2021-2022/2nd/01_Fraction_Developpement_Litteral/exercises.tex

\begin{exercise}[subtitle={Périmètre}, step={4}, origin={Les maths ensembles et pour chacun}, topics={ Fraction Developpement Litteral }, tags={ Fractions, Developpement }]
    \begin{minipage}{0.7\linewidth}
    $a$ désigne n'importe quel nombre strictement positif.

    Pour chaque proposition ci-dessous, proposer une figure qui correspond. Vous n'aurez le droit d'inscrire qu'une seule fois la quantité $a$ sur la figure.

    Par exemple: \textit{Un rectangle de périmètre $3 + 2a + 3 + 2a$} pourra se représenter
        
    \end{minipage}
    \hfill
    \begin{minipage}{0.2\linewidth}
        \begin{tikzpicture}
            \draw (0,0) -- node[midway, left] {3}
                (0, 1) -- node[midway] {//} node [midway, above] {$a$}
                (1, 1) node{|} -- node[midway] {//}
                (2, 1)  -- 
                (2, 0) -- node[midway] {//}
                (1, 0) node{|} -- node[midway] {//}
                cycle;
            \draw (0,0) rectangle (0.2, 0.2);
            \draw (0,1) rectangle (0.2, 0.8);
            \draw (2,1) rectangle (1.8, 0.8);
            \draw (2,0) rectangle (1.8, 0.2);
        \end{tikzpicture}    
    \end{minipage}
    \begin{multicols}{2}
       \begin{enumerate}
            \item Un rectangle de périmètre $a + 5 + a + 5$
            \item Un rectangle de périmètre $5a + 7 + 5a$
            \item Un rectangle de périmètre $6a + 10$
            \item Un rectangle de périmètre $3(a + 2)$
        \end{enumerate} 
    \end{multicols}
\end{exercise} 

\begin{exercise}[subtitle={Programmes de calculs}, step={4}, origin={D'anciennes choses}, topics={ Fraction Developpement Litteral }, tags={ Fractions, Developpement }]
    Voici 2 programmes de calculs.

    \medskip
    \Ovalbox{%
        \textbf{Programme A:} Choisir un nombre > Multiplier par 4 > Soustraire 1 > Ajouter le nombre de départ > Soustraire 2
    }

    \Ovalbox{%
        \textbf{Programme B:} Choisir un nombre > Multiplier par 5 > Enlever 3
    }

    \medskip

    Abdou pense "\textit{Ces 2 programmes donnent toujours le même résultat.}". 

    Qu'en pensez vous?
\end{exercise}

\begin{exercise}[subtitle={Pyramide additive}, step={4}, origin={D'anciennes choses}, topics={ Fraction Developpement Litteral }, tags={ Fractions, Developpement }]
    \begin{minipage}{0.5\linewidth}
        La pyramide ci-contre est une pyramide additive. C'est à dire que pour trouver le nombre d'une case, il faut faire la somme des deux cases en dessous. Si l'on met le même nombre dans les deux cases grisées, on peut alors calculer le contenu de la case du sommet.

        \medskip

        Comment calculer le résultat du sommet quelque soit le nombre mis dans les deux cases colorées?
        
    \end{minipage}
    \begin{minipage}{0.45\linewidth}
        \flushright
        \begin{tikzpicture}[scale=0.8]
            \draw (4,5)--(6,5)--(6,4)--(4,4)--cycle;
            \draw (3,4)--(5,4)--(5,3)--(3,3)--cycle;
            \draw (5,4)--(7,4)--(7,3)--(5,3)--cycle;
            \draw (2,3)--(4,3)--(4,2)--(2,2)--cycle;
            \draw (4,3)--(6,3)--(6,2)--(4,2)--cycle;
            \draw (6,3)--(8,3)--(8,2)--(6,2)--cycle;
            \draw (1,2)--(3,2)--(3,1)--(1,1)--cycle;
            \draw (2,1.5) node{$3$};
            \draw [fill=highlightbg](3,2)--(5,2)--(5,1)--(3,1)--cycle;
            \draw [fill=highlightbg](5,2)--(7,2)--(7,1)--(5,1)--cycle;
            \draw (7,2)--(9,2)--(9,1)--(7,1)--cycle;
            \draw (8,1.5) node{$7$};
        \end{tikzpicture}
    \end{minipage}
\end{exercise}

\begin{exercise}[subtitle={Réduction}, step={4}, origin={Du chapeau}, topics={ Fraction Developpement Litteral }, tags={ Fractions, Developpement }]
    $x$ représente n'importe quel nombre. Réduire les expressions suivantes
    \begin{multicols}{3}
        \begin{enumerate}

            \item A = $x + 1 + x - 4$
            \item B = $x + 6 + 3 + x - 6$
            \item C = $-3 x + 5 + 5 x$
            \item D = $-4 + 2 x - 10 - 10 x$
            \item E = $-1 - 8 + 8 x + 6 - 4 x$
            \item F = $x^{  2 } + 3 + 3 x + 3 - 10 x$
            \item G = $-6 x^{  2 } + 9 - 2 x - 2 - 6 x$
            \item H = $3 x^{  2 } + 1 x^{  2 } - 9 x - 9 + 3 x$
            \item I = $-2 x^{  2 } + 7 - 6 x - 6 x^{  2 } - 2 x$
        \end{enumerate}
    \end{multicols}
\end{exercise}

\begin{solution}
    \begin{multicols}{3}
    \begin{enumerate}
        \item 
            \begin{align*}
                A & = & x + 1 + x - 4 \\ 
                A & = & 2 x - 3
            \end{align*}
        \item
            \begin{align*}
                B & = & x + 6 + 3 + x - 6 \\ 
                B & = & 2 x + 3
            \end{align*}
        \item 
            \begin{align*}
                C & = & -3 x + 5 + 5 x \\ 
                C & = & 2 x + 5
            \end{align*}
        \item 
            \begin{align*}
                D & = & -4 + 2 x - 10 - 10 x \\ 
                D & = & -8 x - 14
            \end{align*}
        \item
            \begin{align*}
                E & = & -1 - 8 + 8 x + 6 - 4 x \\ 
                E & = & -9 + 8 x + 6 - 4 x \\ 
                E & = & 4 x - 3
            \end{align*}
        \item
            \begin{align*}
                F & = & x^{  2 } + 3 + 3 x + 3 - 10 x \\ 
                F & = & x^{  2 } - 7 x + 6
            \end{align*}
        \item
            \begin{align*}
                G & = & -6 x^{  2 } + 9 - 2 x - 2 - 6 x \\ 
                G & = & -6 x^{  2 } - 8 x + 7
            \end{align*}
        \item
            \begin{align*}
                H & = & 3 x^{  2 } + 1 x^{  2 } - 9 x - 9 + 3 x \\ 
                H & = & 4 x^{  2 } - 6 x - 9
            \end{align*}
        \item
            \begin{align*}
                I & = & -2 x^{  2 } + 7 - 6 x - 6 x^{  2 } - 2 x \\ 
                I & = & -8 x^{  2 } - 8 x + 7
            \end{align*}
    \end{enumerate}
    \end{multicols}
\end{solution}

\begin{exercise}[subtitle={Aire}, step={5}, origin={Les maths ensembles et pour chacun}, topics={ Fraction Developpement Litteral }, tags={ Fractions, Developpement }]
    \begin{minipage}{0.7\linewidth}
    $a$ désigne n'importe quel nombre strictement positif\dots

    Pour chaque proposition ci-dessous, proposer une figure qui correspond. Vous n'aurez le droit d'inscrire qu'une seule fois la quantité $a$ sur la figure.

    Par exemple: \textit{Une rectangle d'air $3\times 2a$} pourra se représenter
        
    \end{minipage}
    \hfill
    \begin{minipage}{0.2\linewidth}
        \begin{tikzpicture}
            \draw (0,0) -- node[midway, left] {3}
                (0, 1) -- node[midway] {//} node [midway, above] {$a$}
                (1, 1) node{|} -- node[midway] {//}
                (2, 1)  -- 
                (2, 0) -- node[midway] {//}
                (1, 0) node{|} -- node[midway] {//}
                cycle;
            \draw (0,0) rectangle (0.2, 0.2);
            \draw (0,1) rectangle (0.2, 0.8);
            \draw (2,1) rectangle (1.8, 0.8);
            \draw (2,0) rectangle (1.8, 0.2);
        \end{tikzpicture}    
    \end{minipage}
    \begin{multicols}{2}
       \begin{enumerate}
            \item Un rectangle d'air $2\times a$
            \item Un rectangle d'air $a(a+1)$
            \item Un rectangle d'air $(2a+1)(a+2)$
            \item Un rectangle d'air $a^2 + 2a$
        \end{enumerate} 
    \end{multicols}
\end{exercise} 

\begin{exercise}[subtitle={Programme de calculs}, step={5}, origin={Du chapeau}, topics={ Fraction Developpement Litteral }, tags={ Fractions, Developpement }]
    Voici 2 programmes de calculs.

    \medskip
    \Ovalbox{%
        \textbf{Programme A:} Choisir un nombre > ajouter 1 > multiplier par 4 > ajouter le nombre de départ > enlever 14
    }

    \Ovalbox{%
        \textbf{Programme B:} Choisir un nombre > soustraire 5 > multiplier par 2 > ajouter 3fois le nombre de départ
    }

    \medskip

    Que pensez-vous de ces deux programmes de calculs?
\end{exercise}

\begin{exercise}[subtitle={Carré de Pierre}, step={5}, origin={Les maths ensemble et pour chacun}, topics={ Fraction Developpement Litteral }, tags={ Fractions, Developpement }]
    \begin{minipage}{0.6\linewidth}
        Pierre joue avec des mosaïques de couleur. Il dispose ses mosaïques pour obtenir des « carrés »

        Il voudrait savoir à l’avance combien de mosaïques il lui faut pour fabriquer n'importe quel "carré". Trouver plusieurs formules qui lui permettraient de calculer cette quantité.
    \end{minipage}
    \hfill
    \begin{minipage}{0.3\linewidth}
        \includegraphics[scale=0.2]{./fig/carres_pierre} 
    \end{minipage}
\end{exercise}

\begin{exercise}[subtitle={Développement}, step={5}, origin={Du chapeau}, topics={ Fraction Developpement Litteral }, tags={ Fractions, Developpement }]
    $x$ représente n'importe quel nombre. Développer les expressions suivantes
    \begin{multicols}{3}
    \begin{enumerate}[label={\Alph* =}]
            \item $3\times(3x + 8)$
            \item $4(10x + 5)$
            \item $10(- 9x + 6)$ 
            \item $- 3(2x - 10)$

            \item $- 9x(- 4x - 7)$
            \item $8x(3x - 4)$
            \item $- 10x(- 5x - 9)$
            \item $- 5x(- 4x + 9) + 3$

            \item $ - 3x(- 9x - 8) - 4x$
            \item $4x(- 5x - 2) - 5x$
            \item $\dfrac{4}{7} \times x(6x + 7)$
        \end{enumerate}
    \end{multicols}
\end{exercise}

\begin{solution}
    \begin{enumerate}[label={\Alph* =}]
        \item $3(3x + 8) = 3 \times 3x + 3 \times 8 = 3 \times 3 \times x + 24 = 9x + 24$
        \item $4(10x + 5) = 4 \times 10x + 4 \times 5 = 4 \times 10 \times x + 20 = 40x + 20$
        \item $10(- 9x + 6) = 10 \times - 9x + 10 \times 6 = 10(- 9) \times x + 60 = - 90x + 60$
        \item $- 3(2x - 10) = - 3 \times 2x - 3(- 10) = - 3 \times 2 \times x + 30 = - 6x + 30$

        \item $- 9x(- 4x - 7) = - 9x \times (- 4x) - 9x\times(- 7) = - 9\times(- 4) \times x^{1 + 1} - 7\times(- 9) \times x = 36x^{2} + 63x$
        \item $8x(3x - 4) = 8x \times 3x + 8x(- 4) = 8 \times 3 \times x^{1 + 1} - 4 \times 8 \times x = 24x^{2} - 32x$
        \item $- 10x(- 5x - 9) = - 10x \times - 5x - 10x(- 9) = - 10(- 5) \times x^{1 + 1} - 9(- 10) \times x = 50x^{2} + 90x$
        \item $- 5x(- 4x + 9) + 3 = - 5x \times - 4x - 5x \times 9 + 3 = - 5(- 4) \times x^{1 + 1} + 9(- 5) \times x + 3 = 20x^{2} - 45x + 3$

        \item $- 3x(- 9x - 8) - 4x = - 3x \times - 9x - 3x(- 8) - 4x = - 3(- 9) \times x^{1 + 1} - 8(- 3) \times x - 4x = 27x^{2} + 24x - 4x = 27x^{2} + (24 - 4) \times x = 27x^{2} + 20x$
        \item $4x(- 5x - 2) - 5x = 4x \times - 5x + 4x(- 2) - 5x = 4(- 5) \times x^{1 + 1} - 2 \times 4 \times x - 5x = - 20x^{2} - 8x - 5x = - 20x^{2} + (- 8 - 5) \times x = - 20x^{2} - 13x$
        \item $\dfrac{4}{7} \times x(6x + 7) = \dfrac{4}{7} \times x \times 6x + \dfrac{4}{7} \times x \times 7 = \dfrac{4}{7} \times 6 \times x^{1 + 1} + 7 \times \dfrac{4}{7} \times x = \dfrac{4 \times 6}{7} \times x^{2} + \dfrac{7 \times 4}{7} \times x = \dfrac{24}{7} \times x^{2} + \dfrac{28}{7} \times x$
    \end{enumerate}
\end{solution}