2021-2022/2nd/04_Demontrastion_Geometrique/exercises.tex

\begin{exercise}[subtitle={Triangle rectange}, step={2}, origin={Magnard 2nd 26p123}, topics={ Demontrastion Geometrique }, tags={ Géométrie, Démonstration }]
    Dans un triangle $ABC$, on a : $AB = 9$, $BC = 12$ et $AC = 15$.
    \begin{enumerate}
        \item Démontrer que $ABC$ est un triangle rectangle.
        \item Calculer le périmètre puis l'aire du triangle.
    \end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}[subtitle={Carré inscrit}, step={2}, origin={Magnard 2nd 47p 124}, topics={ Demontrastion Geometrique }, tags={ Géométrie, Démonstration }]
    On considère un carré $ABCD$ de centre $0$ et de côté $4cm$ et un disque de centre $0$ passant par les quatre sommets du carré.
    \begin{enumerate}
        \item Calculer l'aire du carré.
        \item Calculer le rayon du disque.
        \item Calculer l'aire du disque.
        \item En déduire la proportion de l'aire du disque qui n'est pas dans le carré.
    \end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}[subtitle={Carré inscrit}, step={2}, origin={Magnard 2nd 82p127}, topics={ Demontrastion Geometrique }, tags={ Géométrie, Démonstration }]
    \begin{minipage}{0.6\linewidth}
        On considère la figure ci-contre.

        On sait que les points $A$, $B$, $C$ et $D$ sont sur le cercle de centre $O$, que $(CD)$ coupe $(AB)$ en angle droit et $[OB]$ en sont milieu.


        \begin{enumerate}
            \item Compléter la figure avec éléments du texte.
            \item Quelle est la médiatrice du segment $[OB]$?
            \item Expliquer pourquoi $OD = DB = OB$.
            \item Quelle est la nature du quadrilatère $ODBC$
        \end{enumerate}
    \end{minipage}
    \hfill
    \begin{minipage}{0.4\linewidth}
        \definecolor{uuuuuu}{rgb}{0.26666666666666666,0.26666666666666666,0.26666666666666666}
        \definecolor{ududff}{rgb}{0.30196078431372547,0.30196078431372547,1}
        \begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,>=triangle 45,scale=0.4]
            \clip(-14.06647017330993,-4.5399522546746125) rectangle (-1.0197835656300533,9.036755996442249);
            \draw [line width=2pt] (-7.26,1.79) circle (4.932220595228888cm);
            \draw [line width=2pt,domain=-14.06647017330993:-1.0197835656300533] plot(\x,{(--25.0116--2.38*\x)/4.32});
            \draw [line width=2pt,domain=-14.06647017330993:-1.0197835656300533] plot(\x,{(--14.9396--4.32*\x)/-2.38});
            \draw [fill=ududff] (-7.26,1.79) circle (2.5pt);
            \draw[color=ududff] (-7.271320898476661,2.472641796953316) node {$O$};
            \draw [fill=ududff] (-2.94,4.17) circle (2.5pt);
            \draw[color=ududff] (-2.80011267563637,4.946076132992624) node {$B$};
            \draw [fill=uuuuuu] (-11.58,-0.59) circle (2pt);
            \draw[color=uuuuuu] (-11.416361956124955,0.14870074496033941) node {$A$};
            \draw [fill=uuuuuu] (-7.161140461006964,6.721229744348776) circle (2pt);
            \draw[color=uuuuuu] (-6.9451537332846645,7.297197782084933) node {$C$};
            \draw [fill=uuuuuu] (-3,-0.7612297443487751) circle (2pt);
            \draw[color=uuuuuu] (-2.4,-0.40850149557598825) node {$D$};
        \end{tikzpicture}
    \end{minipage}
\end{exercise}

\begin{exercise}[subtitle={Quadrilatère mystère}, step={4}, origin={Magnard 2nd 31p123}, topics={ Demontrastion Geometrique }, tags={ Géométrie, Démonstration }]
    On considère un parallélogramme $ABCD$ tel que $B$ et $D$ ont le même projeté orthogonal sur la droite $(AC)$.
    \begin{enumerate}
        \item Réaliser un croquis codé de la figure.
        \item Démontrer que $(BD)$ et $(AC)$ sont perpendiculaires.
        \item En déduire la nature de $ABCD$.
    \end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{solution}
    \begin{enumerate}
        \item 
        \item On note $H$ le projeté orthogonal de $B$ sur $(AC)$ et $P$ celui de $D$ sur $(AC)$.

            \textbf{On sait que} $H$ est le projeté orthogonal de $B$ sur $(AC)$. \textbf{Or} le projeté orthogonal est le point d'intersection de la perpendiculaire passant par le point et de la droite. \textbf{Donc} $(BH)$ est perpendiculaire à $(AC)$.

            \textbf{On sait que} $P$ est le projeté orthogonal de $D$ sur $(AC)$. \textbf{Or} le projeté orthogonal est le point d'intersection de la perpendiculaire passant par le point et de la droite. \textbf{Donc} $(DP)$ est perpendiculaire à $(AC)$.

            \textbf{On sait que} $B$ et $D$ ont le même projeté orthogonal sur la droite $(AC)$. \textbf{Donc} $H$ et $P$ sont un même point.

            \textbf{On sait que} $(BH)$ est perpendiculaire à $(AC)$, $(DP)$ est perpendiculaire à $(AC)$ et que $H$ et $P$ sont un même point. \texbf{Donc} $(BD)$ est perpendiculaire à $(AC)$.
        \item \textbf{On sait que } $ABCD$ est un parallélogramme et que  $(BD)$ est perpendiculaire à $(AC)$. \textbf{Or} un parallélogramme qui a ses diagonales qui se coupent en angle droit est un losange. \textbf{Donc} $ABCD$ est un losange.
    \end{enumerate}
\end{solution}

\begin{exercise}[subtitle={Longueurs et aire}, step={4}, origin={Magnard 2nd 41p124}, topics={ Demontrastion Geometrique }, tags={ Géométrie, Démonstration }]
    On considère un rectangle $ABCD$ avec $AB=6$ et $BC=3$. On projette orthogonalement le point $B$ sur $(AC)$ en un point $H$.
    \begin{enumerate}
        \item Calculer l'aire du triangle $ABC$.
        \item Déterminer la longueur de la diagonale $[AC]$.
        \item En déduire la longueur $BH$.
    \end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{solution}
    \begin{enumerate}
        \item Aire du triangle $ABC$: $\dfrac{AB\times BC}{2} = \dfrac{6\times 3}{2} = 9$
        \item \textbf{On sait que} $ABC$ est un triangle rectangle. \textbf{Or} d'après le théorème de Pythagore, on a \textbf{donc}
            \begin{enarray*}
                
                AC^2 = AB^2 + BC^2\\
                AC^2 = 6^2 + 3^2 = 36 + 9 = 45\\
                AC \approx 6.7
            \end{enarray*}
        \item On sait que l'aire du triangle $ABC$ est égale à 9.
            \begin{eqnarray*}
                9 = \frac{AC\times BH}{2} = \frac{6,7\tilmes BH}{2}\\
                BH = \frac{9 \times 2}{6,7} \approx 2,7
            \end{eqnarray*}
            Donc $BH = 2,7$
    \end{enumerate}
    
\end{solution}

\begin{exercise}[subtitle={Longueurs}, step={4}, origin={Magnard 2nd 42p124}, topics={ Demontrastion Geometrique }, tags={ Géométrie, Démonstration }]
    On considère deux droites $d$ et $d'$ sécantes en un point $O$ et un point $A$ n'appartenant ni à $d$ ni à $d'$.

    On projette orthogonalement le point $A$ sur la droite $d$ en un point $H$ et sur $d'$ en un point $K$. La droite $(AH)$ coupe $d'$ en un point $B$ et $(AK)$ coupe la droite $d$ en un point $C$.
    \begin{enumerate}
        \item Réaliser un croquis codé de la figure.
        \item Démontrer que les droites $(AO)$ et $(BC)$ sont perpendiculaires.
    \end{enumerate}
\end{exercise}