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2021-2022/2nd/14_Information_Chiffrée_2/exercises.tex
Bertrand Benjamin 0d5fa93605
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Feat: reste les exercices sur l'évolution réciproque
2022-02-24 18:16:27 +01:00

429 lines
22 KiB
TeX
Raw Blame History

% ----
% 1E: Intuitions et contre-intuitions
\begin{exercise}[subtitle={Parole de presse}, step={1}, origin={Création}, topics={ Information Chiffrée 2 }, tags={ Information chiffrée }, mode={\faIcon{search}}]
\begin{enumerate}
\item Dans le journal de 13h du 19 février 2013, le présentateur illustre la hausse du prix d'électricité avec des deux infographies
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.15]{./fig/facture_elect_prix.png}
\includegraphics[scale=0.15]{./fig/facture_elect_tx.png}
\end{center}
Sans remettre en doute la véracité des montants sur les factures d'électrice, commenter les pourcentages présenté. Trouver l'erreur.
\item Depuis sa création, une entreprise a diminué ses salaires de 60\%. Son dirigeant affirme qu'il n'y a pas d'inquiétude, il s'engage à ce que son entreprise augmente ses salaires de 60\% et ainsi revenir au niveau initial.
Choisir un salaire au moment de la création de l'entreprise (peu importe si il est réaliste) puis calculer ce salaire au moment où le dirigeant fait cette annonce et enfin le sailaire qu'il projete d'atteindre. Va-t-il vraiment faire revenir les salaires au niveau initial?
\end{enumerate}
\end{exercise}
\begin{exercise}[subtitle={Contre-intuitions}, step={2}, origin={Création}, topics={ Information Chiffrée 2 }, tags={ Information chiffrée }, mode={\faIcon{users}}]
Au regard des deux situations étudiées dans l'exercice précédent, quelles sont les deux erreurs que l'on aurait envie de faire avec les pourcentages d'évolutions mais qu'il va falloir éviter?
\end{exercise}
\begin{solution}
\end{solution}
% ----
% 2E: Taux d'évolution et coefficient multiplicateur
\begin{exercise}[subtitle={Taux d'évolution et coefficient multiplicateur}, step={2}, origin={Création}, topics={ Information Chiffrée 2 }, tags={ Information chiffrée }, mode={\faIcon{search}}]
On appelle \textbf{coefficient multiplicateur} le nombre par lequel on multiplie la valeur initiale pour obtenir la valeur finale.
Compléter le tableau suivant
\begin{center}
\begin{tabular}{|*{4}{p{4cm}|}}
\hline
Valeur initiale & Valeur finale & Taux d'évolution & Coefficient multiplicateur \\
\hline
185 & & +20\% & \\
\hline
245 & & -15\% & \\
\hline
782 & 124 & & \\
\hline
1.23 & 4.3 & & \\
\hline
4 & & & 1.5\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{exercise}
\begin{exercise}[subtitle={Lien entre taux d'évolution et coefficient multiplicateur}, step={2}, origin={Création}, topics={ Information Chiffrée 2 }, tags={ Information chiffrée }, mode={\faIcon{users}}]
Expliquer à travers un exemple que vous choisirez les éléments suivantes:
\begin{enumerate}
\item Calculer un coefficient multiplicateur
\item Passer du taux d'évolution au coefficient multiplicateur.
\item Passer du coefficient multiplicateur au taux d'évolution.
\end{enumerate}
\end{exercise}
\begin{solution}
\section*{Lien entre taux d'évolution et coefficient multiplicateur}
\begin{propriete}
Soit $t$ le taux d'évolution qui fait évolution $v_i$ vers $v_f$ alors
\[
v_f = (1+t)v_i
\]
\end{propriete}
\begin{definition}
$1+t$ est appelé \textbf{coefficient multiplicateur}, noté $CM$, associé au taux d'évolution $t$.
\noindent
On a ainsi
\[
CM = 1+t \qquad \mbox{ou encore} \qquad t = CM - 1
\]
et
\[
v_f = CM \times v_i \qquad \mbox{ ou encore } \qquad CM = \frac{v_f}{v_i}
\]
\end{definition}
\paragraph{Exemples}
\begin{itemize}
\item
\begin{tikzpicture}[
baseline,
roundnode/.style={circle, draw=highlightbg, fill=green!5, very thick, minimum size=3mm},
arrow/.style={->, shorten >=5pt, shorten <=5pt}
]
%Nodes
\node[roundnode] (leftterme) {\makebox[0.5cm]{120}};
\node[roundnode] (centerterm) [right=2cm of leftterme] {\makebox[0.5cm]{...}};
%Lines
\path[arrow] (leftterme.north) edge [bend left]
node [pos=0.5, above] {+25\%}
node [pos=0.5, below] {\times CM = ...}
(centerterm.north)
;
\end{tikzpicture}
Coefficient multiplicateur: \hfill Valeur finale: \hfill.
\item
\begin{tikzpicture}[
baseline,
roundnode/.style={circle, draw=highlightbg, fill=green!5, very thick, minimum size=3mm},
arrow/.style={->, shorten >=5pt, shorten <=5pt}
]
%Nodes
\node[roundnode] (leftterme) {\makebox[0.5cm]{55}};
\node[roundnode] (centerterm) [right=2cm of leftterme] {\makebox[0.5cm]{...}};
%Lines
\path[arrow] (leftterme.north) edge [bend left]
node [pos=0.5, above] {+...}
node [pos=0.5, below] {\times 0.12}
(centerterm.north)
;
\end{tikzpicture}
Taux d'évolution: \hfill Valeur finale: \hfill.
\item
\begin{tikzpicture}[
baseline,
roundnode/.style={circle, draw=highlightbg, fill=green!5, very thick, minimum size=3mm},
arrow/.style={->, shorten >=5pt, shorten <=5pt}
]
%Nodes
\node[roundnode] (leftterme) {\makebox[0.5cm]{34}};
\node[roundnode] (centerterm) [right=2cm of leftterme] {\makebox[0.5cm]{123}};
%Lines
\path[arrow] (leftterme.north) edge [bend left]
node [pos=0.5, above] {+...\%}
node [pos=0.5, below] {\times ...}
(centerterm.north)
;
\end{tikzpicture}
Taux d'évolution: \hfill Valeur finale: \hfill.
\end{itemize}
\afaire{Compléter les calculs}
\end{solution}
\begin{exercise}[subtitle={Questions divers}, step={2}, origin={Création}, topics={ Information Chiffrée 2 }, tags={ Information chiffrée }, mode={\faIcon{tools}}]
Répondre aux questions suivantes en détaillant les calculs
\begin{enumerate}
\item En solde, un robe a une démarque de -25\%. Par combien son prix est-il multiplié?
\item La population d'une ville au augmenté de 185\%. Par combien a-t-elle été multipliée?
\item Les résultats d'une entreprise ont été multiplié par 1.23. Quel est le taux d'évolution correspondant?
\item Une population de bactérie a été multipliée par 5 en deux heures. Quel est le taux d'évolution correspondant?
\item Mes notes ont été multipliée par 0.67. Quel est le taux d'évolution de cette dégringolade?
\item Le prix d'un article est passé de 35\euro à 37\euro. Quel est le coefficient multiplicateur de cette évolution?
\item Le nombre d'écrevisses est passé de 750 à 503. Quel est le coefficient multiplicateur de cette évolution?
\end{enumerate}
\end{exercise}
\begin{solution}
\begin{enumerate}
\item Coefficient multiplicateur: $CM = 1 - \dfrac{25}{100} = 0.75$
\item Coefficient multiplicateur: $CM = 1 + \dfrac{185}{100} = 2.85$
\item Taux d'évolution: $t = 1.23 - 1 = 0.23 = 23\%$
\item Taux d'évolution: $t = 5 - 1 = 4 = 400\%$
\item Taux d'évolution: $t = 0.67 - 1 = -3.3 = -33\%$
\item Coefficient multiplicateur: $CM = \frac{v_f}{v_i} = \frac{37}{35} \approx 1,06$
\item Coefficient multiplicateur: $CM = \frac{v_f}{v_i} = \frac{503}{750} \approx 0.67$
\end{enumerate}
\end{solution}
% ----
% 3E: Évolutions successives
\begin{exercise}[subtitle={Évolutions successives}, step={3}, origin={Création}, topics={ Information Chiffrée 2 }, tags={ Information chiffrée }, mode={\faIcon{search}}]
Le but de cet exercice est de déterminer une méthode pour calculer le taux d'évolution global de multiples évolutions successives.
Une entreprise a une croissance moyenne de 2\% \textbf{par mois}. Au début de l'année 2010, son chiffre d'affaire était de \np{5000}\euro.
\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Calculer le chiffre d'affaire de cette entre prise fin janvier, fin février et fin mars.
\item Quel a été le taux d'évolution global sur le premier trimestre de 2010.
\end{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Calculer le chiffre d'affaire fin 2010.
\item Quel a été d'évolution global sur l'année 2010?
\end{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Calculer le chiffre d'affaire fin 2020.
\item Quel a été d'évolution global entre 2010 et 2020?
\end{enumerate}
\item On suppose que cette croissance se poursuit jusqu'en 2050. Quel sera alors sont chiffre d'affaire?
\end{enumerate}
\end{exercise}
\begin{exercise}[subtitle={Évolutions successives - bilan}, step={3}, origin={Création}, topics={ Information Chiffrée 2 }, tags={ Information chiffrée }, mode={\faIcon{users}}]
Expliquer votre/vos méthode(s) pour calculer la taux d'évolution d'une transformation composé de plusieurs évolution. Vous illustrerez votre méthode en calculant le taux d'évolution global des trois situations suivantes:
\begin{enumerate}
\item 5 augmentation de 4\%.
\item 100 diminution de 5\%.
\item Une augmentation de 10\% puis une augmentation de 20\% puis une diminution de 30\%.
\end{enumerate}
\end{exercise}
\begin{solution}
\section*{Taux d'évolution successifs}
\begin{propriete}
Quand une quantité subit des \textbf{évolution successives} $t_1, t_2, ...$, elle subit alors une \textbf{évolution globale}.
Les taux d'évolution \textbf{ne peuvent pas} s'ajouter.
\bigskip
Il faut multiplier les \textbf{coefficient multiplicateur} entre eux.
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[
roundnode/.style={circle, draw=highlightbg, fill=green!5, very thick, minimum size=3mm},
node distance=2cm and 2cm,
arrow/.style={->, shorten >=5pt, shorten <=5pt}
]
%Nodes
\node[roundnode] (termA) {\makebox[0.5cm]{}};
\node[roundnode] (termB) [right=of termA] {\makebox[0.5cm]{}};
\node[roundnode] (termC) [right=of termB] {\makebox[0.5cm]{}};
\node[roundnode] (termD) [right=of termC] {\makebox[0.5cm]{}};
\node (termE) [right=1cm of termD] {\makebox[0.5cm]{...}};
\node[roundnode] (termF) [right=1cm of termE] {\makebox[0.5cm]{}};
%Lines
\path[arrow] (termA.north) edge [bend left=50] node [above] {$+t_1$} node [below] {$\times CM_1$} (termB.north) ;
\path[arrow] (termB.north) edge [bend left=50] node [above] {$+t_2$} node [below] {$\times CM_2$} (termC.north) ;
\path[arrow] (termC.north) edge [bend left=50] node [above] {$+t_3$} node [below] {$\times CM_3$} (termD.north) ;
\path[arrow] (termA.south) edge [bend right=10] node [above] {Taux d'évolution global} node [below] {$\times CM_1 \times CM_2 \times CM_3 \times ...$} (termF.south);
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{propriete}
\paragraph{Exemples:}
\begin{itemize}
\item Une quantité a subit 5 augmentations de 10\%.
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[
roundnode/.style={circle, draw=highlightbg, fill=green!5, very thick, minimum size=3mm},
arrow/.style={->, shorten >=5pt, shorten <=5pt}
]
%Nodes
\node[roundnode] (termA) {\makebox[0.5cm]{}};
\node[roundnode] (termB) [right=2cm of termA] {\makebox[0.5cm]{}};
\node[roundnode] (termC) [right=2cm of termB] {\makebox[0.5cm]{}};
\node[roundnode] (termD) [right=2cm of termC] {\makebox[0.5cm]{}};
\node[roundnode] (termE) [right=2cm of termD] {\makebox[0.5cm]{}};
\node[roundnode] (termF) [right=2cm of termE] {\makebox[0.5cm]{}};
%Lines
\path[arrow] (termA.north) edge [bend left=50] node [above] {$+10\%$} node [below] {$\times ...$} (termB.north) ;
\path[arrow] (termB.north) edge [bend left=50] node [above] {$+10\%$} node [below] {$\times ...$} (termC.north) ;
\path[arrow] (termC.north) edge [bend left=50] node [above] {$+10\%$} node [below] {$\times ...$} (termD.north) ;
\path[arrow] (termD.north) edge [bend left=50] node [above] {$+10\%$} node [below] {$\times ...$} (termE.north) ;
\path[arrow] (termE.north) edge [bend left=50] node [above] {$+10\%$} node [below] {$\times ...$} (termF.north) ;
\path[arrow] (termA.south) edge [bend right=10] node [above] {Taux d'évolution global} node [below] {$\times ... \times ... \times ... \times ... \times ... = \times ...$} (termF.south);
\end{tikzpicture}
\end{center}
Le coefficient global est donc de $CM = ...$
On en déduit le \textbf{taux d'évolution global} $t = ...$
\item Une quantité a subit une augmentation de 5\% puis un diminution de 10\% et enfin une autre augmentation de 5\%. Calculons le taux d'évolution global.
\end{itemize}
\afaire{Compléter les exemples}
\end{solution}
\begin{exercise}[subtitle={Techniques}, step={3}, origin={Création}, topics={ Information Chiffrée 2 }, tags={ Information chiffrée }, mode={\faIcon{tools}}]
\begin{enumerate}
\item Calculer le taux d'évolution global d'une évolution constituée de 3 augmentations de 30\%.
\item Calculer le taux d'évolution global d'une évolution constituée de 5 diminutions de 2\%.
\item Calculer le taux d'évolution global d'une évolution constituée de 50 augmentations de 1\%.
\item Calculer le taux d'évolution global d'une évolution constituée d'une augmentation de 10\% puis d'une deuxième augmentation de 20\% suivie d'une augmentation de 5\%.
\item Calculer le taux d'évolution global d'une évolution constituée d'une diminution de 90\%, d'une augmentation de 20\%, d'une augmentation de 40\% et une dernière augmentation de 30\%.
\end{enumerate}
\end{exercise}
\begin{solution}
\begin{enumerate}
\item Coefficient multiplicateur d'une évolution de 30\%: $CM = 1 + \dfrac{30}{100} = 1.3$.
Coefficient multiplicateur de l'évolution globale: $CM \times CM \times CM = 1.3 \times 1.3 \times 1.3 = 2.197$
Taux d'évolution global: $t = 2.197 - 1 = 1.197 = 119,7\%$.
\item Coefficient multiplicateur d'une évolution de 2\%: $CM = 1 + \dfrac{2}{100} = 1.02$.
Coefficient multiplicateur de l'évolution globale: $CM^5 = 1.02^5 = 1.104$
Taux d'évolution global: $t = 1.104 - 1 = 0.104 = 10.4\%$.
\item Coefficient multiplicateur d'une évolution de 1\%: $CM = 1 + \dfrac{1}{100} = 1.01$.
Coefficient multiplicateur de l'évolution globale: $CM^{50} = 1.01^{50} = 1.644$
Taux d'évolution global: $t = 1.664 - 1 = 0.664 = 66.4\%$.
\item Coefficient multiplicateur de l'évolution globale: $(1+\dfrac{10}{100})\times (1 + \dfrac{20}{100}) \times (1+\dfrac{5}{100}) \approx 1.39 $
Taux d'évolution global: $t = 1.39 - 1 = 0.39 = 39\%$.
\item Coefficient multiplicateur de l'évolution globale: $(1+\dfrac{10}{100})\times (1 + \dfrac{20}{100}) \times (1+\dfrac{5}{100}) \approx 1.39 $
Taux d'évolution global: $t = 1.39 - 1 = 0.39 = 39\%$.
\end{enumerate}
\end{solution}
\begin{exercise}[subtitle={Réflexion}, step={3}, origin={Création}, topics={ Information Chiffrée 2 }, tags={ Information chiffrée }, mode={\faIcon{tools}}]
\begin{enumerate}
\item Est-ce qu'une augmentation de 40\% est équivalente à deux augmentations de 20\%?
\item Est-il plus intéressant de faire une augmentation de 10\% puis une augmentation de 20\% ou le contraire?
\end{enumerate}
\end{exercise}
\begin{solution}
\begin{enumerate}
\item Non. Pour comprendre cela, il faut passer par le coefficient multiplicateur.
\begin{itemize}
\item Coefficient multiplicateur d'une augmentation de 40\%: $CM = 1 +\dfrac{40}{100} = 1.4$
\item Coefficient multiplicateur de deux augmentations de 20\%: $CM = (1+\dfrac{20}{100})(1 + \dfrac{20}{100}) = 1.44$
\end{itemize}
On voit donc que les coefficients multiplicateur ne sont pas les même donc les évolutions ne sont pas équivalentes.
\item Il faut encore une fois passer par les coefficients multiplicateurs:
\begin{itemize}
\item Coefficient multiplicateur de l'augmentation de 10\% puis celle de 20\%: $CM = (1+\dfrac{10}{100})(1+\dfrac{20}{100}) = 1.1\times 1.2 = 1.32$
\item Coefficient multiplicateur de l'augmentation de 20\% puis celle de 10\%: $CM = (1+\dfrac{20}{100})(1+\dfrac{10}{100}) = 1.2\times 1.1 = 1.32$
\end{itemize}
C'est donc la même chose.
\end{enumerate}
\end{solution}
\begin{exercise}[subtitle={Acheter son vélo}, step={3}, origin={Création}, topics={ Information Chiffrée 2 }, tags={ Information chiffrée }, mode={\faIcon{tools}}]
Bob a mis sur son compte 100\euro. Son banquier lui a promis que ce montant augmenterai de 10\% tous les ans.
Combien de temps Bob va-t-il devoir laisser son argent sur ce compte pour pouvoir acheter un vélo qui coûte 250\euro?
\end{exercise}
\begin{solution}
\begin{minipage}{0.6\linewidth}
On peut faire un tableau pour calculer le montant en banque d'une année sur l'autre (tableau ci-contre).
Il faudra donc qu'il attende 10 ans avant de pouvoir s'acheter son vélo.
\vspace{2.5cm}
On peut écrire un programme python pour faire automatiquement cette recherche
\lstinputlisting{./velo.py}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{0.3\linewidth}
\begin{tabular}{|c|c|}
\hline
Année & Montant \\
\hline
0 & $100$ \\
1 & $100 \times 1.1 = 110$ \\
2 & $110 \times 1.1 = 121$ \\
3 & 133.1 \\
4 & 146.41 \\
5 & 161.05 \\
6 & 177.15 \\
7 & 194.87 \\
8 & 214.35 \\
9 & 235.79 \\
10 & 259.37 \\
\hline
\end{tabular}
\end{minipage}
\end{solution}
% ----
% 4E: Évolutions réciproques
\begin{exercise}[subtitle={Évolution réciproque}, step={4}, origin={Création}, topics={ Information Chiffrée 2 }, tags={ Information chiffrée }, mode={\faIcon{search}}]
Reprenez la question 2 de l'exercice 1. Quel taux d'évolution devrait annoncer le dirigeant pour faire revenir les salaires à leur valeur initiale?
\end{exercise}
\begin{exercise}[subtitle={Évolutions réciproques}, step={4}, origin={Création}, topics={ Information Chiffrée 2 }, tags={ Information chiffrée }, mode={\faIcon{users}}]
Détailler toutes les méthodes développée dans le groupe pour trouver le taux d'évolution "réciproque" de la baisse de 60\% dans l'exercice précédent.
\end{exercise}
\begin{solution}
\section*{Taux d'évolution réciproque}
\begin{propriete}
Quand une quantité subit une évolution et que l'on souhaite revenir à la valeur initiale, elle subit une \textbf{évolution réciproque}.
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[
roundnode/.style={circle, draw=highlightbg, fill=green!5, very thick, minimum size=3mm},
node distance=5cm and 5cm,
arrow/.style={->, shorten >=5pt, shorten <=5pt}
]
%Nodes
\node[roundnode] (termA) {\makebox[0.5cm]{$v_i$}};
\node[roundnode] (termB) [right=of termA] {\makebox[0.5cm]{$v_f$}};
%Lines
\path[arrow] (termA.north) edge [bend left] node [above] {$+t_1$} node [below] {$\times CM$} (termB.north) ;
\path[arrow] (termB.south) edge [bend left] node [above] {$\times \dfrac{1}{CM}$} node [below] {Taux d'évolution réciproque} (termA.south);
\end{tikzpicture}
\end{center}
Le coefficient multiplicateur de l'évolution réciproque est égal à $\dfrac{1}{CM}$.
Le taux d'évolution réciproque est égal à $\dfrac{1}{CM} - 1$
\end{propriete}
\paragraph{Exemples:}
\begin{itemize}
\item Un article coûte 50\euro hors taxe. Une diminution de 20\% fait passer le prix à 40\euro. Quelle devra être l'augmentation pour revenir au prix initial?
\vspace{1cm}
\item Une entreprise a augmenté ses emissions de CO2 de 14\% en un an. Quelle devra être l'évolution pour revenir aux émissions d'avant cette augmentation?
\vspace{1cm}
\end{itemize}
\afaire{Traiter les exemples}
\end{solution}
\begin{exercise}[subtitle={Techniques}, step={4}, origin={Création}, topics={ Information Chiffrée 2 }, tags={ Information chiffrée }, mode={\faIcon{tools}}]
\end{exercise}
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