
+        \item
+            Distance $CA$
+            \[
+                CA = \sqrt{\left(6 - 1\right)^2 + \left( 7 - 2\right)} = \sqrt{5^2 + 5^2} = \sqrt{25 + 25} = \sqrt{50}
+            \]
+    \end{itemize}
+    Les quatre côtés du quadrilatère ont la même longueur, c'est donc un losange.
 \end{solution}
 
 % ---- étape 3
@@ -358,6 +381,65 @@
     \end{enumerate}
 \end{exercise}
 
+\begin{solution}
+    \begin{center}
+        \begin{tikzpicture}
+            \repere{-4}{4}{-3}{5}
+            \draw (3, 2) node {x} node [below left] {$B$};
+            \draw (-1, -2) node {x} node [below left] {$E$};
+            \draw (-3, 0) node {x} node [below left] {$A$};
+            \draw (1, 4) node {x} node [below left] {$U$};
+        \end{tikzpicture}
+    \end{center}
+    \begin{enumerate}
+        \item Coordonnées du milieu de $[BA]$
+            \[
+                x = \frac{x_A + x_B}{2} = \frac{-3 + 3}{2} = 0 \qquad
+                y = \frac{y_A + y_B}{2} = \frac{0 + (-2)}{2} = 1
+            \]
+        \item Coordonnées du milieu de $[EU]$
+            \[
+                x = \frac{x_E + x_U}{2} = \frac{-1 + 1}{2} = 0 \qquad
+                y = \frac{y_E + y_U}{2} = \frac{-2 + 4}{2} = 1
+            \]
+        \item On a l'impression que le triangle $BEA$ est un triangle rectangle.
+
+            \begin{itemize}
+                \item Longueur $BE$
+                    \[
+                        BE = \sqrt{\left(3 - (-1)\right)^2 + \left( 2 - (-2)\right)} = \sqrt{4^2+ 4^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32}
+                    \]
+                \item Longueur $EA$
+                    \[
+                        EA = \sqrt{\left(-1 - (-3)\right)^2 + \left( -2 - 0\right)} = \sqrt{2^2+ (-2)^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8}
+                    \]
+                \item Longueur $AB$
+                    \[
+                        AB = \sqrt{\left(3 - (-3)\right)^2 + \left( 2 - 0\right)} = \sqrt{6^2+ 2^2} = \sqrt{36+4} = \sqrt{40}
+                    \]
+            \end{itemize}
+            Donc 
+            \[
+                BE^2 + EA^2 = \sqrt{32}^2 + \sqrt{8}^2 = 32 + 8 = 40 \qquad AB^2 = \sqrt{40}^2 = 40
+            \]
+            Donc on sait que $BE^2 + EA^2 = AB^2$
+
+            Donc d'après le théorème de Pythagore, le triangle $BEA$ est rectangle en $E$.
+
+        \item On sait que $BEAU$ est un quadrilatère et que les diagonales se coupent en leur milieu (questions 1 et 2)
+
+            Or un quadrilatère qui a ses diagonales qui se coupent en leur milieu est un parallélogramme.
+
+            Donc $BEAU$ est un parallélogramme.
+
+            De plus, on sait que l'angle $\widehat{BEA}$ est un angle droit (question 3)
+
+            Or un parallélogramme qui a un angle droit est un rectangle.
+
+            Donc $BEAU$ est un rectangle.
+    \end{enumerate}
+\end{solution}
+
 \begin{exercise}[subtitle={Presque}, step={3}, origin={dMeedC}, topics={Géométrie repérée}, tags={Coordonnées, milieu, distance}, mode={\faIcon{tools}}]
     On a tracer la figure ci-dessous avec géogébra.
 
@@ -374,6 +456,16 @@
     \end{multicols}
 \end{exercise}
 
+\begin{solution}
+    \begin{itemize}
+        \item Longueur $AC$
+            \[
+                AC = \sqrt{(-50 - 50)^2 + (100 - (-100))^2} = \sqrt{(-100)^2 + 200^2} = \sqrt{50 000}
+            \]
+        \item 
+    \end{itemize}
+\end{solution}
+
 % ---- étape 4
 
 \begin{exercise}[subtitle={Ensemble de points}, step={4}, origin={dMeedC}, topics={Géométrie repérée}, tags={Coordonnée, équation, ensemble}, mode={\faIcon{search}}]