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\documentclass[a4paper,10pt]{article}
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\usepackage{myXsim}
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\author{Benjamin Bertrand}
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\title{Vecteur et coordonnées - Cours}
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\date{avril 2022}
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\pagestyle{empty}
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\begin{document}
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\maketitle
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\section{Coordonnées de vecteurs}
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\begin{definition}[Coordonnées de vecteur]
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\begin{minipage}{0.5\linewidth}
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On se place dans un repère $(O, \vect{i}, \vect{j})$, alors les coordonnées du vecteur $\vect{u}$ sont notées $\vectCoord{x}{y}$ où
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\begin{itemize}
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\item $x$ correspond la longueur du déplacement de $\vect{u}$ dans la direction $\vect{OI}$.
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\item $y$ correspond la longueur du déplacement de $\vect{u}$ dans la direction $\vect{OJ}$.
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\end{itemize}
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On note aussi
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\[
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\vect{u} = x \vect{i} + y \vect{j}
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\]
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\end{minipage}
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\hfill
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\begin{minipage}{0.4\linewidth}
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\begin{tikzpicture}
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\repereOIJ{-1}{5}{-1}{5}
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\draw [->, very thick] (1, 2) -- node [midway, above] {$\vect{u}$} (4, 4);
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\draw [thick] (1, 2) -- node [midway, below] {$x$} (4, 2);
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\draw [thick] (4, 2) -- node [midway, right] {$y$} (4, 4);
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\end{tikzpicture}
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\end{minipage}
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\end{definition}
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\paragraph{Exemples}:~
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\begin{minipage}{0.4\linewidth}
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\begin{tikzpicture}
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\repereOIJ{-1}{5}{-1}{5}
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\draw [->, very thick] (1, 2) -- node [midway, above] {$\vect{u}$} (4, 3);
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\draw (4, 2) node {x} node [below right] {$A$};
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\draw (2, 0) node {x} node [below left] {$B$};
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\end{tikzpicture}
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\end{minipage}
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\hfill
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\begin{minipage}{0.5\linewidth}
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\begin{itemize}
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\item Coordonnée du vecteur $\vect{u}$
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\\[0.5cm]
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\item Coordonnée du vecteur $\vect{OA}$
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\\[0.5cm]
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\item Coordonnée du vecteur $\vect{AB}$
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\\[0.5cm]
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\item Vecteur $\vect{v}$ de coordonnées $\vectCoord{1}{4}$
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\end{itemize}
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\end{minipage}
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\afaire{Trouver les coordonnées manquantes et tracer le vecteur $\vect{v}$}
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\begin{propriete}[ Calculer les coordonnées d'un vecteur ]
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On se place dans un repère $(O, \vect{i}, \vect{j})$. On définit deux points $A(x_A; y_A)$ et $B(x_B; y_B)$ du plan.
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Alors les coordonnées du vecteur $\vect{AB}$ sont (attention l'ordre est important):
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\[
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\vectCoord{x_B - x_A}{y_B - y_A}
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\]
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\end{propriete}
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\paragraph{Exemples}:~
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Soient $A(2; 4)$ et $B(-2; 10)$ calculons les coordonnées du vecteur $\vect{AB}$
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\afaire{Calculer les coordonnées du vecteur $\vect{AB}$}
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\end{document}
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