119 lines
6.8 KiB
TeX
119 lines
6.8 KiB
TeX
\begin{exercise}[subtitle={Triangle rectange}, step={2}, origin={Magnard 2nd 26p123}, topics={ Demontrastion Geometrique }, tags={ Géométrie, Démonstration }]
|
|
Dans un triangle $ABC$, on a : $AB = 9$, $BC = 12$ et $AC = 15$.
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\item Démontrer que $ABC$ est un triangle rectangle.
|
|
\item Calculer le périmètre puis l'aire du triangle.
|
|
\end{enumerate}
|
|
\end{exercise}
|
|
|
|
\begin{exercise}[subtitle={Carré inscrit}, step={2}, origin={Magnard 2nd 47p 124}, topics={ Demontrastion Geometrique }, tags={ Géométrie, Démonstration }]
|
|
On considère un carré $ABCD$ de centre $0$ et de côté $4cm$ et un disque de centre $0$ passant par les quatre sommets du carré.
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\item Calculer l'aire du carré.
|
|
\item Calculer le rayon du disque.
|
|
\item Calculer l'aire du disque.
|
|
\item En déduire la proportion de l'aire du disque qui n'est pas dans le carré.
|
|
\end{enumerate}
|
|
\end{exercise}
|
|
|
|
\begin{exercise}[subtitle={Carré inscrit}, step={2}, origin={Magnard 2nd 82p127}, topics={ Demontrastion Geometrique }, tags={ Géométrie, Démonstration }]
|
|
\begin{minipage}{0.6\linewidth}
|
|
On considère la figure ci-contre.
|
|
|
|
On sait que les points $A$, $B$, $C$ et $D$ sont sur le cercle de centre $O$, que $(CD)$ coupe $(AB)$ en angle droit et $[OB]$ en sont milieu.
|
|
|
|
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\item Compléter la figure avec éléments du texte.
|
|
\item Quelle est la médiatrice du segment $[OB]$?
|
|
\item Expliquer pourquoi $OD = DB = OB$.
|
|
\item Quelle est la nature du quadrilatère $ODBC$
|
|
\end{enumerate}
|
|
\end{minipage}
|
|
\hfill
|
|
\begin{minipage}{0.4\linewidth}
|
|
\definecolor{uuuuuu}{rgb}{0.26666666666666666,0.26666666666666666,0.26666666666666666}
|
|
\definecolor{ududff}{rgb}{0.30196078431372547,0.30196078431372547,1}
|
|
\begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,>=triangle 45,scale=0.4]
|
|
\clip(-14.06647017330993,-4.5399522546746125) rectangle (-1.0197835656300533,9.036755996442249);
|
|
\draw [line width=2pt] (-7.26,1.79) circle (4.932220595228888cm);
|
|
\draw [line width=2pt,domain=-14.06647017330993:-1.0197835656300533] plot(\x,{(--25.0116--2.38*\x)/4.32});
|
|
\draw [line width=2pt,domain=-14.06647017330993:-1.0197835656300533] plot(\x,{(--14.9396--4.32*\x)/-2.38});
|
|
\draw [fill=ududff] (-7.26,1.79) circle (2.5pt);
|
|
\draw[color=ududff] (-7.271320898476661,2.472641796953316) node {$O$};
|
|
\draw [fill=ududff] (-2.94,4.17) circle (2.5pt);
|
|
\draw[color=ududff] (-2.80011267563637,4.946076132992624) node {$B$};
|
|
\draw [fill=uuuuuu] (-11.58,-0.59) circle (2pt);
|
|
\draw[color=uuuuuu] (-11.416361956124955,0.14870074496033941) node {$A$};
|
|
\draw [fill=uuuuuu] (-7.161140461006964,6.721229744348776) circle (2pt);
|
|
\draw[color=uuuuuu] (-6.9451537332846645,7.297197782084933) node {$C$};
|
|
\draw [fill=uuuuuu] (-3,-0.7612297443487751) circle (2pt);
|
|
\draw[color=uuuuuu] (-2.4,-0.40850149557598825) node {$D$};
|
|
\end{tikzpicture}
|
|
\end{minipage}
|
|
\end{exercise}
|
|
|
|
\begin{exercise}[subtitle={Quadrilatère mystère}, step={4}, origin={Magnard 2nd 31p123}, topics={ Demontrastion Geometrique }, tags={ Géométrie, Démonstration }]
|
|
On considère un parallélogramme $ABCD$ tel que $B$ et $D$ ont le même projeté orthogonal sur la droite $(AC)$.
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\item Réaliser un croquis codé de la figure.
|
|
\item Démontrer que $(BD)$ et $(AC)$ sont perpendiculaires.
|
|
\item En déduire la nature de $ABCD$.
|
|
\end{enumerate}
|
|
\end{exercise}
|
|
|
|
\begin{solution}
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\item
|
|
\item On note $H$ le projeté orthogonal de $B$ sur $(AC)$ et $P$ celui de $D$ sur $(AC)$.
|
|
|
|
\textbf{On sait que} $H$ est le projeté orthogonal de $B$ sur $(AC)$. \textbf{Or} le projeté orthogonal est le point d'intersection de la perpendiculaire passant par le point et de la droite. \textbf{Donc} $(BH)$ est perpendiculaire à $(AC)$.
|
|
|
|
\textbf{On sait que} $P$ est le projeté orthogonal de $D$ sur $(AC)$. \textbf{Or} le projeté orthogonal est le point d'intersection de la perpendiculaire passant par le point et de la droite. \textbf{Donc} $(DP)$ est perpendiculaire à $(AC)$.
|
|
|
|
\textbf{On sait que} $B$ et $D$ ont le même projeté orthogonal sur la droite $(AC)$. \textbf{Donc} $H$ et $P$ sont un même point.
|
|
|
|
\textbf{On sait que} $(BH)$ est perpendiculaire à $(AC)$, $(DP)$ est perpendiculaire à $(AC)$ et que $H$ et $P$ sont un même point. \texbf{Donc} $(BD)$ est perpendiculaire à $(AC)$.
|
|
\item \textbf{On sait que } $ABCD$ est un parallélogramme et que $(BD)$ est perpendiculaire à $(AC)$. \textbf{Or} un parallélogramme qui a ses diagonales qui se coupent en angle droit est un losange. \textbf{Donc} $ABCD$ est un losange.
|
|
\end{enumerate}
|
|
\end{solution}
|
|
|
|
\begin{exercise}[subtitle={Longueurs et aire}, step={4}, origin={Magnard 2nd 41p124}, topics={ Demontrastion Geometrique }, tags={ Géométrie, Démonstration }]
|
|
On considère un rectangle $ABCD$ avec $AB=6$ et $BC=3$. On projette orthogonalement le point $B$ sur $(AC)$ en un point $H$.
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\item Calculer l'aire du triangle $ABC$.
|
|
\item Déterminer la longueur de la diagonale $[AC]$.
|
|
\item En déduire la longueur $BH$.
|
|
\end{enumerate}
|
|
\end{exercise}
|
|
|
|
\begin{solution}
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\item Aire du triangle $ABC$: $\dfrac{AB\times BC}{2} = \dfrac{6\times 3}{2} = 9$
|
|
\item \textbf{On sait que} $ABC$ est un triangle rectangle. \textbf{Or} d'après le théorème de Pythagore, on a \textbf{donc}
|
|
\begin{enarray*}
|
|
|
|
AC^2 = AB^2 + BC^2\\
|
|
AC^2 = 6^2 + 3^2 = 36 + 9 = 45\\
|
|
AC \approx 6.7
|
|
\end{enarray*}
|
|
\item On sait que l'aire du triangle $ABC$ est égale à 9.
|
|
\begin{eqnarray*}
|
|
9 = \frac{AC\times BH}{2} = \frac{6,7\tilmes BH}{2}\\
|
|
BH = \frac{9 \times 2}{6,7} \approx 2,7
|
|
\end{eqnarray*}
|
|
Donc $BH = 2,7$
|
|
\end{enumerate}
|
|
|
|
\end{solution}
|
|
|
|
\begin{exercise}[subtitle={Longueurs}, step={4}, origin={Magnard 2nd 42p124}, topics={ Demontrastion Geometrique }, tags={ Géométrie, Démonstration }]
|
|
On considère deux droites $d$ et $d'$ sécantes en un point $O$ et un point $A$ n'appartenant ni à $d$ ni à $d'$.
|
|
|
|
On projette orthogonalement le point $A$ sur la droite $d$ en un point $H$ et sur $d'$ en un point $K$. La droite $(AH)$ coupe $d'$ en un point $B$ et $(AK)$ coupe la droite $d$ en un point $C$.
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\item Réaliser un croquis codé de la figure.
|
|
\item Démontrer que les droites $(AO)$ et $(BC)$ sont perpendiculaires.
|
|
\end{enumerate}
|
|
\end{exercise}
|