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TeX
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\documentclass[a4paper,12pt]{article}
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\usepackage{myXsim}
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\usepackage{pgfplots}
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\usetikzlibrary{decorations.markings}
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\pgfplotsset{compat=1.18}
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\title{ DM1 \hfill SORIANO Johan}
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\tribe{1ST}
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\date{A rendre pour le lundi 27 mars 2023}
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\duree{}
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\xsimsetup{
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solution/print = false
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}
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\pagestyle{empty}
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\begin{document}
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\maketitle
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Le barème est donné à titre indicatif, il pourra être modifié.
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\begin{exercise}[subtitle={Polynôme de degré 2}]
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Développer les expressions suivantes pour vérifier que ce sont des polynômes de degré 2. Vous préciserez les valeurs de $a$, $b$ et $c$.
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\begin{multicols}{2}
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\begin{enumerate}
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\item $f(x) = (5x - 2)(5x - 2)$
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\item $g(x) = (- 4x - 4)^{2}$
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\item $h(x) = - 9 + x(- 9x + 5)$
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\item $i(x) = - 4x^{2} + x(5x - 4)$
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\item $j(x) = 3(x - 10)(x - 6)$
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\item $k(x) = 6(x + 7)(x - 9)$
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\end{enumerate}
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\end{multicols}
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\end{exercise}
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\begin{solution}
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\begin{enumerate}
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\item
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\begin{align*}
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f(x) &= (5x - 2)(5x - 2)\\&= 5x \times 5x + 5x(- 2) - 2 \times 5x - 2(- 2)\\&= 5 \times 5 \times x^{1 + 1} - 2 \times 5 \times x - 2 \times 5 \times x + 4\\&= - 10x - 10x + 25x^{2} + 4\\&= (- 10 - 10) \times x + 25x^{2} + 4\\&= 25x^{2} - 20x + 4
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\end{align*}
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C'est un polynôme de degré 2 avec $a = 25$, $b = - 20$ et $c = 4$.
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\item
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\begin{align*}
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g(x) &= (- 4x - 4)^{2}\\&= (- 4x - 4)(- 4x - 4)\\&= - 4x \times - 4x - 4x(- 4) - 4 \times - 4x - 4(- 4)\\&= - 4(- 4) \times x^{1 + 1} - 4(- 4) \times x - 4(- 4) \times x + 16\\&= 16x + 16x + 16x^{2} + 16\\&= (16 + 16) \times x + 16x^{2} + 16\\&= 16x^{2} + 32x + 16
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\end{align*}
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C'est un polynôme de degré 2 avec $a = 16$, $b = 32$ et $c = 16$.
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\item
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\begin{align*}
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h(x) &= - 9 + x(- 9x + 5)\\&= - 9 + x \times - 9x + x \times 5\\&= - 9x^{2} + 5x - 9
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\end{align*}
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C'est un polynôme de degré 2 avec $a = - 9$, $b = 5$ et $c = - 9$.
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\item
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\begin{align*}
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i(x) &= - 4x^{2} + x(5x - 4)\\&= - 4x^{2} + x \times 5x + x(- 4)\\&= - 4x^{2} + 5x^{2} - 4x\\&= - 4x^{2} + 5x^{2} - 4x\\&= (- 4 + 5) \times x^{2} - 4x\\&= x^{2} - 4x
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\end{align*}
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C'est un polynôme de degré 2 avec $a = 1$, $b = - 4$ et $c = 0$.
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\item
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\begin{align*}
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j(x) &= 3(x - 10)(x - 6)\\&= (3x + 3(- 10))(x - 6)\\&= (3x - 30)(x - 6)\\&= 3x \times x + 3x(- 6) - 30x - 30(- 6)\\&= - 6 \times 3 \times x + 180 + 3x^{2} - 30x\\&= - 18x + 180 + 3x^{2} - 30x\\&= 3x^{2} - 18x - 30x + 180\\&= 3x^{2} + (- 18 - 30) \times x + 180\\&= 3x^{2} - 48x + 180
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\end{align*}
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C'est un polynôme de degré 2 avec $a = 3$, $b = - 48$ et $c = 180$.
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\item
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\begin{align*}
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k(x) &= 6(x + 7)(x - 9)\\&= (6x + 6 \times 7)(x - 9)\\&= (6x + 42)(x - 9)\\&= 6x \times x + 6x(- 9) + 42x + 42(- 9)\\&= - 9 \times 6 \times x - 378 + 6x^{2} + 42x\\&= - 54x - 378 + 6x^{2} + 42x\\&= 6x^{2} - 54x + 42x - 378\\&= 6x^{2} + (- 54 + 42) \times x - 378\\&= 6x^{2} - 12x - 378
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\end{align*}
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C'est un polynôme de degré 2 avec $a = 6$, $b = - 12$ et $c = - 378$.
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\end{enumerate}
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\end{solution}
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\begin{exercise}[subtitle={Étude de fonctions}]
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Soit $f(x) = - 7x^{2} + 21x + 28$ une fonction définie sur $\R$.
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\begin{enumerate}
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\item Calculer les valeurs suivantes
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\[
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f(1) \qquad f(-2)
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\]
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\item Dériver la fonction $f$
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\item Étudier le signe de $f'$ puis en déduire les variations de $f$.
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\item Est-ce que $f$ admet un maximum? un minimum? Calculer sa valeur.
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\end{enumerate}
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\end{exercise}
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\begin{solution}
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\begin{enumerate}
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\item On remplace $x$ par les valeurs demandées
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\[
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f(1) = - 7 \times 1^{2} + 21 \times 1 + 28=- 7 \times 1 + 21 + 28=- 7 + 49=42
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\]
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\[
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f(-1) = - 7 \times - 1^{2} + 21(- 1) + 28=- 7 \times 1 - 21 + 28=- 7 + 7=0
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\]
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\item Dérivation
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\[
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f'(x) = - 14x + 21
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\]
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\item Pas de solutions automatiques.
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|
\item Pas de solutions automatiques.
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\end{enumerate}
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\end{solution}
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\begin{exercise}[subtitle={Enclos}]
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Dans son garage, Jean a trouvé 17m de grillage. \\
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Il décide de l'utiliser pour faire un enclos rectangulaire. Afin d'obtenir un enclos encore plus grand, il veut utiliser le mur du jardin qui formera un côté. Le grillage formera les 3 autres.
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\begin{center}
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\includegraphics[scale=0.8]{./fig/enclos}
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\end{center}
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Comment placer les poteaux pour avoir un enclos le plus grand possible ?
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\textit{Cet exercice est un exercice de recherche. Vous êtes invité à utiliser les outils que vous voulez. Une part importante de la note sera dédiée à la rédaction et aux explications de ce que vous faites. Vous êtes encouragé à faire des schémas.}
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\textit{Si vous utilisez le tableur, vous devrez le mentionner et m'envoyer le tableur à l'adresse \url{benjamin.bertrand@ac-lyon.fr}}
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\end{exercise}
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\begin{solution}
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Formule de l'aire (en notant $x$ la longueur du côté de l'enclos à côté du mur)
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\[
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A(x) = x(17 - 2x) = - 2x^{2} + 17x
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\]
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On va donc étudier les variations de la fonction $A(x) = - 2x^{2} + 17x$
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\begin{itemize}
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\item Fonction dérivée : $A'(x) = - 4x + 17$
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\item On résout l'inéquation $A'(x) \geq 0$ pour déterminer quand la fonction $A'$ est positive.
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\begin{align*}
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A(x) & \geq 0 \\
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- 4x + 17 & \geq 0 \\
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- 4x + 17 + - 17 &\geq 0 + - 17 \\
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- 4x &\geq - 17 \\
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\frac{- 4x}{- 4} &\leq \frac{- 17}{- 4} \\
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x &\leq \dfrac{17}{4} \\
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\end{align*}
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Donc $A(x)$ est positif quand $x$ est plus \textbf{petit} que $\dfrac{17}{4}$
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\item
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\begin{center}
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\begin{tikzpicture}
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\tkzTabInit[lgt=3,espcl=4]{$x$/1,Signe de $f'(x)$/2, Variations de $f(x)$/2}{, $\dfrac{17}{4}$ ,}%
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\tkzTabLine{, +, z, -, }
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\tkzTabVar{-/ ,+/$f(\dfrac{17}{4}) = \dfrac{578}{16}$ , -/}%
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\end{tikzpicture}
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|
\end{center}
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|
\end{itemize}
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Pour avoir le plus grand enclos, il faut placer les poteaux à 6m du mur et on aura alors un enclos de $72m^2$.
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\end{solution}
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\end{document}
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%%% Local Variables:
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%%% mode: latex
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%%% TeX-master: "master"
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%%% End:
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