Feat(1ST): DM1
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\documentclass[a4paper,12pt]{article}
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\usepackage{myXsim}
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\usepackage{pgfplots}
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\usetikzlibrary{decorations.markings}
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\pgfplotsset{compat=1.18}
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\title{ DM1 \hfill ANEX DIT CHENAUD Lou}
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\tribe{1ST}
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\date{A rendre pour le lundi 27 mars 2023}
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\duree{}
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\xsimsetup{
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solution/print = false
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}
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\pagestyle{empty}
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\begin{document}
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\maketitle
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Le barème est donné à titre indicatif, il pourra être modifié.
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\begin{exercise}[subtitle={Polynôme de degré 2}]
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Développer les expressions suivantes pour vérifier que ce sont des polynômes de degré 2. Vous préciserez les valeurs de $a$, $b$ et $c$.
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\begin{multicols}{2}
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\begin{enumerate}
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\item $f(x) = (- 6x + 3)(- 7x + 3)$
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||||
\item $g(x) = (10x - 3)^{2}$
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||||
\item $h(x) = - 4 + x(- 7x - 10)$
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||||
\item $i(x) = - 4x^{2} + x(- 8x - 1)$
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||||
\item $j(x) = - 3(x + 6)(x + 8)$
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\item $k(x) = 6(x + 5)(x - 10)$
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\end{enumerate}
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\end{multicols}
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\end{exercise}
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\begin{solution}
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\begin{enumerate}
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\item
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\begin{align*}
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f(x) &= (- 6x + 3)(- 7x + 3)\\&= - 6x \times - 7x - 6x \times 3 + 3 \times - 7x + 3 \times 3\\&= - 6(- 7) \times x^{1 + 1} + 3(- 6) \times x + 3(- 7) \times x + 9\\&= - 18x - 21x + 42x^{2} + 9\\&= (- 18 - 21) \times x + 42x^{2} + 9\\&= 42x^{2} - 39x + 9
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||||
\end{align*}
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||||
C'est un polynôme de degré 2 avec $a = 42$, $b = - 39$ et $c = 9$.
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\item
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||||
\begin{align*}
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||||
g(x) &= (10x - 3)^{2}\\&= (10x - 3)(10x - 3)\\&= 10x \times 10x + 10x(- 3) - 3 \times 10x - 3(- 3)\\&= 10 \times 10 \times x^{1 + 1} - 3 \times 10 \times x - 3 \times 10 \times x + 9\\&= - 30x - 30x + 100x^{2} + 9\\&= (- 30 - 30) \times x + 100x^{2} + 9\\&= 100x^{2} - 60x + 9
|
||||
\end{align*}
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||||
C'est un polynôme de degré 2 avec $a = 100$, $b = - 60$ et $c = 9$.
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||||
\item
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||||
\begin{align*}
|
||||
h(x) &= - 4 + x(- 7x - 10)\\&= - 4 + x \times - 7x + x(- 10)\\&= - 7x^{2} - 10x - 4
|
||||
\end{align*}
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||||
C'est un polynôme de degré 2 avec $a = - 7$, $b = - 10$ et $c = - 4$.
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||||
\item
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||||
\begin{align*}
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||||
i(x) &= - 4x^{2} + x(- 8x - 1)\\&= - 4x^{2} + x \times - 8x + x(- 1)\\&= - 4x^{2} - 8x^{2} - x\\&= - 4x^{2} - 8x^{2} - x\\&= (- 4 - 8) \times x^{2} - x\\&= - 12x^{2} - x
|
||||
\end{align*}
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||||
C'est un polynôme de degré 2 avec $a = - 12$, $b = - 1$ et $c = 0$.
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\item
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\begin{align*}
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||||
j(x) &= - 3(x + 6)(x + 8)\\&= (- 3x - 3 \times 6)(x + 8)\\&= (- 3x - 18)(x + 8)\\&= - 3x \times x - 3x \times 8 - 18x - 18 \times 8\\&= 8(- 3) \times x - 144 - 3x^{2} - 18x\\&= - 24x - 144 - 3x^{2} - 18x\\&= - 3x^{2} - 24x - 18x - 144\\&= - 3x^{2} + (- 24 - 18) \times x - 144\\&= - 3x^{2} - 42x - 144
|
||||
\end{align*}
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||||
C'est un polynôme de degré 2 avec $a = - 3$, $b = - 42$ et $c = - 144$.
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||||
\item
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||||
\begin{align*}
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||||
k(x) &= 6(x + 5)(x - 10)\\&= (6x + 6 \times 5)(x - 10)\\&= (6x + 30)(x - 10)\\&= 6x \times x + 6x(- 10) + 30x + 30(- 10)\\&= - 10 \times 6 \times x - 300 + 6x^{2} + 30x\\&= - 60x - 300 + 6x^{2} + 30x\\&= 6x^{2} - 60x + 30x - 300\\&= 6x^{2} + (- 60 + 30) \times x - 300\\&= 6x^{2} - 30x - 300
|
||||
\end{align*}
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||||
C'est un polynôme de degré 2 avec $a = 6$, $b = - 30$ et $c = - 300$.
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\end{enumerate}
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\end{solution}
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\begin{exercise}[subtitle={Étude de fonctions}]
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Soit $f(x) = - 2x^{2} + 32x - 120$ une fonction définie sur $\R$.
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||||
\begin{enumerate}
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||||
\item Calculer les valeurs suivantes
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\[
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||||
f(1) \qquad f(-2)
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||||
\]
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||||
\item Dériver la fonction $f$
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||||
\item Étudier le signe de $f'$ puis en déduire les variations de $f$.
|
||||
\item Est-ce que $f$ admet un maximum? un minimum? Calculer sa valeur.
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||||
\end{enumerate}
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||||
\end{exercise}
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\begin{solution}
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\begin{enumerate}
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||||
\item On remplace $x$ par les valeurs demandées
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\[
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||||
f(1) = - 2 \times 1^{2} + 32 \times 1 - 120=- 2 \times 1 + 32 - 120=- 2 - 88=- 90
|
||||
\]
|
||||
\[
|
||||
f(-1) = - 2 \times - 1^{2} + 32(- 1) - 120=- 2 \times 1 - 32 - 120=- 2 - 152=- 154
|
||||
\]
|
||||
\item Dérivation
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||||
\[
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||||
f'(x) = - 4x + 32
|
||||
\]
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||||
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||||
\item Pas de solutions automatiques.
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||||
\item Pas de solutions automatiques.
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||||
\end{enumerate}
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||||
\end{solution}
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||||
\begin{exercise}[subtitle={Enclos}]
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||||
Dans son garage, Jean a trouvé 24m de grillage. \\
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||||
Il décide de l'utiliser pour faire un enclos rectangulaire. Afin d'obtenir un enclos encore plus grand, il veut utiliser le mur du jardin qui formera un côté. Le grillage formera les 3 autres.
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\begin{center}
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||||
\includegraphics[scale=0.8]{./fig/enclos}
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\end{center}
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||||
Comment placer les poteaux pour avoir un enclos le plus grand possible ?
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||||
\textit{Cet exercice est un exercice de recherche. Vous êtes invité à utiliser les outils que vous voulez. Une part importante de la note sera dédiée à la rédaction et aux explications de ce que vous faites. Vous êtes encouragé à faire des schémas.}
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||||
\textit{Si vous utilisez le tableur, vous devrez le mentionner et m'envoyer le tableur à l'adresse \url{benjamin.bertrand@ac-lyon.fr}}
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\end{exercise}
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||||
\begin{solution}
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Formule de l'aire (en notant $x$ la longueur du côté de l'enclos à côté du mur)
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\[
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||||
A(x) = x(24 - 2x) = - 2x^{2} + 24x
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\]
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||||
On va donc étudier les variations de la fonction $A(x) = - 2x^{2} + 24x$
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||||
\begin{itemize}
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||||
\item Fonction dérivée : $A'(x) = - 4x + 24$
|
||||
\item On résout l'inéquation $A'(x) \geq 0$ pour déterminer quand la fonction $A'$ est positive.
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||||
\begin{align*}
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||||
A(x) & \geq 0 \\
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||||
- 4x + 24 & \geq 0 \\
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||||
- 4x + 24 + - 24 &\geq 0 + - 24 \\
|
||||
- 4x &\geq - 24 \\
|
||||
\frac{- 4x}{- 4} &\leq \frac{- 24}{- 4} \\
|
||||
x &\leq 6 \\
|
||||
\end{align*}
|
||||
Donc $A(x)$ est positif quand $x$ est plus \textbf{petit} que $6$
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||||
\item
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||||
\begin{center}
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||||
\begin{tikzpicture}
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||||
\tkzTabInit[lgt=3,espcl=4]{$x$/1,Signe de $f'(x)$/2, Variations de $f(x)$/2}{, $6$ ,}%
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||||
\tkzTabLine{, +, z, -, }
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||||
\tkzTabVar{-/ ,+/$f(6) = 72$ , -/}%
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||||
\end{tikzpicture}
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||||
\end{center}
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||||
\end{itemize}
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||||
Pour avoir le plus grand enclos, il faut placer les poteaux à 6m du mur et on aura alors un enclos de $72m^2$.
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||||
\end{solution}
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\end{document}
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%%% Local Variables:
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%%% mode: latex
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%%% TeX-master: "master"
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%%% End:
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@ -0,0 +1,158 @@
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\documentclass[a4paper,12pt]{article}
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\usepackage{myXsim}
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\usepackage{pgfplots}
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||||
\usetikzlibrary{decorations.markings}
|
||||
\pgfplotsset{compat=1.18}
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||||
\title{ DM1 \hfill BADEL Melinda}
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\tribe{1ST}
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\date{A rendre pour le lundi 27 mars 2023}
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\duree{}
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\xsimsetup{
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solution/print = false
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}
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||||
\pagestyle{empty}
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\begin{document}
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\maketitle
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||||
Le barème est donné à titre indicatif, il pourra être modifié.
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|
||||
\begin{exercise}[subtitle={Polynôme de degré 2}]
|
||||
|
||||
Développer les expressions suivantes pour vérifier que ce sont des polynômes de degré 2. Vous préciserez les valeurs de $a$, $b$ et $c$.
|
||||
\begin{multicols}{2}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item $f(x) = (4x - 9)(5x - 9)$
|
||||
\item $g(x) = (- 4x - 2)^{2}$
|
||||
\item $h(x) = 5 + x(- 8x - 6)$
|
||||
\item $i(x) = - 9x^{2} + x(8x - 2)$
|
||||
\item $j(x) = - 5(x - 3)(x - 4)$
|
||||
\item $k(x) = 3(x - 2)(x + 10)$
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{multicols}
|
||||
\end{exercise}
|
||||
|
||||
\begin{solution}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item
|
||||
\begin{align*}
|
||||
f(x) &= (4x - 9)(5x - 9)\\&= 4x \times 5x + 4x(- 9) - 9 \times 5x - 9(- 9)\\&= 4 \times 5 \times x^{1 + 1} - 9 \times 4 \times x - 9 \times 5 \times x + 81\\&= - 36x - 45x + 20x^{2} + 81\\&= (- 36 - 45) \times x + 20x^{2} + 81\\&= 20x^{2} - 81x + 81
|
||||
\end{align*}
|
||||
C'est un polynôme de degré 2 avec $a = 20$, $b = - 81$ et $c = 81$.
|
||||
\item
|
||||
\begin{align*}
|
||||
g(x) &= (- 4x - 2)^{2}\\&= (- 4x - 2)(- 4x - 2)\\&= - 4x \times - 4x - 4x(- 2) - 2 \times - 4x - 2(- 2)\\&= - 4(- 4) \times x^{1 + 1} - 2(- 4) \times x - 2(- 4) \times x + 4\\&= 8x + 8x + 16x^{2} + 4\\&= (8 + 8) \times x + 16x^{2} + 4\\&= 16x^{2} + 16x + 4
|
||||
\end{align*}
|
||||
C'est un polynôme de degré 2 avec $a = 16$, $b = 16$ et $c = 4$.
|
||||
\item
|
||||
\begin{align*}
|
||||
h(x) &= 5 + x(- 8x - 6)\\&= 5 + x \times - 8x + x(- 6)\\&= - 8x^{2} - 6x + 5
|
||||
\end{align*}
|
||||
C'est un polynôme de degré 2 avec $a = - 8$, $b = - 6$ et $c = 5$.
|
||||
\item
|
||||
\begin{align*}
|
||||
i(x) &= - 9x^{2} + x(8x - 2)\\&= - 9x^{2} + x \times 8x + x(- 2)\\&= - 9x^{2} + 8x^{2} - 2x\\&= - 9x^{2} + 8x^{2} - 2x\\&= (- 9 + 8) \times x^{2} - 2x\\&= - x^{2} - 2x
|
||||
\end{align*}
|
||||
C'est un polynôme de degré 2 avec $a = - 1$, $b = - 2$ et $c = 0$.
|
||||
\item
|
||||
\begin{align*}
|
||||
j(x) &= - 5(x - 3)(x - 4)\\&= (- 5x - 5(- 3))(x - 4)\\&= (- 5x + 15)(x - 4)\\&= - 5x \times x - 5x(- 4) + 15x + 15(- 4)\\&= - 4(- 5) \times x - 60 - 5x^{2} + 15x\\&= 20x - 60 - 5x^{2} + 15x\\&= - 5x^{2} + 20x + 15x - 60\\&= - 5x^{2} + (20 + 15) \times x - 60\\&= - 5x^{2} + 35x - 60
|
||||
\end{align*}
|
||||
C'est un polynôme de degré 2 avec $a = - 5$, $b = 35$ et $c = - 60$.
|
||||
\item
|
||||
\begin{align*}
|
||||
k(x) &= 3(x - 2)(x + 10)\\&= (3x + 3(- 2))(x + 10)\\&= (3x - 6)(x + 10)\\&= 3x \times x + 3x \times 10 - 6x - 6 \times 10\\&= 10 \times 3 \times x - 60 + 3x^{2} - 6x\\&= 30x - 60 + 3x^{2} - 6x\\&= 3x^{2} + 30x - 6x - 60\\&= 3x^{2} + (30 - 6) \times x - 60\\&= 3x^{2} + 24x - 60
|
||||
\end{align*}
|
||||
C'est un polynôme de degré 2 avec $a = 3$, $b = 24$ et $c = - 60$.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{solution}
|
||||
|
||||
|
||||
\begin{exercise}[subtitle={Étude de fonctions}]
|
||||
Soit $f(x) = 4x^{2} + 20x - 56$ une fonction définie sur $\R$.
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Calculer les valeurs suivantes
|
||||
\[
|
||||
f(1) \qquad f(-2)
|
||||
\]
|
||||
\item Dériver la fonction $f$
|
||||
\item Étudier le signe de $f'$ puis en déduire les variations de $f$.
|
||||
\item Est-ce que $f$ admet un maximum? un minimum? Calculer sa valeur.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{exercise}
|
||||
|
||||
\begin{solution}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item On remplace $x$ par les valeurs demandées
|
||||
\[
|
||||
f(1) = 4 \times 1^{2} + 20 \times 1 - 56=4 \times 1 + 20 - 56=4 - 36=- 32
|
||||
\]
|
||||
\[
|
||||
f(-1) = 4 \times - 1^{2} + 20(- 1) - 56=4 \times 1 - 20 - 56=4 - 76=- 72
|
||||
\]
|
||||
\item Dérivation
|
||||
\[
|
||||
f'(x) = 8x + 20
|
||||
\]
|
||||
|
||||
\item Pas de solutions automatiques.
|
||||
\item Pas de solutions automatiques.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{solution}
|
||||
|
||||
\begin{exercise}[subtitle={Enclos}]
|
||||
Dans son garage, Jean a trouvé 37m de grillage. \\
|
||||
Il décide de l'utiliser pour faire un enclos rectangulaire. Afin d'obtenir un enclos encore plus grand, il veut utiliser le mur du jardin qui formera un côté. Le grillage formera les 3 autres.
|
||||
|
||||
\begin{center}
|
||||
\includegraphics[scale=0.8]{./fig/enclos}
|
||||
\end{center}
|
||||
|
||||
Comment placer les poteaux pour avoir un enclos le plus grand possible ?
|
||||
|
||||
\textit{Cet exercice est un exercice de recherche. Vous êtes invité à utiliser les outils que vous voulez. Une part importante de la note sera dédiée à la rédaction et aux explications de ce que vous faites. Vous êtes encouragé à faire des schémas.}
|
||||
|
||||
\textit{Si vous utilisez le tableur, vous devrez le mentionner et m'envoyer le tableur à l'adresse \url{benjamin.bertrand@ac-lyon.fr}}
|
||||
|
||||
\end{exercise}
|
||||
|
||||
\begin{solution}
|
||||
Formule de l'aire (en notant $x$ la longueur du côté de l'enclos à côté du mur)
|
||||
\[
|
||||
A(x) = x(37 - 2x) = - 2x^{2} + 37x
|
||||
\]
|
||||
On va donc étudier les variations de la fonction $A(x) = - 2x^{2} + 37x$
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item Fonction dérivée : $A'(x) = - 4x + 37$
|
||||
\item On résout l'inéquation $A'(x) \geq 0$ pour déterminer quand la fonction $A'$ est positive.
|
||||
\begin{align*}
|
||||
A(x) & \geq 0 \\
|
||||
- 4x + 37 & \geq 0 \\
|
||||
- 4x + 37 + - 37 &\geq 0 + - 37 \\
|
||||
- 4x &\geq - 37 \\
|
||||
\frac{- 4x}{- 4} &\leq \frac{- 37}{- 4} \\
|
||||
x &\leq \dfrac{37}{4} \\
|
||||
\end{align*}
|
||||
Donc $A(x)$ est positif quand $x$ est plus \textbf{petit} que $\dfrac{37}{4}$
|
||||
\item
|
||||
\begin{center}
|
||||
\begin{tikzpicture}
|
||||
\tkzTabInit[lgt=3,espcl=4]{$x$/1,Signe de $f'(x)$/2, Variations de $f(x)$/2}{, $\dfrac{37}{4}$ ,}%
|
||||
\tkzTabLine{, +, z, -, }
|
||||
\tkzTabVar{-/ ,+/$f(\dfrac{37}{4}) = \dfrac{2738}{16}$ , -/}%
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\end{center}
|
||||
\end{itemize}
|
||||
Pour avoir le plus grand enclos, il faut placer les poteaux à 6m du mur et on aura alors un enclos de $72m^2$.
|
||||
|
||||
\end{solution}
|
||||
\end{document}
|
||||
|
||||
%%% Local Variables:
|
||||
%%% mode: latex
|
||||
%%% TeX-master: "master"
|
||||
%%% End:
|
||||
Binary file not shown.
|
|
@ -0,0 +1,158 @@
|
|||
\documentclass[a4paper,12pt]{article}
|
||||
\usepackage{myXsim}
|
||||
\usepackage{pgfplots}
|
||||
\usetikzlibrary{decorations.markings}
|
||||
\pgfplotsset{compat=1.18}
|
||||
|
||||
\title{ DM1 \hfill BALTA Zina}
|
||||
\tribe{1ST}
|
||||
\date{A rendre pour le lundi 27 mars 2023}
|
||||
\duree{}
|
||||
|
||||
\xsimsetup{
|
||||
solution/print = false
|
||||
}
|
||||
|
||||
|
||||
\pagestyle{empty}
|
||||
|
||||
\begin{document}
|
||||
\maketitle
|
||||
|
||||
Le barème est donné à titre indicatif, il pourra être modifié.
|
||||
|
||||
\begin{exercise}[subtitle={Polynôme de degré 2}]
|
||||
|
||||
Développer les expressions suivantes pour vérifier que ce sont des polynômes de degré 2. Vous préciserez les valeurs de $a$, $b$ et $c$.
|
||||
\begin{multicols}{2}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item $f(x) = (- 4x - 9)(2x - 9)$
|
||||
\item $g(x) = (9x - 9)^{2}$
|
||||
\item $h(x) = 4 + x(8x - 1)$
|
||||
\item $i(x) = 9x^{2} + x(9x + 6)$
|
||||
\item $j(x) = - 5(x + 4)(x - 2)$
|
||||
\item $k(x) = - 9(x - 3)(x + 4)$
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{multicols}
|
||||
\end{exercise}
|
||||
|
||||
\begin{solution}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item
|
||||
\begin{align*}
|
||||
f(x) &= (- 4x - 9)(2x - 9)\\&= - 4x \times 2x - 4x(- 9) - 9 \times 2x - 9(- 9)\\&= - 4 \times 2 \times x^{1 + 1} - 9(- 4) \times x - 9 \times 2 \times x + 81\\&= 36x - 18x - 8x^{2} + 81\\&= (36 - 18) \times x - 8x^{2} + 81\\&= - 8x^{2} + 18x + 81
|
||||
\end{align*}
|
||||
C'est un polynôme de degré 2 avec $a = - 8$, $b = 18$ et $c = 81$.
|
||||
\item
|
||||
\begin{align*}
|
||||
g(x) &= (9x - 9)^{2}\\&= (9x - 9)(9x - 9)\\&= 9x \times 9x + 9x(- 9) - 9 \times 9x - 9(- 9)\\&= 9 \times 9 \times x^{1 + 1} - 9 \times 9 \times x - 9 \times 9 \times x + 81\\&= - 81x - 81x + 81x^{2} + 81\\&= (- 81 - 81) \times x + 81x^{2} + 81\\&= 81x^{2} - 162x + 81
|
||||
\end{align*}
|
||||
C'est un polynôme de degré 2 avec $a = 81$, $b = - 162$ et $c = 81$.
|
||||
\item
|
||||
\begin{align*}
|
||||
h(x) &= 4 + x(8x - 1)\\&= 4 + x \times 8x + x(- 1)\\&= 8x^{2} - x + 4
|
||||
\end{align*}
|
||||
C'est un polynôme de degré 2 avec $a = 8$, $b = - 1$ et $c = 4$.
|
||||
\item
|
||||
\begin{align*}
|
||||
i(x) &= 9x^{2} + x(9x + 6)\\&= 9x^{2} + x \times 9x + x \times 6\\&= 9x^{2} + 9x^{2} + 6x\\&= 9x^{2} + 9x^{2} + 6x\\&= (9 + 9) \times x^{2} + 6x\\&= 18x^{2} + 6x
|
||||
\end{align*}
|
||||
C'est un polynôme de degré 2 avec $a = 18$, $b = 6$ et $c = 0$.
|
||||
\item
|
||||
\begin{align*}
|
||||
j(x) &= - 5(x + 4)(x - 2)\\&= (- 5x - 5 \times 4)(x - 2)\\&= (- 5x - 20)(x - 2)\\&= - 5x \times x - 5x(- 2) - 20x - 20(- 2)\\&= - 2(- 5) \times x + 40 - 5x^{2} - 20x\\&= 10x + 40 - 5x^{2} - 20x\\&= - 5x^{2} + 10x - 20x + 40\\&= - 5x^{2} + (10 - 20) \times x + 40\\&= - 5x^{2} - 10x + 40
|
||||
\end{align*}
|
||||
C'est un polynôme de degré 2 avec $a = - 5$, $b = - 10$ et $c = 40$.
|
||||
\item
|
||||
\begin{align*}
|
||||
k(x) &= - 9(x - 3)(x + 4)\\&= (- 9x - 9(- 3))(x + 4)\\&= (- 9x + 27)(x + 4)\\&= - 9x \times x - 9x \times 4 + 27x + 27 \times 4\\&= 4(- 9) \times x + 108 - 9x^{2} + 27x\\&= - 36x + 108 - 9x^{2} + 27x\\&= - 9x^{2} - 36x + 27x + 108\\&= - 9x^{2} + (- 36 + 27) \times x + 108\\&= - 9x^{2} - 9x + 108
|
||||
\end{align*}
|
||||
C'est un polynôme de degré 2 avec $a = - 9$, $b = - 9$ et $c = 108$.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{solution}
|
||||
|
||||
|
||||
\begin{exercise}[subtitle={Étude de fonctions}]
|
||||
Soit $f(x) = 5x^{2} + 70x + 200$ une fonction définie sur $\R$.
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Calculer les valeurs suivantes
|
||||
\[
|
||||
f(1) \qquad f(-2)
|
||||
\]
|
||||
\item Dériver la fonction $f$
|
||||
\item Étudier le signe de $f'$ puis en déduire les variations de $f$.
|
||||
\item Est-ce que $f$ admet un maximum? un minimum? Calculer sa valeur.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{exercise}
|
||||
|
||||
\begin{solution}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item On remplace $x$ par les valeurs demandées
|
||||
\[
|
||||
f(1) = 5 \times 1^{2} + 70 \times 1 + 200=5 \times 1 + 70 + 200=5 + 270=275
|
||||
\]
|
||||
\[
|
||||
f(-1) = 5 \times - 1^{2} + 70(- 1) + 200=5 \times 1 - 70 + 200=5 + 130=135
|
||||
\]
|
||||
\item Dérivation
|
||||
\[
|
||||
f'(x) = 10x + 70
|
||||
\]
|
||||
|
||||
\item Pas de solutions automatiques.
|
||||
\item Pas de solutions automatiques.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{solution}
|
||||
|
||||
\begin{exercise}[subtitle={Enclos}]
|
||||
Dans son garage, Jean a trouvé 32m de grillage. \\
|
||||
Il décide de l'utiliser pour faire un enclos rectangulaire. Afin d'obtenir un enclos encore plus grand, il veut utiliser le mur du jardin qui formera un côté. Le grillage formera les 3 autres.
|
||||
|
||||
\begin{center}
|
||||
\includegraphics[scale=0.8]{./fig/enclos}
|
||||
\end{center}
|
||||
|
||||
Comment placer les poteaux pour avoir un enclos le plus grand possible ?
|
||||
|
||||
\textit{Cet exercice est un exercice de recherche. Vous êtes invité à utiliser les outils que vous voulez. Une part importante de la note sera dédiée à la rédaction et aux explications de ce que vous faites. Vous êtes encouragé à faire des schémas.}
|
||||
|
||||
\textit{Si vous utilisez le tableur, vous devrez le mentionner et m'envoyer le tableur à l'adresse \url{benjamin.bertrand@ac-lyon.fr}}
|
||||
|
||||
\end{exercise}
|
||||
|
||||
\begin{solution}
|
||||
Formule de l'aire (en notant $x$ la longueur du côté de l'enclos à côté du mur)
|
||||
\[
|
||||
A(x) = x(32 - 2x) = - 2x^{2} + 32x
|
||||
\]
|
||||
On va donc étudier les variations de la fonction $A(x) = - 2x^{2} + 32x$
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item Fonction dérivée : $A'(x) = - 4x + 32$
|
||||
\item On résout l'inéquation $A'(x) \geq 0$ pour déterminer quand la fonction $A'$ est positive.
|
||||
\begin{align*}
|
||||
A(x) & \geq 0 \\
|
||||
- 4x + 32 & \geq 0 \\
|
||||
- 4x + 32 + - 32 &\geq 0 + - 32 \\
|
||||
- 4x &\geq - 32 \\
|
||||
\frac{- 4x}{- 4} &\leq \frac{- 32}{- 4} \\
|
||||
x &\leq 8 \\
|
||||
\end{align*}
|
||||
Donc $A(x)$ est positif quand $x$ est plus \textbf{petit} que $8$
|
||||
\item
|
||||
\begin{center}
|
||||
\begin{tikzpicture}
|
||||
\tkzTabInit[lgt=3,espcl=4]{$x$/1,Signe de $f'(x)$/2, Variations de $f(x)$/2}{, $8$ ,}%
|
||||
\tkzTabLine{, +, z, -, }
|
||||
\tkzTabVar{-/ ,+/$f(8) = 128$ , -/}%
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\end{center}
|
||||
\end{itemize}
|
||||
Pour avoir le plus grand enclos, il faut placer les poteaux à 6m du mur et on aura alors un enclos de $72m^2$.
|
||||
|
||||
\end{solution}
|
||||
\end{document}
|
||||
|
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%%% Local Variables:
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%%% mode: latex
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%%% TeX-master: "master"
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%%% End:
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\documentclass[a4paper,12pt]{article}
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||||
\usepackage{myXsim}
|
||||
\usepackage{pgfplots}
|
||||
\usetikzlibrary{decorations.markings}
|
||||
\pgfplotsset{compat=1.18}
|
||||
|
||||
\title{ DM1 \hfill BARDOUSSE Yanis}
|
||||
\tribe{1ST}
|
||||
\date{A rendre pour le lundi 27 mars 2023}
|
||||
\duree{}
|
||||
|
||||
\xsimsetup{
|
||||
solution/print = false
|
||||
}
|
||||
|
||||
|
||||
\pagestyle{empty}
|
||||
|
||||
\begin{document}
|
||||
\maketitle
|
||||
|
||||
Le barème est donné à titre indicatif, il pourra être modifié.
|
||||
|
||||
\begin{exercise}[subtitle={Polynôme de degré 2}]
|
||||
|
||||
Développer les expressions suivantes pour vérifier que ce sont des polynômes de degré 2. Vous préciserez les valeurs de $a$, $b$ et $c$.
|
||||
\begin{multicols}{2}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item $f(x) = (5x - 2)(- 10x - 2)$
|
||||
\item $g(x) = (- 9x - 2)^{2}$
|
||||
\item $h(x) = 8 + x(- 2x - 1)$
|
||||
\item $i(x) = - 10x^{2} + x(- 5x + 4)$
|
||||
\item $j(x) = - 9(x - 1)(x - 7)$
|
||||
\item $k(x) = - 10(x + 7)(x + 9)$
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{multicols}
|
||||
\end{exercise}
|
||||
|
||||
\begin{solution}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item
|
||||
\begin{align*}
|
||||
f(x) &= (5x - 2)(- 10x - 2)\\&= 5x \times - 10x + 5x(- 2) - 2 \times - 10x - 2(- 2)\\&= 5(- 10) \times x^{1 + 1} - 2 \times 5 \times x - 2(- 10) \times x + 4\\&= - 10x + 20x - 50x^{2} + 4\\&= (- 10 + 20) \times x - 50x^{2} + 4\\&= - 50x^{2} + 10x + 4
|
||||
\end{align*}
|
||||
C'est un polynôme de degré 2 avec $a = - 50$, $b = 10$ et $c = 4$.
|
||||
\item
|
||||
\begin{align*}
|
||||
g(x) &= (- 9x - 2)^{2}\\&= (- 9x - 2)(- 9x - 2)\\&= - 9x \times - 9x - 9x(- 2) - 2 \times - 9x - 2(- 2)\\&= - 9(- 9) \times x^{1 + 1} - 2(- 9) \times x - 2(- 9) \times x + 4\\&= 18x + 18x + 81x^{2} + 4\\&= (18 + 18) \times x + 81x^{2} + 4\\&= 81x^{2} + 36x + 4
|
||||
\end{align*}
|
||||
C'est un polynôme de degré 2 avec $a = 81$, $b = 36$ et $c = 4$.
|
||||
\item
|
||||
\begin{align*}
|
||||
h(x) &= 8 + x(- 2x - 1)\\&= 8 + x \times - 2x + x(- 1)\\&= - 2x^{2} - x + 8
|
||||
\end{align*}
|
||||
C'est un polynôme de degré 2 avec $a = - 2$, $b = - 1$ et $c = 8$.
|
||||
\item
|
||||
\begin{align*}
|
||||
i(x) &= - 10x^{2} + x(- 5x + 4)\\&= - 10x^{2} + x \times - 5x + x \times 4\\&= - 10x^{2} - 5x^{2} + 4x\\&= - 10x^{2} - 5x^{2} + 4x\\&= (- 10 - 5) \times x^{2} + 4x\\&= - 15x^{2} + 4x
|
||||
\end{align*}
|
||||
C'est un polynôme de degré 2 avec $a = - 15$, $b = 4$ et $c = 0$.
|
||||
\item
|
||||
\begin{align*}
|
||||
j(x) &= - 9(x - 1)(x - 7)\\&= (- 9x - 9(- 1))(x - 7)\\&= (- 9x + 9)(x - 7)\\&= - 9x \times x - 9x(- 7) + 9x + 9(- 7)\\&= - 7(- 9) \times x - 63 - 9x^{2} + 9x\\&= 63x - 63 - 9x^{2} + 9x\\&= - 9x^{2} + 63x + 9x - 63\\&= - 9x^{2} + (63 + 9) \times x - 63\\&= - 9x^{2} + 72x - 63
|
||||
\end{align*}
|
||||
C'est un polynôme de degré 2 avec $a = - 9$, $b = 72$ et $c = - 63$.
|
||||
\item
|
||||
\begin{align*}
|
||||
k(x) &= - 10(x + 7)(x + 9)\\&= (- 10x - 10 \times 7)(x + 9)\\&= (- 10x - 70)(x + 9)\\&= - 10x \times x - 10x \times 9 - 70x - 70 \times 9\\&= 9(- 10) \times x - 630 - 10x^{2} - 70x\\&= - 90x - 630 - 10x^{2} - 70x\\&= - 10x^{2} - 90x - 70x - 630\\&= - 10x^{2} + (- 90 - 70) \times x - 630\\&= - 10x^{2} - 160x - 630
|
||||
\end{align*}
|
||||
C'est un polynôme de degré 2 avec $a = - 10$, $b = - 160$ et $c = - 630$.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{solution}
|
||||
|
||||
|
||||
\begin{exercise}[subtitle={Étude de fonctions}]
|
||||
Soit $f(x) = 7x^{2} - 77x + 168$ une fonction définie sur $\R$.
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Calculer les valeurs suivantes
|
||||
\[
|
||||
f(1) \qquad f(-2)
|
||||
\]
|
||||
\item Dériver la fonction $f$
|
||||
\item Étudier le signe de $f'$ puis en déduire les variations de $f$.
|
||||
\item Est-ce que $f$ admet un maximum? un minimum? Calculer sa valeur.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{exercise}
|
||||
|
||||
\begin{solution}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item On remplace $x$ par les valeurs demandées
|
||||
\[
|
||||
f(1) = 7 \times 1^{2} - 77 \times 1 + 168=7 \times 1 - 77 + 168=7 + 91=98
|
||||
\]
|
||||
\[
|
||||
f(-1) = 7 \times - 1^{2} - 77(- 1) + 168=7 \times 1 + 77 + 168=7 + 245=252
|
||||
\]
|
||||
\item Dérivation
|
||||
\[
|
||||
f'(x) = 14x - 77
|
||||
\]
|
||||
|
||||
\item Pas de solutions automatiques.
|
||||
\item Pas de solutions automatiques.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{solution}
|
||||
|
||||
\begin{exercise}[subtitle={Enclos}]
|
||||
Dans son garage, Jean a trouvé 34m de grillage. \\
|
||||
Il décide de l'utiliser pour faire un enclos rectangulaire. Afin d'obtenir un enclos encore plus grand, il veut utiliser le mur du jardin qui formera un côté. Le grillage formera les 3 autres.
|
||||
|
||||
\begin{center}
|
||||
\includegraphics[scale=0.8]{./fig/enclos}
|
||||
\end{center}
|
||||
|
||||
Comment placer les poteaux pour avoir un enclos le plus grand possible ?
|
||||
|
||||
\textit{Cet exercice est un exercice de recherche. Vous êtes invité à utiliser les outils que vous voulez. Une part importante de la note sera dédiée à la rédaction et aux explications de ce que vous faites. Vous êtes encouragé à faire des schémas.}
|
||||
|
||||
\textit{Si vous utilisez le tableur, vous devrez le mentionner et m'envoyer le tableur à l'adresse \url{benjamin.bertrand@ac-lyon.fr}}
|
||||
|
||||
\end{exercise}
|
||||
|
||||
\begin{solution}
|
||||
Formule de l'aire (en notant $x$ la longueur du côté de l'enclos à côté du mur)
|
||||
\[
|
||||
A(x) = x(34 - 2x) = - 2x^{2} + 34x
|
||||
\]
|
||||
On va donc étudier les variations de la fonction $A(x) = - 2x^{2} + 34x$
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item Fonction dérivée : $A'(x) = - 4x + 34$
|
||||
\item On résout l'inéquation $A'(x) \geq 0$ pour déterminer quand la fonction $A'$ est positive.
|
||||
\begin{align*}
|
||||
A(x) & \geq 0 \\
|
||||
- 4x + 34 & \geq 0 \\
|
||||
- 4x + 34 + - 34 &\geq 0 + - 34 \\
|
||||
- 4x &\geq - 34 \\
|
||||
\frac{- 4x}{- 4} &\leq \frac{- 34}{- 4} \\
|
||||
x &\leq \dfrac{17}{2} \\
|
||||
\end{align*}
|
||||
Donc $A(x)$ est positif quand $x$ est plus \textbf{petit} que $\dfrac{17}{2}$
|
||||
\item
|
||||
\begin{center}
|
||||
\begin{tikzpicture}
|
||||
\tkzTabInit[lgt=3,espcl=4]{$x$/1,Signe de $f'(x)$/2, Variations de $f(x)$/2}{, $\dfrac{17}{2}$ ,}%
|
||||
\tkzTabLine{, +, z, -, }
|
||||
\tkzTabVar{-/ ,+/$f(\dfrac{17}{2}) = \dfrac{578}{4}$ , -/}%
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\end{center}
|
||||
\end{itemize}
|
||||
Pour avoir le plus grand enclos, il faut placer les poteaux à 6m du mur et on aura alors un enclos de $72m^2$.
|
||||
|
||||
\end{solution}
|
||||
\end{document}
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%%% Local Variables:
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%%% mode: latex
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%%% TeX-master: "master"
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%%% End:
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Binary file not shown.
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@ -0,0 +1,158 @@
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\documentclass[a4paper,12pt]{article}
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||||
\usepackage{myXsim}
|
||||
\usepackage{pgfplots}
|
||||
\usetikzlibrary{decorations.markings}
|
||||
\pgfplotsset{compat=1.18}
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||||
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||||
\title{ DM1 \hfill BLONDIN Damien}
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||||
\tribe{1ST}
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||||
\date{A rendre pour le lundi 27 mars 2023}
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\duree{}
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||||
\xsimsetup{
|
||||
solution/print = false
|
||||
}
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||||
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||||
|
||||
\pagestyle{empty}
|
||||
|
||||
\begin{document}
|
||||
\maketitle
|
||||
|
||||
Le barème est donné à titre indicatif, il pourra être modifié.
|
||||
|
||||
\begin{exercise}[subtitle={Polynôme de degré 2}]
|
||||
|
||||
Développer les expressions suivantes pour vérifier que ce sont des polynômes de degré 2. Vous préciserez les valeurs de $a$, $b$ et $c$.
|
||||
\begin{multicols}{2}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item $f(x) = (- 4x + 4)(10x + 4)$
|
||||
\item $g(x) = (4x + 6)^{2}$
|
||||
\item $h(x) = 6 + x(3x + 4)$
|
||||
\item $i(x) = - 2x^{2} + x(- 7x - 3)$
|
||||
\item $j(x) = - 3(x + 9)(x + 10)$
|
||||
\item $k(x) = - 1(x - 6)(x + 8)$
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{multicols}
|
||||
\end{exercise}
|
||||
|
||||
\begin{solution}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item
|
||||
\begin{align*}
|
||||
f(x) &= (- 4x + 4)(10x + 4)\\&= - 4x \times 10x - 4x \times 4 + 4 \times 10x + 4 \times 4\\&= - 4 \times 10 \times x^{1 + 1} + 4(- 4) \times x + 4 \times 10 \times x + 16\\&= - 16x + 40x - 40x^{2} + 16\\&= (- 16 + 40) \times x - 40x^{2} + 16\\&= - 40x^{2} + 24x + 16
|
||||
\end{align*}
|
||||
C'est un polynôme de degré 2 avec $a = - 40$, $b = 24$ et $c = 16$.
|
||||
\item
|
||||
\begin{align*}
|
||||
g(x) &= (4x + 6)^{2}\\&= (4x + 6)(4x + 6)\\&= 4x \times 4x + 4x \times 6 + 6 \times 4x + 6 \times 6\\&= 4 \times 4 \times x^{1 + 1} + 6 \times 4 \times x + 6 \times 4 \times x + 36\\&= 24x + 24x + 16x^{2} + 36\\&= (24 + 24) \times x + 16x^{2} + 36\\&= 16x^{2} + 48x + 36
|
||||
\end{align*}
|
||||
C'est un polynôme de degré 2 avec $a = 16$, $b = 48$ et $c = 36$.
|
||||
\item
|
||||
\begin{align*}
|
||||
h(x) &= 6 + x(3x + 4)\\&= 6 + x \times 3x + x \times 4\\&= 3x^{2} + 4x + 6
|
||||
\end{align*}
|
||||
C'est un polynôme de degré 2 avec $a = 3$, $b = 4$ et $c = 6$.
|
||||
\item
|
||||
\begin{align*}
|
||||
i(x) &= - 2x^{2} + x(- 7x - 3)\\&= - 2x^{2} + x \times - 7x + x(- 3)\\&= - 2x^{2} - 7x^{2} - 3x\\&= - 2x^{2} - 7x^{2} - 3x\\&= (- 2 - 7) \times x^{2} - 3x\\&= - 9x^{2} - 3x
|
||||
\end{align*}
|
||||
C'est un polynôme de degré 2 avec $a = - 9$, $b = - 3$ et $c = 0$.
|
||||
\item
|
||||
\begin{align*}
|
||||
j(x) &= - 3(x + 9)(x + 10)\\&= (- 3x - 3 \times 9)(x + 10)\\&= (- 3x - 27)(x + 10)\\&= - 3x \times x - 3x \times 10 - 27x - 27 \times 10\\&= 10(- 3) \times x - 270 - 3x^{2} - 27x\\&= - 30x - 270 - 3x^{2} - 27x\\&= - 3x^{2} - 30x - 27x - 270\\&= - 3x^{2} + (- 30 - 27) \times x - 270\\&= - 3x^{2} - 57x - 270
|
||||
\end{align*}
|
||||
C'est un polynôme de degré 2 avec $a = - 3$, $b = - 57$ et $c = - 270$.
|
||||
\item
|
||||
\begin{align*}
|
||||
k(x) &= - 1(x - 6)(x + 8)\\&= (- 1x - 1(- 6))(x + 8)\\&= (- x + 6)(x + 8)\\&= (- x) \times x + (- x) \times 8 + 6x + 6 \times 8\\&= 8(- 1) \times x + 48 - x^{2} + 6x\\&= - 8x + 48 - x^{2} + 6x\\&= - x^{2} - 8x + 6x + 48\\&= - x^{2} + (- 8 + 6) \times x + 48\\&= - x^{2} - 2x + 48
|
||||
\end{align*}
|
||||
C'est un polynôme de degré 2 avec $a = - 1$, $b = - 2$ et $c = 48$.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{solution}
|
||||
|
||||
|
||||
\begin{exercise}[subtitle={Étude de fonctions}]
|
||||
Soit $f(x) = 10x^{2} + 60x + 50$ une fonction définie sur $\R$.
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Calculer les valeurs suivantes
|
||||
\[
|
||||
f(1) \qquad f(-2)
|
||||
\]
|
||||
\item Dériver la fonction $f$
|
||||
\item Étudier le signe de $f'$ puis en déduire les variations de $f$.
|
||||
\item Est-ce que $f$ admet un maximum? un minimum? Calculer sa valeur.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{exercise}
|
||||
|
||||
\begin{solution}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item On remplace $x$ par les valeurs demandées
|
||||
\[
|
||||
f(1) = 10 \times 1^{2} + 60 \times 1 + 50=10 \times 1 + 60 + 50=10 + 110=120
|
||||
\]
|
||||
\[
|
||||
f(-1) = 10 \times - 1^{2} + 60(- 1) + 50=10 \times 1 - 60 + 50=10 - 10=0
|
||||
\]
|
||||
\item Dérivation
|
||||
\[
|
||||
f'(x) = 20x + 60
|
||||
\]
|
||||
|
||||
\item Pas de solutions automatiques.
|
||||
\item Pas de solutions automatiques.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{solution}
|
||||
|
||||
\begin{exercise}[subtitle={Enclos}]
|
||||
Dans son garage, Jean a trouvé 30m de grillage. \\
|
||||
Il décide de l'utiliser pour faire un enclos rectangulaire. Afin d'obtenir un enclos encore plus grand, il veut utiliser le mur du jardin qui formera un côté. Le grillage formera les 3 autres.
|
||||
|
||||
\begin{center}
|
||||
\includegraphics[scale=0.8]{./fig/enclos}
|
||||
\end{center}
|
||||
|
||||
Comment placer les poteaux pour avoir un enclos le plus grand possible ?
|
||||
|
||||
\textit{Cet exercice est un exercice de recherche. Vous êtes invité à utiliser les outils que vous voulez. Une part importante de la note sera dédiée à la rédaction et aux explications de ce que vous faites. Vous êtes encouragé à faire des schémas.}
|
||||
|
||||
\textit{Si vous utilisez le tableur, vous devrez le mentionner et m'envoyer le tableur à l'adresse \url{benjamin.bertrand@ac-lyon.fr}}
|
||||
|
||||
\end{exercise}
|
||||
|
||||
\begin{solution}
|
||||
Formule de l'aire (en notant $x$ la longueur du côté de l'enclos à côté du mur)
|
||||
\[
|
||||
A(x) = x(30 - 2x) = - 2x^{2} + 30x
|
||||
\]
|
||||
On va donc étudier les variations de la fonction $A(x) = - 2x^{2} + 30x$
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item Fonction dérivée : $A'(x) = - 4x + 30$
|
||||
\item On résout l'inéquation $A'(x) \geq 0$ pour déterminer quand la fonction $A'$ est positive.
|
||||
\begin{align*}
|
||||
A(x) & \geq 0 \\
|
||||
- 4x + 30 & \geq 0 \\
|
||||
- 4x + 30 + - 30 &\geq 0 + - 30 \\
|
||||
- 4x &\geq - 30 \\
|
||||
\frac{- 4x}{- 4} &\leq \frac{- 30}{- 4} \\
|
||||
x &\leq \dfrac{15}{2} \\
|
||||
\end{align*}
|
||||
Donc $A(x)$ est positif quand $x$ est plus \textbf{petit} que $\dfrac{15}{2}$
|
||||
\item
|
||||
\begin{center}
|
||||
\begin{tikzpicture}
|
||||
\tkzTabInit[lgt=3,espcl=4]{$x$/1,Signe de $f'(x)$/2, Variations de $f(x)$/2}{, $\dfrac{15}{2}$ ,}%
|
||||
\tkzTabLine{, +, z, -, }
|
||||
\tkzTabVar{-/ ,+/$f(\dfrac{15}{2}) = \dfrac{450}{4}$ , -/}%
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\end{center}
|
||||
\end{itemize}
|
||||
Pour avoir le plus grand enclos, il faut placer les poteaux à 6m du mur et on aura alors un enclos de $72m^2$.
|
||||
|
||||
\end{solution}
|
||||
\end{document}
|
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%%% Local Variables:
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%%% mode: latex
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%%% TeX-master: "master"
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\documentclass[a4paper,12pt]{article}
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||||
\usepackage{myXsim}
|
||||
\usepackage{pgfplots}
|
||||
\usetikzlibrary{decorations.markings}
|
||||
\pgfplotsset{compat=1.18}
|
||||
|
||||
\title{ DM1 \hfill BOUAFIA Lina}
|
||||
\tribe{1ST}
|
||||
\date{A rendre pour le lundi 27 mars 2023}
|
||||
\duree{}
|
||||
|
||||
\xsimsetup{
|
||||
solution/print = false
|
||||
}
|
||||
|
||||
|
||||
\pagestyle{empty}
|
||||
|
||||
\begin{document}
|
||||
\maketitle
|
||||
|
||||
Le barème est donné à titre indicatif, il pourra être modifié.
|
||||
|
||||
\begin{exercise}[subtitle={Polynôme de degré 2}]
|
||||
|
||||
Développer les expressions suivantes pour vérifier que ce sont des polynômes de degré 2. Vous préciserez les valeurs de $a$, $b$ et $c$.
|
||||
\begin{multicols}{2}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item $f(x) = (4x - 9)(- 8x - 9)$
|
||||
\item $g(x) = (5x - 4)^{2}$
|
||||
\item $h(x) = - 1 + x(- 9x + 8)$
|
||||
\item $i(x) = 9x^{2} + x(2x + 10)$
|
||||
\item $j(x) = 9(x - 8)(x + 5)$
|
||||
\item $k(x) = - 9(x - 6)(x + 7)$
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{multicols}
|
||||
\end{exercise}
|
||||
|
||||
\begin{solution}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item
|
||||
\begin{align*}
|
||||
f(x) &= (4x - 9)(- 8x - 9)\\&= 4x \times - 8x + 4x(- 9) - 9 \times - 8x - 9(- 9)\\&= 4(- 8) \times x^{1 + 1} - 9 \times 4 \times x - 9(- 8) \times x + 81\\&= - 36x + 72x - 32x^{2} + 81\\&= (- 36 + 72) \times x - 32x^{2} + 81\\&= - 32x^{2} + 36x + 81
|
||||
\end{align*}
|
||||
C'est un polynôme de degré 2 avec $a = - 32$, $b = 36$ et $c = 81$.
|
||||
\item
|
||||
\begin{align*}
|
||||
g(x) &= (5x - 4)^{2}\\&= (5x - 4)(5x - 4)\\&= 5x \times 5x + 5x(- 4) - 4 \times 5x - 4(- 4)\\&= 5 \times 5 \times x^{1 + 1} - 4 \times 5 \times x - 4 \times 5 \times x + 16\\&= - 20x - 20x + 25x^{2} + 16\\&= (- 20 - 20) \times x + 25x^{2} + 16\\&= 25x^{2} - 40x + 16
|
||||
\end{align*}
|
||||
C'est un polynôme de degré 2 avec $a = 25$, $b = - 40$ et $c = 16$.
|
||||
\item
|
||||
\begin{align*}
|
||||
h(x) &= - 1 + x(- 9x + 8)\\&= - 1 + x \times - 9x + x \times 8\\&= - 9x^{2} + 8x - 1
|
||||
\end{align*}
|
||||
C'est un polynôme de degré 2 avec $a = - 9$, $b = 8$ et $c = - 1$.
|
||||
\item
|
||||
\begin{align*}
|
||||
i(x) &= 9x^{2} + x(2x + 10)\\&= 9x^{2} + x \times 2x + x \times 10\\&= 9x^{2} + 2x^{2} + 10x\\&= 9x^{2} + 2x^{2} + 10x\\&= (9 + 2) \times x^{2} + 10x\\&= 11x^{2} + 10x
|
||||
\end{align*}
|
||||
C'est un polynôme de degré 2 avec $a = 11$, $b = 10$ et $c = 0$.
|
||||
\item
|
||||
\begin{align*}
|
||||
j(x) &= 9(x - 8)(x + 5)\\&= (9x + 9(- 8))(x + 5)\\&= (9x - 72)(x + 5)\\&= 9x \times x + 9x \times 5 - 72x - 72 \times 5\\&= 5 \times 9 \times x - 360 + 9x^{2} - 72x\\&= 45x - 360 + 9x^{2} - 72x\\&= 9x^{2} + 45x - 72x - 360\\&= 9x^{2} + (45 - 72) \times x - 360\\&= 9x^{2} - 27x - 360
|
||||
\end{align*}
|
||||
C'est un polynôme de degré 2 avec $a = 9$, $b = - 27$ et $c = - 360$.
|
||||
\item
|
||||
\begin{align*}
|
||||
k(x) &= - 9(x - 6)(x + 7)\\&= (- 9x - 9(- 6))(x + 7)\\&= (- 9x + 54)(x + 7)\\&= - 9x \times x - 9x \times 7 + 54x + 54 \times 7\\&= 7(- 9) \times x + 378 - 9x^{2} + 54x\\&= - 63x + 378 - 9x^{2} + 54x\\&= - 9x^{2} - 63x + 54x + 378\\&= - 9x^{2} + (- 63 + 54) \times x + 378\\&= - 9x^{2} - 9x + 378
|
||||
\end{align*}
|
||||
C'est un polynôme de degré 2 avec $a = - 9$, $b = - 9$ et $c = 378$.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{solution}
|
||||
|
||||
|
||||
\begin{exercise}[subtitle={Étude de fonctions}]
|
||||
Soit $f(x) = 5x^{2} - 45x + 90$ une fonction définie sur $\R$.
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Calculer les valeurs suivantes
|
||||
\[
|
||||
f(1) \qquad f(-2)
|
||||
\]
|
||||
\item Dériver la fonction $f$
|
||||
\item Étudier le signe de $f'$ puis en déduire les variations de $f$.
|
||||
\item Est-ce que $f$ admet un maximum? un minimum? Calculer sa valeur.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{exercise}
|
||||
|
||||
\begin{solution}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item On remplace $x$ par les valeurs demandées
|
||||
\[
|
||||
f(1) = 5 \times 1^{2} - 45 \times 1 + 90=5 \times 1 - 45 + 90=5 + 45=50
|
||||
\]
|
||||
\[
|
||||
f(-1) = 5 \times - 1^{2} - 45(- 1) + 90=5 \times 1 + 45 + 90=5 + 135=140
|
||||
\]
|
||||
\item Dérivation
|
||||
\[
|
||||
f'(x) = 10x - 45
|
||||
\]
|
||||
|
||||
\item Pas de solutions automatiques.
|
||||
\item Pas de solutions automatiques.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{solution}
|
||||
|
||||
\begin{exercise}[subtitle={Enclos}]
|
||||
Dans son garage, Jean a trouvé 37m de grillage. \\
|
||||
Il décide de l'utiliser pour faire un enclos rectangulaire. Afin d'obtenir un enclos encore plus grand, il veut utiliser le mur du jardin qui formera un côté. Le grillage formera les 3 autres.
|
||||
|
||||
\begin{center}
|
||||
\includegraphics[scale=0.8]{./fig/enclos}
|
||||
\end{center}
|
||||
|
||||
Comment placer les poteaux pour avoir un enclos le plus grand possible ?
|
||||
|
||||
\textit{Cet exercice est un exercice de recherche. Vous êtes invité à utiliser les outils que vous voulez. Une part importante de la note sera dédiée à la rédaction et aux explications de ce que vous faites. Vous êtes encouragé à faire des schémas.}
|
||||
|
||||
\textit{Si vous utilisez le tableur, vous devrez le mentionner et m'envoyer le tableur à l'adresse \url{benjamin.bertrand@ac-lyon.fr}}
|
||||
|
||||
\end{exercise}
|
||||
|
||||
\begin{solution}
|
||||
Formule de l'aire (en notant $x$ la longueur du côté de l'enclos à côté du mur)
|
||||
\[
|
||||
A(x) = x(37 - 2x) = - 2x^{2} + 37x
|
||||
\]
|
||||
On va donc étudier les variations de la fonction $A(x) = - 2x^{2} + 37x$
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item Fonction dérivée : $A'(x) = - 4x + 37$
|
||||
\item On résout l'inéquation $A'(x) \geq 0$ pour déterminer quand la fonction $A'$ est positive.
|
||||
\begin{align*}
|
||||
A(x) & \geq 0 \\
|
||||
- 4x + 37 & \geq 0 \\
|
||||
- 4x + 37 + - 37 &\geq 0 + - 37 \\
|
||||
- 4x &\geq - 37 \\
|
||||
\frac{- 4x}{- 4} &\leq \frac{- 37}{- 4} \\
|
||||
x &\leq \dfrac{37}{4} \\
|
||||
\end{align*}
|
||||
Donc $A(x)$ est positif quand $x$ est plus \textbf{petit} que $\dfrac{37}{4}$
|
||||
\item
|
||||
\begin{center}
|
||||
\begin{tikzpicture}
|
||||
\tkzTabInit[lgt=3,espcl=4]{$x$/1,Signe de $f'(x)$/2, Variations de $f(x)$/2}{, $\dfrac{37}{4}$ ,}%
|
||||
\tkzTabLine{, +, z, -, }
|
||||
\tkzTabVar{-/ ,+/$f(\dfrac{37}{4}) = \dfrac{2738}{16}$ , -/}%
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\end{center}
|
||||
\end{itemize}
|
||||
Pour avoir le plus grand enclos, il faut placer les poteaux à 6m du mur et on aura alors un enclos de $72m^2$.
|
||||
|
||||
\end{solution}
|
||||
\end{document}
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%%% Local Variables:
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%%% mode: latex
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%%% TeX-master: "master"
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%%% End:
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Binary file not shown.
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@ -0,0 +1,158 @@
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\documentclass[a4paper,12pt]{article}
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||||
\usepackage{myXsim}
|
||||
\usepackage{pgfplots}
|
||||
\usetikzlibrary{decorations.markings}
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||||
\pgfplotsset{compat=1.18}
|
||||
|
||||
\title{ DM1 \hfill BOUQUARD James}
|
||||
\tribe{1ST}
|
||||
\date{A rendre pour le lundi 27 mars 2023}
|
||||
\duree{}
|
||||
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||||
\xsimsetup{
|
||||
solution/print = false
|
||||
}
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||||
|
||||
|
||||
\pagestyle{empty}
|
||||
|
||||
\begin{document}
|
||||
\maketitle
|
||||
|
||||
Le barème est donné à titre indicatif, il pourra être modifié.
|
||||
|
||||
\begin{exercise}[subtitle={Polynôme de degré 2}]
|
||||
|
||||
Développer les expressions suivantes pour vérifier que ce sont des polynômes de degré 2. Vous préciserez les valeurs de $a$, $b$ et $c$.
|
||||
\begin{multicols}{2}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item $f(x) = (3x - 1)(9x - 1)$
|
||||
\item $g(x) = (- 2x + 4)^{2}$
|
||||
\item $h(x) = 2 + x(5x + 8)$
|
||||
\item $i(x) = - 1x^{2} + x(5x - 7)$
|
||||
\item $j(x) = - 8(x + 5)(x + 4)$
|
||||
\item $k(x) = 2(x + 8)(x + 3)$
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{multicols}
|
||||
\end{exercise}
|
||||
|
||||
\begin{solution}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item
|
||||
\begin{align*}
|
||||
f(x) &= (3x - 1)(9x - 1)\\&= 3x \times 9x + 3x(- 1) - 1 \times 9x - 1(- 1)\\&= 3 \times 9 \times x^{1 + 1} - 1 \times 3 \times x - 1 \times 9 \times x + 1\\&= - 3x - 9x + 27x^{2} + 1\\&= (- 3 - 9) \times x + 27x^{2} + 1\\&= 27x^{2} - 12x + 1
|
||||
\end{align*}
|
||||
C'est un polynôme de degré 2 avec $a = 27$, $b = - 12$ et $c = 1$.
|
||||
\item
|
||||
\begin{align*}
|
||||
g(x) &= (- 2x + 4)^{2}\\&= (- 2x + 4)(- 2x + 4)\\&= - 2x \times - 2x - 2x \times 4 + 4 \times - 2x + 4 \times 4\\&= - 2(- 2) \times x^{1 + 1} + 4(- 2) \times x + 4(- 2) \times x + 16\\&= - 8x - 8x + 4x^{2} + 16\\&= (- 8 - 8) \times x + 4x^{2} + 16\\&= 4x^{2} - 16x + 16
|
||||
\end{align*}
|
||||
C'est un polynôme de degré 2 avec $a = 4$, $b = - 16$ et $c = 16$.
|
||||
\item
|
||||
\begin{align*}
|
||||
h(x) &= 2 + x(5x + 8)\\&= 2 + x \times 5x + x \times 8\\&= 5x^{2} + 8x + 2
|
||||
\end{align*}
|
||||
C'est un polynôme de degré 2 avec $a = 5$, $b = 8$ et $c = 2$.
|
||||
\item
|
||||
\begin{align*}
|
||||
i(x) &= - 1x^{2} + x(5x - 7)\\&= - x^{2} + x \times 5x + x(- 7)\\&= - x^{2} + 5x^{2} - 7x\\&= - x^{2} + 5x^{2} - 7x\\&= (- 1 + 5) \times x^{2} - 7x\\&= 4x^{2} - 7x
|
||||
\end{align*}
|
||||
C'est un polynôme de degré 2 avec $a = 4$, $b = - 7$ et $c = 0$.
|
||||
\item
|
||||
\begin{align*}
|
||||
j(x) &= - 8(x + 5)(x + 4)\\&= (- 8x - 8 \times 5)(x + 4)\\&= (- 8x - 40)(x + 4)\\&= - 8x \times x - 8x \times 4 - 40x - 40 \times 4\\&= 4(- 8) \times x - 160 - 8x^{2} - 40x\\&= - 32x - 160 - 8x^{2} - 40x\\&= - 8x^{2} - 32x - 40x - 160\\&= - 8x^{2} + (- 32 - 40) \times x - 160\\&= - 8x^{2} - 72x - 160
|
||||
\end{align*}
|
||||
C'est un polynôme de degré 2 avec $a = - 8$, $b = - 72$ et $c = - 160$.
|
||||
\item
|
||||
\begin{align*}
|
||||
k(x) &= 2(x + 8)(x + 3)\\&= (2x + 2 \times 8)(x + 3)\\&= (2x + 16)(x + 3)\\&= 2x \times x + 2x \times 3 + 16x + 16 \times 3\\&= 3 \times 2 \times x + 48 + 2x^{2} + 16x\\&= 6x + 48 + 2x^{2} + 16x\\&= 2x^{2} + 6x + 16x + 48\\&= 2x^{2} + (6 + 16) \times x + 48\\&= 2x^{2} + 22x + 48
|
||||
\end{align*}
|
||||
C'est un polynôme de degré 2 avec $a = 2$, $b = 22$ et $c = 48$.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{solution}
|
||||
|
||||
|
||||
\begin{exercise}[subtitle={Étude de fonctions}]
|
||||
Soit $f(x) = 5x^{2} - 15x - 140$ une fonction définie sur $\R$.
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Calculer les valeurs suivantes
|
||||
\[
|
||||
f(1) \qquad f(-2)
|
||||
\]
|
||||
\item Dériver la fonction $f$
|
||||
\item Étudier le signe de $f'$ puis en déduire les variations de $f$.
|
||||
\item Est-ce que $f$ admet un maximum? un minimum? Calculer sa valeur.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{exercise}
|
||||
|
||||
\begin{solution}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item On remplace $x$ par les valeurs demandées
|
||||
\[
|
||||
f(1) = 5 \times 1^{2} - 15 \times 1 - 140=5 \times 1 - 15 - 140=5 - 155=- 150
|
||||
\]
|
||||
\[
|
||||
f(-1) = 5 \times - 1^{2} - 15(- 1) - 140=5 \times 1 + 15 - 140=5 - 125=- 120
|
||||
\]
|
||||
\item Dérivation
|
||||
\[
|
||||
f'(x) = 10x - 15
|
||||
\]
|
||||
|
||||
\item Pas de solutions automatiques.
|
||||
\item Pas de solutions automatiques.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{solution}
|
||||
|
||||
\begin{exercise}[subtitle={Enclos}]
|
||||
Dans son garage, Jean a trouvé 21m de grillage. \\
|
||||
Il décide de l'utiliser pour faire un enclos rectangulaire. Afin d'obtenir un enclos encore plus grand, il veut utiliser le mur du jardin qui formera un côté. Le grillage formera les 3 autres.
|
||||
|
||||
\begin{center}
|
||||
\includegraphics[scale=0.8]{./fig/enclos}
|
||||
\end{center}
|
||||
|
||||
Comment placer les poteaux pour avoir un enclos le plus grand possible ?
|
||||
|
||||
\textit{Cet exercice est un exercice de recherche. Vous êtes invité à utiliser les outils que vous voulez. Une part importante de la note sera dédiée à la rédaction et aux explications de ce que vous faites. Vous êtes encouragé à faire des schémas.}
|
||||
|
||||
\textit{Si vous utilisez le tableur, vous devrez le mentionner et m'envoyer le tableur à l'adresse \url{benjamin.bertrand@ac-lyon.fr}}
|
||||
|
||||
\end{exercise}
|
||||
|
||||
\begin{solution}
|
||||
Formule de l'aire (en notant $x$ la longueur du côté de l'enclos à côté du mur)
|
||||
\[
|
||||
A(x) = x(21 - 2x) = - 2x^{2} + 21x
|
||||
\]
|
||||
On va donc étudier les variations de la fonction $A(x) = - 2x^{2} + 21x$
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item Fonction dérivée : $A'(x) = - 4x + 21$
|
||||
\item On résout l'inéquation $A'(x) \geq 0$ pour déterminer quand la fonction $A'$ est positive.
|
||||
\begin{align*}
|
||||
A(x) & \geq 0 \\
|
||||
- 4x + 21 & \geq 0 \\
|
||||
- 4x + 21 + - 21 &\geq 0 + - 21 \\
|
||||
- 4x &\geq - 21 \\
|
||||
\frac{- 4x}{- 4} &\leq \frac{- 21}{- 4} \\
|
||||
x &\leq \dfrac{21}{4} \\
|
||||
\end{align*}
|
||||
Donc $A(x)$ est positif quand $x$ est plus \textbf{petit} que $\dfrac{21}{4}$
|
||||
\item
|
||||
\begin{center}
|
||||
\begin{tikzpicture}
|
||||
\tkzTabInit[lgt=3,espcl=4]{$x$/1,Signe de $f'(x)$/2, Variations de $f(x)$/2}{, $\dfrac{21}{4}$ ,}%
|
||||
\tkzTabLine{, +, z, -, }
|
||||
\tkzTabVar{-/ ,+/$f(\dfrac{21}{4}) = \dfrac{882}{16}$ , -/}%
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\end{center}
|
||||
\end{itemize}
|
||||
Pour avoir le plus grand enclos, il faut placer les poteaux à 6m du mur et on aura alors un enclos de $72m^2$.
|
||||
|
||||
\end{solution}
|
||||
\end{document}
|
||||
|
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%%% Local Variables:
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%%% mode: latex
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%%% TeX-master: "master"
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%%% End:
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Binary file not shown.
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@ -0,0 +1,158 @@
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|||
\documentclass[a4paper,12pt]{article}
|
||||
\usepackage{myXsim}
|
||||
\usepackage{pgfplots}
|
||||
\usetikzlibrary{decorations.markings}
|
||||
\pgfplotsset{compat=1.18}
|
||||
|
||||
\title{ DM1 \hfill DA COSTA QUEIROGA Délinda}
|
||||
\tribe{1ST}
|
||||
\date{A rendre pour le lundi 27 mars 2023}
|
||||
\duree{}
|
||||
|
||||
\xsimsetup{
|
||||
solution/print = false
|
||||
}
|
||||
|
||||
|
||||
\pagestyle{empty}
|
||||
|
||||
\begin{document}
|
||||
\maketitle
|
||||
|
||||
Le barème est donné à titre indicatif, il pourra être modifié.
|
||||
|
||||
\begin{exercise}[subtitle={Polynôme de degré 2}]
|
||||
|
||||
Développer les expressions suivantes pour vérifier que ce sont des polynômes de degré 2. Vous préciserez les valeurs de $a$, $b$ et $c$.
|
||||
\begin{multicols}{2}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item $f(x) = (2x - 2)(3x - 2)$
|
||||
\item $g(x) = (- 6x + 5)^{2}$
|
||||
\item $h(x) = 10 + x(4x + 9)$
|
||||
\item $i(x) = 4x^{2} + x(- 10x - 8)$
|
||||
\item $j(x) = 7(x + 3)(x - 6)$
|
||||
\item $k(x) = - 5(x + 3)(x - 3)$
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{multicols}
|
||||
\end{exercise}
|
||||
|
||||
\begin{solution}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item
|
||||
\begin{align*}
|
||||
f(x) &= (2x - 2)(3x - 2)\\&= 2x \times 3x + 2x(- 2) - 2 \times 3x - 2(- 2)\\&= 2 \times 3 \times x^{1 + 1} - 2 \times 2 \times x - 2 \times 3 \times x + 4\\&= - 4x - 6x + 6x^{2} + 4\\&= (- 4 - 6) \times x + 6x^{2} + 4\\&= 6x^{2} - 10x + 4
|
||||
\end{align*}
|
||||
C'est un polynôme de degré 2 avec $a = 6$, $b = - 10$ et $c = 4$.
|
||||
\item
|
||||
\begin{align*}
|
||||
g(x) &= (- 6x + 5)^{2}\\&= (- 6x + 5)(- 6x + 5)\\&= - 6x \times - 6x - 6x \times 5 + 5 \times - 6x + 5 \times 5\\&= - 6(- 6) \times x^{1 + 1} + 5(- 6) \times x + 5(- 6) \times x + 25\\&= - 30x - 30x + 36x^{2} + 25\\&= (- 30 - 30) \times x + 36x^{2} + 25\\&= 36x^{2} - 60x + 25
|
||||
\end{align*}
|
||||
C'est un polynôme de degré 2 avec $a = 36$, $b = - 60$ et $c = 25$.
|
||||
\item
|
||||
\begin{align*}
|
||||
h(x) &= 10 + x(4x + 9)\\&= 10 + x \times 4x + x \times 9\\&= 4x^{2} + 9x + 10
|
||||
\end{align*}
|
||||
C'est un polynôme de degré 2 avec $a = 4$, $b = 9$ et $c = 10$.
|
||||
\item
|
||||
\begin{align*}
|
||||
i(x) &= 4x^{2} + x(- 10x - 8)\\&= 4x^{2} + x \times - 10x + x(- 8)\\&= 4x^{2} - 10x^{2} - 8x\\&= 4x^{2} - 10x^{2} - 8x\\&= (4 - 10) \times x^{2} - 8x\\&= - 6x^{2} - 8x
|
||||
\end{align*}
|
||||
C'est un polynôme de degré 2 avec $a = - 6$, $b = - 8$ et $c = 0$.
|
||||
\item
|
||||
\begin{align*}
|
||||
j(x) &= 7(x + 3)(x - 6)\\&= (7x + 7 \times 3)(x - 6)\\&= (7x + 21)(x - 6)\\&= 7x \times x + 7x(- 6) + 21x + 21(- 6)\\&= - 6 \times 7 \times x - 126 + 7x^{2} + 21x\\&= - 42x - 126 + 7x^{2} + 21x\\&= 7x^{2} - 42x + 21x - 126\\&= 7x^{2} + (- 42 + 21) \times x - 126\\&= 7x^{2} - 21x - 126
|
||||
\end{align*}
|
||||
C'est un polynôme de degré 2 avec $a = 7$, $b = - 21$ et $c = - 126$.
|
||||
\item
|
||||
\begin{align*}
|
||||
k(x) &= - 5(x + 3)(x - 3)\\&= (- 5x - 5 \times 3)(x - 3)\\&= (- 5x - 15)(x - 3)\\&= - 5x \times x - 5x(- 3) - 15x - 15(- 3)\\&= - 3(- 5) \times x + 45 - 5x^{2} - 15x\\&= 15x + 45 - 5x^{2} - 15x\\&= - 5x^{2} + 15x - 15x + 45\\&= - 5x^{2} + (15 - 15) \times x + 45\\&= - 5x^{2} + 45
|
||||
\end{align*}
|
||||
C'est un polynôme de degré 2 avec $a = - 5$, $b = 0$ et $c = 45$.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{solution}
|
||||
|
||||
|
||||
\begin{exercise}[subtitle={Étude de fonctions}]
|
||||
Soit $f(x) = - 7x^{2} + 91x - 280$ une fonction définie sur $\R$.
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Calculer les valeurs suivantes
|
||||
\[
|
||||
f(1) \qquad f(-2)
|
||||
\]
|
||||
\item Dériver la fonction $f$
|
||||
\item Étudier le signe de $f'$ puis en déduire les variations de $f$.
|
||||
\item Est-ce que $f$ admet un maximum? un minimum? Calculer sa valeur.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{exercise}
|
||||
|
||||
\begin{solution}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item On remplace $x$ par les valeurs demandées
|
||||
\[
|
||||
f(1) = - 7 \times 1^{2} + 91 \times 1 - 280=- 7 \times 1 + 91 - 280=- 7 - 189=- 196
|
||||
\]
|
||||
\[
|
||||
f(-1) = - 7 \times - 1^{2} + 91(- 1) - 280=- 7 \times 1 - 91 - 280=- 7 - 371=- 378
|
||||
\]
|
||||
\item Dérivation
|
||||
\[
|
||||
f'(x) = - 14x + 91
|
||||
\]
|
||||
|
||||
\item Pas de solutions automatiques.
|
||||
\item Pas de solutions automatiques.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{solution}
|
||||
|
||||
\begin{exercise}[subtitle={Enclos}]
|
||||
Dans son garage, Jean a trouvé 23m de grillage. \\
|
||||
Il décide de l'utiliser pour faire un enclos rectangulaire. Afin d'obtenir un enclos encore plus grand, il veut utiliser le mur du jardin qui formera un côté. Le grillage formera les 3 autres.
|
||||
|
||||
\begin{center}
|
||||
\includegraphics[scale=0.8]{./fig/enclos}
|
||||
\end{center}
|
||||
|
||||
Comment placer les poteaux pour avoir un enclos le plus grand possible ?
|
||||
|
||||
\textit{Cet exercice est un exercice de recherche. Vous êtes invité à utiliser les outils que vous voulez. Une part importante de la note sera dédiée à la rédaction et aux explications de ce que vous faites. Vous êtes encouragé à faire des schémas.}
|
||||
|
||||
\textit{Si vous utilisez le tableur, vous devrez le mentionner et m'envoyer le tableur à l'adresse \url{benjamin.bertrand@ac-lyon.fr}}
|
||||
|
||||
\end{exercise}
|
||||
|
||||
\begin{solution}
|
||||
Formule de l'aire (en notant $x$ la longueur du côté de l'enclos à côté du mur)
|
||||
\[
|
||||
A(x) = x(23 - 2x) = - 2x^{2} + 23x
|
||||
\]
|
||||
On va donc étudier les variations de la fonction $A(x) = - 2x^{2} + 23x$
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item Fonction dérivée : $A'(x) = - 4x + 23$
|
||||
\item On résout l'inéquation $A'(x) \geq 0$ pour déterminer quand la fonction $A'$ est positive.
|
||||
\begin{align*}
|
||||
A(x) & \geq 0 \\
|
||||
- 4x + 23 & \geq 0 \\
|
||||
- 4x + 23 + - 23 &\geq 0 + - 23 \\
|
||||
- 4x &\geq - 23 \\
|
||||
\frac{- 4x}{- 4} &\leq \frac{- 23}{- 4} \\
|
||||
x &\leq \dfrac{23}{4} \\
|
||||
\end{align*}
|
||||
Donc $A(x)$ est positif quand $x$ est plus \textbf{petit} que $\dfrac{23}{4}$
|
||||
\item
|
||||
\begin{center}
|
||||
\begin{tikzpicture}
|
||||
\tkzTabInit[lgt=3,espcl=4]{$x$/1,Signe de $f'(x)$/2, Variations de $f(x)$/2}{, $\dfrac{23}{4}$ ,}%
|
||||
\tkzTabLine{, +, z, -, }
|
||||
\tkzTabVar{-/ ,+/$f(\dfrac{23}{4}) = \dfrac{1058}{16}$ , -/}%
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\end{center}
|
||||
\end{itemize}
|
||||
Pour avoir le plus grand enclos, il faut placer les poteaux à 6m du mur et on aura alors un enclos de $72m^2$.
|
||||
|
||||
\end{solution}
|
||||
\end{document}
|
||||
|
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%%% Local Variables:
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%%% mode: latex
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%%% TeX-master: "master"
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%%% End:
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Binary file not shown.
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@ -0,0 +1,158 @@
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\documentclass[a4paper,12pt]{article}
|
||||
\usepackage{myXsim}
|
||||
\usepackage{pgfplots}
|
||||
\usetikzlibrary{decorations.markings}
|
||||
\pgfplotsset{compat=1.18}
|
||||
|
||||
\title{ DM1 \hfill GNUI Kadia}
|
||||
\tribe{1ST}
|
||||
\date{A rendre pour le lundi 27 mars 2023}
|
||||
\duree{}
|
||||
|
||||
\xsimsetup{
|
||||
solution/print = false
|
||||
}
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||||
|
||||
|
||||
\pagestyle{empty}
|
||||
|
||||
\begin{document}
|
||||
\maketitle
|
||||
|
||||
Le barème est donné à titre indicatif, il pourra être modifié.
|
||||
|
||||
\begin{exercise}[subtitle={Polynôme de degré 2}]
|
||||
|
||||
Développer les expressions suivantes pour vérifier que ce sont des polynômes de degré 2. Vous préciserez les valeurs de $a$, $b$ et $c$.
|
||||
\begin{multicols}{2}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item $f(x) = (- 4x - 1)(- 8x - 1)$
|
||||
\item $g(x) = (7x + 8)^{2}$
|
||||
\item $h(x) = 3 + x(7x + 7)$
|
||||
\item $i(x) = - 9x^{2} + x(- 3x + 10)$
|
||||
\item $j(x) = - 5(x + 7)(x + 5)$
|
||||
\item $k(x) = - 4(x - 6)(x + 2)$
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{multicols}
|
||||
\end{exercise}
|
||||
|
||||
\begin{solution}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item
|
||||
\begin{align*}
|
||||
f(x) &= (- 4x - 1)(- 8x - 1)\\&= - 4x \times - 8x - 4x(- 1) - 1 \times - 8x - 1(- 1)\\&= - 4(- 8) \times x^{1 + 1} - 1(- 4) \times x - 1(- 8) \times x + 1\\&= 4x + 8x + 32x^{2} + 1\\&= (4 + 8) \times x + 32x^{2} + 1\\&= 32x^{2} + 12x + 1
|
||||
\end{align*}
|
||||
C'est un polynôme de degré 2 avec $a = 32$, $b = 12$ et $c = 1$.
|
||||
\item
|
||||
\begin{align*}
|
||||
g(x) &= (7x + 8)^{2}\\&= (7x + 8)(7x + 8)\\&= 7x \times 7x + 7x \times 8 + 8 \times 7x + 8 \times 8\\&= 7 \times 7 \times x^{1 + 1} + 8 \times 7 \times x + 8 \times 7 \times x + 64\\&= 56x + 56x + 49x^{2} + 64\\&= (56 + 56) \times x + 49x^{2} + 64\\&= 49x^{2} + 112x + 64
|
||||
\end{align*}
|
||||
C'est un polynôme de degré 2 avec $a = 49$, $b = 112$ et $c = 64$.
|
||||
\item
|
||||
\begin{align*}
|
||||
h(x) &= 3 + x(7x + 7)\\&= 3 + x \times 7x + x \times 7\\&= 7x^{2} + 7x + 3
|
||||
\end{align*}
|
||||
C'est un polynôme de degré 2 avec $a = 7$, $b = 7$ et $c = 3$.
|
||||
\item
|
||||
\begin{align*}
|
||||
i(x) &= - 9x^{2} + x(- 3x + 10)\\&= - 9x^{2} + x \times - 3x + x \times 10\\&= - 9x^{2} - 3x^{2} + 10x\\&= - 9x^{2} - 3x^{2} + 10x\\&= (- 9 - 3) \times x^{2} + 10x\\&= - 12x^{2} + 10x
|
||||
\end{align*}
|
||||
C'est un polynôme de degré 2 avec $a = - 12$, $b = 10$ et $c = 0$.
|
||||
\item
|
||||
\begin{align*}
|
||||
j(x) &= - 5(x + 7)(x + 5)\\&= (- 5x - 5 \times 7)(x + 5)\\&= (- 5x - 35)(x + 5)\\&= - 5x \times x - 5x \times 5 - 35x - 35 \times 5\\&= 5(- 5) \times x - 175 - 5x^{2} - 35x\\&= - 25x - 175 - 5x^{2} - 35x\\&= - 5x^{2} - 25x - 35x - 175\\&= - 5x^{2} + (- 25 - 35) \times x - 175\\&= - 5x^{2} - 60x - 175
|
||||
\end{align*}
|
||||
C'est un polynôme de degré 2 avec $a = - 5$, $b = - 60$ et $c = - 175$.
|
||||
\item
|
||||
\begin{align*}
|
||||
k(x) &= - 4(x - 6)(x + 2)\\&= (- 4x - 4(- 6))(x + 2)\\&= (- 4x + 24)(x + 2)\\&= - 4x \times x - 4x \times 2 + 24x + 24 \times 2\\&= 2(- 4) \times x + 48 - 4x^{2} + 24x\\&= - 8x + 48 - 4x^{2} + 24x\\&= - 4x^{2} - 8x + 24x + 48\\&= - 4x^{2} + (- 8 + 24) \times x + 48\\&= - 4x^{2} + 16x + 48
|
||||
\end{align*}
|
||||
C'est un polynôme de degré 2 avec $a = - 4$, $b = 16$ et $c = 48$.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{solution}
|
||||
|
||||
|
||||
\begin{exercise}[subtitle={Étude de fonctions}]
|
||||
Soit $f(x) = - 3x^{2} - 33x - 30$ une fonction définie sur $\R$.
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Calculer les valeurs suivantes
|
||||
\[
|
||||
f(1) \qquad f(-2)
|
||||
\]
|
||||
\item Dériver la fonction $f$
|
||||
\item Étudier le signe de $f'$ puis en déduire les variations de $f$.
|
||||
\item Est-ce que $f$ admet un maximum? un minimum? Calculer sa valeur.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{exercise}
|
||||
|
||||
\begin{solution}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item On remplace $x$ par les valeurs demandées
|
||||
\[
|
||||
f(1) = - 3 \times 1^{2} - 33 \times 1 - 30=- 3 \times 1 - 33 - 30=- 3 - 63=- 66
|
||||
\]
|
||||
\[
|
||||
f(-1) = - 3 \times - 1^{2} - 33(- 1) - 30=- 3 \times 1 + 33 - 30=- 3 + 3=0
|
||||
\]
|
||||
\item Dérivation
|
||||
\[
|
||||
f'(x) = - 6x - 33
|
||||
\]
|
||||
|
||||
\item Pas de solutions automatiques.
|
||||
\item Pas de solutions automatiques.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{solution}
|
||||
|
||||
\begin{exercise}[subtitle={Enclos}]
|
||||
Dans son garage, Jean a trouvé 35m de grillage. \\
|
||||
Il décide de l'utiliser pour faire un enclos rectangulaire. Afin d'obtenir un enclos encore plus grand, il veut utiliser le mur du jardin qui formera un côté. Le grillage formera les 3 autres.
|
||||
|
||||
\begin{center}
|
||||
\includegraphics[scale=0.8]{./fig/enclos}
|
||||
\end{center}
|
||||
|
||||
Comment placer les poteaux pour avoir un enclos le plus grand possible ?
|
||||
|
||||
\textit{Cet exercice est un exercice de recherche. Vous êtes invité à utiliser les outils que vous voulez. Une part importante de la note sera dédiée à la rédaction et aux explications de ce que vous faites. Vous êtes encouragé à faire des schémas.}
|
||||
|
||||
\textit{Si vous utilisez le tableur, vous devrez le mentionner et m'envoyer le tableur à l'adresse \url{benjamin.bertrand@ac-lyon.fr}}
|
||||
|
||||
\end{exercise}
|
||||
|
||||
\begin{solution}
|
||||
Formule de l'aire (en notant $x$ la longueur du côté de l'enclos à côté du mur)
|
||||
\[
|
||||
A(x) = x(35 - 2x) = - 2x^{2} + 35x
|
||||
\]
|
||||
On va donc étudier les variations de la fonction $A(x) = - 2x^{2} + 35x$
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item Fonction dérivée : $A'(x) = - 4x + 35$
|
||||
\item On résout l'inéquation $A'(x) \geq 0$ pour déterminer quand la fonction $A'$ est positive.
|
||||
\begin{align*}
|
||||
A(x) & \geq 0 \\
|
||||
- 4x + 35 & \geq 0 \\
|
||||
- 4x + 35 + - 35 &\geq 0 + - 35 \\
|
||||
- 4x &\geq - 35 \\
|
||||
\frac{- 4x}{- 4} &\leq \frac{- 35}{- 4} \\
|
||||
x &\leq \dfrac{35}{4} \\
|
||||
\end{align*}
|
||||
Donc $A(x)$ est positif quand $x$ est plus \textbf{petit} que $\dfrac{35}{4}$
|
||||
\item
|
||||
\begin{center}
|
||||
\begin{tikzpicture}
|
||||
\tkzTabInit[lgt=3,espcl=4]{$x$/1,Signe de $f'(x)$/2, Variations de $f(x)$/2}{, $\dfrac{35}{4}$ ,}%
|
||||
\tkzTabLine{, +, z, -, }
|
||||
\tkzTabVar{-/ ,+/$f(\dfrac{35}{4}) = \dfrac{2450}{16}$ , -/}%
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\end{center}
|
||||
\end{itemize}
|
||||
Pour avoir le plus grand enclos, il faut placer les poteaux à 6m du mur et on aura alors un enclos de $72m^2$.
|
||||
|
||||
\end{solution}
|
||||
\end{document}
|
||||
|
||||
%%% Local Variables:
|
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%%% mode: latex
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%%% TeX-master: "master"
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%%% End:
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Binary file not shown.
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@ -0,0 +1,158 @@
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|||
\documentclass[a4paper,12pt]{article}
|
||||
\usepackage{myXsim}
|
||||
\usepackage{pgfplots}
|
||||
\usetikzlibrary{decorations.markings}
|
||||
\pgfplotsset{compat=1.18}
|
||||
|
||||
\title{ DM1 \hfill HAMMOUDI Lyna}
|
||||
\tribe{1ST}
|
||||
\date{A rendre pour le lundi 27 mars 2023}
|
||||
\duree{}
|
||||
|
||||
\xsimsetup{
|
||||
solution/print = false
|
||||
}
|
||||
|
||||
|
||||
\pagestyle{empty}
|
||||
|
||||
\begin{document}
|
||||
\maketitle
|
||||
|
||||
Le barème est donné à titre indicatif, il pourra être modifié.
|
||||
|
||||
\begin{exercise}[subtitle={Polynôme de degré 2}]
|
||||
|
||||
Développer les expressions suivantes pour vérifier que ce sont des polynômes de degré 2. Vous préciserez les valeurs de $a$, $b$ et $c$.
|
||||
\begin{multicols}{2}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item $f(x) = (- 7x + 10)(- 8x + 10)$
|
||||
\item $g(x) = (6x - 2)^{2}$
|
||||
\item $h(x) = 2 + x(- 5x + 4)$
|
||||
\item $i(x) = - 9x^{2} + x(3x - 2)$
|
||||
\item $j(x) = 6(x + 9)(x + 10)$
|
||||
\item $k(x) = - 8(x - 10)(x - 4)$
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{multicols}
|
||||
\end{exercise}
|
||||
|
||||
\begin{solution}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item
|
||||
\begin{align*}
|
||||
f(x) &= (- 7x + 10)(- 8x + 10)\\&= - 7x \times - 8x - 7x \times 10 + 10 \times - 8x + 10 \times 10\\&= - 7(- 8) \times x^{1 + 1} + 10(- 7) \times x + 10(- 8) \times x + 100\\&= - 70x - 80x + 56x^{2} + 100\\&= (- 70 - 80) \times x + 56x^{2} + 100\\&= 56x^{2} - 150x + 100
|
||||
\end{align*}
|
||||
C'est un polynôme de degré 2 avec $a = 56$, $b = - 150$ et $c = 100$.
|
||||
\item
|
||||
\begin{align*}
|
||||
g(x) &= (6x - 2)^{2}\\&= (6x - 2)(6x - 2)\\&= 6x \times 6x + 6x(- 2) - 2 \times 6x - 2(- 2)\\&= 6 \times 6 \times x^{1 + 1} - 2 \times 6 \times x - 2 \times 6 \times x + 4\\&= - 12x - 12x + 36x^{2} + 4\\&= (- 12 - 12) \times x + 36x^{2} + 4\\&= 36x^{2} - 24x + 4
|
||||
\end{align*}
|
||||
C'est un polynôme de degré 2 avec $a = 36$, $b = - 24$ et $c = 4$.
|
||||
\item
|
||||
\begin{align*}
|
||||
h(x) &= 2 + x(- 5x + 4)\\&= 2 + x \times - 5x + x \times 4\\&= - 5x^{2} + 4x + 2
|
||||
\end{align*}
|
||||
C'est un polynôme de degré 2 avec $a = - 5$, $b = 4$ et $c = 2$.
|
||||
\item
|
||||
\begin{align*}
|
||||
i(x) &= - 9x^{2} + x(3x - 2)\\&= - 9x^{2} + x \times 3x + x(- 2)\\&= - 9x^{2} + 3x^{2} - 2x\\&= - 9x^{2} + 3x^{2} - 2x\\&= (- 9 + 3) \times x^{2} - 2x\\&= - 6x^{2} - 2x
|
||||
\end{align*}
|
||||
C'est un polynôme de degré 2 avec $a = - 6$, $b = - 2$ et $c = 0$.
|
||||
\item
|
||||
\begin{align*}
|
||||
j(x) &= 6(x + 9)(x + 10)\\&= (6x + 6 \times 9)(x + 10)\\&= (6x + 54)(x + 10)\\&= 6x \times x + 6x \times 10 + 54x + 54 \times 10\\&= 10 \times 6 \times x + 540 + 6x^{2} + 54x\\&= 60x + 540 + 6x^{2} + 54x\\&= 6x^{2} + 60x + 54x + 540\\&= 6x^{2} + (60 + 54) \times x + 540\\&= 6x^{2} + 114x + 540
|
||||
\end{align*}
|
||||
C'est un polynôme de degré 2 avec $a = 6$, $b = 114$ et $c = 540$.
|
||||
\item
|
||||
\begin{align*}
|
||||
k(x) &= - 8(x - 10)(x - 4)\\&= (- 8x - 8(- 10))(x - 4)\\&= (- 8x + 80)(x - 4)\\&= - 8x \times x - 8x(- 4) + 80x + 80(- 4)\\&= - 4(- 8) \times x - 320 - 8x^{2} + 80x\\&= 32x - 320 - 8x^{2} + 80x\\&= - 8x^{2} + 32x + 80x - 320\\&= - 8x^{2} + (32 + 80) \times x - 320\\&= - 8x^{2} + 112x - 320
|
||||
\end{align*}
|
||||
C'est un polynôme de degré 2 avec $a = - 8$, $b = 112$ et $c = - 320$.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{solution}
|
||||
|
||||
|
||||
\begin{exercise}[subtitle={Étude de fonctions}]
|
||||
Soit $f(x) = - x^{2} - 2x + 48$ une fonction définie sur $\R$.
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Calculer les valeurs suivantes
|
||||
\[
|
||||
f(1) \qquad f(-2)
|
||||
\]
|
||||
\item Dériver la fonction $f$
|
||||
\item Étudier le signe de $f'$ puis en déduire les variations de $f$.
|
||||
\item Est-ce que $f$ admet un maximum? un minimum? Calculer sa valeur.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{exercise}
|
||||
|
||||
\begin{solution}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item On remplace $x$ par les valeurs demandées
|
||||
\[
|
||||
f(1) = - 1^{2} - 2 \times 1 + 48=- 1 - 2 + 48=- 1 + 46=45
|
||||
\]
|
||||
\[
|
||||
f(-1) = - - 1^{2} - 2(- 1) + 48=- 1 + 2 + 48=- 1 + 50=49
|
||||
\]
|
||||
\item Dérivation
|
||||
\[
|
||||
f'(x) = - 2x - 2
|
||||
\]
|
||||
|
||||
\item Pas de solutions automatiques.
|
||||
\item Pas de solutions automatiques.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{solution}
|
||||
|
||||
\begin{exercise}[subtitle={Enclos}]
|
||||
Dans son garage, Jean a trouvé 37m de grillage. \\
|
||||
Il décide de l'utiliser pour faire un enclos rectangulaire. Afin d'obtenir un enclos encore plus grand, il veut utiliser le mur du jardin qui formera un côté. Le grillage formera les 3 autres.
|
||||
|
||||
\begin{center}
|
||||
\includegraphics[scale=0.8]{./fig/enclos}
|
||||
\end{center}
|
||||
|
||||
Comment placer les poteaux pour avoir un enclos le plus grand possible ?
|
||||
|
||||
\textit{Cet exercice est un exercice de recherche. Vous êtes invité à utiliser les outils que vous voulez. Une part importante de la note sera dédiée à la rédaction et aux explications de ce que vous faites. Vous êtes encouragé à faire des schémas.}
|
||||
|
||||
\textit{Si vous utilisez le tableur, vous devrez le mentionner et m'envoyer le tableur à l'adresse \url{benjamin.bertrand@ac-lyon.fr}}
|
||||
|
||||
\end{exercise}
|
||||
|
||||
\begin{solution}
|
||||
Formule de l'aire (en notant $x$ la longueur du côté de l'enclos à côté du mur)
|
||||
\[
|
||||
A(x) = x(37 - 2x) = - 2x^{2} + 37x
|
||||
\]
|
||||
On va donc étudier les variations de la fonction $A(x) = - 2x^{2} + 37x$
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item Fonction dérivée : $A'(x) = - 4x + 37$
|
||||
\item On résout l'inéquation $A'(x) \geq 0$ pour déterminer quand la fonction $A'$ est positive.
|
||||
\begin{align*}
|
||||
A(x) & \geq 0 \\
|
||||
- 4x + 37 & \geq 0 \\
|
||||
- 4x + 37 + - 37 &\geq 0 + - 37 \\
|
||||
- 4x &\geq - 37 \\
|
||||
\frac{- 4x}{- 4} &\leq \frac{- 37}{- 4} \\
|
||||
x &\leq \dfrac{37}{4} \\
|
||||
\end{align*}
|
||||
Donc $A(x)$ est positif quand $x$ est plus \textbf{petit} que $\dfrac{37}{4}$
|
||||
\item
|
||||
\begin{center}
|
||||
\begin{tikzpicture}
|
||||
\tkzTabInit[lgt=3,espcl=4]{$x$/1,Signe de $f'(x)$/2, Variations de $f(x)$/2}{, $\dfrac{37}{4}$ ,}%
|
||||
\tkzTabLine{, +, z, -, }
|
||||
\tkzTabVar{-/ ,+/$f(\dfrac{37}{4}) = \dfrac{2738}{16}$ , -/}%
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\end{center}
|
||||
\end{itemize}
|
||||
Pour avoir le plus grand enclos, il faut placer les poteaux à 6m du mur et on aura alors un enclos de $72m^2$.
|
||||
|
||||
\end{solution}
|
||||
\end{document}
|
||||
|
||||
%%% Local Variables:
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%%% mode: latex
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%%% TeX-master: "master"
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%%% End:
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Binary file not shown.
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@ -0,0 +1,158 @@
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|||
\documentclass[a4paper,12pt]{article}
|
||||
\usepackage{myXsim}
|
||||
\usepackage{pgfplots}
|
||||
\usetikzlibrary{decorations.markings}
|
||||
\pgfplotsset{compat=1.18}
|
||||
|
||||
\title{ DM1 \hfill KITOUNI Zakaria}
|
||||
\tribe{1ST}
|
||||
\date{A rendre pour le lundi 27 mars 2023}
|
||||
\duree{}
|
||||
|
||||
\xsimsetup{
|
||||
solution/print = false
|
||||
}
|
||||
|
||||
|
||||
\pagestyle{empty}
|
||||
|
||||
\begin{document}
|
||||
\maketitle
|
||||
|
||||
Le barème est donné à titre indicatif, il pourra être modifié.
|
||||
|
||||
\begin{exercise}[subtitle={Polynôme de degré 2}]
|
||||
|
||||
Développer les expressions suivantes pour vérifier que ce sont des polynômes de degré 2. Vous préciserez les valeurs de $a$, $b$ et $c$.
|
||||
\begin{multicols}{2}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item $f(x) = (- 7x - 6)(- 10x - 6)$
|
||||
\item $g(x) = (4x + 2)^{2}$
|
||||
\item $h(x) = 8 + x(- 9x + 7)$
|
||||
\item $i(x) = 9x^{2} + x(9x - 5)$
|
||||
\item $j(x) = - 1(x - 6)(x - 7)$
|
||||
\item $k(x) = - 7(x - 1)(x + 3)$
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{multicols}
|
||||
\end{exercise}
|
||||
|
||||
\begin{solution}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item
|
||||
\begin{align*}
|
||||
f(x) &= (- 7x - 6)(- 10x - 6)\\&= - 7x \times - 10x - 7x(- 6) - 6 \times - 10x - 6(- 6)\\&= - 7(- 10) \times x^{1 + 1} - 6(- 7) \times x - 6(- 10) \times x + 36\\&= 42x + 60x + 70x^{2} + 36\\&= (42 + 60) \times x + 70x^{2} + 36\\&= 70x^{2} + 102x + 36
|
||||
\end{align*}
|
||||
C'est un polynôme de degré 2 avec $a = 70$, $b = 102$ et $c = 36$.
|
||||
\item
|
||||
\begin{align*}
|
||||
g(x) &= (4x + 2)^{2}\\&= (4x + 2)(4x + 2)\\&= 4x \times 4x + 4x \times 2 + 2 \times 4x + 2 \times 2\\&= 4 \times 4 \times x^{1 + 1} + 2 \times 4 \times x + 2 \times 4 \times x + 4\\&= 8x + 8x + 16x^{2} + 4\\&= (8 + 8) \times x + 16x^{2} + 4\\&= 16x^{2} + 16x + 4
|
||||
\end{align*}
|
||||
C'est un polynôme de degré 2 avec $a = 16$, $b = 16$ et $c = 4$.
|
||||
\item
|
||||
\begin{align*}
|
||||
h(x) &= 8 + x(- 9x + 7)\\&= 8 + x \times - 9x + x \times 7\\&= - 9x^{2} + 7x + 8
|
||||
\end{align*}
|
||||
C'est un polynôme de degré 2 avec $a = - 9$, $b = 7$ et $c = 8$.
|
||||
\item
|
||||
\begin{align*}
|
||||
i(x) &= 9x^{2} + x(9x - 5)\\&= 9x^{2} + x \times 9x + x(- 5)\\&= 9x^{2} + 9x^{2} - 5x\\&= 9x^{2} + 9x^{2} - 5x\\&= (9 + 9) \times x^{2} - 5x\\&= 18x^{2} - 5x
|
||||
\end{align*}
|
||||
C'est un polynôme de degré 2 avec $a = 18$, $b = - 5$ et $c = 0$.
|
||||
\item
|
||||
\begin{align*}
|
||||
j(x) &= - 1(x - 6)(x - 7)\\&= (- 1x - 1(- 6))(x - 7)\\&= (- x + 6)(x - 7)\\&= (- x) \times x + (- x)(- 7) + 6x + 6(- 7)\\&= - 7(- 1) \times x - 42 - x^{2} + 6x\\&= 7x - 42 - x^{2} + 6x\\&= - x^{2} + 7x + 6x - 42\\&= - x^{2} + (7 + 6) \times x - 42\\&= - x^{2} + 13x - 42
|
||||
\end{align*}
|
||||
C'est un polynôme de degré 2 avec $a = - 1$, $b = 13$ et $c = - 42$.
|
||||
\item
|
||||
\begin{align*}
|
||||
k(x) &= - 7(x - 1)(x + 3)\\&= (- 7x - 7(- 1))(x + 3)\\&= (- 7x + 7)(x + 3)\\&= - 7x \times x - 7x \times 3 + 7x + 7 \times 3\\&= 3(- 7) \times x + 21 - 7x^{2} + 7x\\&= - 21x + 21 - 7x^{2} + 7x\\&= - 7x^{2} - 21x + 7x + 21\\&= - 7x^{2} + (- 21 + 7) \times x + 21\\&= - 7x^{2} - 14x + 21
|
||||
\end{align*}
|
||||
C'est un polynôme de degré 2 avec $a = - 7$, $b = - 14$ et $c = 21$.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{solution}
|
||||
|
||||
|
||||
\begin{exercise}[subtitle={Étude de fonctions}]
|
||||
Soit $f(x) = 3x^{2} - 3x - 126$ une fonction définie sur $\R$.
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Calculer les valeurs suivantes
|
||||
\[
|
||||
f(1) \qquad f(-2)
|
||||
\]
|
||||
\item Dériver la fonction $f$
|
||||
\item Étudier le signe de $f'$ puis en déduire les variations de $f$.
|
||||
\item Est-ce que $f$ admet un maximum? un minimum? Calculer sa valeur.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{exercise}
|
||||
|
||||
\begin{solution}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item On remplace $x$ par les valeurs demandées
|
||||
\[
|
||||
f(1) = 3 \times 1^{2} - 3 \times 1 - 126=3 \times 1 - 3 - 126=3 - 129=- 126
|
||||
\]
|
||||
\[
|
||||
f(-1) = 3 \times - 1^{2} - 3(- 1) - 126=3 \times 1 + 3 - 126=3 - 123=- 120
|
||||
\]
|
||||
\item Dérivation
|
||||
\[
|
||||
f'(x) = 6x - 3
|
||||
\]
|
||||
|
||||
\item Pas de solutions automatiques.
|
||||
\item Pas de solutions automatiques.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{solution}
|
||||
|
||||
\begin{exercise}[subtitle={Enclos}]
|
||||
Dans son garage, Jean a trouvé 29m de grillage. \\
|
||||
Il décide de l'utiliser pour faire un enclos rectangulaire. Afin d'obtenir un enclos encore plus grand, il veut utiliser le mur du jardin qui formera un côté. Le grillage formera les 3 autres.
|
||||
|
||||
\begin{center}
|
||||
\includegraphics[scale=0.8]{./fig/enclos}
|
||||
\end{center}
|
||||
|
||||
Comment placer les poteaux pour avoir un enclos le plus grand possible ?
|
||||
|
||||
\textit{Cet exercice est un exercice de recherche. Vous êtes invité à utiliser les outils que vous voulez. Une part importante de la note sera dédiée à la rédaction et aux explications de ce que vous faites. Vous êtes encouragé à faire des schémas.}
|
||||
|
||||
\textit{Si vous utilisez le tableur, vous devrez le mentionner et m'envoyer le tableur à l'adresse \url{benjamin.bertrand@ac-lyon.fr}}
|
||||
|
||||
\end{exercise}
|
||||
|
||||
\begin{solution}
|
||||
Formule de l'aire (en notant $x$ la longueur du côté de l'enclos à côté du mur)
|
||||
\[
|
||||
A(x) = x(29 - 2x) = - 2x^{2} + 29x
|
||||
\]
|
||||
On va donc étudier les variations de la fonction $A(x) = - 2x^{2} + 29x$
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item Fonction dérivée : $A'(x) = - 4x + 29$
|
||||
\item On résout l'inéquation $A'(x) \geq 0$ pour déterminer quand la fonction $A'$ est positive.
|
||||
\begin{align*}
|
||||
A(x) & \geq 0 \\
|
||||
- 4x + 29 & \geq 0 \\
|
||||
- 4x + 29 + - 29 &\geq 0 + - 29 \\
|
||||
- 4x &\geq - 29 \\
|
||||
\frac{- 4x}{- 4} &\leq \frac{- 29}{- 4} \\
|
||||
x &\leq \dfrac{29}{4} \\
|
||||
\end{align*}
|
||||
Donc $A(x)$ est positif quand $x$ est plus \textbf{petit} que $\dfrac{29}{4}$
|
||||
\item
|
||||
\begin{center}
|
||||
\begin{tikzpicture}
|
||||
\tkzTabInit[lgt=3,espcl=4]{$x$/1,Signe de $f'(x)$/2, Variations de $f(x)$/2}{, $\dfrac{29}{4}$ ,}%
|
||||
\tkzTabLine{, +, z, -, }
|
||||
\tkzTabVar{-/ ,+/$f(\dfrac{29}{4}) = \dfrac{1682}{16}$ , -/}%
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\end{center}
|
||||
\end{itemize}
|
||||
Pour avoir le plus grand enclos, il faut placer les poteaux à 6m du mur et on aura alors un enclos de $72m^2$.
|
||||
|
||||
\end{solution}
|
||||
\end{document}
|
||||
|
||||
%%% Local Variables:
|
||||
%%% mode: latex
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%%% TeX-master: "master"
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%%% End:
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Binary file not shown.
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|
@ -0,0 +1,158 @@
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|||
\documentclass[a4paper,12pt]{article}
|
||||
\usepackage{myXsim}
|
||||
\usepackage{pgfplots}
|
||||
\usetikzlibrary{decorations.markings}
|
||||
\pgfplotsset{compat=1.18}
|
||||
|
||||
\title{ DM1 \hfill LAFAVERGES Joana}
|
||||
\tribe{1ST}
|
||||
\date{A rendre pour le lundi 27 mars 2023}
|
||||
\duree{}
|
||||
|
||||
\xsimsetup{
|
||||
solution/print = false
|
||||
}
|
||||
|
||||
|
||||
\pagestyle{empty}
|
||||
|
||||
\begin{document}
|
||||
\maketitle
|
||||
|
||||
Le barème est donné à titre indicatif, il pourra être modifié.
|
||||
|
||||
\begin{exercise}[subtitle={Polynôme de degré 2}]
|
||||
|
||||
Développer les expressions suivantes pour vérifier que ce sont des polynômes de degré 2. Vous préciserez les valeurs de $a$, $b$ et $c$.
|
||||
\begin{multicols}{2}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item $f(x) = (10x + 7)(4x + 7)$
|
||||
\item $g(x) = (- 5x - 3)^{2}$
|
||||
\item $h(x) = - 4 + x(- 2x + 2)$
|
||||
\item $i(x) = 3x^{2} + x(- 4x - 9)$
|
||||
\item $j(x) = - 5(x + 3)(x - 10)$
|
||||
\item $k(x) = 8(x - 2)(x - 6)$
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{multicols}
|
||||
\end{exercise}
|
||||
|
||||
\begin{solution}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item
|
||||
\begin{align*}
|
||||
f(x) &= (10x + 7)(4x + 7)\\&= 10x \times 4x + 10x \times 7 + 7 \times 4x + 7 \times 7\\&= 10 \times 4 \times x^{1 + 1} + 7 \times 10 \times x + 7 \times 4 \times x + 49\\&= 70x + 28x + 40x^{2} + 49\\&= (70 + 28) \times x + 40x^{2} + 49\\&= 40x^{2} + 98x + 49
|
||||
\end{align*}
|
||||
C'est un polynôme de degré 2 avec $a = 40$, $b = 98$ et $c = 49$.
|
||||
\item
|
||||
\begin{align*}
|
||||
g(x) &= (- 5x - 3)^{2}\\&= (- 5x - 3)(- 5x - 3)\\&= - 5x \times - 5x - 5x(- 3) - 3 \times - 5x - 3(- 3)\\&= - 5(- 5) \times x^{1 + 1} - 3(- 5) \times x - 3(- 5) \times x + 9\\&= 15x + 15x + 25x^{2} + 9\\&= (15 + 15) \times x + 25x^{2} + 9\\&= 25x^{2} + 30x + 9
|
||||
\end{align*}
|
||||
C'est un polynôme de degré 2 avec $a = 25$, $b = 30$ et $c = 9$.
|
||||
\item
|
||||
\begin{align*}
|
||||
h(x) &= - 4 + x(- 2x + 2)\\&= - 4 + x \times - 2x + x \times 2\\&= - 2x^{2} + 2x - 4
|
||||
\end{align*}
|
||||
C'est un polynôme de degré 2 avec $a = - 2$, $b = 2$ et $c = - 4$.
|
||||
\item
|
||||
\begin{align*}
|
||||
i(x) &= 3x^{2} + x(- 4x - 9)\\&= 3x^{2} + x \times - 4x + x(- 9)\\&= 3x^{2} - 4x^{2} - 9x\\&= 3x^{2} - 4x^{2} - 9x\\&= (3 - 4) \times x^{2} - 9x\\&= - x^{2} - 9x
|
||||
\end{align*}
|
||||
C'est un polynôme de degré 2 avec $a = - 1$, $b = - 9$ et $c = 0$.
|
||||
\item
|
||||
\begin{align*}
|
||||
j(x) &= - 5(x + 3)(x - 10)\\&= (- 5x - 5 \times 3)(x - 10)\\&= (- 5x - 15)(x - 10)\\&= - 5x \times x - 5x(- 10) - 15x - 15(- 10)\\&= - 10(- 5) \times x + 150 - 5x^{2} - 15x\\&= 50x + 150 - 5x^{2} - 15x\\&= - 5x^{2} + 50x - 15x + 150\\&= - 5x^{2} + (50 - 15) \times x + 150\\&= - 5x^{2} + 35x + 150
|
||||
\end{align*}
|
||||
C'est un polynôme de degré 2 avec $a = - 5$, $b = 35$ et $c = 150$.
|
||||
\item
|
||||
\begin{align*}
|
||||
k(x) &= 8(x - 2)(x - 6)\\&= (8x + 8(- 2))(x - 6)\\&= (8x - 16)(x - 6)\\&= 8x \times x + 8x(- 6) - 16x - 16(- 6)\\&= - 6 \times 8 \times x + 96 + 8x^{2} - 16x\\&= - 48x + 96 + 8x^{2} - 16x\\&= 8x^{2} - 48x - 16x + 96\\&= 8x^{2} + (- 48 - 16) \times x + 96\\&= 8x^{2} - 64x + 96
|
||||
\end{align*}
|
||||
C'est un polynôme de degré 2 avec $a = 8$, $b = - 64$ et $c = 96$.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{solution}
|
||||
|
||||
|
||||
\begin{exercise}[subtitle={Étude de fonctions}]
|
||||
Soit $f(x) = 6x^{2} - 36x + 48$ une fonction définie sur $\R$.
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Calculer les valeurs suivantes
|
||||
\[
|
||||
f(1) \qquad f(-2)
|
||||
\]
|
||||
\item Dériver la fonction $f$
|
||||
\item Étudier le signe de $f'$ puis en déduire les variations de $f$.
|
||||
\item Est-ce que $f$ admet un maximum? un minimum? Calculer sa valeur.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{exercise}
|
||||
|
||||
\begin{solution}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item On remplace $x$ par les valeurs demandées
|
||||
\[
|
||||
f(1) = 6 \times 1^{2} - 36 \times 1 + 48=6 \times 1 - 36 + 48=6 + 12=18
|
||||
\]
|
||||
\[
|
||||
f(-1) = 6 \times - 1^{2} - 36(- 1) + 48=6 \times 1 + 36 + 48=6 + 84=90
|
||||
\]
|
||||
\item Dérivation
|
||||
\[
|
||||
f'(x) = 12x - 36
|
||||
\]
|
||||
|
||||
\item Pas de solutions automatiques.
|
||||
\item Pas de solutions automatiques.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{solution}
|
||||
|
||||
\begin{exercise}[subtitle={Enclos}]
|
||||
Dans son garage, Jean a trouvé 27m de grillage. \\
|
||||
Il décide de l'utiliser pour faire un enclos rectangulaire. Afin d'obtenir un enclos encore plus grand, il veut utiliser le mur du jardin qui formera un côté. Le grillage formera les 3 autres.
|
||||
|
||||
\begin{center}
|
||||
\includegraphics[scale=0.8]{./fig/enclos}
|
||||
\end{center}
|
||||
|
||||
Comment placer les poteaux pour avoir un enclos le plus grand possible ?
|
||||
|
||||
\textit{Cet exercice est un exercice de recherche. Vous êtes invité à utiliser les outils que vous voulez. Une part importante de la note sera dédiée à la rédaction et aux explications de ce que vous faites. Vous êtes encouragé à faire des schémas.}
|
||||
|
||||
\textit{Si vous utilisez le tableur, vous devrez le mentionner et m'envoyer le tableur à l'adresse \url{benjamin.bertrand@ac-lyon.fr}}
|
||||
|
||||
\end{exercise}
|
||||
|
||||
\begin{solution}
|
||||
Formule de l'aire (en notant $x$ la longueur du côté de l'enclos à côté du mur)
|
||||
\[
|
||||
A(x) = x(27 - 2x) = - 2x^{2} + 27x
|
||||
\]
|
||||
On va donc étudier les variations de la fonction $A(x) = - 2x^{2} + 27x$
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item Fonction dérivée : $A'(x) = - 4x + 27$
|
||||
\item On résout l'inéquation $A'(x) \geq 0$ pour déterminer quand la fonction $A'$ est positive.
|
||||
\begin{align*}
|
||||
A(x) & \geq 0 \\
|
||||
- 4x + 27 & \geq 0 \\
|
||||
- 4x + 27 + - 27 &\geq 0 + - 27 \\
|
||||
- 4x &\geq - 27 \\
|
||||
\frac{- 4x}{- 4} &\leq \frac{- 27}{- 4} \\
|
||||
x &\leq \dfrac{27}{4} \\
|
||||
\end{align*}
|
||||
Donc $A(x)$ est positif quand $x$ est plus \textbf{petit} que $\dfrac{27}{4}$
|
||||
\item
|
||||
\begin{center}
|
||||
\begin{tikzpicture}
|
||||
\tkzTabInit[lgt=3,espcl=4]{$x$/1,Signe de $f'(x)$/2, Variations de $f(x)$/2}{, $\dfrac{27}{4}$ ,}%
|
||||
\tkzTabLine{, +, z, -, }
|
||||
\tkzTabVar{-/ ,+/$f(\dfrac{27}{4}) = \dfrac{1458}{16}$ , -/}%
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\end{center}
|
||||
\end{itemize}
|
||||
Pour avoir le plus grand enclos, il faut placer les poteaux à 6m du mur et on aura alors un enclos de $72m^2$.
|
||||
|
||||
\end{solution}
|
||||
\end{document}
|
||||
|
||||
%%% Local Variables:
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%%% mode: latex
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%%% TeX-master: "master"
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%%% End:
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Binary file not shown.
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@ -0,0 +1,158 @@
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|||
\documentclass[a4paper,12pt]{article}
|
||||
\usepackage{myXsim}
|
||||
\usepackage{pgfplots}
|
||||
\usetikzlibrary{decorations.markings}
|
||||
\pgfplotsset{compat=1.18}
|
||||
|
||||
\title{ DM1 \hfill NAKIR SAILAH Mohamed}
|
||||
\tribe{1ST}
|
||||
\date{A rendre pour le lundi 27 mars 2023}
|
||||
\duree{}
|
||||
|
||||
\xsimsetup{
|
||||
solution/print = false
|
||||
}
|
||||
|
||||
|
||||
\pagestyle{empty}
|
||||
|
||||
\begin{document}
|
||||
\maketitle
|
||||
|
||||
Le barème est donné à titre indicatif, il pourra être modifié.
|
||||
|
||||
\begin{exercise}[subtitle={Polynôme de degré 2}]
|
||||
|
||||
Développer les expressions suivantes pour vérifier que ce sont des polynômes de degré 2. Vous préciserez les valeurs de $a$, $b$ et $c$.
|
||||
\begin{multicols}{2}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item $f(x) = (- 9x + 2)(- 6x + 2)$
|
||||
\item $g(x) = (8x + 2)^{2}$
|
||||
\item $h(x) = 2 + x(- 3x + 5)$
|
||||
\item $i(x) = 8x^{2} + x(5x + 8)$
|
||||
\item $j(x) = 10(x + 7)(x - 10)$
|
||||
\item $k(x) = - 4(x - 7)(x + 5)$
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{multicols}
|
||||
\end{exercise}
|
||||
|
||||
\begin{solution}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item
|
||||
\begin{align*}
|
||||
f(x) &= (- 9x + 2)(- 6x + 2)\\&= - 9x \times - 6x - 9x \times 2 + 2 \times - 6x + 2 \times 2\\&= - 9(- 6) \times x^{1 + 1} + 2(- 9) \times x + 2(- 6) \times x + 4\\&= - 18x - 12x + 54x^{2} + 4\\&= (- 18 - 12) \times x + 54x^{2} + 4\\&= 54x^{2} - 30x + 4
|
||||
\end{align*}
|
||||
C'est un polynôme de degré 2 avec $a = 54$, $b = - 30$ et $c = 4$.
|
||||
\item
|
||||
\begin{align*}
|
||||
g(x) &= (8x + 2)^{2}\\&= (8x + 2)(8x + 2)\\&= 8x \times 8x + 8x \times 2 + 2 \times 8x + 2 \times 2\\&= 8 \times 8 \times x^{1 + 1} + 2 \times 8 \times x + 2 \times 8 \times x + 4\\&= 16x + 16x + 64x^{2} + 4\\&= (16 + 16) \times x + 64x^{2} + 4\\&= 64x^{2} + 32x + 4
|
||||
\end{align*}
|
||||
C'est un polynôme de degré 2 avec $a = 64$, $b = 32$ et $c = 4$.
|
||||
\item
|
||||
\begin{align*}
|
||||
h(x) &= 2 + x(- 3x + 5)\\&= 2 + x \times - 3x + x \times 5\\&= - 3x^{2} + 5x + 2
|
||||
\end{align*}
|
||||
C'est un polynôme de degré 2 avec $a = - 3$, $b = 5$ et $c = 2$.
|
||||
\item
|
||||
\begin{align*}
|
||||
i(x) &= 8x^{2} + x(5x + 8)\\&= 8x^{2} + x \times 5x + x \times 8\\&= 8x^{2} + 5x^{2} + 8x\\&= 8x^{2} + 5x^{2} + 8x\\&= (8 + 5) \times x^{2} + 8x\\&= 13x^{2} + 8x
|
||||
\end{align*}
|
||||
C'est un polynôme de degré 2 avec $a = 13$, $b = 8$ et $c = 0$.
|
||||
\item
|
||||
\begin{align*}
|
||||
j(x) &= 10(x + 7)(x - 10)\\&= (10x + 10 \times 7)(x - 10)\\&= (10x + 70)(x - 10)\\&= 10x \times x + 10x(- 10) + 70x + 70(- 10)\\&= - 10 \times 10 \times x - 700 + 10x^{2} + 70x\\&= - 100x - 700 + 10x^{2} + 70x\\&= 10x^{2} - 100x + 70x - 700\\&= 10x^{2} + (- 100 + 70) \times x - 700\\&= 10x^{2} - 30x - 700
|
||||
\end{align*}
|
||||
C'est un polynôme de degré 2 avec $a = 10$, $b = - 30$ et $c = - 700$.
|
||||
\item
|
||||
\begin{align*}
|
||||
k(x) &= - 4(x - 7)(x + 5)\\&= (- 4x - 4(- 7))(x + 5)\\&= (- 4x + 28)(x + 5)\\&= - 4x \times x - 4x \times 5 + 28x + 28 \times 5\\&= 5(- 4) \times x + 140 - 4x^{2} + 28x\\&= - 20x + 140 - 4x^{2} + 28x\\&= - 4x^{2} - 20x + 28x + 140\\&= - 4x^{2} + (- 20 + 28) \times x + 140\\&= - 4x^{2} + 8x + 140
|
||||
\end{align*}
|
||||
C'est un polynôme de degré 2 avec $a = - 4$, $b = 8$ et $c = 140$.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{solution}
|
||||
|
||||
|
||||
\begin{exercise}[subtitle={Étude de fonctions}]
|
||||
Soit $f(x) = 2x^{2} - 28x + 80$ une fonction définie sur $\R$.
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Calculer les valeurs suivantes
|
||||
\[
|
||||
f(1) \qquad f(-2)
|
||||
\]
|
||||
\item Dériver la fonction $f$
|
||||
\item Étudier le signe de $f'$ puis en déduire les variations de $f$.
|
||||
\item Est-ce que $f$ admet un maximum? un minimum? Calculer sa valeur.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{exercise}
|
||||
|
||||
\begin{solution}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item On remplace $x$ par les valeurs demandées
|
||||
\[
|
||||
f(1) = 2 \times 1^{2} - 28 \times 1 + 80=2 \times 1 - 28 + 80=2 + 52=54
|
||||
\]
|
||||
\[
|
||||
f(-1) = 2 \times - 1^{2} - 28(- 1) + 80=2 \times 1 + 28 + 80=2 + 108=110
|
||||
\]
|
||||
\item Dérivation
|
||||
\[
|
||||
f'(x) = 4x - 28
|
||||
\]
|
||||
|
||||
\item Pas de solutions automatiques.
|
||||
\item Pas de solutions automatiques.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{solution}
|
||||
|
||||
\begin{exercise}[subtitle={Enclos}]
|
||||
Dans son garage, Jean a trouvé 29m de grillage. \\
|
||||
Il décide de l'utiliser pour faire un enclos rectangulaire. Afin d'obtenir un enclos encore plus grand, il veut utiliser le mur du jardin qui formera un côté. Le grillage formera les 3 autres.
|
||||
|
||||
\begin{center}
|
||||
\includegraphics[scale=0.8]{./fig/enclos}
|
||||
\end{center}
|
||||
|
||||
Comment placer les poteaux pour avoir un enclos le plus grand possible ?
|
||||
|
||||
\textit{Cet exercice est un exercice de recherche. Vous êtes invité à utiliser les outils que vous voulez. Une part importante de la note sera dédiée à la rédaction et aux explications de ce que vous faites. Vous êtes encouragé à faire des schémas.}
|
||||
|
||||
\textit{Si vous utilisez le tableur, vous devrez le mentionner et m'envoyer le tableur à l'adresse \url{benjamin.bertrand@ac-lyon.fr}}
|
||||
|
||||
\end{exercise}
|
||||
|
||||
\begin{solution}
|
||||
Formule de l'aire (en notant $x$ la longueur du côté de l'enclos à côté du mur)
|
||||
\[
|
||||
A(x) = x(29 - 2x) = - 2x^{2} + 29x
|
||||
\]
|
||||
On va donc étudier les variations de la fonction $A(x) = - 2x^{2} + 29x$
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item Fonction dérivée : $A'(x) = - 4x + 29$
|
||||
\item On résout l'inéquation $A'(x) \geq 0$ pour déterminer quand la fonction $A'$ est positive.
|
||||
\begin{align*}
|
||||
A(x) & \geq 0 \\
|
||||
- 4x + 29 & \geq 0 \\
|
||||
- 4x + 29 + - 29 &\geq 0 + - 29 \\
|
||||
- 4x &\geq - 29 \\
|
||||
\frac{- 4x}{- 4} &\leq \frac{- 29}{- 4} \\
|
||||
x &\leq \dfrac{29}{4} \\
|
||||
\end{align*}
|
||||
Donc $A(x)$ est positif quand $x$ est plus \textbf{petit} que $\dfrac{29}{4}$
|
||||
\item
|
||||
\begin{center}
|
||||
\begin{tikzpicture}
|
||||
\tkzTabInit[lgt=3,espcl=4]{$x$/1,Signe de $f'(x)$/2, Variations de $f(x)$/2}{, $\dfrac{29}{4}$ ,}%
|
||||
\tkzTabLine{, +, z, -, }
|
||||
\tkzTabVar{-/ ,+/$f(\dfrac{29}{4}) = \dfrac{1682}{16}$ , -/}%
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\end{center}
|
||||
\end{itemize}
|
||||
Pour avoir le plus grand enclos, il faut placer les poteaux à 6m du mur et on aura alors un enclos de $72m^2$.
|
||||
|
||||
\end{solution}
|
||||
\end{document}
|
||||
|
||||
%%% Local Variables:
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%%% mode: latex
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%%% TeX-master: "master"
|
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%%% End:
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Binary file not shown.
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@ -0,0 +1,158 @@
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|||
\documentclass[a4paper,12pt]{article}
|
||||
\usepackage{myXsim}
|
||||
\usepackage{pgfplots}
|
||||
\usetikzlibrary{decorations.markings}
|
||||
\pgfplotsset{compat=1.18}
|
||||
|
||||
\title{ DM1 \hfill NEIVA Diego}
|
||||
\tribe{1ST}
|
||||
\date{A rendre pour le lundi 27 mars 2023}
|
||||
\duree{}
|
||||
|
||||
\xsimsetup{
|
||||
solution/print = false
|
||||
}
|
||||
|
||||
|
||||
\pagestyle{empty}
|
||||
|
||||
\begin{document}
|
||||
\maketitle
|
||||
|
||||
Le barème est donné à titre indicatif, il pourra être modifié.
|
||||
|
||||
\begin{exercise}[subtitle={Polynôme de degré 2}]
|
||||
|
||||
Développer les expressions suivantes pour vérifier que ce sont des polynômes de degré 2. Vous préciserez les valeurs de $a$, $b$ et $c$.
|
||||
\begin{multicols}{2}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item $f(x) = (10x + 6)(5x + 6)$
|
||||
\item $g(x) = (- 3x - 8)^{2}$
|
||||
\item $h(x) = 5 + x(6x + 10)$
|
||||
\item $i(x) = 2x^{2} + x(3x + 3)$
|
||||
\item $j(x) = 10(x - 2)(x + 8)$
|
||||
\item $k(x) = - 8(x - 1)(x - 9)$
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{multicols}
|
||||
\end{exercise}
|
||||
|
||||
\begin{solution}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item
|
||||
\begin{align*}
|
||||
f(x) &= (10x + 6)(5x + 6)\\&= 10x \times 5x + 10x \times 6 + 6 \times 5x + 6 \times 6\\&= 10 \times 5 \times x^{1 + 1} + 6 \times 10 \times x + 6 \times 5 \times x + 36\\&= 60x + 30x + 50x^{2} + 36\\&= (60 + 30) \times x + 50x^{2} + 36\\&= 50x^{2} + 90x + 36
|
||||
\end{align*}
|
||||
C'est un polynôme de degré 2 avec $a = 50$, $b = 90$ et $c = 36$.
|
||||
\item
|
||||
\begin{align*}
|
||||
g(x) &= (- 3x - 8)^{2}\\&= (- 3x - 8)(- 3x - 8)\\&= - 3x \times - 3x - 3x(- 8) - 8 \times - 3x - 8(- 8)\\&= - 3(- 3) \times x^{1 + 1} - 8(- 3) \times x - 8(- 3) \times x + 64\\&= 24x + 24x + 9x^{2} + 64\\&= (24 + 24) \times x + 9x^{2} + 64\\&= 9x^{2} + 48x + 64
|
||||
\end{align*}
|
||||
C'est un polynôme de degré 2 avec $a = 9$, $b = 48$ et $c = 64$.
|
||||
\item
|
||||
\begin{align*}
|
||||
h(x) &= 5 + x(6x + 10)\\&= 5 + x \times 6x + x \times 10\\&= 6x^{2} + 10x + 5
|
||||
\end{align*}
|
||||
C'est un polynôme de degré 2 avec $a = 6$, $b = 10$ et $c = 5$.
|
||||
\item
|
||||
\begin{align*}
|
||||
i(x) &= 2x^{2} + x(3x + 3)\\&= 2x^{2} + x \times 3x + x \times 3\\&= 2x^{2} + 3x^{2} + 3x\\&= 2x^{2} + 3x^{2} + 3x\\&= (2 + 3) \times x^{2} + 3x\\&= 5x^{2} + 3x
|
||||
\end{align*}
|
||||
C'est un polynôme de degré 2 avec $a = 5$, $b = 3$ et $c = 0$.
|
||||
\item
|
||||
\begin{align*}
|
||||
j(x) &= 10(x - 2)(x + 8)\\&= (10x + 10(- 2))(x + 8)\\&= (10x - 20)(x + 8)\\&= 10x \times x + 10x \times 8 - 20x - 20 \times 8\\&= 8 \times 10 \times x - 160 + 10x^{2} - 20x\\&= 80x - 160 + 10x^{2} - 20x\\&= 10x^{2} + 80x - 20x - 160\\&= 10x^{2} + (80 - 20) \times x - 160\\&= 10x^{2} + 60x - 160
|
||||
\end{align*}
|
||||
C'est un polynôme de degré 2 avec $a = 10$, $b = 60$ et $c = - 160$.
|
||||
\item
|
||||
\begin{align*}
|
||||
k(x) &= - 8(x - 1)(x - 9)\\&= (- 8x - 8(- 1))(x - 9)\\&= (- 8x + 8)(x - 9)\\&= - 8x \times x - 8x(- 9) + 8x + 8(- 9)\\&= - 9(- 8) \times x - 72 - 8x^{2} + 8x\\&= 72x - 72 - 8x^{2} + 8x\\&= - 8x^{2} + 72x + 8x - 72\\&= - 8x^{2} + (72 + 8) \times x - 72\\&= - 8x^{2} + 80x - 72
|
||||
\end{align*}
|
||||
C'est un polynôme de degré 2 avec $a = - 8$, $b = 80$ et $c = - 72$.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{solution}
|
||||
|
||||
|
||||
\begin{exercise}[subtitle={Étude de fonctions}]
|
||||
Soit $f(x) = - 4x^{2} - 8x + 60$ une fonction définie sur $\R$.
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Calculer les valeurs suivantes
|
||||
\[
|
||||
f(1) \qquad f(-2)
|
||||
\]
|
||||
\item Dériver la fonction $f$
|
||||
\item Étudier le signe de $f'$ puis en déduire les variations de $f$.
|
||||
\item Est-ce que $f$ admet un maximum? un minimum? Calculer sa valeur.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{exercise}
|
||||
|
||||
\begin{solution}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item On remplace $x$ par les valeurs demandées
|
||||
\[
|
||||
f(1) = - 4 \times 1^{2} - 8 \times 1 + 60=- 4 \times 1 - 8 + 60=- 4 + 52=48
|
||||
\]
|
||||
\[
|
||||
f(-1) = - 4 \times - 1^{2} - 8(- 1) + 60=- 4 \times 1 + 8 + 60=- 4 + 68=64
|
||||
\]
|
||||
\item Dérivation
|
||||
\[
|
||||
f'(x) = - 8x - 8
|
||||
\]
|
||||
|
||||
\item Pas de solutions automatiques.
|
||||
\item Pas de solutions automatiques.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{solution}
|
||||
|
||||
\begin{exercise}[subtitle={Enclos}]
|
||||
Dans son garage, Jean a trouvé 35m de grillage. \\
|
||||
Il décide de l'utiliser pour faire un enclos rectangulaire. Afin d'obtenir un enclos encore plus grand, il veut utiliser le mur du jardin qui formera un côté. Le grillage formera les 3 autres.
|
||||
|
||||
\begin{center}
|
||||
\includegraphics[scale=0.8]{./fig/enclos}
|
||||
\end{center}
|
||||
|
||||
Comment placer les poteaux pour avoir un enclos le plus grand possible ?
|
||||
|
||||
\textit{Cet exercice est un exercice de recherche. Vous êtes invité à utiliser les outils que vous voulez. Une part importante de la note sera dédiée à la rédaction et aux explications de ce que vous faites. Vous êtes encouragé à faire des schémas.}
|
||||
|
||||
\textit{Si vous utilisez le tableur, vous devrez le mentionner et m'envoyer le tableur à l'adresse \url{benjamin.bertrand@ac-lyon.fr}}
|
||||
|
||||
\end{exercise}
|
||||
|
||||
\begin{solution}
|
||||
Formule de l'aire (en notant $x$ la longueur du côté de l'enclos à côté du mur)
|
||||
\[
|
||||
A(x) = x(35 - 2x) = - 2x^{2} + 35x
|
||||
\]
|
||||
On va donc étudier les variations de la fonction $A(x) = - 2x^{2} + 35x$
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item Fonction dérivée : $A'(x) = - 4x + 35$
|
||||
\item On résout l'inéquation $A'(x) \geq 0$ pour déterminer quand la fonction $A'$ est positive.
|
||||
\begin{align*}
|
||||
A(x) & \geq 0 \\
|
||||
- 4x + 35 & \geq 0 \\
|
||||
- 4x + 35 + - 35 &\geq 0 + - 35 \\
|
||||
- 4x &\geq - 35 \\
|
||||
\frac{- 4x}{- 4} &\leq \frac{- 35}{- 4} \\
|
||||
x &\leq \dfrac{35}{4} \\
|
||||
\end{align*}
|
||||
Donc $A(x)$ est positif quand $x$ est plus \textbf{petit} que $\dfrac{35}{4}$
|
||||
\item
|
||||
\begin{center}
|
||||
\begin{tikzpicture}
|
||||
\tkzTabInit[lgt=3,espcl=4]{$x$/1,Signe de $f'(x)$/2, Variations de $f(x)$/2}{, $\dfrac{35}{4}$ ,}%
|
||||
\tkzTabLine{, +, z, -, }
|
||||
\tkzTabVar{-/ ,+/$f(\dfrac{35}{4}) = \dfrac{2450}{16}$ , -/}%
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\end{center}
|
||||
\end{itemize}
|
||||
Pour avoir le plus grand enclos, il faut placer les poteaux à 6m du mur et on aura alors un enclos de $72m^2$.
|
||||
|
||||
\end{solution}
|
||||
\end{document}
|
||||
|
||||
%%% Local Variables:
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%%% mode: latex
|
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%%% TeX-master: "master"
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%%% End:
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Binary file not shown.
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|
@ -0,0 +1,158 @@
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|||
\documentclass[a4paper,12pt]{article}
|
||||
\usepackage{myXsim}
|
||||
\usepackage{pgfplots}
|
||||
\usetikzlibrary{decorations.markings}
|
||||
\pgfplotsset{compat=1.18}
|
||||
|
||||
\title{ DM1 \hfill SAADI Yazid}
|
||||
\tribe{1ST}
|
||||
\date{A rendre pour le lundi 27 mars 2023}
|
||||
\duree{}
|
||||
|
||||
\xsimsetup{
|
||||
solution/print = false
|
||||
}
|
||||
|
||||
|
||||
\pagestyle{empty}
|
||||
|
||||
\begin{document}
|
||||
\maketitle
|
||||
|
||||
Le barème est donné à titre indicatif, il pourra être modifié.
|
||||
|
||||
\begin{exercise}[subtitle={Polynôme de degré 2}]
|
||||
|
||||
Développer les expressions suivantes pour vérifier que ce sont des polynômes de degré 2. Vous préciserez les valeurs de $a$, $b$ et $c$.
|
||||
\begin{multicols}{2}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item $f(x) = (- 8x - 2)(- 6x - 2)$
|
||||
\item $g(x) = (7x + 8)^{2}$
|
||||
\item $h(x) = - 7 + x(- 1x - 10)$
|
||||
\item $i(x) = 2x^{2} + x(6x + 6)$
|
||||
\item $j(x) = - 9(x - 9)(x + 10)$
|
||||
\item $k(x) = 4(x - 9)(x - 8)$
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{multicols}
|
||||
\end{exercise}
|
||||
|
||||
\begin{solution}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item
|
||||
\begin{align*}
|
||||
f(x) &= (- 8x - 2)(- 6x - 2)\\&= - 8x \times - 6x - 8x(- 2) - 2 \times - 6x - 2(- 2)\\&= - 8(- 6) \times x^{1 + 1} - 2(- 8) \times x - 2(- 6) \times x + 4\\&= 16x + 12x + 48x^{2} + 4\\&= (16 + 12) \times x + 48x^{2} + 4\\&= 48x^{2} + 28x + 4
|
||||
\end{align*}
|
||||
C'est un polynôme de degré 2 avec $a = 48$, $b = 28$ et $c = 4$.
|
||||
\item
|
||||
\begin{align*}
|
||||
g(x) &= (7x + 8)^{2}\\&= (7x + 8)(7x + 8)\\&= 7x \times 7x + 7x \times 8 + 8 \times 7x + 8 \times 8\\&= 7 \times 7 \times x^{1 + 1} + 8 \times 7 \times x + 8 \times 7 \times x + 64\\&= 56x + 56x + 49x^{2} + 64\\&= (56 + 56) \times x + 49x^{2} + 64\\&= 49x^{2} + 112x + 64
|
||||
\end{align*}
|
||||
C'est un polynôme de degré 2 avec $a = 49$, $b = 112$ et $c = 64$.
|
||||
\item
|
||||
\begin{align*}
|
||||
h(x) &= - 7 + x(- 1x - 10)\\&= - 7 + x(- x) + x(- 10)\\&= - x^{2} - 10x - 7
|
||||
\end{align*}
|
||||
C'est un polynôme de degré 2 avec $a = - 1$, $b = - 10$ et $c = - 7$.
|
||||
\item
|
||||
\begin{align*}
|
||||
i(x) &= 2x^{2} + x(6x + 6)\\&= 2x^{2} + x \times 6x + x \times 6\\&= 2x^{2} + 6x^{2} + 6x\\&= 2x^{2} + 6x^{2} + 6x\\&= (2 + 6) \times x^{2} + 6x\\&= 8x^{2} + 6x
|
||||
\end{align*}
|
||||
C'est un polynôme de degré 2 avec $a = 8$, $b = 6$ et $c = 0$.
|
||||
\item
|
||||
\begin{align*}
|
||||
j(x) &= - 9(x - 9)(x + 10)\\&= (- 9x - 9(- 9))(x + 10)\\&= (- 9x + 81)(x + 10)\\&= - 9x \times x - 9x \times 10 + 81x + 81 \times 10\\&= 10(- 9) \times x + 810 - 9x^{2} + 81x\\&= - 90x + 810 - 9x^{2} + 81x\\&= - 9x^{2} - 90x + 81x + 810\\&= - 9x^{2} + (- 90 + 81) \times x + 810\\&= - 9x^{2} - 9x + 810
|
||||
\end{align*}
|
||||
C'est un polynôme de degré 2 avec $a = - 9$, $b = - 9$ et $c = 810$.
|
||||
\item
|
||||
\begin{align*}
|
||||
k(x) &= 4(x - 9)(x - 8)\\&= (4x + 4(- 9))(x - 8)\\&= (4x - 36)(x - 8)\\&= 4x \times x + 4x(- 8) - 36x - 36(- 8)\\&= - 8 \times 4 \times x + 288 + 4x^{2} - 36x\\&= - 32x + 288 + 4x^{2} - 36x\\&= 4x^{2} - 32x - 36x + 288\\&= 4x^{2} + (- 32 - 36) \times x + 288\\&= 4x^{2} - 68x + 288
|
||||
\end{align*}
|
||||
C'est un polynôme de degré 2 avec $a = 4$, $b = - 68$ et $c = 288$.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{solution}
|
||||
|
||||
|
||||
\begin{exercise}[subtitle={Étude de fonctions}]
|
||||
Soit $f(x) = 3x^{2} - 39x + 90$ une fonction définie sur $\R$.
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Calculer les valeurs suivantes
|
||||
\[
|
||||
f(1) \qquad f(-2)
|
||||
\]
|
||||
\item Dériver la fonction $f$
|
||||
\item Étudier le signe de $f'$ puis en déduire les variations de $f$.
|
||||
\item Est-ce que $f$ admet un maximum? un minimum? Calculer sa valeur.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{exercise}
|
||||
|
||||
\begin{solution}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item On remplace $x$ par les valeurs demandées
|
||||
\[
|
||||
f(1) = 3 \times 1^{2} - 39 \times 1 + 90=3 \times 1 - 39 + 90=3 + 51=54
|
||||
\]
|
||||
\[
|
||||
f(-1) = 3 \times - 1^{2} - 39(- 1) + 90=3 \times 1 + 39 + 90=3 + 129=132
|
||||
\]
|
||||
\item Dérivation
|
||||
\[
|
||||
f'(x) = 6x - 39
|
||||
\]
|
||||
|
||||
\item Pas de solutions automatiques.
|
||||
\item Pas de solutions automatiques.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{solution}
|
||||
|
||||
\begin{exercise}[subtitle={Enclos}]
|
||||
Dans son garage, Jean a trouvé 20m de grillage. \\
|
||||
Il décide de l'utiliser pour faire un enclos rectangulaire. Afin d'obtenir un enclos encore plus grand, il veut utiliser le mur du jardin qui formera un côté. Le grillage formera les 3 autres.
|
||||
|
||||
\begin{center}
|
||||
\includegraphics[scale=0.8]{./fig/enclos}
|
||||
\end{center}
|
||||
|
||||
Comment placer les poteaux pour avoir un enclos le plus grand possible ?
|
||||
|
||||
\textit{Cet exercice est un exercice de recherche. Vous êtes invité à utiliser les outils que vous voulez. Une part importante de la note sera dédiée à la rédaction et aux explications de ce que vous faites. Vous êtes encouragé à faire des schémas.}
|
||||
|
||||
\textit{Si vous utilisez le tableur, vous devrez le mentionner et m'envoyer le tableur à l'adresse \url{benjamin.bertrand@ac-lyon.fr}}
|
||||
|
||||
\end{exercise}
|
||||
|
||||
\begin{solution}
|
||||
Formule de l'aire (en notant $x$ la longueur du côté de l'enclos à côté du mur)
|
||||
\[
|
||||
A(x) = x(20 - 2x) = - 2x^{2} + 20x
|
||||
\]
|
||||
On va donc étudier les variations de la fonction $A(x) = - 2x^{2} + 20x$
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item Fonction dérivée : $A'(x) = - 4x + 20$
|
||||
\item On résout l'inéquation $A'(x) \geq 0$ pour déterminer quand la fonction $A'$ est positive.
|
||||
\begin{align*}
|
||||
A(x) & \geq 0 \\
|
||||
- 4x + 20 & \geq 0 \\
|
||||
- 4x + 20 + - 20 &\geq 0 + - 20 \\
|
||||
- 4x &\geq - 20 \\
|
||||
\frac{- 4x}{- 4} &\leq \frac{- 20}{- 4} \\
|
||||
x &\leq 5 \\
|
||||
\end{align*}
|
||||
Donc $A(x)$ est positif quand $x$ est plus \textbf{petit} que $5$
|
||||
\item
|
||||
\begin{center}
|
||||
\begin{tikzpicture}
|
||||
\tkzTabInit[lgt=3,espcl=4]{$x$/1,Signe de $f'(x)$/2, Variations de $f(x)$/2}{, $5$ ,}%
|
||||
\tkzTabLine{, +, z, -, }
|
||||
\tkzTabVar{-/ ,+/$f(5) = 50$ , -/}%
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\end{center}
|
||||
\end{itemize}
|
||||
Pour avoir le plus grand enclos, il faut placer les poteaux à 6m du mur et on aura alors un enclos de $72m^2$.
|
||||
|
||||
\end{solution}
|
||||
\end{document}
|
||||
|
||||
%%% Local Variables:
|
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%%% mode: latex
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%%% TeX-master: "master"
|
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%%% End:
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Binary file not shown.
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@ -0,0 +1,158 @@
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|||
\documentclass[a4paper,12pt]{article}
|
||||
\usepackage{myXsim}
|
||||
\usepackage{pgfplots}
|
||||
\usetikzlibrary{decorations.markings}
|
||||
\pgfplotsset{compat=1.18}
|
||||
|
||||
\title{ DM1 \hfill SCOPELLITI Martina}
|
||||
\tribe{1ST}
|
||||
\date{A rendre pour le lundi 27 mars 2023}
|
||||
\duree{}
|
||||
|
||||
\xsimsetup{
|
||||
solution/print = false
|
||||
}
|
||||
|
||||
|
||||
\pagestyle{empty}
|
||||
|
||||
\begin{document}
|
||||
\maketitle
|
||||
|
||||
Le barème est donné à titre indicatif, il pourra être modifié.
|
||||
|
||||
\begin{exercise}[subtitle={Polynôme de degré 2}]
|
||||
|
||||
Développer les expressions suivantes pour vérifier que ce sont des polynômes de degré 2. Vous préciserez les valeurs de $a$, $b$ et $c$.
|
||||
\begin{multicols}{2}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item $f(x) = (- 1x - 10)(6x - 10)$
|
||||
\item $g(x) = (- 8x - 7)^{2}$
|
||||
\item $h(x) = - 2 + x(6x - 10)$
|
||||
\item $i(x) = 5x^{2} + x(- 4x + 9)$
|
||||
\item $j(x) = - 10(x + 7)(x + 3)$
|
||||
\item $k(x) = 4(x - 10)(x - 3)$
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{multicols}
|
||||
\end{exercise}
|
||||
|
||||
\begin{solution}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item
|
||||
\begin{align*}
|
||||
f(x) &= (- 1x - 10)(6x - 10)\\&= (- x) \times 6x + (- x)(- 10) - 10 \times 6x - 10(- 10)\\&= - 1 \times 6 \times x^{1 + 1} - 10(- 1) \times x - 10 \times 6 \times x + 100\\&= 10x - 60x - 6x^{2} + 100\\&= (10 - 60) \times x - 6x^{2} + 100\\&= - 6x^{2} - 50x + 100
|
||||
\end{align*}
|
||||
C'est un polynôme de degré 2 avec $a = - 6$, $b = - 50$ et $c = 100$.
|
||||
\item
|
||||
\begin{align*}
|
||||
g(x) &= (- 8x - 7)^{2}\\&= (- 8x - 7)(- 8x - 7)\\&= - 8x \times - 8x - 8x(- 7) - 7 \times - 8x - 7(- 7)\\&= - 8(- 8) \times x^{1 + 1} - 7(- 8) \times x - 7(- 8) \times x + 49\\&= 56x + 56x + 64x^{2} + 49\\&= (56 + 56) \times x + 64x^{2} + 49\\&= 64x^{2} + 112x + 49
|
||||
\end{align*}
|
||||
C'est un polynôme de degré 2 avec $a = 64$, $b = 112$ et $c = 49$.
|
||||
\item
|
||||
\begin{align*}
|
||||
h(x) &= - 2 + x(6x - 10)\\&= - 2 + x \times 6x + x(- 10)\\&= 6x^{2} - 10x - 2
|
||||
\end{align*}
|
||||
C'est un polynôme de degré 2 avec $a = 6$, $b = - 10$ et $c = - 2$.
|
||||
\item
|
||||
\begin{align*}
|
||||
i(x) &= 5x^{2} + x(- 4x + 9)\\&= 5x^{2} + x \times - 4x + x \times 9\\&= 5x^{2} - 4x^{2} + 9x\\&= 5x^{2} - 4x^{2} + 9x\\&= (5 - 4) \times x^{2} + 9x\\&= x^{2} + 9x
|
||||
\end{align*}
|
||||
C'est un polynôme de degré 2 avec $a = 1$, $b = 9$ et $c = 0$.
|
||||
\item
|
||||
\begin{align*}
|
||||
j(x) &= - 10(x + 7)(x + 3)\\&= (- 10x - 10 \times 7)(x + 3)\\&= (- 10x - 70)(x + 3)\\&= - 10x \times x - 10x \times 3 - 70x - 70 \times 3\\&= 3(- 10) \times x - 210 - 10x^{2} - 70x\\&= - 30x - 210 - 10x^{2} - 70x\\&= - 10x^{2} - 30x - 70x - 210\\&= - 10x^{2} + (- 30 - 70) \times x - 210\\&= - 10x^{2} - 100x - 210
|
||||
\end{align*}
|
||||
C'est un polynôme de degré 2 avec $a = - 10$, $b = - 100$ et $c = - 210$.
|
||||
\item
|
||||
\begin{align*}
|
||||
k(x) &= 4(x - 10)(x - 3)\\&= (4x + 4(- 10))(x - 3)\\&= (4x - 40)(x - 3)\\&= 4x \times x + 4x(- 3) - 40x - 40(- 3)\\&= - 3 \times 4 \times x + 120 + 4x^{2} - 40x\\&= - 12x + 120 + 4x^{2} - 40x\\&= 4x^{2} - 12x - 40x + 120\\&= 4x^{2} + (- 12 - 40) \times x + 120\\&= 4x^{2} - 52x + 120
|
||||
\end{align*}
|
||||
C'est un polynôme de degré 2 avec $a = 4$, $b = - 52$ et $c = 120$.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{solution}
|
||||
|
||||
|
||||
\begin{exercise}[subtitle={Étude de fonctions}]
|
||||
Soit $f(x) = - 9x^{2} - 153x - 630$ une fonction définie sur $\R$.
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Calculer les valeurs suivantes
|
||||
\[
|
||||
f(1) \qquad f(-2)
|
||||
\]
|
||||
\item Dériver la fonction $f$
|
||||
\item Étudier le signe de $f'$ puis en déduire les variations de $f$.
|
||||
\item Est-ce que $f$ admet un maximum? un minimum? Calculer sa valeur.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{exercise}
|
||||
|
||||
\begin{solution}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item On remplace $x$ par les valeurs demandées
|
||||
\[
|
||||
f(1) = - 9 \times 1^{2} - 153 \times 1 - 630=- 9 \times 1 - 153 - 630=- 9 - 783=- 792
|
||||
\]
|
||||
\[
|
||||
f(-1) = - 9 \times - 1^{2} - 153(- 1) - 630=- 9 \times 1 + 153 - 630=- 9 - 477=- 486
|
||||
\]
|
||||
\item Dérivation
|
||||
\[
|
||||
f'(x) = - 18x - 153
|
||||
\]
|
||||
|
||||
\item Pas de solutions automatiques.
|
||||
\item Pas de solutions automatiques.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{solution}
|
||||
|
||||
\begin{exercise}[subtitle={Enclos}]
|
||||
Dans son garage, Jean a trouvé 28m de grillage. \\
|
||||
Il décide de l'utiliser pour faire un enclos rectangulaire. Afin d'obtenir un enclos encore plus grand, il veut utiliser le mur du jardin qui formera un côté. Le grillage formera les 3 autres.
|
||||
|
||||
\begin{center}
|
||||
\includegraphics[scale=0.8]{./fig/enclos}
|
||||
\end{center}
|
||||
|
||||
Comment placer les poteaux pour avoir un enclos le plus grand possible ?
|
||||
|
||||
\textit{Cet exercice est un exercice de recherche. Vous êtes invité à utiliser les outils que vous voulez. Une part importante de la note sera dédiée à la rédaction et aux explications de ce que vous faites. Vous êtes encouragé à faire des schémas.}
|
||||
|
||||
\textit{Si vous utilisez le tableur, vous devrez le mentionner et m'envoyer le tableur à l'adresse \url{benjamin.bertrand@ac-lyon.fr}}
|
||||
|
||||
\end{exercise}
|
||||
|
||||
\begin{solution}
|
||||
Formule de l'aire (en notant $x$ la longueur du côté de l'enclos à côté du mur)
|
||||
\[
|
||||
A(x) = x(28 - 2x) = - 2x^{2} + 28x
|
||||
\]
|
||||
On va donc étudier les variations de la fonction $A(x) = - 2x^{2} + 28x$
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item Fonction dérivée : $A'(x) = - 4x + 28$
|
||||
\item On résout l'inéquation $A'(x) \geq 0$ pour déterminer quand la fonction $A'$ est positive.
|
||||
\begin{align*}
|
||||
A(x) & \geq 0 \\
|
||||
- 4x + 28 & \geq 0 \\
|
||||
- 4x + 28 + - 28 &\geq 0 + - 28 \\
|
||||
- 4x &\geq - 28 \\
|
||||
\frac{- 4x}{- 4} &\leq \frac{- 28}{- 4} \\
|
||||
x &\leq 7 \\
|
||||
\end{align*}
|
||||
Donc $A(x)$ est positif quand $x$ est plus \textbf{petit} que $7$
|
||||
\item
|
||||
\begin{center}
|
||||
\begin{tikzpicture}
|
||||
\tkzTabInit[lgt=3,espcl=4]{$x$/1,Signe de $f'(x)$/2, Variations de $f(x)$/2}{, $7$ ,}%
|
||||
\tkzTabLine{, +, z, -, }
|
||||
\tkzTabVar{-/ ,+/$f(7) = 98$ , -/}%
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\end{center}
|
||||
\end{itemize}
|
||||
Pour avoir le plus grand enclos, il faut placer les poteaux à 6m du mur et on aura alors un enclos de $72m^2$.
|
||||
|
||||
\end{solution}
|
||||
\end{document}
|
||||
|
||||
%%% Local Variables:
|
||||
%%% mode: latex
|
||||
%%% TeX-master: "master"
|
||||
%%% End:
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||||
Binary file not shown.
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|
@ -0,0 +1,158 @@
|
|||
\documentclass[a4paper,12pt]{article}
|
||||
\usepackage{myXsim}
|
||||
\usepackage{pgfplots}
|
||||
\usetikzlibrary{decorations.markings}
|
||||
\pgfplotsset{compat=1.18}
|
||||
|
||||
\title{ DM1 \hfill SORIANO Johan}
|
||||
\tribe{1ST}
|
||||
\date{A rendre pour le lundi 27 mars 2023}
|
||||
\duree{}
|
||||
|
||||
\xsimsetup{
|
||||
solution/print = false
|
||||
}
|
||||
|
||||
|
||||
\pagestyle{empty}
|
||||
|
||||
\begin{document}
|
||||
\maketitle
|
||||
|
||||
Le barème est donné à titre indicatif, il pourra être modifié.
|
||||
|
||||
\begin{exercise}[subtitle={Polynôme de degré 2}]
|
||||
|
||||
Développer les expressions suivantes pour vérifier que ce sont des polynômes de degré 2. Vous préciserez les valeurs de $a$, $b$ et $c$.
|
||||
\begin{multicols}{2}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item $f(x) = (5x - 2)(5x - 2)$
|
||||
\item $g(x) = (- 4x - 4)^{2}$
|
||||
\item $h(x) = - 9 + x(- 9x + 5)$
|
||||
\item $i(x) = - 4x^{2} + x(5x - 4)$
|
||||
\item $j(x) = 3(x - 10)(x - 6)$
|
||||
\item $k(x) = 6(x + 7)(x - 9)$
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{multicols}
|
||||
\end{exercise}
|
||||
|
||||
\begin{solution}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item
|
||||
\begin{align*}
|
||||
f(x) &= (5x - 2)(5x - 2)\\&= 5x \times 5x + 5x(- 2) - 2 \times 5x - 2(- 2)\\&= 5 \times 5 \times x^{1 + 1} - 2 \times 5 \times x - 2 \times 5 \times x + 4\\&= - 10x - 10x + 25x^{2} + 4\\&= (- 10 - 10) \times x + 25x^{2} + 4\\&= 25x^{2} - 20x + 4
|
||||
\end{align*}
|
||||
C'est un polynôme de degré 2 avec $a = 25$, $b = - 20$ et $c = 4$.
|
||||
\item
|
||||
\begin{align*}
|
||||
g(x) &= (- 4x - 4)^{2}\\&= (- 4x - 4)(- 4x - 4)\\&= - 4x \times - 4x - 4x(- 4) - 4 \times - 4x - 4(- 4)\\&= - 4(- 4) \times x^{1 + 1} - 4(- 4) \times x - 4(- 4) \times x + 16\\&= 16x + 16x + 16x^{2} + 16\\&= (16 + 16) \times x + 16x^{2} + 16\\&= 16x^{2} + 32x + 16
|
||||
\end{align*}
|
||||
C'est un polynôme de degré 2 avec $a = 16$, $b = 32$ et $c = 16$.
|
||||
\item
|
||||
\begin{align*}
|
||||
h(x) &= - 9 + x(- 9x + 5)\\&= - 9 + x \times - 9x + x \times 5\\&= - 9x^{2} + 5x - 9
|
||||
\end{align*}
|
||||
C'est un polynôme de degré 2 avec $a = - 9$, $b = 5$ et $c = - 9$.
|
||||
\item
|
||||
\begin{align*}
|
||||
i(x) &= - 4x^{2} + x(5x - 4)\\&= - 4x^{2} + x \times 5x + x(- 4)\\&= - 4x^{2} + 5x^{2} - 4x\\&= - 4x^{2} + 5x^{2} - 4x\\&= (- 4 + 5) \times x^{2} - 4x\\&= x^{2} - 4x
|
||||
\end{align*}
|
||||
C'est un polynôme de degré 2 avec $a = 1$, $b = - 4$ et $c = 0$.
|
||||
\item
|
||||
\begin{align*}
|
||||
j(x) &= 3(x - 10)(x - 6)\\&= (3x + 3(- 10))(x - 6)\\&= (3x - 30)(x - 6)\\&= 3x \times x + 3x(- 6) - 30x - 30(- 6)\\&= - 6 \times 3 \times x + 180 + 3x^{2} - 30x\\&= - 18x + 180 + 3x^{2} - 30x\\&= 3x^{2} - 18x - 30x + 180\\&= 3x^{2} + (- 18 - 30) \times x + 180\\&= 3x^{2} - 48x + 180
|
||||
\end{align*}
|
||||
C'est un polynôme de degré 2 avec $a = 3$, $b = - 48$ et $c = 180$.
|
||||
\item
|
||||
\begin{align*}
|
||||
k(x) &= 6(x + 7)(x - 9)\\&= (6x + 6 \times 7)(x - 9)\\&= (6x + 42)(x - 9)\\&= 6x \times x + 6x(- 9) + 42x + 42(- 9)\\&= - 9 \times 6 \times x - 378 + 6x^{2} + 42x\\&= - 54x - 378 + 6x^{2} + 42x\\&= 6x^{2} - 54x + 42x - 378\\&= 6x^{2} + (- 54 + 42) \times x - 378\\&= 6x^{2} - 12x - 378
|
||||
\end{align*}
|
||||
C'est un polynôme de degré 2 avec $a = 6$, $b = - 12$ et $c = - 378$.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{solution}
|
||||
|
||||
|
||||
\begin{exercise}[subtitle={Étude de fonctions}]
|
||||
Soit $f(x) = - 7x^{2} + 21x + 28$ une fonction définie sur $\R$.
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Calculer les valeurs suivantes
|
||||
\[
|
||||
f(1) \qquad f(-2)
|
||||
\]
|
||||
\item Dériver la fonction $f$
|
||||
\item Étudier le signe de $f'$ puis en déduire les variations de $f$.
|
||||
\item Est-ce que $f$ admet un maximum? un minimum? Calculer sa valeur.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{exercise}
|
||||
|
||||
\begin{solution}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item On remplace $x$ par les valeurs demandées
|
||||
\[
|
||||
f(1) = - 7 \times 1^{2} + 21 \times 1 + 28=- 7 \times 1 + 21 + 28=- 7 + 49=42
|
||||
\]
|
||||
\[
|
||||
f(-1) = - 7 \times - 1^{2} + 21(- 1) + 28=- 7 \times 1 - 21 + 28=- 7 + 7=0
|
||||
\]
|
||||
\item Dérivation
|
||||
\[
|
||||
f'(x) = - 14x + 21
|
||||
\]
|
||||
|
||||
\item Pas de solutions automatiques.
|
||||
\item Pas de solutions automatiques.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{solution}
|
||||
|
||||
\begin{exercise}[subtitle={Enclos}]
|
||||
Dans son garage, Jean a trouvé 17m de grillage. \\
|
||||
Il décide de l'utiliser pour faire un enclos rectangulaire. Afin d'obtenir un enclos encore plus grand, il veut utiliser le mur du jardin qui formera un côté. Le grillage formera les 3 autres.
|
||||
|
||||
\begin{center}
|
||||
\includegraphics[scale=0.8]{./fig/enclos}
|
||||
\end{center}
|
||||
|
||||
Comment placer les poteaux pour avoir un enclos le plus grand possible ?
|
||||
|
||||
\textit{Cet exercice est un exercice de recherche. Vous êtes invité à utiliser les outils que vous voulez. Une part importante de la note sera dédiée à la rédaction et aux explications de ce que vous faites. Vous êtes encouragé à faire des schémas.}
|
||||
|
||||
\textit{Si vous utilisez le tableur, vous devrez le mentionner et m'envoyer le tableur à l'adresse \url{benjamin.bertrand@ac-lyon.fr}}
|
||||
|
||||
\end{exercise}
|
||||
|
||||
\begin{solution}
|
||||
Formule de l'aire (en notant $x$ la longueur du côté de l'enclos à côté du mur)
|
||||
\[
|
||||
A(x) = x(17 - 2x) = - 2x^{2} + 17x
|
||||
\]
|
||||
On va donc étudier les variations de la fonction $A(x) = - 2x^{2} + 17x$
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item Fonction dérivée : $A'(x) = - 4x + 17$
|
||||
\item On résout l'inéquation $A'(x) \geq 0$ pour déterminer quand la fonction $A'$ est positive.
|
||||
\begin{align*}
|
||||
A(x) & \geq 0 \\
|
||||
- 4x + 17 & \geq 0 \\
|
||||
- 4x + 17 + - 17 &\geq 0 + - 17 \\
|
||||
- 4x &\geq - 17 \\
|
||||
\frac{- 4x}{- 4} &\leq \frac{- 17}{- 4} \\
|
||||
x &\leq \dfrac{17}{4} \\
|
||||
\end{align*}
|
||||
Donc $A(x)$ est positif quand $x$ est plus \textbf{petit} que $\dfrac{17}{4}$
|
||||
\item
|
||||
\begin{center}
|
||||
\begin{tikzpicture}
|
||||
\tkzTabInit[lgt=3,espcl=4]{$x$/1,Signe de $f'(x)$/2, Variations de $f(x)$/2}{, $\dfrac{17}{4}$ ,}%
|
||||
\tkzTabLine{, +, z, -, }
|
||||
\tkzTabVar{-/ ,+/$f(\dfrac{17}{4}) = \dfrac{578}{16}$ , -/}%
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\end{center}
|
||||
\end{itemize}
|
||||
Pour avoir le plus grand enclos, il faut placer les poteaux à 6m du mur et on aura alors un enclos de $72m^2$.
|
||||
|
||||
\end{solution}
|
||||
\end{document}
|
||||
|
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%%% Local Variables:
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%%% mode: latex
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%%% TeX-master: "master"
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%%% End:
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Binary file not shown.
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@ -0,0 +1,158 @@
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|||
\documentclass[a4paper,12pt]{article}
|
||||
\usepackage{myXsim}
|
||||
\usepackage{pgfplots}
|
||||
\usetikzlibrary{decorations.markings}
|
||||
\pgfplotsset{compat=1.18}
|
||||
|
||||
\title{ DM1 \hfill STRUKELJ Charles}
|
||||
\tribe{1ST}
|
||||
\date{A rendre pour le lundi 27 mars 2023}
|
||||
\duree{}
|
||||
|
||||
\xsimsetup{
|
||||
solution/print = false
|
||||
}
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||||
|
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|
||||
\pagestyle{empty}
|
||||
|
||||
\begin{document}
|
||||
\maketitle
|
||||
|
||||
Le barème est donné à titre indicatif, il pourra être modifié.
|
||||
|
||||
\begin{exercise}[subtitle={Polynôme de degré 2}]
|
||||
|
||||
Développer les expressions suivantes pour vérifier que ce sont des polynômes de degré 2. Vous préciserez les valeurs de $a$, $b$ et $c$.
|
||||
\begin{multicols}{2}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item $f(x) = (8x + 9)(4x + 9)$
|
||||
\item $g(x) = (3x - 7)^{2}$
|
||||
\item $h(x) = 2 + x(5x - 7)$
|
||||
\item $i(x) = - 2x^{2} + x(- 3x - 10)$
|
||||
\item $j(x) = - 4(x - 1)(x - 5)$
|
||||
\item $k(x) = - 6(x + 4)(x + 8)$
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{multicols}
|
||||
\end{exercise}
|
||||
|
||||
\begin{solution}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item
|
||||
\begin{align*}
|
||||
f(x) &= (8x + 9)(4x + 9)\\&= 8x \times 4x + 8x \times 9 + 9 \times 4x + 9 \times 9\\&= 8 \times 4 \times x^{1 + 1} + 9 \times 8 \times x + 9 \times 4 \times x + 81\\&= 72x + 36x + 32x^{2} + 81\\&= (72 + 36) \times x + 32x^{2} + 81\\&= 32x^{2} + 108x + 81
|
||||
\end{align*}
|
||||
C'est un polynôme de degré 2 avec $a = 32$, $b = 108$ et $c = 81$.
|
||||
\item
|
||||
\begin{align*}
|
||||
g(x) &= (3x - 7)^{2}\\&= (3x - 7)(3x - 7)\\&= 3x \times 3x + 3x(- 7) - 7 \times 3x - 7(- 7)\\&= 3 \times 3 \times x^{1 + 1} - 7 \times 3 \times x - 7 \times 3 \times x + 49\\&= - 21x - 21x + 9x^{2} + 49\\&= (- 21 - 21) \times x + 9x^{2} + 49\\&= 9x^{2} - 42x + 49
|
||||
\end{align*}
|
||||
C'est un polynôme de degré 2 avec $a = 9$, $b = - 42$ et $c = 49$.
|
||||
\item
|
||||
\begin{align*}
|
||||
h(x) &= 2 + x(5x - 7)\\&= 2 + x \times 5x + x(- 7)\\&= 5x^{2} - 7x + 2
|
||||
\end{align*}
|
||||
C'est un polynôme de degré 2 avec $a = 5$, $b = - 7$ et $c = 2$.
|
||||
\item
|
||||
\begin{align*}
|
||||
i(x) &= - 2x^{2} + x(- 3x - 10)\\&= - 2x^{2} + x \times - 3x + x(- 10)\\&= - 2x^{2} - 3x^{2} - 10x\\&= - 2x^{2} - 3x^{2} - 10x\\&= (- 2 - 3) \times x^{2} - 10x\\&= - 5x^{2} - 10x
|
||||
\end{align*}
|
||||
C'est un polynôme de degré 2 avec $a = - 5$, $b = - 10$ et $c = 0$.
|
||||
\item
|
||||
\begin{align*}
|
||||
j(x) &= - 4(x - 1)(x - 5)\\&= (- 4x - 4(- 1))(x - 5)\\&= (- 4x + 4)(x - 5)\\&= - 4x \times x - 4x(- 5) + 4x + 4(- 5)\\&= - 5(- 4) \times x - 20 - 4x^{2} + 4x\\&= 20x - 20 - 4x^{2} + 4x\\&= - 4x^{2} + 20x + 4x - 20\\&= - 4x^{2} + (20 + 4) \times x - 20\\&= - 4x^{2} + 24x - 20
|
||||
\end{align*}
|
||||
C'est un polynôme de degré 2 avec $a = - 4$, $b = 24$ et $c = - 20$.
|
||||
\item
|
||||
\begin{align*}
|
||||
k(x) &= - 6(x + 4)(x + 8)\\&= (- 6x - 6 \times 4)(x + 8)\\&= (- 6x - 24)(x + 8)\\&= - 6x \times x - 6x \times 8 - 24x - 24 \times 8\\&= 8(- 6) \times x - 192 - 6x^{2} - 24x\\&= - 48x - 192 - 6x^{2} - 24x\\&= - 6x^{2} - 48x - 24x - 192\\&= - 6x^{2} + (- 48 - 24) \times x - 192\\&= - 6x^{2} - 72x - 192
|
||||
\end{align*}
|
||||
C'est un polynôme de degré 2 avec $a = - 6$, $b = - 72$ et $c = - 192$.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{solution}
|
||||
|
||||
|
||||
\begin{exercise}[subtitle={Étude de fonctions}]
|
||||
Soit $f(x) = 9x^{2} - 18x - 720$ une fonction définie sur $\R$.
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Calculer les valeurs suivantes
|
||||
\[
|
||||
f(1) \qquad f(-2)
|
||||
\]
|
||||
\item Dériver la fonction $f$
|
||||
\item Étudier le signe de $f'$ puis en déduire les variations de $f$.
|
||||
\item Est-ce que $f$ admet un maximum? un minimum? Calculer sa valeur.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{exercise}
|
||||
|
||||
\begin{solution}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item On remplace $x$ par les valeurs demandées
|
||||
\[
|
||||
f(1) = 9 \times 1^{2} - 18 \times 1 - 720=9 \times 1 - 18 - 720=9 - 738=- 729
|
||||
\]
|
||||
\[
|
||||
f(-1) = 9 \times - 1^{2} - 18(- 1) - 720=9 \times 1 + 18 - 720=9 - 702=- 693
|
||||
\]
|
||||
\item Dérivation
|
||||
\[
|
||||
f'(x) = 18x - 18
|
||||
\]
|
||||
|
||||
\item Pas de solutions automatiques.
|
||||
\item Pas de solutions automatiques.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{solution}
|
||||
|
||||
\begin{exercise}[subtitle={Enclos}]
|
||||
Dans son garage, Jean a trouvé 33m de grillage. \\
|
||||
Il décide de l'utiliser pour faire un enclos rectangulaire. Afin d'obtenir un enclos encore plus grand, il veut utiliser le mur du jardin qui formera un côté. Le grillage formera les 3 autres.
|
||||
|
||||
\begin{center}
|
||||
\includegraphics[scale=0.8]{./fig/enclos}
|
||||
\end{center}
|
||||
|
||||
Comment placer les poteaux pour avoir un enclos le plus grand possible ?
|
||||
|
||||
\textit{Cet exercice est un exercice de recherche. Vous êtes invité à utiliser les outils que vous voulez. Une part importante de la note sera dédiée à la rédaction et aux explications de ce que vous faites. Vous êtes encouragé à faire des schémas.}
|
||||
|
||||
\textit{Si vous utilisez le tableur, vous devrez le mentionner et m'envoyer le tableur à l'adresse \url{benjamin.bertrand@ac-lyon.fr}}
|
||||
|
||||
\end{exercise}
|
||||
|
||||
\begin{solution}
|
||||
Formule de l'aire (en notant $x$ la longueur du côté de l'enclos à côté du mur)
|
||||
\[
|
||||
A(x) = x(33 - 2x) = - 2x^{2} + 33x
|
||||
\]
|
||||
On va donc étudier les variations de la fonction $A(x) = - 2x^{2} + 33x$
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item Fonction dérivée : $A'(x) = - 4x + 33$
|
||||
\item On résout l'inéquation $A'(x) \geq 0$ pour déterminer quand la fonction $A'$ est positive.
|
||||
\begin{align*}
|
||||
A(x) & \geq 0 \\
|
||||
- 4x + 33 & \geq 0 \\
|
||||
- 4x + 33 + - 33 &\geq 0 + - 33 \\
|
||||
- 4x &\geq - 33 \\
|
||||
\frac{- 4x}{- 4} &\leq \frac{- 33}{- 4} \\
|
||||
x &\leq \dfrac{33}{4} \\
|
||||
\end{align*}
|
||||
Donc $A(x)$ est positif quand $x$ est plus \textbf{petit} que $\dfrac{33}{4}$
|
||||
\item
|
||||
\begin{center}
|
||||
\begin{tikzpicture}
|
||||
\tkzTabInit[lgt=3,espcl=4]{$x$/1,Signe de $f'(x)$/2, Variations de $f(x)$/2}{, $\dfrac{33}{4}$ ,}%
|
||||
\tkzTabLine{, +, z, -, }
|
||||
\tkzTabVar{-/ ,+/$f(\dfrac{33}{4}) = \dfrac{2178}{16}$ , -/}%
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\end{center}
|
||||
\end{itemize}
|
||||
Pour avoir le plus grand enclos, il faut placer les poteaux à 6m du mur et on aura alors un enclos de $72m^2$.
|
||||
|
||||
\end{solution}
|
||||
\end{document}
|
||||
|
||||
%%% Local Variables:
|
||||
%%% mode: latex
|
||||
%%% TeX-master: "master"
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||||
%%% End:
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||||
Binary file not shown.
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|
@ -0,0 +1,158 @@
|
|||
\documentclass[a4paper,12pt]{article}
|
||||
\usepackage{myXsim}
|
||||
\usepackage{pgfplots}
|
||||
\usetikzlibrary{decorations.markings}
|
||||
\pgfplotsset{compat=1.18}
|
||||
|
||||
\title{ DM1 \hfill THERET Olympe}
|
||||
\tribe{1ST}
|
||||
\date{A rendre pour le lundi 27 mars 2023}
|
||||
\duree{}
|
||||
|
||||
\xsimsetup{
|
||||
solution/print = false
|
||||
}
|
||||
|
||||
|
||||
\pagestyle{empty}
|
||||
|
||||
\begin{document}
|
||||
\maketitle
|
||||
|
||||
Le barème est donné à titre indicatif, il pourra être modifié.
|
||||
|
||||
\begin{exercise}[subtitle={Polynôme de degré 2}]
|
||||
|
||||
Développer les expressions suivantes pour vérifier que ce sont des polynômes de degré 2. Vous préciserez les valeurs de $a$, $b$ et $c$.
|
||||
\begin{multicols}{2}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item $f(x) = (- 6x + 8)(7x + 8)$
|
||||
\item $g(x) = (- 8x + 5)^{2}$
|
||||
\item $h(x) = 4 + x(2x - 3)$
|
||||
\item $i(x) = - 5x^{2} + x(8x + 5)$
|
||||
\item $j(x) = - 7(x + 10)(x - 4)$
|
||||
\item $k(x) = 3(x + 8)(x + 8)$
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{multicols}
|
||||
\end{exercise}
|
||||
|
||||
\begin{solution}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item
|
||||
\begin{align*}
|
||||
f(x) &= (- 6x + 8)(7x + 8)\\&= - 6x \times 7x - 6x \times 8 + 8 \times 7x + 8 \times 8\\&= - 6 \times 7 \times x^{1 + 1} + 8(- 6) \times x + 8 \times 7 \times x + 64\\&= - 48x + 56x - 42x^{2} + 64\\&= (- 48 + 56) \times x - 42x^{2} + 64\\&= - 42x^{2} + 8x + 64
|
||||
\end{align*}
|
||||
C'est un polynôme de degré 2 avec $a = - 42$, $b = 8$ et $c = 64$.
|
||||
\item
|
||||
\begin{align*}
|
||||
g(x) &= (- 8x + 5)^{2}\\&= (- 8x + 5)(- 8x + 5)\\&= - 8x \times - 8x - 8x \times 5 + 5 \times - 8x + 5 \times 5\\&= - 8(- 8) \times x^{1 + 1} + 5(- 8) \times x + 5(- 8) \times x + 25\\&= - 40x - 40x + 64x^{2} + 25\\&= (- 40 - 40) \times x + 64x^{2} + 25\\&= 64x^{2} - 80x + 25
|
||||
\end{align*}
|
||||
C'est un polynôme de degré 2 avec $a = 64$, $b = - 80$ et $c = 25$.
|
||||
\item
|
||||
\begin{align*}
|
||||
h(x) &= 4 + x(2x - 3)\\&= 4 + x \times 2x + x(- 3)\\&= 2x^{2} - 3x + 4
|
||||
\end{align*}
|
||||
C'est un polynôme de degré 2 avec $a = 2$, $b = - 3$ et $c = 4$.
|
||||
\item
|
||||
\begin{align*}
|
||||
i(x) &= - 5x^{2} + x(8x + 5)\\&= - 5x^{2} + x \times 8x + x \times 5\\&= - 5x^{2} + 8x^{2} + 5x\\&= - 5x^{2} + 8x^{2} + 5x\\&= (- 5 + 8) \times x^{2} + 5x\\&= 3x^{2} + 5x
|
||||
\end{align*}
|
||||
C'est un polynôme de degré 2 avec $a = 3$, $b = 5$ et $c = 0$.
|
||||
\item
|
||||
\begin{align*}
|
||||
j(x) &= - 7(x + 10)(x - 4)\\&= (- 7x - 7 \times 10)(x - 4)\\&= (- 7x - 70)(x - 4)\\&= - 7x \times x - 7x(- 4) - 70x - 70(- 4)\\&= - 4(- 7) \times x + 280 - 7x^{2} - 70x\\&= 28x + 280 - 7x^{2} - 70x\\&= - 7x^{2} + 28x - 70x + 280\\&= - 7x^{2} + (28 - 70) \times x + 280\\&= - 7x^{2} - 42x + 280
|
||||
\end{align*}
|
||||
C'est un polynôme de degré 2 avec $a = - 7$, $b = - 42$ et $c = 280$.
|
||||
\item
|
||||
\begin{align*}
|
||||
k(x) &= 3(x + 8)(x + 8)\\&= (3x + 3 \times 8)(x + 8)\\&= (3x + 24)(x + 8)\\&= 3x \times x + 3x \times 8 + 24x + 24 \times 8\\&= 8 \times 3 \times x + 192 + 3x^{2} + 24x\\&= 24x + 192 + 3x^{2} + 24x\\&= 3x^{2} + 24x + 24x + 192\\&= 3x^{2} + (24 + 24) \times x + 192\\&= 3x^{2} + 48x + 192
|
||||
\end{align*}
|
||||
C'est un polynôme de degré 2 avec $a = 3$, $b = 48$ et $c = 192$.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{solution}
|
||||
|
||||
|
||||
\begin{exercise}[subtitle={Étude de fonctions}]
|
||||
Soit $f(x) = 5x^{2} - 70x + 240$ une fonction définie sur $\R$.
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Calculer les valeurs suivantes
|
||||
\[
|
||||
f(1) \qquad f(-2)
|
||||
\]
|
||||
\item Dériver la fonction $f$
|
||||
\item Étudier le signe de $f'$ puis en déduire les variations de $f$.
|
||||
\item Est-ce que $f$ admet un maximum? un minimum? Calculer sa valeur.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{exercise}
|
||||
|
||||
\begin{solution}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item On remplace $x$ par les valeurs demandées
|
||||
\[
|
||||
f(1) = 5 \times 1^{2} - 70 \times 1 + 240=5 \times 1 - 70 + 240=5 + 170=175
|
||||
\]
|
||||
\[
|
||||
f(-1) = 5 \times - 1^{2} - 70(- 1) + 240=5 \times 1 + 70 + 240=5 + 310=315
|
||||
\]
|
||||
\item Dérivation
|
||||
\[
|
||||
f'(x) = 10x - 70
|
||||
\]
|
||||
|
||||
\item Pas de solutions automatiques.
|
||||
\item Pas de solutions automatiques.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{solution}
|
||||
|
||||
\begin{exercise}[subtitle={Enclos}]
|
||||
Dans son garage, Jean a trouvé 29m de grillage. \\
|
||||
Il décide de l'utiliser pour faire un enclos rectangulaire. Afin d'obtenir un enclos encore plus grand, il veut utiliser le mur du jardin qui formera un côté. Le grillage formera les 3 autres.
|
||||
|
||||
\begin{center}
|
||||
\includegraphics[scale=0.8]{./fig/enclos}
|
||||
\end{center}
|
||||
|
||||
Comment placer les poteaux pour avoir un enclos le plus grand possible ?
|
||||
|
||||
\textit{Cet exercice est un exercice de recherche. Vous êtes invité à utiliser les outils que vous voulez. Une part importante de la note sera dédiée à la rédaction et aux explications de ce que vous faites. Vous êtes encouragé à faire des schémas.}
|
||||
|
||||
\textit{Si vous utilisez le tableur, vous devrez le mentionner et m'envoyer le tableur à l'adresse \url{benjamin.bertrand@ac-lyon.fr}}
|
||||
|
||||
\end{exercise}
|
||||
|
||||
\begin{solution}
|
||||
Formule de l'aire (en notant $x$ la longueur du côté de l'enclos à côté du mur)
|
||||
\[
|
||||
A(x) = x(29 - 2x) = - 2x^{2} + 29x
|
||||
\]
|
||||
On va donc étudier les variations de la fonction $A(x) = - 2x^{2} + 29x$
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item Fonction dérivée : $A'(x) = - 4x + 29$
|
||||
\item On résout l'inéquation $A'(x) \geq 0$ pour déterminer quand la fonction $A'$ est positive.
|
||||
\begin{align*}
|
||||
A(x) & \geq 0 \\
|
||||
- 4x + 29 & \geq 0 \\
|
||||
- 4x + 29 + - 29 &\geq 0 + - 29 \\
|
||||
- 4x &\geq - 29 \\
|
||||
\frac{- 4x}{- 4} &\leq \frac{- 29}{- 4} \\
|
||||
x &\leq \dfrac{29}{4} \\
|
||||
\end{align*}
|
||||
Donc $A(x)$ est positif quand $x$ est plus \textbf{petit} que $\dfrac{29}{4}$
|
||||
\item
|
||||
\begin{center}
|
||||
\begin{tikzpicture}
|
||||
\tkzTabInit[lgt=3,espcl=4]{$x$/1,Signe de $f'(x)$/2, Variations de $f(x)$/2}{, $\dfrac{29}{4}$ ,}%
|
||||
\tkzTabLine{, +, z, -, }
|
||||
\tkzTabVar{-/ ,+/$f(\dfrac{29}{4}) = \dfrac{1682}{16}$ , -/}%
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\end{center}
|
||||
\end{itemize}
|
||||
Pour avoir le plus grand enclos, il faut placer les poteaux à 6m du mur et on aura alors un enclos de $72m^2$.
|
||||
|
||||
\end{solution}
|
||||
\end{document}
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%%% Local Variables:
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%%% mode: latex
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%%% TeX-master: "master"
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%%% End:
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Binary file not shown.
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@ -0,0 +1,158 @@
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\documentclass[a4paper,12pt]{article}
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||||
\usepackage{myXsim}
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||||
\usepackage{pgfplots}
|
||||
\usetikzlibrary{decorations.markings}
|
||||
\pgfplotsset{compat=1.18}
|
||||
|
||||
\title{ DM1 \hfill }
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||||
\tribe{1ST}
|
||||
\date{A rendre pour le lundi 27 mars 2023}
|
||||
\duree{}
|
||||
|
||||
\xsimsetup{
|
||||
solution/print = false
|
||||
}
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||||
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||||
\pagestyle{empty}
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||||
\begin{document}
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||||
\maketitle
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||||
|
||||
Le barème est donné à titre indicatif, il pourra être modifié.
|
||||
|
||||
\begin{exercise}[subtitle={Polynôme de degré 2}]
|
||||
|
||||
Développer les expressions suivantes pour vérifier que ce sont des polynômes de degré 2. Vous préciserez les valeurs de $a$, $b$ et $c$.
|
||||
\begin{multicols}{2}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item $f(x) = (3x - 6)(- 7x - 6)$
|
||||
\item $g(x) = (- 3x + 10)^{2}$
|
||||
\item $h(x) = - 10 + x(- 7x - 4)$
|
||||
\item $i(x) = - 1x^{2} + x(- 8x - 4)$
|
||||
\item $j(x) = 6(x - 3)(x + 8)$
|
||||
\item $k(x) = 5(x + 6)(x - 10)$
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{multicols}
|
||||
\end{exercise}
|
||||
|
||||
\begin{solution}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item
|
||||
\begin{align*}
|
||||
f(x) &= (3x - 6)(- 7x - 6)\\&= 3x \times - 7x + 3x(- 6) - 6 \times - 7x - 6(- 6)\\&= 3(- 7) \times x^{1 + 1} - 6 \times 3 \times x - 6(- 7) \times x + 36\\&= - 18x + 42x - 21x^{2} + 36\\&= (- 18 + 42) \times x - 21x^{2} + 36\\&= - 21x^{2} + 24x + 36
|
||||
\end{align*}
|
||||
C'est un polynôme de degré 2 avec $a = - 21$, $b = 24$ et $c = 36$.
|
||||
\item
|
||||
\begin{align*}
|
||||
g(x) &= (- 3x + 10)^{2}\\&= (- 3x + 10)(- 3x + 10)\\&= - 3x \times - 3x - 3x \times 10 + 10 \times - 3x + 10 \times 10\\&= - 3(- 3) \times x^{1 + 1} + 10(- 3) \times x + 10(- 3) \times x + 100\\&= - 30x - 30x + 9x^{2} + 100\\&= (- 30 - 30) \times x + 9x^{2} + 100\\&= 9x^{2} - 60x + 100
|
||||
\end{align*}
|
||||
C'est un polynôme de degré 2 avec $a = 9$, $b = - 60$ et $c = 100$.
|
||||
\item
|
||||
\begin{align*}
|
||||
h(x) &= - 10 + x(- 7x - 4)\\&= - 10 + x \times - 7x + x(- 4)\\&= - 7x^{2} - 4x - 10
|
||||
\end{align*}
|
||||
C'est un polynôme de degré 2 avec $a = - 7$, $b = - 4$ et $c = - 10$.
|
||||
\item
|
||||
\begin{align*}
|
||||
i(x) &= - 1x^{2} + x(- 8x - 4)\\&= - x^{2} + x \times - 8x + x(- 4)\\&= - x^{2} - 8x^{2} - 4x\\&= - x^{2} - 8x^{2} - 4x\\&= (- 1 - 8) \times x^{2} - 4x\\&= - 9x^{2} - 4x
|
||||
\end{align*}
|
||||
C'est un polynôme de degré 2 avec $a = - 9$, $b = - 4$ et $c = 0$.
|
||||
\item
|
||||
\begin{align*}
|
||||
j(x) &= 6(x - 3)(x + 8)\\&= (6x + 6(- 3))(x + 8)\\&= (6x - 18)(x + 8)\\&= 6x \times x + 6x \times 8 - 18x - 18 \times 8\\&= 8 \times 6 \times x - 144 + 6x^{2} - 18x\\&= 48x - 144 + 6x^{2} - 18x\\&= 6x^{2} + 48x - 18x - 144\\&= 6x^{2} + (48 - 18) \times x - 144\\&= 6x^{2} + 30x - 144
|
||||
\end{align*}
|
||||
C'est un polynôme de degré 2 avec $a = 6$, $b = 30$ et $c = - 144$.
|
||||
\item
|
||||
\begin{align*}
|
||||
k(x) &= 5(x + 6)(x - 10)\\&= (5x + 5 \times 6)(x - 10)\\&= (5x + 30)(x - 10)\\&= 5x \times x + 5x(- 10) + 30x + 30(- 10)\\&= - 10 \times 5 \times x - 300 + 5x^{2} + 30x\\&= - 50x - 300 + 5x^{2} + 30x\\&= 5x^{2} - 50x + 30x - 300\\&= 5x^{2} + (- 50 + 30) \times x - 300\\&= 5x^{2} - 20x - 300
|
||||
\end{align*}
|
||||
C'est un polynôme de degré 2 avec $a = 5$, $b = - 20$ et $c = - 300$.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{solution}
|
||||
|
||||
|
||||
\begin{exercise}[subtitle={Étude de fonctions}]
|
||||
Soit $f(x) = 6x^{2} - 48x - 120$ une fonction définie sur $\R$.
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Calculer les valeurs suivantes
|
||||
\[
|
||||
f(1) \qquad f(-2)
|
||||
\]
|
||||
\item Dériver la fonction $f$
|
||||
\item Étudier le signe de $f'$ puis en déduire les variations de $f$.
|
||||
\item Est-ce que $f$ admet un maximum? un minimum? Calculer sa valeur.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{exercise}
|
||||
|
||||
\begin{solution}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item On remplace $x$ par les valeurs demandées
|
||||
\[
|
||||
f(1) = 6 \times 1^{2} - 48 \times 1 - 120=6 \times 1 - 48 - 120=6 - 168=- 162
|
||||
\]
|
||||
\[
|
||||
f(-1) = 6 \times - 1^{2} - 48(- 1) - 120=6 \times 1 + 48 - 120=6 - 72=- 66
|
||||
\]
|
||||
\item Dérivation
|
||||
\[
|
||||
f'(x) = 12x - 48
|
||||
\]
|
||||
|
||||
\item Pas de solutions automatiques.
|
||||
\item Pas de solutions automatiques.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{solution}
|
||||
|
||||
\begin{exercise}[subtitle={Enclos}]
|
||||
Dans son garage, Jean a trouvé 24m de grillage. \\
|
||||
Il décide de l'utiliser pour faire un enclos rectangulaire. Afin d'obtenir un enclos encore plus grand, il veut utiliser le mur du jardin qui formera un côté. Le grillage formera les 3 autres.
|
||||
|
||||
\begin{center}
|
||||
\includegraphics[scale=0.8]{./fig/enclos}
|
||||
\end{center}
|
||||
|
||||
Comment placer les poteaux pour avoir un enclos le plus grand possible ?
|
||||
|
||||
\textit{Cet exercice est un exercice de recherche. Vous êtes invité à utiliser les outils que vous voulez. Une part importante de la note sera dédiée à la rédaction et aux explications de ce que vous faites. Vous êtes encouragé à faire des schémas.}
|
||||
|
||||
\textit{Si vous utilisez le tableur, vous devrez le mentionner et m'envoyer le tableur à l'adresse \url{benjamin.bertrand@ac-lyon.fr}}
|
||||
|
||||
\end{exercise}
|
||||
|
||||
\begin{solution}
|
||||
Formule de l'aire (en notant $x$ la longueur du côté de l'enclos à côté du mur)
|
||||
\[
|
||||
A(x) = x(24 - 2x) = - 2x^{2} + 24x
|
||||
\]
|
||||
On va donc étudier les variations de la fonction $A(x) = - 2x^{2} + 24x$
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item Fonction dérivée : $A'(x) = - 4x + 24$
|
||||
\item On résout l'inéquation $A'(x) \geq 0$ pour déterminer quand la fonction $A'$ est positive.
|
||||
\begin{align*}
|
||||
A(x) & \geq 0 \\
|
||||
- 4x + 24 & \geq 0 \\
|
||||
- 4x + 24 + - 24 &\geq 0 + - 24 \\
|
||||
- 4x &\geq - 24 \\
|
||||
\frac{- 4x}{- 4} &\leq \frac{- 24}{- 4} \\
|
||||
x &\leq 6 \\
|
||||
\end{align*}
|
||||
Donc $A(x)$ est positif quand $x$ est plus \textbf{petit} que $6$
|
||||
\item
|
||||
\begin{center}
|
||||
\begin{tikzpicture}
|
||||
\tkzTabInit[lgt=3,espcl=4]{$x$/1,Signe de $f'(x)$/2, Variations de $f(x)$/2}{, $6$ ,}%
|
||||
\tkzTabLine{, +, z, -, }
|
||||
\tkzTabVar{-/ ,+/$f(6) = 72$ , -/}%
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\end{center}
|
||||
\end{itemize}
|
||||
Pour avoir le plus grand enclos, il faut placer les poteaux à 6m du mur et on aura alors un enclos de $72m^2$.
|
||||
|
||||
\end{solution}
|
||||
\end{document}
|
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|
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%%% Local Variables:
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%%% mode: latex
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%%% TeX-master: "master"
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%%% End:
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Binary file not shown.
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@ -0,0 +1,158 @@
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|||
\documentclass[a4paper,12pt]{article}
|
||||
\usepackage{myXsim}
|
||||
\usepackage{pgfplots}
|
||||
\usetikzlibrary{decorations.markings}
|
||||
\pgfplotsset{compat=1.18}
|
||||
|
||||
\title{ DM1 \hfill TODESCHINI Alissa}
|
||||
\tribe{1ST}
|
||||
\date{A rendre pour le lundi 27 mars 2023}
|
||||
\duree{}
|
||||
|
||||
\xsimsetup{
|
||||
solution/print = false
|
||||
}
|
||||
|
||||
|
||||
\pagestyle{empty}
|
||||
|
||||
\begin{document}
|
||||
\maketitle
|
||||
|
||||
Le barème est donné à titre indicatif, il pourra être modifié.
|
||||
|
||||
\begin{exercise}[subtitle={Polynôme de degré 2}]
|
||||
|
||||
Développer les expressions suivantes pour vérifier que ce sont des polynômes de degré 2. Vous préciserez les valeurs de $a$, $b$ et $c$.
|
||||
\begin{multicols}{2}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item $f(x) = (- 8x - 2)(- 7x - 2)$
|
||||
\item $g(x) = (6x + 5)^{2}$
|
||||
\item $h(x) = - 4 + x(6x - 1)$
|
||||
\item $i(x) = - 7x^{2} + x(- 6x - 3)$
|
||||
\item $j(x) = - 9(x - 4)(x - 4)$
|
||||
\item $k(x) = 8(x - 2)(x - 4)$
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{multicols}
|
||||
\end{exercise}
|
||||
|
||||
\begin{solution}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item
|
||||
\begin{align*}
|
||||
f(x) &= (- 8x - 2)(- 7x - 2)\\&= - 8x \times - 7x - 8x(- 2) - 2 \times - 7x - 2(- 2)\\&= - 8(- 7) \times x^{1 + 1} - 2(- 8) \times x - 2(- 7) \times x + 4\\&= 16x + 14x + 56x^{2} + 4\\&= (16 + 14) \times x + 56x^{2} + 4\\&= 56x^{2} + 30x + 4
|
||||
\end{align*}
|
||||
C'est un polynôme de degré 2 avec $a = 56$, $b = 30$ et $c = 4$.
|
||||
\item
|
||||
\begin{align*}
|
||||
g(x) &= (6x + 5)^{2}\\&= (6x + 5)(6x + 5)\\&= 6x \times 6x + 6x \times 5 + 5 \times 6x + 5 \times 5\\&= 6 \times 6 \times x^{1 + 1} + 5 \times 6 \times x + 5 \times 6 \times x + 25\\&= 30x + 30x + 36x^{2} + 25\\&= (30 + 30) \times x + 36x^{2} + 25\\&= 36x^{2} + 60x + 25
|
||||
\end{align*}
|
||||
C'est un polynôme de degré 2 avec $a = 36$, $b = 60$ et $c = 25$.
|
||||
\item
|
||||
\begin{align*}
|
||||
h(x) &= - 4 + x(6x - 1)\\&= - 4 + x \times 6x + x(- 1)\\&= 6x^{2} - x - 4
|
||||
\end{align*}
|
||||
C'est un polynôme de degré 2 avec $a = 6$, $b = - 1$ et $c = - 4$.
|
||||
\item
|
||||
\begin{align*}
|
||||
i(x) &= - 7x^{2} + x(- 6x - 3)\\&= - 7x^{2} + x \times - 6x + x(- 3)\\&= - 7x^{2} - 6x^{2} - 3x\\&= - 7x^{2} - 6x^{2} - 3x\\&= (- 7 - 6) \times x^{2} - 3x\\&= - 13x^{2} - 3x
|
||||
\end{align*}
|
||||
C'est un polynôme de degré 2 avec $a = - 13$, $b = - 3$ et $c = 0$.
|
||||
\item
|
||||
\begin{align*}
|
||||
j(x) &= - 9(x - 4)(x - 4)\\&= (- 9x - 9(- 4))(x - 4)\\&= (- 9x + 36)(x - 4)\\&= - 9x \times x - 9x(- 4) + 36x + 36(- 4)\\&= - 4(- 9) \times x - 144 - 9x^{2} + 36x\\&= 36x - 144 - 9x^{2} + 36x\\&= - 9x^{2} + 36x + 36x - 144\\&= - 9x^{2} + (36 + 36) \times x - 144\\&= - 9x^{2} + 72x - 144
|
||||
\end{align*}
|
||||
C'est un polynôme de degré 2 avec $a = - 9$, $b = 72$ et $c = - 144$.
|
||||
\item
|
||||
\begin{align*}
|
||||
k(x) &= 8(x - 2)(x - 4)\\&= (8x + 8(- 2))(x - 4)\\&= (8x - 16)(x - 4)\\&= 8x \times x + 8x(- 4) - 16x - 16(- 4)\\&= - 4 \times 8 \times x + 64 + 8x^{2} - 16x\\&= - 32x + 64 + 8x^{2} - 16x\\&= 8x^{2} - 32x - 16x + 64\\&= 8x^{2} + (- 32 - 16) \times x + 64\\&= 8x^{2} - 48x + 64
|
||||
\end{align*}
|
||||
C'est un polynôme de degré 2 avec $a = 8$, $b = - 48$ et $c = 64$.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{solution}
|
||||
|
||||
|
||||
\begin{exercise}[subtitle={Étude de fonctions}]
|
||||
Soit $f(x) = 2x^{2} - 162$ une fonction définie sur $\R$.
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Calculer les valeurs suivantes
|
||||
\[
|
||||
f(1) \qquad f(-2)
|
||||
\]
|
||||
\item Dériver la fonction $f$
|
||||
\item Étudier le signe de $f'$ puis en déduire les variations de $f$.
|
||||
\item Est-ce que $f$ admet un maximum? un minimum? Calculer sa valeur.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{exercise}
|
||||
|
||||
\begin{solution}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item On remplace $x$ par les valeurs demandées
|
||||
\[
|
||||
f(1) = 2 \times 1^{2} - 162=2 \times 1 - 162=2 - 162=- 160
|
||||
\]
|
||||
\[
|
||||
f(-1) = 2 \times - 1^{2} - 162=2 \times 1 - 162=2 - 162=- 160
|
||||
\]
|
||||
\item Dérivation
|
||||
\[
|
||||
f'(x) = 4x
|
||||
\]
|
||||
|
||||
\item Pas de solutions automatiques.
|
||||
\item Pas de solutions automatiques.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{solution}
|
||||
|
||||
\begin{exercise}[subtitle={Enclos}]
|
||||
Dans son garage, Jean a trouvé 37m de grillage. \\
|
||||
Il décide de l'utiliser pour faire un enclos rectangulaire. Afin d'obtenir un enclos encore plus grand, il veut utiliser le mur du jardin qui formera un côté. Le grillage formera les 3 autres.
|
||||
|
||||
\begin{center}
|
||||
\includegraphics[scale=0.8]{./fig/enclos}
|
||||
\end{center}
|
||||
|
||||
Comment placer les poteaux pour avoir un enclos le plus grand possible ?
|
||||
|
||||
\textit{Cet exercice est un exercice de recherche. Vous êtes invité à utiliser les outils que vous voulez. Une part importante de la note sera dédiée à la rédaction et aux explications de ce que vous faites. Vous êtes encouragé à faire des schémas.}
|
||||
|
||||
\textit{Si vous utilisez le tableur, vous devrez le mentionner et m'envoyer le tableur à l'adresse \url{benjamin.bertrand@ac-lyon.fr}}
|
||||
|
||||
\end{exercise}
|
||||
|
||||
\begin{solution}
|
||||
Formule de l'aire (en notant $x$ la longueur du côté de l'enclos à côté du mur)
|
||||
\[
|
||||
A(x) = x(37 - 2x) = - 2x^{2} + 37x
|
||||
\]
|
||||
On va donc étudier les variations de la fonction $A(x) = - 2x^{2} + 37x$
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item Fonction dérivée : $A'(x) = - 4x + 37$
|
||||
\item On résout l'inéquation $A'(x) \geq 0$ pour déterminer quand la fonction $A'$ est positive.
|
||||
\begin{align*}
|
||||
A(x) & \geq 0 \\
|
||||
- 4x + 37 & \geq 0 \\
|
||||
- 4x + 37 + - 37 &\geq 0 + - 37 \\
|
||||
- 4x &\geq - 37 \\
|
||||
\frac{- 4x}{- 4} &\leq \frac{- 37}{- 4} \\
|
||||
x &\leq \dfrac{37}{4} \\
|
||||
\end{align*}
|
||||
Donc $A(x)$ est positif quand $x$ est plus \textbf{petit} que $\dfrac{37}{4}$
|
||||
\item
|
||||
\begin{center}
|
||||
\begin{tikzpicture}
|
||||
\tkzTabInit[lgt=3,espcl=4]{$x$/1,Signe de $f'(x)$/2, Variations de $f(x)$/2}{, $\dfrac{37}{4}$ ,}%
|
||||
\tkzTabLine{, +, z, -, }
|
||||
\tkzTabVar{-/ ,+/$f(\dfrac{37}{4}) = \dfrac{2738}{16}$ , -/}%
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\end{center}
|
||||
\end{itemize}
|
||||
Pour avoir le plus grand enclos, il faut placer les poteaux à 6m du mur et on aura alors un enclos de $72m^2$.
|
||||
|
||||
\end{solution}
|
||||
\end{document}
|
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%%% Local Variables:
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%%% mode: latex
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%%% TeX-master: "master"
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%%% End:
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Binary file not shown.
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@ -0,0 +1,158 @@
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|||
\documentclass[a4paper,12pt]{article}
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||||
\usepackage{myXsim}
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||||
\usepackage{pgfplots}
|
||||
\usetikzlibrary{decorations.markings}
|
||||
\pgfplotsset{compat=1.18}
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||||
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||||
\title{ DM1 \hfill VAN ES Tristan}
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||||
\tribe{1ST}
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||||
\date{A rendre pour le lundi 27 mars 2023}
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||||
\duree{}
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||||
\xsimsetup{
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||||
solution/print = false
|
||||
}
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\pagestyle{empty}
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\begin{document}
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||||
\maketitle
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||||
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||||
Le barème est donné à titre indicatif, il pourra être modifié.
|
||||
|
||||
\begin{exercise}[subtitle={Polynôme de degré 2}]
|
||||
|
||||
Développer les expressions suivantes pour vérifier que ce sont des polynômes de degré 2. Vous préciserez les valeurs de $a$, $b$ et $c$.
|
||||
\begin{multicols}{2}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item $f(x) = (- 9x + 3)(- 9x + 3)$
|
||||
\item $g(x) = (- 3x + 6)^{2}$
|
||||
\item $h(x) = 10 + x(6x - 7)$
|
||||
\item $i(x) = - 1x^{2} + x(- 10x - 4)$
|
||||
\item $j(x) = 4(x - 3)(x + 4)$
|
||||
\item $k(x) = 4(x + 9)(x + 3)$
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{multicols}
|
||||
\end{exercise}
|
||||
|
||||
\begin{solution}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item
|
||||
\begin{align*}
|
||||
f(x) &= (- 9x + 3)(- 9x + 3)\\&= - 9x \times - 9x - 9x \times 3 + 3 \times - 9x + 3 \times 3\\&= - 9(- 9) \times x^{1 + 1} + 3(- 9) \times x + 3(- 9) \times x + 9\\&= - 27x - 27x + 81x^{2} + 9\\&= (- 27 - 27) \times x + 81x^{2} + 9\\&= 81x^{2} - 54x + 9
|
||||
\end{align*}
|
||||
C'est un polynôme de degré 2 avec $a = 81$, $b = - 54$ et $c = 9$.
|
||||
\item
|
||||
\begin{align*}
|
||||
g(x) &= (- 3x + 6)^{2}\\&= (- 3x + 6)(- 3x + 6)\\&= - 3x \times - 3x - 3x \times 6 + 6 \times - 3x + 6 \times 6\\&= - 3(- 3) \times x^{1 + 1} + 6(- 3) \times x + 6(- 3) \times x + 36\\&= - 18x - 18x + 9x^{2} + 36\\&= (- 18 - 18) \times x + 9x^{2} + 36\\&= 9x^{2} - 36x + 36
|
||||
\end{align*}
|
||||
C'est un polynôme de degré 2 avec $a = 9$, $b = - 36$ et $c = 36$.
|
||||
\item
|
||||
\begin{align*}
|
||||
h(x) &= 10 + x(6x - 7)\\&= 10 + x \times 6x + x(- 7)\\&= 6x^{2} - 7x + 10
|
||||
\end{align*}
|
||||
C'est un polynôme de degré 2 avec $a = 6$, $b = - 7$ et $c = 10$.
|
||||
\item
|
||||
\begin{align*}
|
||||
i(x) &= - 1x^{2} + x(- 10x - 4)\\&= - x^{2} + x \times - 10x + x(- 4)\\&= - x^{2} - 10x^{2} - 4x\\&= - x^{2} - 10x^{2} - 4x\\&= (- 1 - 10) \times x^{2} - 4x\\&= - 11x^{2} - 4x
|
||||
\end{align*}
|
||||
C'est un polynôme de degré 2 avec $a = - 11$, $b = - 4$ et $c = 0$.
|
||||
\item
|
||||
\begin{align*}
|
||||
j(x) &= 4(x - 3)(x + 4)\\&= (4x + 4(- 3))(x + 4)\\&= (4x - 12)(x + 4)\\&= 4x \times x + 4x \times 4 - 12x - 12 \times 4\\&= 4 \times 4 \times x - 48 + 4x^{2} - 12x\\&= 16x - 48 + 4x^{2} - 12x\\&= 4x^{2} + 16x - 12x - 48\\&= 4x^{2} + (16 - 12) \times x - 48\\&= 4x^{2} + 4x - 48
|
||||
\end{align*}
|
||||
C'est un polynôme de degré 2 avec $a = 4$, $b = 4$ et $c = - 48$.
|
||||
\item
|
||||
\begin{align*}
|
||||
k(x) &= 4(x + 9)(x + 3)\\&= (4x + 4 \times 9)(x + 3)\\&= (4x + 36)(x + 3)\\&= 4x \times x + 4x \times 3 + 36x + 36 \times 3\\&= 3 \times 4 \times x + 108 + 4x^{2} + 36x\\&= 12x + 108 + 4x^{2} + 36x\\&= 4x^{2} + 12x + 36x + 108\\&= 4x^{2} + (12 + 36) \times x + 108\\&= 4x^{2} + 48x + 108
|
||||
\end{align*}
|
||||
C'est un polynôme de degré 2 avec $a = 4$, $b = 48$ et $c = 108$.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{solution}
|
||||
|
||||
|
||||
\begin{exercise}[subtitle={Étude de fonctions}]
|
||||
Soit $f(x) = 3x^{2} + 12x - 180$ une fonction définie sur $\R$.
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Calculer les valeurs suivantes
|
||||
\[
|
||||
f(1) \qquad f(-2)
|
||||
\]
|
||||
\item Dériver la fonction $f$
|
||||
\item Étudier le signe de $f'$ puis en déduire les variations de $f$.
|
||||
\item Est-ce que $f$ admet un maximum? un minimum? Calculer sa valeur.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{exercise}
|
||||
|
||||
\begin{solution}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item On remplace $x$ par les valeurs demandées
|
||||
\[
|
||||
f(1) = 3 \times 1^{2} + 12 \times 1 - 180=3 \times 1 + 12 - 180=3 - 168=- 165
|
||||
\]
|
||||
\[
|
||||
f(-1) = 3 \times - 1^{2} + 12(- 1) - 180=3 \times 1 - 12 - 180=3 - 192=- 189
|
||||
\]
|
||||
\item Dérivation
|
||||
\[
|
||||
f'(x) = 6x + 12
|
||||
\]
|
||||
|
||||
\item Pas de solutions automatiques.
|
||||
\item Pas de solutions automatiques.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{solution}
|
||||
|
||||
\begin{exercise}[subtitle={Enclos}]
|
||||
Dans son garage, Jean a trouvé 15m de grillage. \\
|
||||
Il décide de l'utiliser pour faire un enclos rectangulaire. Afin d'obtenir un enclos encore plus grand, il veut utiliser le mur du jardin qui formera un côté. Le grillage formera les 3 autres.
|
||||
|
||||
\begin{center}
|
||||
\includegraphics[scale=0.8]{./fig/enclos}
|
||||
\end{center}
|
||||
|
||||
Comment placer les poteaux pour avoir un enclos le plus grand possible ?
|
||||
|
||||
\textit{Cet exercice est un exercice de recherche. Vous êtes invité à utiliser les outils que vous voulez. Une part importante de la note sera dédiée à la rédaction et aux explications de ce que vous faites. Vous êtes encouragé à faire des schémas.}
|
||||
|
||||
\textit{Si vous utilisez le tableur, vous devrez le mentionner et m'envoyer le tableur à l'adresse \url{benjamin.bertrand@ac-lyon.fr}}
|
||||
|
||||
\end{exercise}
|
||||
|
||||
\begin{solution}
|
||||
Formule de l'aire (en notant $x$ la longueur du côté de l'enclos à côté du mur)
|
||||
\[
|
||||
A(x) = x(15 - 2x) = - 2x^{2} + 15x
|
||||
\]
|
||||
On va donc étudier les variations de la fonction $A(x) = - 2x^{2} + 15x$
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item Fonction dérivée : $A'(x) = - 4x + 15$
|
||||
\item On résout l'inéquation $A'(x) \geq 0$ pour déterminer quand la fonction $A'$ est positive.
|
||||
\begin{align*}
|
||||
A(x) & \geq 0 \\
|
||||
- 4x + 15 & \geq 0 \\
|
||||
- 4x + 15 + - 15 &\geq 0 + - 15 \\
|
||||
- 4x &\geq - 15 \\
|
||||
\frac{- 4x}{- 4} &\leq \frac{- 15}{- 4} \\
|
||||
x &\leq \dfrac{15}{4} \\
|
||||
\end{align*}
|
||||
Donc $A(x)$ est positif quand $x$ est plus \textbf{petit} que $\dfrac{15}{4}$
|
||||
\item
|
||||
\begin{center}
|
||||
\begin{tikzpicture}
|
||||
\tkzTabInit[lgt=3,espcl=4]{$x$/1,Signe de $f'(x)$/2, Variations de $f(x)$/2}{, $\dfrac{15}{4}$ ,}%
|
||||
\tkzTabLine{, +, z, -, }
|
||||
\tkzTabVar{-/ ,+/$f(\dfrac{15}{4}) = \dfrac{450}{16}$ , -/}%
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\end{center}
|
||||
\end{itemize}
|
||||
Pour avoir le plus grand enclos, il faut placer les poteaux à 6m du mur et on aura alors un enclos de $72m^2$.
|
||||
|
||||
\end{solution}
|
||||
\end{document}
|
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|
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%%% Local Variables:
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%%% mode: latex
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%%% TeX-master: "master"
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%%% End:
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Binary file not shown.
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@ -0,0 +1,158 @@
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|||
\documentclass[a4paper,12pt]{article}
|
||||
\usepackage{myXsim}
|
||||
\usepackage{pgfplots}
|
||||
\usetikzlibrary{decorations.markings}
|
||||
\pgfplotsset{compat=1.18}
|
||||
|
||||
\title{ DM1 \hfill YANIK Azra}
|
||||
\tribe{1ST}
|
||||
\date{A rendre pour le lundi 27 mars 2023}
|
||||
\duree{}
|
||||
|
||||
\xsimsetup{
|
||||
solution/print = false
|
||||
}
|
||||
|
||||
|
||||
\pagestyle{empty}
|
||||
|
||||
\begin{document}
|
||||
\maketitle
|
||||
|
||||
Le barème est donné à titre indicatif, il pourra être modifié.
|
||||
|
||||
\begin{exercise}[subtitle={Polynôme de degré 2}]
|
||||
|
||||
Développer les expressions suivantes pour vérifier que ce sont des polynômes de degré 2. Vous préciserez les valeurs de $a$, $b$ et $c$.
|
||||
\begin{multicols}{2}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item $f(x) = (- 9x + 7)(- 5x + 7)$
|
||||
\item $g(x) = (6x - 5)^{2}$
|
||||
\item $h(x) = - 8 + x(- 3x - 7)$
|
||||
\item $i(x) = - 3x^{2} + x(- 3x + 3)$
|
||||
\item $j(x) = 4(x - 3)(x - 1)$
|
||||
\item $k(x) = - 6(x + 8)(x + 4)$
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{multicols}
|
||||
\end{exercise}
|
||||
|
||||
\begin{solution}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item
|
||||
\begin{align*}
|
||||
f(x) &= (- 9x + 7)(- 5x + 7)\\&= - 9x \times - 5x - 9x \times 7 + 7 \times - 5x + 7 \times 7\\&= - 9(- 5) \times x^{1 + 1} + 7(- 9) \times x + 7(- 5) \times x + 49\\&= - 63x - 35x + 45x^{2} + 49\\&= (- 63 - 35) \times x + 45x^{2} + 49\\&= 45x^{2} - 98x + 49
|
||||
\end{align*}
|
||||
C'est un polynôme de degré 2 avec $a = 45$, $b = - 98$ et $c = 49$.
|
||||
\item
|
||||
\begin{align*}
|
||||
g(x) &= (6x - 5)^{2}\\&= (6x - 5)(6x - 5)\\&= 6x \times 6x + 6x(- 5) - 5 \times 6x - 5(- 5)\\&= 6 \times 6 \times x^{1 + 1} - 5 \times 6 \times x - 5 \times 6 \times x + 25\\&= - 30x - 30x + 36x^{2} + 25\\&= (- 30 - 30) \times x + 36x^{2} + 25\\&= 36x^{2} - 60x + 25
|
||||
\end{align*}
|
||||
C'est un polynôme de degré 2 avec $a = 36$, $b = - 60$ et $c = 25$.
|
||||
\item
|
||||
\begin{align*}
|
||||
h(x) &= - 8 + x(- 3x - 7)\\&= - 8 + x \times - 3x + x(- 7)\\&= - 3x^{2} - 7x - 8
|
||||
\end{align*}
|
||||
C'est un polynôme de degré 2 avec $a = - 3$, $b = - 7$ et $c = - 8$.
|
||||
\item
|
||||
\begin{align*}
|
||||
i(x) &= - 3x^{2} + x(- 3x + 3)\\&= - 3x^{2} + x \times - 3x + x \times 3\\&= - 3x^{2} - 3x^{2} + 3x\\&= - 3x^{2} - 3x^{2} + 3x\\&= (- 3 - 3) \times x^{2} + 3x\\&= - 6x^{2} + 3x
|
||||
\end{align*}
|
||||
C'est un polynôme de degré 2 avec $a = - 6$, $b = 3$ et $c = 0$.
|
||||
\item
|
||||
\begin{align*}
|
||||
j(x) &= 4(x - 3)(x - 1)\\&= (4x + 4(- 3))(x - 1)\\&= (4x - 12)(x - 1)\\&= 4x \times x + 4x(- 1) - 12x - 12(- 1)\\&= - 1 \times 4 \times x + 12 + 4x^{2} - 12x\\&= - 4x + 12 + 4x^{2} - 12x\\&= 4x^{2} - 4x - 12x + 12\\&= 4x^{2} + (- 4 - 12) \times x + 12\\&= 4x^{2} - 16x + 12
|
||||
\end{align*}
|
||||
C'est un polynôme de degré 2 avec $a = 4$, $b = - 16$ et $c = 12$.
|
||||
\item
|
||||
\begin{align*}
|
||||
k(x) &= - 6(x + 8)(x + 4)\\&= (- 6x - 6 \times 8)(x + 4)\\&= (- 6x - 48)(x + 4)\\&= - 6x \times x - 6x \times 4 - 48x - 48 \times 4\\&= 4(- 6) \times x - 192 - 6x^{2} - 48x\\&= - 24x - 192 - 6x^{2} - 48x\\&= - 6x^{2} - 24x - 48x - 192\\&= - 6x^{2} + (- 24 - 48) \times x - 192\\&= - 6x^{2} - 72x - 192
|
||||
\end{align*}
|
||||
C'est un polynôme de degré 2 avec $a = - 6$, $b = - 72$ et $c = - 192$.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{solution}
|
||||
|
||||
|
||||
\begin{exercise}[subtitle={Étude de fonctions}]
|
||||
Soit $f(x) = - 2x^{2} - 32x - 120$ une fonction définie sur $\R$.
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Calculer les valeurs suivantes
|
||||
\[
|
||||
f(1) \qquad f(-2)
|
||||
\]
|
||||
\item Dériver la fonction $f$
|
||||
\item Étudier le signe de $f'$ puis en déduire les variations de $f$.
|
||||
\item Est-ce que $f$ admet un maximum? un minimum? Calculer sa valeur.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{exercise}
|
||||
|
||||
\begin{solution}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item On remplace $x$ par les valeurs demandées
|
||||
\[
|
||||
f(1) = - 2 \times 1^{2} - 32 \times 1 - 120=- 2 \times 1 - 32 - 120=- 2 - 152=- 154
|
||||
\]
|
||||
\[
|
||||
f(-1) = - 2 \times - 1^{2} - 32(- 1) - 120=- 2 \times 1 + 32 - 120=- 2 - 88=- 90
|
||||
\]
|
||||
\item Dérivation
|
||||
\[
|
||||
f'(x) = - 4x - 32
|
||||
\]
|
||||
|
||||
\item Pas de solutions automatiques.
|
||||
\item Pas de solutions automatiques.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{solution}
|
||||
|
||||
\begin{exercise}[subtitle={Enclos}]
|
||||
Dans son garage, Jean a trouvé 30m de grillage. \\
|
||||
Il décide de l'utiliser pour faire un enclos rectangulaire. Afin d'obtenir un enclos encore plus grand, il veut utiliser le mur du jardin qui formera un côté. Le grillage formera les 3 autres.
|
||||
|
||||
\begin{center}
|
||||
\includegraphics[scale=0.8]{./fig/enclos}
|
||||
\end{center}
|
||||
|
||||
Comment placer les poteaux pour avoir un enclos le plus grand possible ?
|
||||
|
||||
\textit{Cet exercice est un exercice de recherche. Vous êtes invité à utiliser les outils que vous voulez. Une part importante de la note sera dédiée à la rédaction et aux explications de ce que vous faites. Vous êtes encouragé à faire des schémas.}
|
||||
|
||||
\textit{Si vous utilisez le tableur, vous devrez le mentionner et m'envoyer le tableur à l'adresse \url{benjamin.bertrand@ac-lyon.fr}}
|
||||
|
||||
\end{exercise}
|
||||
|
||||
\begin{solution}
|
||||
Formule de l'aire (en notant $x$ la longueur du côté de l'enclos à côté du mur)
|
||||
\[
|
||||
A(x) = x(30 - 2x) = - 2x^{2} + 30x
|
||||
\]
|
||||
On va donc étudier les variations de la fonction $A(x) = - 2x^{2} + 30x$
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item Fonction dérivée : $A'(x) = - 4x + 30$
|
||||
\item On résout l'inéquation $A'(x) \geq 0$ pour déterminer quand la fonction $A'$ est positive.
|
||||
\begin{align*}
|
||||
A(x) & \geq 0 \\
|
||||
- 4x + 30 & \geq 0 \\
|
||||
- 4x + 30 + - 30 &\geq 0 + - 30 \\
|
||||
- 4x &\geq - 30 \\
|
||||
\frac{- 4x}{- 4} &\leq \frac{- 30}{- 4} \\
|
||||
x &\leq \dfrac{15}{2} \\
|
||||
\end{align*}
|
||||
Donc $A(x)$ est positif quand $x$ est plus \textbf{petit} que $\dfrac{15}{2}$
|
||||
\item
|
||||
\begin{center}
|
||||
\begin{tikzpicture}
|
||||
\tkzTabInit[lgt=3,espcl=4]{$x$/1,Signe de $f'(x)$/2, Variations de $f(x)$/2}{, $\dfrac{15}{2}$ ,}%
|
||||
\tkzTabLine{, +, z, -, }
|
||||
\tkzTabVar{-/ ,+/$f(\dfrac{15}{2}) = \dfrac{450}{4}$ , -/}%
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\end{center}
|
||||
\end{itemize}
|
||||
Pour avoir le plus grand enclos, il faut placer les poteaux à 6m du mur et on aura alors un enclos de $72m^2$.
|
||||
|
||||
\end{solution}
|
||||
\end{document}
|
||||
|
||||
%%% Local Variables:
|
||||
%%% mode: latex
|
||||
%%% TeX-master: "master"
|
||||
%%% End:
|
||||
Binary file not shown.
|
|
@ -0,0 +1,158 @@
|
|||
\documentclass[a4paper,12pt]{article}
|
||||
\usepackage{myXsim}
|
||||
\usepackage{pgfplots}
|
||||
\usetikzlibrary{decorations.markings}
|
||||
\pgfplotsset{compat=1.18}
|
||||
|
||||
\title{ DM1 \hfill ZINBI Myriem}
|
||||
\tribe{1ST}
|
||||
\date{A rendre pour le lundi 27 mars 2023}
|
||||
\duree{}
|
||||
|
||||
\xsimsetup{
|
||||
solution/print = false
|
||||
}
|
||||
|
||||
|
||||
\pagestyle{empty}
|
||||
|
||||
\begin{document}
|
||||
\maketitle
|
||||
|
||||
Le barème est donné à titre indicatif, il pourra être modifié.
|
||||
|
||||
\begin{exercise}[subtitle={Polynôme de degré 2}]
|
||||
|
||||
Développer les expressions suivantes pour vérifier que ce sont des polynômes de degré 2. Vous préciserez les valeurs de $a$, $b$ et $c$.
|
||||
\begin{multicols}{2}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item $f(x) = (- 1x + 9)(- 7x + 9)$
|
||||
\item $g(x) = (2x + 2)^{2}$
|
||||
\item $h(x) = 7 + x(- 10x - 3)$
|
||||
\item $i(x) = - 1x^{2} + x(10x - 9)$
|
||||
\item $j(x) = - 4(x + 10)(x + 4)$
|
||||
\item $k(x) = - 6(x - 7)(x - 10)$
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{multicols}
|
||||
\end{exercise}
|
||||
|
||||
\begin{solution}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item
|
||||
\begin{align*}
|
||||
f(x) &= (- 1x + 9)(- 7x + 9)\\&= (- x) \times - 7x + (- x) \times 9 + 9 \times - 7x + 9 \times 9\\&= - 1(- 7) \times x^{1 + 1} + 9(- 1) \times x + 9(- 7) \times x + 81\\&= - 9x - 63x + 7x^{2} + 81\\&= (- 9 - 63) \times x + 7x^{2} + 81\\&= 7x^{2} - 72x + 81
|
||||
\end{align*}
|
||||
C'est un polynôme de degré 2 avec $a = 7$, $b = - 72$ et $c = 81$.
|
||||
\item
|
||||
\begin{align*}
|
||||
g(x) &= (2x + 2)^{2}\\&= (2x + 2)(2x + 2)\\&= 2x \times 2x + 2x \times 2 + 2 \times 2x + 2 \times 2\\&= 2 \times 2 \times x^{1 + 1} + 2 \times 2 \times x + 2 \times 2 \times x + 4\\&= 4x + 4x + 4x^{2} + 4\\&= (4 + 4) \times x + 4x^{2} + 4\\&= 4x^{2} + 8x + 4
|
||||
\end{align*}
|
||||
C'est un polynôme de degré 2 avec $a = 4$, $b = 8$ et $c = 4$.
|
||||
\item
|
||||
\begin{align*}
|
||||
h(x) &= 7 + x(- 10x - 3)\\&= 7 + x \times - 10x + x(- 3)\\&= - 10x^{2} - 3x + 7
|
||||
\end{align*}
|
||||
C'est un polynôme de degré 2 avec $a = - 10$, $b = - 3$ et $c = 7$.
|
||||
\item
|
||||
\begin{align*}
|
||||
i(x) &= - 1x^{2} + x(10x - 9)\\&= - x^{2} + x \times 10x + x(- 9)\\&= - x^{2} + 10x^{2} - 9x\\&= - x^{2} + 10x^{2} - 9x\\&= (- 1 + 10) \times x^{2} - 9x\\&= 9x^{2} - 9x
|
||||
\end{align*}
|
||||
C'est un polynôme de degré 2 avec $a = 9$, $b = - 9$ et $c = 0$.
|
||||
\item
|
||||
\begin{align*}
|
||||
j(x) &= - 4(x + 10)(x + 4)\\&= (- 4x - 4 \times 10)(x + 4)\\&= (- 4x - 40)(x + 4)\\&= - 4x \times x - 4x \times 4 - 40x - 40 \times 4\\&= 4(- 4) \times x - 160 - 4x^{2} - 40x\\&= - 16x - 160 - 4x^{2} - 40x\\&= - 4x^{2} - 16x - 40x - 160\\&= - 4x^{2} + (- 16 - 40) \times x - 160\\&= - 4x^{2} - 56x - 160
|
||||
\end{align*}
|
||||
C'est un polynôme de degré 2 avec $a = - 4$, $b = - 56$ et $c = - 160$.
|
||||
\item
|
||||
\begin{align*}
|
||||
k(x) &= - 6(x - 7)(x - 10)\\&= (- 6x - 6(- 7))(x - 10)\\&= (- 6x + 42)(x - 10)\\&= - 6x \times x - 6x(- 10) + 42x + 42(- 10)\\&= - 10(- 6) \times x - 420 - 6x^{2} + 42x\\&= 60x - 420 - 6x^{2} + 42x\\&= - 6x^{2} + 60x + 42x - 420\\&= - 6x^{2} + (60 + 42) \times x - 420\\&= - 6x^{2} + 102x - 420
|
||||
\end{align*}
|
||||
C'est un polynôme de degré 2 avec $a = - 6$, $b = 102$ et $c = - 420$.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{solution}
|
||||
|
||||
|
||||
\begin{exercise}[subtitle={Étude de fonctions}]
|
||||
Soit $f(x) = 3x^{2} - 147$ une fonction définie sur $\R$.
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Calculer les valeurs suivantes
|
||||
\[
|
||||
f(1) \qquad f(-2)
|
||||
\]
|
||||
\item Dériver la fonction $f$
|
||||
\item Étudier le signe de $f'$ puis en déduire les variations de $f$.
|
||||
\item Est-ce que $f$ admet un maximum? un minimum? Calculer sa valeur.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{exercise}
|
||||
|
||||
\begin{solution}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item On remplace $x$ par les valeurs demandées
|
||||
\[
|
||||
f(1) = 3 \times 1^{2} - 147=3 \times 1 - 147=3 - 147=- 144
|
||||
\]
|
||||
\[
|
||||
f(-1) = 3 \times - 1^{2} - 147=3 \times 1 - 147=3 - 147=- 144
|
||||
\]
|
||||
\item Dérivation
|
||||
\[
|
||||
f'(x) = 6x
|
||||
\]
|
||||
|
||||
\item Pas de solutions automatiques.
|
||||
\item Pas de solutions automatiques.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{solution}
|
||||
|
||||
\begin{exercise}[subtitle={Enclos}]
|
||||
Dans son garage, Jean a trouvé 35m de grillage. \\
|
||||
Il décide de l'utiliser pour faire un enclos rectangulaire. Afin d'obtenir un enclos encore plus grand, il veut utiliser le mur du jardin qui formera un côté. Le grillage formera les 3 autres.
|
||||
|
||||
\begin{center}
|
||||
\includegraphics[scale=0.8]{./fig/enclos}
|
||||
\end{center}
|
||||
|
||||
Comment placer les poteaux pour avoir un enclos le plus grand possible ?
|
||||
|
||||
\textit{Cet exercice est un exercice de recherche. Vous êtes invité à utiliser les outils que vous voulez. Une part importante de la note sera dédiée à la rédaction et aux explications de ce que vous faites. Vous êtes encouragé à faire des schémas.}
|
||||
|
||||
\textit{Si vous utilisez le tableur, vous devrez le mentionner et m'envoyer le tableur à l'adresse \url{benjamin.bertrand@ac-lyon.fr}}
|
||||
|
||||
\end{exercise}
|
||||
|
||||
\begin{solution}
|
||||
Formule de l'aire (en notant $x$ la longueur du côté de l'enclos à côté du mur)
|
||||
\[
|
||||
A(x) = x(35 - 2x) = - 2x^{2} + 35x
|
||||
\]
|
||||
On va donc étudier les variations de la fonction $A(x) = - 2x^{2} + 35x$
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item Fonction dérivée : $A'(x) = - 4x + 35$
|
||||
\item On résout l'inéquation $A'(x) \geq 0$ pour déterminer quand la fonction $A'$ est positive.
|
||||
\begin{align*}
|
||||
A(x) & \geq 0 \\
|
||||
- 4x + 35 & \geq 0 \\
|
||||
- 4x + 35 + - 35 &\geq 0 + - 35 \\
|
||||
- 4x &\geq - 35 \\
|
||||
\frac{- 4x}{- 4} &\leq \frac{- 35}{- 4} \\
|
||||
x &\leq \dfrac{35}{4} \\
|
||||
\end{align*}
|
||||
Donc $A(x)$ est positif quand $x$ est plus \textbf{petit} que $\dfrac{35}{4}$
|
||||
\item
|
||||
\begin{center}
|
||||
\begin{tikzpicture}
|
||||
\tkzTabInit[lgt=3,espcl=4]{$x$/1,Signe de $f'(x)$/2, Variations de $f(x)$/2}{, $\dfrac{35}{4}$ ,}%
|
||||
\tkzTabLine{, +, z, -, }
|
||||
\tkzTabVar{-/ ,+/$f(\dfrac{35}{4}) = \dfrac{2450}{16}$ , -/}%
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\end{center}
|
||||
\end{itemize}
|
||||
Pour avoir le plus grand enclos, il faut placer les poteaux à 6m du mur et on aura alors un enclos de $72m^2$.
|
||||
|
||||
\end{solution}
|
||||
\end{document}
|
||||
|
||||
%%% Local Variables:
|
||||
%%% mode: latex
|
||||
%%% TeX-master: "master"
|
||||
%%% End:
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||||
|
|
@ -0,0 +1,19 @@
|
|||
# bopytex_config.py
|
||||
from mapytex.calculus.random import expression as random_expression
|
||||
from mapytex.calculus.random import list as random_list
|
||||
from mapytex.calculus.API.tokens.polynomial import Polynomial
|
||||
from mapytex import render
|
||||
import random
|
||||
|
||||
random.seed(0) # Controlling the seed allows to make subject reproductible
|
||||
|
||||
render.set_render("tex")
|
||||
|
||||
direct_access = {
|
||||
"Polynomial": Polynomial,
|
||||
"random_expression": random_expression,
|
||||
"random_list": random_list,
|
||||
"random": random,
|
||||
"min": min,
|
||||
"max": max,
|
||||
}
|
||||
Binary file not shown.
|
|
@ -0,0 +1,158 @@
|
|||
\documentclass[a4paper,12pt]{article}
|
||||
\usepackage{myXsim}
|
||||
\usepackage{pgfplots}
|
||||
\usetikzlibrary{decorations.markings}
|
||||
\pgfplotsset{compat=1.18}
|
||||
|
||||
\title{ DM1 \hfill ANEX DIT CHENAUD Lou}
|
||||
\tribe{1ST}
|
||||
\date{A rendre pour le lundi 27 mars 2023}
|
||||
\duree{}
|
||||
|
||||
\xsimsetup{
|
||||
solution/print = true
|
||||
}
|
||||
|
||||
|
||||
\pagestyle{empty}
|
||||
|
||||
\begin{document}
|
||||
\maketitle
|
||||
|
||||
Le barème est donné à titre indicatif, il pourra être modifié.
|
||||
|
||||
\begin{exercise}[subtitle={Polynôme de degré 2}]
|
||||
|
||||
Développer les expressions suivantes pour vérifier que ce sont des polynômes de degré 2. Vous préciserez les valeurs de $a$, $b$ et $c$.
|
||||
\begin{multicols}{2}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item $f(x) = (- 6x + 3)(- 7x + 3)$
|
||||
\item $g(x) = (10x - 3)^{2}$
|
||||
\item $h(x) = - 4 + x(- 7x - 10)$
|
||||
\item $i(x) = - 4x^{2} + x(- 8x - 1)$
|
||||
\item $j(x) = - 3(x + 6)(x + 8)$
|
||||
\item $k(x) = 6(x + 5)(x - 10)$
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{multicols}
|
||||
\end{exercise}
|
||||
|
||||
\begin{solution}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item
|
||||
\begin{align*}
|
||||
f(x) &= (- 6x + 3)(- 7x + 3)\\&= - 6x \times - 7x - 6x \times 3 + 3 \times - 7x + 3 \times 3\\&= - 6(- 7) \times x^{1 + 1} + 3(- 6) \times x + 3(- 7) \times x + 9\\&= - 18x - 21x + 42x^{2} + 9\\&= (- 18 - 21) \times x + 42x^{2} + 9\\&= 42x^{2} - 39x + 9
|
||||
\end{align*}
|
||||
C'est un polynôme de degré 2 avec $a = 42$, $b = - 39$ et $c = 9$.
|
||||
\item
|
||||
\begin{align*}
|
||||
g(x) &= (10x - 3)^{2}\\&= (10x - 3)(10x - 3)\\&= 10x \times 10x + 10x(- 3) - 3 \times 10x - 3(- 3)\\&= 10 \times 10 \times x^{1 + 1} - 3 \times 10 \times x - 3 \times 10 \times x + 9\\&= - 30x - 30x + 100x^{2} + 9\\&= (- 30 - 30) \times x + 100x^{2} + 9\\&= 100x^{2} - 60x + 9
|
||||
\end{align*}
|
||||
C'est un polynôme de degré 2 avec $a = 100$, $b = - 60$ et $c = 9$.
|
||||
\item
|
||||
\begin{align*}
|
||||
h(x) &= - 4 + x(- 7x - 10)\\&= - 4 + x \times - 7x + x(- 10)\\&= - 7x^{2} - 10x - 4
|
||||
\end{align*}
|
||||
C'est un polynôme de degré 2 avec $a = - 7$, $b = - 10$ et $c = - 4$.
|
||||
\item
|
||||
\begin{align*}
|
||||
i(x) &= - 4x^{2} + x(- 8x - 1)\\&= - 4x^{2} + x \times - 8x + x(- 1)\\&= - 4x^{2} - 8x^{2} - x\\&= - 4x^{2} - 8x^{2} - x\\&= (- 4 - 8) \times x^{2} - x\\&= - 12x^{2} - x
|
||||
\end{align*}
|
||||
C'est un polynôme de degré 2 avec $a = - 12$, $b = - 1$ et $c = 0$.
|
||||
\item
|
||||
\begin{align*}
|
||||
j(x) &= - 3(x + 6)(x + 8)\\&= (- 3x - 3 \times 6)(x + 8)\\&= (- 3x - 18)(x + 8)\\&= - 3x \times x - 3x \times 8 - 18x - 18 \times 8\\&= 8(- 3) \times x - 144 - 3x^{2} - 18x\\&= - 24x - 144 - 3x^{2} - 18x\\&= - 3x^{2} - 24x - 18x - 144\\&= - 3x^{2} + (- 24 - 18) \times x - 144\\&= - 3x^{2} - 42x - 144
|
||||
\end{align*}
|
||||
C'est un polynôme de degré 2 avec $a = - 3$, $b = - 42$ et $c = - 144$.
|
||||
\item
|
||||
\begin{align*}
|
||||
k(x) &= 6(x + 5)(x - 10)\\&= (6x + 6 \times 5)(x - 10)\\&= (6x + 30)(x - 10)\\&= 6x \times x + 6x(- 10) + 30x + 30(- 10)\\&= - 10 \times 6 \times x - 300 + 6x^{2} + 30x\\&= - 60x - 300 + 6x^{2} + 30x\\&= 6x^{2} - 60x + 30x - 300\\&= 6x^{2} + (- 60 + 30) \times x - 300\\&= 6x^{2} - 30x - 300
|
||||
\end{align*}
|
||||
C'est un polynôme de degré 2 avec $a = 6$, $b = - 30$ et $c = - 300$.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{solution}
|
||||
|
||||
|
||||
\begin{exercise}[subtitle={Étude de fonctions}]
|
||||
Soit $f(x) = - 2x^{2} + 32x - 120$ une fonction définie sur $\R$.
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Calculer les valeurs suivantes
|
||||
\[
|
||||
f(1) \qquad f(-2)
|
||||
\]
|
||||
\item Dériver la fonction $f$
|
||||
\item Étudier le signe de $f'$ puis en déduire les variations de $f$.
|
||||
\item Est-ce que $f$ admet un maximum? un minimum? Calculer sa valeur.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{exercise}
|
||||
|
||||
\begin{solution}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item On remplace $x$ par les valeurs demandées
|
||||
\[
|
||||
f(1) = - 2 \times 1^{2} + 32 \times 1 - 120=- 2 \times 1 + 32 - 120=- 2 - 88=- 90
|
||||
\]
|
||||
\[
|
||||
f(-1) = - 2 \times - 1^{2} + 32(- 1) - 120=- 2 \times 1 - 32 - 120=- 2 - 152=- 154
|
||||
\]
|
||||
\item Dérivation
|
||||
\[
|
||||
f'(x) = - 4x + 32
|
||||
\]
|
||||
|
||||
\item Pas de solutions automatiques.
|
||||
\item Pas de solutions automatiques.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{solution}
|
||||
|
||||
\begin{exercise}[subtitle={Enclos}]
|
||||
Dans son garage, Jean a trouvé 24m de grillage. \\
|
||||
Il décide de l'utiliser pour faire un enclos rectangulaire. Afin d'obtenir un enclos encore plus grand, il veut utiliser le mur du jardin qui formera un côté. Le grillage formera les 3 autres.
|
||||
|
||||
\begin{center}
|
||||
\includegraphics[scale=0.8]{./fig/enclos}
|
||||
\end{center}
|
||||
|
||||
Comment placer les poteaux pour avoir un enclos le plus grand possible ?
|
||||
|
||||
\textit{Cet exercice est un exercice de recherche. Vous êtes invité à utiliser les outils que vous voulez. Une part importante de la note sera dédiée à la rédaction et aux explications de ce que vous faites. Vous êtes encouragé à faire des schémas.}
|
||||
|
||||
\textit{Si vous utilisez le tableur, vous devrez le mentionner et m'envoyer le tableur à l'adresse \url{benjamin.bertrand@ac-lyon.fr}}
|
||||
|
||||
\end{exercise}
|
||||
|
||||
\begin{solution}
|
||||
Formule de l'aire (en notant $x$ la longueur du côté de l'enclos à côté du mur)
|
||||
\[
|
||||
A(x) = x(24 - 2x) = - 2x^{2} + 24x
|
||||
\]
|
||||
On va donc étudier les variations de la fonction $A(x) = - 2x^{2} + 24x$
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item Fonction dérivée : $A'(x) = - 4x + 24$
|
||||
\item On résout l'inéquation $A'(x) \geq 0$ pour déterminer quand la fonction $A'$ est positive.
|
||||
\begin{align*}
|
||||
A(x) & \geq 0 \\
|
||||
- 4x + 24 & \geq 0 \\
|
||||
- 4x + 24 + - 24 &\geq 0 + - 24 \\
|
||||
- 4x &\geq - 24 \\
|
||||
\frac{- 4x}{- 4} &\leq \frac{- 24}{- 4} \\
|
||||
x &\leq 6 \\
|
||||
\end{align*}
|
||||
Donc $A(x)$ est positif quand $x$ est plus \textbf{petit} que $6$
|
||||
\item
|
||||
\begin{center}
|
||||
\begin{tikzpicture}
|
||||
\tkzTabInit[lgt=3,espcl=4]{$x$/1,Signe de $f'(x)$/2, Variations de $f(x)$/2}{, $6$ ,}%
|
||||
\tkzTabLine{, +, z, -, }
|
||||
\tkzTabVar{-/ ,+/$f(6) = 72$ , -/}%
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\end{center}
|
||||
\end{itemize}
|
||||
Pour avoir le plus grand enclos, il faut placer les poteaux à 6m du mur et on aura alors un enclos de $72m^2$.
|
||||
|
||||
\end{solution}
|
||||
\end{document}
|
||||
|
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%%% Local Variables:
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||||
%%% mode: latex
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%%% TeX-master: "master"
|
||||
%%% End:
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Binary file not shown.
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@ -0,0 +1,158 @@
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|||
\documentclass[a4paper,12pt]{article}
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||||
\usepackage{myXsim}
|
||||
\usepackage{pgfplots}
|
||||
\usetikzlibrary{decorations.markings}
|
||||
\pgfplotsset{compat=1.18}
|
||||
|
||||
\title{ DM1 \hfill BADEL Melinda}
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||||
\tribe{1ST}
|
||||
\date{A rendre pour le lundi 27 mars 2023}
|
||||
\duree{}
|
||||
|
||||
\xsimsetup{
|
||||
solution/print = true
|
||||
}
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||||
|
||||
|
||||
\pagestyle{empty}
|
||||
|
||||
\begin{document}
|
||||
\maketitle
|
||||
|
||||
Le barème est donné à titre indicatif, il pourra être modifié.
|
||||
|
||||
\begin{exercise}[subtitle={Polynôme de degré 2}]
|
||||
|
||||
Développer les expressions suivantes pour vérifier que ce sont des polynômes de degré 2. Vous préciserez les valeurs de $a$, $b$ et $c$.
|
||||
\begin{multicols}{2}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item $f(x) = (4x - 9)(5x - 9)$
|
||||
\item $g(x) = (- 4x - 2)^{2}$
|
||||
\item $h(x) = 5 + x(- 8x - 6)$
|
||||
\item $i(x) = - 9x^{2} + x(8x - 2)$
|
||||
\item $j(x) = - 5(x - 3)(x - 4)$
|
||||
\item $k(x) = 3(x - 2)(x + 10)$
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{multicols}
|
||||
\end{exercise}
|
||||
|
||||
\begin{solution}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item
|
||||
\begin{align*}
|
||||
f(x) &= (4x - 9)(5x - 9)\\&= 4x \times 5x + 4x(- 9) - 9 \times 5x - 9(- 9)\\&= 4 \times 5 \times x^{1 + 1} - 9 \times 4 \times x - 9 \times 5 \times x + 81\\&= - 36x - 45x + 20x^{2} + 81\\&= (- 36 - 45) \times x + 20x^{2} + 81\\&= 20x^{2} - 81x + 81
|
||||
\end{align*}
|
||||
C'est un polynôme de degré 2 avec $a = 20$, $b = - 81$ et $c = 81$.
|
||||
\item
|
||||
\begin{align*}
|
||||
g(x) &= (- 4x - 2)^{2}\\&= (- 4x - 2)(- 4x - 2)\\&= - 4x \times - 4x - 4x(- 2) - 2 \times - 4x - 2(- 2)\\&= - 4(- 4) \times x^{1 + 1} - 2(- 4) \times x - 2(- 4) \times x + 4\\&= 8x + 8x + 16x^{2} + 4\\&= (8 + 8) \times x + 16x^{2} + 4\\&= 16x^{2} + 16x + 4
|
||||
\end{align*}
|
||||
C'est un polynôme de degré 2 avec $a = 16$, $b = 16$ et $c = 4$.
|
||||
\item
|
||||
\begin{align*}
|
||||
h(x) &= 5 + x(- 8x - 6)\\&= 5 + x \times - 8x + x(- 6)\\&= - 8x^{2} - 6x + 5
|
||||
\end{align*}
|
||||
C'est un polynôme de degré 2 avec $a = - 8$, $b = - 6$ et $c = 5$.
|
||||
\item
|
||||
\begin{align*}
|
||||
i(x) &= - 9x^{2} + x(8x - 2)\\&= - 9x^{2} + x \times 8x + x(- 2)\\&= - 9x^{2} + 8x^{2} - 2x\\&= - 9x^{2} + 8x^{2} - 2x\\&= (- 9 + 8) \times x^{2} - 2x\\&= - x^{2} - 2x
|
||||
\end{align*}
|
||||
C'est un polynôme de degré 2 avec $a = - 1$, $b = - 2$ et $c = 0$.
|
||||
\item
|
||||
\begin{align*}
|
||||
j(x) &= - 5(x - 3)(x - 4)\\&= (- 5x - 5(- 3))(x - 4)\\&= (- 5x + 15)(x - 4)\\&= - 5x \times x - 5x(- 4) + 15x + 15(- 4)\\&= - 4(- 5) \times x - 60 - 5x^{2} + 15x\\&= 20x - 60 - 5x^{2} + 15x\\&= - 5x^{2} + 20x + 15x - 60\\&= - 5x^{2} + (20 + 15) \times x - 60\\&= - 5x^{2} + 35x - 60
|
||||
\end{align*}
|
||||
C'est un polynôme de degré 2 avec $a = - 5$, $b = 35$ et $c = - 60$.
|
||||
\item
|
||||
\begin{align*}
|
||||
k(x) &= 3(x - 2)(x + 10)\\&= (3x + 3(- 2))(x + 10)\\&= (3x - 6)(x + 10)\\&= 3x \times x + 3x \times 10 - 6x - 6 \times 10\\&= 10 \times 3 \times x - 60 + 3x^{2} - 6x\\&= 30x - 60 + 3x^{2} - 6x\\&= 3x^{2} + 30x - 6x - 60\\&= 3x^{2} + (30 - 6) \times x - 60\\&= 3x^{2} + 24x - 60
|
||||
\end{align*}
|
||||
C'est un polynôme de degré 2 avec $a = 3$, $b = 24$ et $c = - 60$.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{solution}
|
||||
|
||||
|
||||
\begin{exercise}[subtitle={Étude de fonctions}]
|
||||
Soit $f(x) = 4x^{2} + 20x - 56$ une fonction définie sur $\R$.
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Calculer les valeurs suivantes
|
||||
\[
|
||||
f(1) \qquad f(-2)
|
||||
\]
|
||||
\item Dériver la fonction $f$
|
||||
\item Étudier le signe de $f'$ puis en déduire les variations de $f$.
|
||||
\item Est-ce que $f$ admet un maximum? un minimum? Calculer sa valeur.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{exercise}
|
||||
|
||||
\begin{solution}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item On remplace $x$ par les valeurs demandées
|
||||
\[
|
||||
f(1) = 4 \times 1^{2} + 20 \times 1 - 56=4 \times 1 + 20 - 56=4 - 36=- 32
|
||||
\]
|
||||
\[
|
||||
f(-1) = 4 \times - 1^{2} + 20(- 1) - 56=4 \times 1 - 20 - 56=4 - 76=- 72
|
||||
\]
|
||||
\item Dérivation
|
||||
\[
|
||||
f'(x) = 8x + 20
|
||||
\]
|
||||
|
||||
\item Pas de solutions automatiques.
|
||||
\item Pas de solutions automatiques.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{solution}
|
||||
|
||||
\begin{exercise}[subtitle={Enclos}]
|
||||
Dans son garage, Jean a trouvé 37m de grillage. \\
|
||||
Il décide de l'utiliser pour faire un enclos rectangulaire. Afin d'obtenir un enclos encore plus grand, il veut utiliser le mur du jardin qui formera un côté. Le grillage formera les 3 autres.
|
||||
|
||||
\begin{center}
|
||||
\includegraphics[scale=0.8]{./fig/enclos}
|
||||
\end{center}
|
||||
|
||||
Comment placer les poteaux pour avoir un enclos le plus grand possible ?
|
||||
|
||||
\textit{Cet exercice est un exercice de recherche. Vous êtes invité à utiliser les outils que vous voulez. Une part importante de la note sera dédiée à la rédaction et aux explications de ce que vous faites. Vous êtes encouragé à faire des schémas.}
|
||||
|
||||
\textit{Si vous utilisez le tableur, vous devrez le mentionner et m'envoyer le tableur à l'adresse \url{benjamin.bertrand@ac-lyon.fr}}
|
||||
|
||||
\end{exercise}
|
||||
|
||||
\begin{solution}
|
||||
Formule de l'aire (en notant $x$ la longueur du côté de l'enclos à côté du mur)
|
||||
\[
|
||||
A(x) = x(37 - 2x) = - 2x^{2} + 37x
|
||||
\]
|
||||
On va donc étudier les variations de la fonction $A(x) = - 2x^{2} + 37x$
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item Fonction dérivée : $A'(x) = - 4x + 37$
|
||||
\item On résout l'inéquation $A'(x) \geq 0$ pour déterminer quand la fonction $A'$ est positive.
|
||||
\begin{align*}
|
||||
A(x) & \geq 0 \\
|
||||
- 4x + 37 & \geq 0 \\
|
||||
- 4x + 37 + - 37 &\geq 0 + - 37 \\
|
||||
- 4x &\geq - 37 \\
|
||||
\frac{- 4x}{- 4} &\leq \frac{- 37}{- 4} \\
|
||||
x &\leq \dfrac{37}{4} \\
|
||||
\end{align*}
|
||||
Donc $A(x)$ est positif quand $x$ est plus \textbf{petit} que $\dfrac{37}{4}$
|
||||
\item
|
||||
\begin{center}
|
||||
\begin{tikzpicture}
|
||||
\tkzTabInit[lgt=3,espcl=4]{$x$/1,Signe de $f'(x)$/2, Variations de $f(x)$/2}{, $\dfrac{37}{4}$ ,}%
|
||||
\tkzTabLine{, +, z, -, }
|
||||
\tkzTabVar{-/ ,+/$f(\dfrac{37}{4}) = \dfrac{2738}{16}$ , -/}%
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\end{center}
|
||||
\end{itemize}
|
||||
Pour avoir le plus grand enclos, il faut placer les poteaux à 6m du mur et on aura alors un enclos de $72m^2$.
|
||||
|
||||
\end{solution}
|
||||
\end{document}
|
||||
|
||||
%%% Local Variables:
|
||||
%%% mode: latex
|
||||
%%% TeX-master: "master"
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||||
%%% End:
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||||
Binary file not shown.
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|
@ -0,0 +1,158 @@
|
|||
\documentclass[a4paper,12pt]{article}
|
||||
\usepackage{myXsim}
|
||||
\usepackage{pgfplots}
|
||||
\usetikzlibrary{decorations.markings}
|
||||
\pgfplotsset{compat=1.18}
|
||||
|
||||
\title{ DM1 \hfill BALTA Zina}
|
||||
\tribe{1ST}
|
||||
\date{A rendre pour le lundi 27 mars 2023}
|
||||
\duree{}
|
||||
|
||||
\xsimsetup{
|
||||
solution/print = true
|
||||
}
|
||||
|
||||
|
||||
\pagestyle{empty}
|
||||
|
||||
\begin{document}
|
||||
\maketitle
|
||||
|
||||
Le barème est donné à titre indicatif, il pourra être modifié.
|
||||
|
||||
\begin{exercise}[subtitle={Polynôme de degré 2}]
|
||||
|
||||
Développer les expressions suivantes pour vérifier que ce sont des polynômes de degré 2. Vous préciserez les valeurs de $a$, $b$ et $c$.
|
||||
\begin{multicols}{2}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item $f(x) = (- 4x - 9)(2x - 9)$
|
||||
\item $g(x) = (9x - 9)^{2}$
|
||||
\item $h(x) = 4 + x(8x - 1)$
|
||||
\item $i(x) = 9x^{2} + x(9x + 6)$
|
||||
\item $j(x) = - 5(x + 4)(x - 2)$
|
||||
\item $k(x) = - 9(x - 3)(x + 4)$
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{multicols}
|
||||
\end{exercise}
|
||||
|
||||
\begin{solution}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item
|
||||
\begin{align*}
|
||||
f(x) &= (- 4x - 9)(2x - 9)\\&= - 4x \times 2x - 4x(- 9) - 9 \times 2x - 9(- 9)\\&= - 4 \times 2 \times x^{1 + 1} - 9(- 4) \times x - 9 \times 2 \times x + 81\\&= 36x - 18x - 8x^{2} + 81\\&= (36 - 18) \times x - 8x^{2} + 81\\&= - 8x^{2} + 18x + 81
|
||||
\end{align*}
|
||||
C'est un polynôme de degré 2 avec $a = - 8$, $b = 18$ et $c = 81$.
|
||||
\item
|
||||
\begin{align*}
|
||||
g(x) &= (9x - 9)^{2}\\&= (9x - 9)(9x - 9)\\&= 9x \times 9x + 9x(- 9) - 9 \times 9x - 9(- 9)\\&= 9 \times 9 \times x^{1 + 1} - 9 \times 9 \times x - 9 \times 9 \times x + 81\\&= - 81x - 81x + 81x^{2} + 81\\&= (- 81 - 81) \times x + 81x^{2} + 81\\&= 81x^{2} - 162x + 81
|
||||
\end{align*}
|
||||
C'est un polynôme de degré 2 avec $a = 81$, $b = - 162$ et $c = 81$.
|
||||
\item
|
||||
\begin{align*}
|
||||
h(x) &= 4 + x(8x - 1)\\&= 4 + x \times 8x + x(- 1)\\&= 8x^{2} - x + 4
|
||||
\end{align*}
|
||||
C'est un polynôme de degré 2 avec $a = 8$, $b = - 1$ et $c = 4$.
|
||||
\item
|
||||
\begin{align*}
|
||||
i(x) &= 9x^{2} + x(9x + 6)\\&= 9x^{2} + x \times 9x + x \times 6\\&= 9x^{2} + 9x^{2} + 6x\\&= 9x^{2} + 9x^{2} + 6x\\&= (9 + 9) \times x^{2} + 6x\\&= 18x^{2} + 6x
|
||||
\end{align*}
|
||||
C'est un polynôme de degré 2 avec $a = 18$, $b = 6$ et $c = 0$.
|
||||
\item
|
||||
\begin{align*}
|
||||
j(x) &= - 5(x + 4)(x - 2)\\&= (- 5x - 5 \times 4)(x - 2)\\&= (- 5x - 20)(x - 2)\\&= - 5x \times x - 5x(- 2) - 20x - 20(- 2)\\&= - 2(- 5) \times x + 40 - 5x^{2} - 20x\\&= 10x + 40 - 5x^{2} - 20x\\&= - 5x^{2} + 10x - 20x + 40\\&= - 5x^{2} + (10 - 20) \times x + 40\\&= - 5x^{2} - 10x + 40
|
||||
\end{align*}
|
||||
C'est un polynôme de degré 2 avec $a = - 5$, $b = - 10$ et $c = 40$.
|
||||
\item
|
||||
\begin{align*}
|
||||
k(x) &= - 9(x - 3)(x + 4)\\&= (- 9x - 9(- 3))(x + 4)\\&= (- 9x + 27)(x + 4)\\&= - 9x \times x - 9x \times 4 + 27x + 27 \times 4\\&= 4(- 9) \times x + 108 - 9x^{2} + 27x\\&= - 36x + 108 - 9x^{2} + 27x\\&= - 9x^{2} - 36x + 27x + 108\\&= - 9x^{2} + (- 36 + 27) \times x + 108\\&= - 9x^{2} - 9x + 108
|
||||
\end{align*}
|
||||
C'est un polynôme de degré 2 avec $a = - 9$, $b = - 9$ et $c = 108$.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{solution}
|
||||
|
||||
|
||||
\begin{exercise}[subtitle={Étude de fonctions}]
|
||||
Soit $f(x) = 5x^{2} + 70x + 200$ une fonction définie sur $\R$.
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Calculer les valeurs suivantes
|
||||
\[
|
||||
f(1) \qquad f(-2)
|
||||
\]
|
||||
\item Dériver la fonction $f$
|
||||
\item Étudier le signe de $f'$ puis en déduire les variations de $f$.
|
||||
\item Est-ce que $f$ admet un maximum? un minimum? Calculer sa valeur.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{exercise}
|
||||
|
||||
\begin{solution}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item On remplace $x$ par les valeurs demandées
|
||||
\[
|
||||
f(1) = 5 \times 1^{2} + 70 \times 1 + 200=5 \times 1 + 70 + 200=5 + 270=275
|
||||
\]
|
||||
\[
|
||||
f(-1) = 5 \times - 1^{2} + 70(- 1) + 200=5 \times 1 - 70 + 200=5 + 130=135
|
||||
\]
|
||||
\item Dérivation
|
||||
\[
|
||||
f'(x) = 10x + 70
|
||||
\]
|
||||
|
||||
\item Pas de solutions automatiques.
|
||||
\item Pas de solutions automatiques.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{solution}
|
||||
|
||||
\begin{exercise}[subtitle={Enclos}]
|
||||
Dans son garage, Jean a trouvé 32m de grillage. \\
|
||||
Il décide de l'utiliser pour faire un enclos rectangulaire. Afin d'obtenir un enclos encore plus grand, il veut utiliser le mur du jardin qui formera un côté. Le grillage formera les 3 autres.
|
||||
|
||||
\begin{center}
|
||||
\includegraphics[scale=0.8]{./fig/enclos}
|
||||
\end{center}
|
||||
|
||||
Comment placer les poteaux pour avoir un enclos le plus grand possible ?
|
||||
|
||||
\textit{Cet exercice est un exercice de recherche. Vous êtes invité à utiliser les outils que vous voulez. Une part importante de la note sera dédiée à la rédaction et aux explications de ce que vous faites. Vous êtes encouragé à faire des schémas.}
|
||||
|
||||
\textit{Si vous utilisez le tableur, vous devrez le mentionner et m'envoyer le tableur à l'adresse \url{benjamin.bertrand@ac-lyon.fr}}
|
||||
|
||||
\end{exercise}
|
||||
|
||||
\begin{solution}
|
||||
Formule de l'aire (en notant $x$ la longueur du côté de l'enclos à côté du mur)
|
||||
\[
|
||||
A(x) = x(32 - 2x) = - 2x^{2} + 32x
|
||||
\]
|
||||
On va donc étudier les variations de la fonction $A(x) = - 2x^{2} + 32x$
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item Fonction dérivée : $A'(x) = - 4x + 32$
|
||||
\item On résout l'inéquation $A'(x) \geq 0$ pour déterminer quand la fonction $A'$ est positive.
|
||||
\begin{align*}
|
||||
A(x) & \geq 0 \\
|
||||
- 4x + 32 & \geq 0 \\
|
||||
- 4x + 32 + - 32 &\geq 0 + - 32 \\
|
||||
- 4x &\geq - 32 \\
|
||||
\frac{- 4x}{- 4} &\leq \frac{- 32}{- 4} \\
|
||||
x &\leq 8 \\
|
||||
\end{align*}
|
||||
Donc $A(x)$ est positif quand $x$ est plus \textbf{petit} que $8$
|
||||
\item
|
||||
\begin{center}
|
||||
\begin{tikzpicture}
|
||||
\tkzTabInit[lgt=3,espcl=4]{$x$/1,Signe de $f'(x)$/2, Variations de $f(x)$/2}{, $8$ ,}%
|
||||
\tkzTabLine{, +, z, -, }
|
||||
\tkzTabVar{-/ ,+/$f(8) = 128$ , -/}%
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\end{center}
|
||||
\end{itemize}
|
||||
Pour avoir le plus grand enclos, il faut placer les poteaux à 6m du mur et on aura alors un enclos de $72m^2$.
|
||||
|
||||
\end{solution}
|
||||
\end{document}
|
||||
|
||||
%%% Local Variables:
|
||||
%%% mode: latex
|
||||
%%% TeX-master: "master"
|
||||
%%% End:
|
||||
Binary file not shown.
|
|
@ -0,0 +1,158 @@
|
|||
\documentclass[a4paper,12pt]{article}
|
||||
\usepackage{myXsim}
|
||||
\usepackage{pgfplots}
|
||||
\usetikzlibrary{decorations.markings}
|
||||
\pgfplotsset{compat=1.18}
|
||||
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\title{ DM1 \hfill BARDOUSSE Yanis}
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\tribe{1ST}
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\date{A rendre pour le lundi 27 mars 2023}
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\duree{}
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\xsimsetup{
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||||
solution/print = true
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||||
}
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\pagestyle{empty}
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||||
\begin{document}
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||||
\maketitle
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||||
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||||
Le barème est donné à titre indicatif, il pourra être modifié.
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||||
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||||
\begin{exercise}[subtitle={Polynôme de degré 2}]
|
||||
|
||||
Développer les expressions suivantes pour vérifier que ce sont des polynômes de degré 2. Vous préciserez les valeurs de $a$, $b$ et $c$.
|
||||
\begin{multicols}{2}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item $f(x) = (5x - 2)(- 10x - 2)$
|
||||
\item $g(x) = (- 9x - 2)^{2}$
|
||||
\item $h(x) = 8 + x(- 2x - 1)$
|
||||
\item $i(x) = - 10x^{2} + x(- 5x + 4)$
|
||||
\item $j(x) = - 9(x - 1)(x - 7)$
|
||||
\item $k(x) = - 10(x + 7)(x + 9)$
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{multicols}
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||||
\end{exercise}
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||||
|
||||
\begin{solution}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item
|
||||
\begin{align*}
|
||||
f(x) &= (5x - 2)(- 10x - 2)\\&= 5x \times - 10x + 5x(- 2) - 2 \times - 10x - 2(- 2)\\&= 5(- 10) \times x^{1 + 1} - 2 \times 5 \times x - 2(- 10) \times x + 4\\&= - 10x + 20x - 50x^{2} + 4\\&= (- 10 + 20) \times x - 50x^{2} + 4\\&= - 50x^{2} + 10x + 4
|
||||
\end{align*}
|
||||
C'est un polynôme de degré 2 avec $a = - 50$, $b = 10$ et $c = 4$.
|
||||
\item
|
||||
\begin{align*}
|
||||
g(x) &= (- 9x - 2)^{2}\\&= (- 9x - 2)(- 9x - 2)\\&= - 9x \times - 9x - 9x(- 2) - 2 \times - 9x - 2(- 2)\\&= - 9(- 9) \times x^{1 + 1} - 2(- 9) \times x - 2(- 9) \times x + 4\\&= 18x + 18x + 81x^{2} + 4\\&= (18 + 18) \times x + 81x^{2} + 4\\&= 81x^{2} + 36x + 4
|
||||
\end{align*}
|
||||
C'est un polynôme de degré 2 avec $a = 81$, $b = 36$ et $c = 4$.
|
||||
\item
|
||||
\begin{align*}
|
||||
h(x) &= 8 + x(- 2x - 1)\\&= 8 + x \times - 2x + x(- 1)\\&= - 2x^{2} - x + 8
|
||||
\end{align*}
|
||||
C'est un polynôme de degré 2 avec $a = - 2$, $b = - 1$ et $c = 8$.
|
||||
\item
|
||||
\begin{align*}
|
||||
i(x) &= - 10x^{2} + x(- 5x + 4)\\&= - 10x^{2} + x \times - 5x + x \times 4\\&= - 10x^{2} - 5x^{2} + 4x\\&= - 10x^{2} - 5x^{2} + 4x\\&= (- 10 - 5) \times x^{2} + 4x\\&= - 15x^{2} + 4x
|
||||
\end{align*}
|
||||
C'est un polynôme de degré 2 avec $a = - 15$, $b = 4$ et $c = 0$.
|
||||
\item
|
||||
\begin{align*}
|
||||
j(x) &= - 9(x - 1)(x - 7)\\&= (- 9x - 9(- 1))(x - 7)\\&= (- 9x + 9)(x - 7)\\&= - 9x \times x - 9x(- 7) + 9x + 9(- 7)\\&= - 7(- 9) \times x - 63 - 9x^{2} + 9x\\&= 63x - 63 - 9x^{2} + 9x\\&= - 9x^{2} + 63x + 9x - 63\\&= - 9x^{2} + (63 + 9) \times x - 63\\&= - 9x^{2} + 72x - 63
|
||||
\end{align*}
|
||||
C'est un polynôme de degré 2 avec $a = - 9$, $b = 72$ et $c = - 63$.
|
||||
\item
|
||||
\begin{align*}
|
||||
k(x) &= - 10(x + 7)(x + 9)\\&= (- 10x - 10 \times 7)(x + 9)\\&= (- 10x - 70)(x + 9)\\&= - 10x \times x - 10x \times 9 - 70x - 70 \times 9\\&= 9(- 10) \times x - 630 - 10x^{2} - 70x\\&= - 90x - 630 - 10x^{2} - 70x\\&= - 10x^{2} - 90x - 70x - 630\\&= - 10x^{2} + (- 90 - 70) \times x - 630\\&= - 10x^{2} - 160x - 630
|
||||
\end{align*}
|
||||
C'est un polynôme de degré 2 avec $a = - 10$, $b = - 160$ et $c = - 630$.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{solution}
|
||||
|
||||
|
||||
\begin{exercise}[subtitle={Étude de fonctions}]
|
||||
Soit $f(x) = 7x^{2} - 77x + 168$ une fonction définie sur $\R$.
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Calculer les valeurs suivantes
|
||||
\[
|
||||
f(1) \qquad f(-2)
|
||||
\]
|
||||
\item Dériver la fonction $f$
|
||||
\item Étudier le signe de $f'$ puis en déduire les variations de $f$.
|
||||
\item Est-ce que $f$ admet un maximum? un minimum? Calculer sa valeur.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{exercise}
|
||||
|
||||
\begin{solution}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item On remplace $x$ par les valeurs demandées
|
||||
\[
|
||||
f(1) = 7 \times 1^{2} - 77 \times 1 + 168=7 \times 1 - 77 + 168=7 + 91=98
|
||||
\]
|
||||
\[
|
||||
f(-1) = 7 \times - 1^{2} - 77(- 1) + 168=7 \times 1 + 77 + 168=7 + 245=252
|
||||
\]
|
||||
\item Dérivation
|
||||
\[
|
||||
f'(x) = 14x - 77
|
||||
\]
|
||||
|
||||
\item Pas de solutions automatiques.
|
||||
\item Pas de solutions automatiques.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{solution}
|
||||
|
||||
\begin{exercise}[subtitle={Enclos}]
|
||||
Dans son garage, Jean a trouvé 34m de grillage. \\
|
||||
Il décide de l'utiliser pour faire un enclos rectangulaire. Afin d'obtenir un enclos encore plus grand, il veut utiliser le mur du jardin qui formera un côté. Le grillage formera les 3 autres.
|
||||
|
||||
\begin{center}
|
||||
\includegraphics[scale=0.8]{./fig/enclos}
|
||||
\end{center}
|
||||
|
||||
Comment placer les poteaux pour avoir un enclos le plus grand possible ?
|
||||
|
||||
\textit{Cet exercice est un exercice de recherche. Vous êtes invité à utiliser les outils que vous voulez. Une part importante de la note sera dédiée à la rédaction et aux explications de ce que vous faites. Vous êtes encouragé à faire des schémas.}
|
||||
|
||||
\textit{Si vous utilisez le tableur, vous devrez le mentionner et m'envoyer le tableur à l'adresse \url{benjamin.bertrand@ac-lyon.fr}}
|
||||
|
||||
\end{exercise}
|
||||
|
||||
\begin{solution}
|
||||
Formule de l'aire (en notant $x$ la longueur du côté de l'enclos à côté du mur)
|
||||
\[
|
||||
A(x) = x(34 - 2x) = - 2x^{2} + 34x
|
||||
\]
|
||||
On va donc étudier les variations de la fonction $A(x) = - 2x^{2} + 34x$
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item Fonction dérivée : $A'(x) = - 4x + 34$
|
||||
\item On résout l'inéquation $A'(x) \geq 0$ pour déterminer quand la fonction $A'$ est positive.
|
||||
\begin{align*}
|
||||
A(x) & \geq 0 \\
|
||||
- 4x + 34 & \geq 0 \\
|
||||
- 4x + 34 + - 34 &\geq 0 + - 34 \\
|
||||
- 4x &\geq - 34 \\
|
||||
\frac{- 4x}{- 4} &\leq \frac{- 34}{- 4} \\
|
||||
x &\leq \dfrac{17}{2} \\
|
||||
\end{align*}
|
||||
Donc $A(x)$ est positif quand $x$ est plus \textbf{petit} que $\dfrac{17}{2}$
|
||||
\item
|
||||
\begin{center}
|
||||
\begin{tikzpicture}
|
||||
\tkzTabInit[lgt=3,espcl=4]{$x$/1,Signe de $f'(x)$/2, Variations de $f(x)$/2}{, $\dfrac{17}{2}$ ,}%
|
||||
\tkzTabLine{, +, z, -, }
|
||||
\tkzTabVar{-/ ,+/$f(\dfrac{17}{2}) = \dfrac{578}{4}$ , -/}%
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\end{center}
|
||||
\end{itemize}
|
||||
Pour avoir le plus grand enclos, il faut placer les poteaux à 6m du mur et on aura alors un enclos de $72m^2$.
|
||||
|
||||
\end{solution}
|
||||
\end{document}
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%%% Local Variables:
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%%% mode: latex
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%%% TeX-master: "master"
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%%% End:
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Binary file not shown.
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@ -0,0 +1,158 @@
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|||
\documentclass[a4paper,12pt]{article}
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||||
\usepackage{myXsim}
|
||||
\usepackage{pgfplots}
|
||||
\usetikzlibrary{decorations.markings}
|
||||
\pgfplotsset{compat=1.18}
|
||||
|
||||
\title{ DM1 \hfill BLONDIN Damien}
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||||
\tribe{1ST}
|
||||
\date{A rendre pour le lundi 27 mars 2023}
|
||||
\duree{}
|
||||
|
||||
\xsimsetup{
|
||||
solution/print = true
|
||||
}
|
||||
|
||||
|
||||
\pagestyle{empty}
|
||||
|
||||
\begin{document}
|
||||
\maketitle
|
||||
|
||||
Le barème est donné à titre indicatif, il pourra être modifié.
|
||||
|
||||
\begin{exercise}[subtitle={Polynôme de degré 2}]
|
||||
|
||||
Développer les expressions suivantes pour vérifier que ce sont des polynômes de degré 2. Vous préciserez les valeurs de $a$, $b$ et $c$.
|
||||
\begin{multicols}{2}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item $f(x) = (- 4x + 4)(10x + 4)$
|
||||
\item $g(x) = (4x + 6)^{2}$
|
||||
\item $h(x) = 6 + x(3x + 4)$
|
||||
\item $i(x) = - 2x^{2} + x(- 7x - 3)$
|
||||
\item $j(x) = - 3(x + 9)(x + 10)$
|
||||
\item $k(x) = - 1(x - 6)(x + 8)$
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{multicols}
|
||||
\end{exercise}
|
||||
|
||||
\begin{solution}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item
|
||||
\begin{align*}
|
||||
f(x) &= (- 4x + 4)(10x + 4)\\&= - 4x \times 10x - 4x \times 4 + 4 \times 10x + 4 \times 4\\&= - 4 \times 10 \times x^{1 + 1} + 4(- 4) \times x + 4 \times 10 \times x + 16\\&= - 16x + 40x - 40x^{2} + 16\\&= (- 16 + 40) \times x - 40x^{2} + 16\\&= - 40x^{2} + 24x + 16
|
||||
\end{align*}
|
||||
C'est un polynôme de degré 2 avec $a = - 40$, $b = 24$ et $c = 16$.
|
||||
\item
|
||||
\begin{align*}
|
||||
g(x) &= (4x + 6)^{2}\\&= (4x + 6)(4x + 6)\\&= 4x \times 4x + 4x \times 6 + 6 \times 4x + 6 \times 6\\&= 4 \times 4 \times x^{1 + 1} + 6 \times 4 \times x + 6 \times 4 \times x + 36\\&= 24x + 24x + 16x^{2} + 36\\&= (24 + 24) \times x + 16x^{2} + 36\\&= 16x^{2} + 48x + 36
|
||||
\end{align*}
|
||||
C'est un polynôme de degré 2 avec $a = 16$, $b = 48$ et $c = 36$.
|
||||
\item
|
||||
\begin{align*}
|
||||
h(x) &= 6 + x(3x + 4)\\&= 6 + x \times 3x + x \times 4\\&= 3x^{2} + 4x + 6
|
||||
\end{align*}
|
||||
C'est un polynôme de degré 2 avec $a = 3$, $b = 4$ et $c = 6$.
|
||||
\item
|
||||
\begin{align*}
|
||||
i(x) &= - 2x^{2} + x(- 7x - 3)\\&= - 2x^{2} + x \times - 7x + x(- 3)\\&= - 2x^{2} - 7x^{2} - 3x\\&= - 2x^{2} - 7x^{2} - 3x\\&= (- 2 - 7) \times x^{2} - 3x\\&= - 9x^{2} - 3x
|
||||
\end{align*}
|
||||
C'est un polynôme de degré 2 avec $a = - 9$, $b = - 3$ et $c = 0$.
|
||||
\item
|
||||
\begin{align*}
|
||||
j(x) &= - 3(x + 9)(x + 10)\\&= (- 3x - 3 \times 9)(x + 10)\\&= (- 3x - 27)(x + 10)\\&= - 3x \times x - 3x \times 10 - 27x - 27 \times 10\\&= 10(- 3) \times x - 270 - 3x^{2} - 27x\\&= - 30x - 270 - 3x^{2} - 27x\\&= - 3x^{2} - 30x - 27x - 270\\&= - 3x^{2} + (- 30 - 27) \times x - 270\\&= - 3x^{2} - 57x - 270
|
||||
\end{align*}
|
||||
C'est un polynôme de degré 2 avec $a = - 3$, $b = - 57$ et $c = - 270$.
|
||||
\item
|
||||
\begin{align*}
|
||||
k(x) &= - 1(x - 6)(x + 8)\\&= (- 1x - 1(- 6))(x + 8)\\&= (- x + 6)(x + 8)\\&= (- x) \times x + (- x) \times 8 + 6x + 6 \times 8\\&= 8(- 1) \times x + 48 - x^{2} + 6x\\&= - 8x + 48 - x^{2} + 6x\\&= - x^{2} - 8x + 6x + 48\\&= - x^{2} + (- 8 + 6) \times x + 48\\&= - x^{2} - 2x + 48
|
||||
\end{align*}
|
||||
C'est un polynôme de degré 2 avec $a = - 1$, $b = - 2$ et $c = 48$.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{solution}
|
||||
|
||||
|
||||
\begin{exercise}[subtitle={Étude de fonctions}]
|
||||
Soit $f(x) = 10x^{2} + 60x + 50$ une fonction définie sur $\R$.
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Calculer les valeurs suivantes
|
||||
\[
|
||||
f(1) \qquad f(-2)
|
||||
\]
|
||||
\item Dériver la fonction $f$
|
||||
\item Étudier le signe de $f'$ puis en déduire les variations de $f$.
|
||||
\item Est-ce que $f$ admet un maximum? un minimum? Calculer sa valeur.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{exercise}
|
||||
|
||||
\begin{solution}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item On remplace $x$ par les valeurs demandées
|
||||
\[
|
||||
f(1) = 10 \times 1^{2} + 60 \times 1 + 50=10 \times 1 + 60 + 50=10 + 110=120
|
||||
\]
|
||||
\[
|
||||
f(-1) = 10 \times - 1^{2} + 60(- 1) + 50=10 \times 1 - 60 + 50=10 - 10=0
|
||||
\]
|
||||
\item Dérivation
|
||||
\[
|
||||
f'(x) = 20x + 60
|
||||
\]
|
||||
|
||||
\item Pas de solutions automatiques.
|
||||
\item Pas de solutions automatiques.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{solution}
|
||||
|
||||
\begin{exercise}[subtitle={Enclos}]
|
||||
Dans son garage, Jean a trouvé 30m de grillage. \\
|
||||
Il décide de l'utiliser pour faire un enclos rectangulaire. Afin d'obtenir un enclos encore plus grand, il veut utiliser le mur du jardin qui formera un côté. Le grillage formera les 3 autres.
|
||||
|
||||
\begin{center}
|
||||
\includegraphics[scale=0.8]{./fig/enclos}
|
||||
\end{center}
|
||||
|
||||
Comment placer les poteaux pour avoir un enclos le plus grand possible ?
|
||||
|
||||
\textit{Cet exercice est un exercice de recherche. Vous êtes invité à utiliser les outils que vous voulez. Une part importante de la note sera dédiée à la rédaction et aux explications de ce que vous faites. Vous êtes encouragé à faire des schémas.}
|
||||
|
||||
\textit{Si vous utilisez le tableur, vous devrez le mentionner et m'envoyer le tableur à l'adresse \url{benjamin.bertrand@ac-lyon.fr}}
|
||||
|
||||
\end{exercise}
|
||||
|
||||
\begin{solution}
|
||||
Formule de l'aire (en notant $x$ la longueur du côté de l'enclos à côté du mur)
|
||||
\[
|
||||
A(x) = x(30 - 2x) = - 2x^{2} + 30x
|
||||
\]
|
||||
On va donc étudier les variations de la fonction $A(x) = - 2x^{2} + 30x$
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item Fonction dérivée : $A'(x) = - 4x + 30$
|
||||
\item On résout l'inéquation $A'(x) \geq 0$ pour déterminer quand la fonction $A'$ est positive.
|
||||
\begin{align*}
|
||||
A(x) & \geq 0 \\
|
||||
- 4x + 30 & \geq 0 \\
|
||||
- 4x + 30 + - 30 &\geq 0 + - 30 \\
|
||||
- 4x &\geq - 30 \\
|
||||
\frac{- 4x}{- 4} &\leq \frac{- 30}{- 4} \\
|
||||
x &\leq \dfrac{15}{2} \\
|
||||
\end{align*}
|
||||
Donc $A(x)$ est positif quand $x$ est plus \textbf{petit} que $\dfrac{15}{2}$
|
||||
\item
|
||||
\begin{center}
|
||||
\begin{tikzpicture}
|
||||
\tkzTabInit[lgt=3,espcl=4]{$x$/1,Signe de $f'(x)$/2, Variations de $f(x)$/2}{, $\dfrac{15}{2}$ ,}%
|
||||
\tkzTabLine{, +, z, -, }
|
||||
\tkzTabVar{-/ ,+/$f(\dfrac{15}{2}) = \dfrac{450}{4}$ , -/}%
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\end{center}
|
||||
\end{itemize}
|
||||
Pour avoir le plus grand enclos, il faut placer les poteaux à 6m du mur et on aura alors un enclos de $72m^2$.
|
||||
|
||||
\end{solution}
|
||||
\end{document}
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%%% Local Variables:
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%%% mode: latex
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%%% TeX-master: "master"
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%%% End:
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Binary file not shown.
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@ -0,0 +1,158 @@
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\documentclass[a4paper,12pt]{article}
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||||
\usepackage{myXsim}
|
||||
\usepackage{pgfplots}
|
||||
\usetikzlibrary{decorations.markings}
|
||||
\pgfplotsset{compat=1.18}
|
||||
|
||||
\title{ DM1 \hfill BOUAFIA Lina}
|
||||
\tribe{1ST}
|
||||
\date{A rendre pour le lundi 27 mars 2023}
|
||||
\duree{}
|
||||
|
||||
\xsimsetup{
|
||||
solution/print = true
|
||||
}
|
||||
|
||||
|
||||
\pagestyle{empty}
|
||||
|
||||
\begin{document}
|
||||
\maketitle
|
||||
|
||||
Le barème est donné à titre indicatif, il pourra être modifié.
|
||||
|
||||
\begin{exercise}[subtitle={Polynôme de degré 2}]
|
||||
|
||||
Développer les expressions suivantes pour vérifier que ce sont des polynômes de degré 2. Vous préciserez les valeurs de $a$, $b$ et $c$.
|
||||
\begin{multicols}{2}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item $f(x) = (4x - 9)(- 8x - 9)$
|
||||
\item $g(x) = (5x - 4)^{2}$
|
||||
\item $h(x) = - 1 + x(- 9x + 8)$
|
||||
\item $i(x) = 9x^{2} + x(2x + 10)$
|
||||
\item $j(x) = 9(x - 8)(x + 5)$
|
||||
\item $k(x) = - 9(x - 6)(x + 7)$
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{multicols}
|
||||
\end{exercise}
|
||||
|
||||
\begin{solution}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item
|
||||
\begin{align*}
|
||||
f(x) &= (4x - 9)(- 8x - 9)\\&= 4x \times - 8x + 4x(- 9) - 9 \times - 8x - 9(- 9)\\&= 4(- 8) \times x^{1 + 1} - 9 \times 4 \times x - 9(- 8) \times x + 81\\&= - 36x + 72x - 32x^{2} + 81\\&= (- 36 + 72) \times x - 32x^{2} + 81\\&= - 32x^{2} + 36x + 81
|
||||
\end{align*}
|
||||
C'est un polynôme de degré 2 avec $a = - 32$, $b = 36$ et $c = 81$.
|
||||
\item
|
||||
\begin{align*}
|
||||
g(x) &= (5x - 4)^{2}\\&= (5x - 4)(5x - 4)\\&= 5x \times 5x + 5x(- 4) - 4 \times 5x - 4(- 4)\\&= 5 \times 5 \times x^{1 + 1} - 4 \times 5 \times x - 4 \times 5 \times x + 16\\&= - 20x - 20x + 25x^{2} + 16\\&= (- 20 - 20) \times x + 25x^{2} + 16\\&= 25x^{2} - 40x + 16
|
||||
\end{align*}
|
||||
C'est un polynôme de degré 2 avec $a = 25$, $b = - 40$ et $c = 16$.
|
||||
\item
|
||||
\begin{align*}
|
||||
h(x) &= - 1 + x(- 9x + 8)\\&= - 1 + x \times - 9x + x \times 8\\&= - 9x^{2} + 8x - 1
|
||||
\end{align*}
|
||||
C'est un polynôme de degré 2 avec $a = - 9$, $b = 8$ et $c = - 1$.
|
||||
\item
|
||||
\begin{align*}
|
||||
i(x) &= 9x^{2} + x(2x + 10)\\&= 9x^{2} + x \times 2x + x \times 10\\&= 9x^{2} + 2x^{2} + 10x\\&= 9x^{2} + 2x^{2} + 10x\\&= (9 + 2) \times x^{2} + 10x\\&= 11x^{2} + 10x
|
||||
\end{align*}
|
||||
C'est un polynôme de degré 2 avec $a = 11$, $b = 10$ et $c = 0$.
|
||||
\item
|
||||
\begin{align*}
|
||||
j(x) &= 9(x - 8)(x + 5)\\&= (9x + 9(- 8))(x + 5)\\&= (9x - 72)(x + 5)\\&= 9x \times x + 9x \times 5 - 72x - 72 \times 5\\&= 5 \times 9 \times x - 360 + 9x^{2} - 72x\\&= 45x - 360 + 9x^{2} - 72x\\&= 9x^{2} + 45x - 72x - 360\\&= 9x^{2} + (45 - 72) \times x - 360\\&= 9x^{2} - 27x - 360
|
||||
\end{align*}
|
||||
C'est un polynôme de degré 2 avec $a = 9$, $b = - 27$ et $c = - 360$.
|
||||
\item
|
||||
\begin{align*}
|
||||
k(x) &= - 9(x - 6)(x + 7)\\&= (- 9x - 9(- 6))(x + 7)\\&= (- 9x + 54)(x + 7)\\&= - 9x \times x - 9x \times 7 + 54x + 54 \times 7\\&= 7(- 9) \times x + 378 - 9x^{2} + 54x\\&= - 63x + 378 - 9x^{2} + 54x\\&= - 9x^{2} - 63x + 54x + 378\\&= - 9x^{2} + (- 63 + 54) \times x + 378\\&= - 9x^{2} - 9x + 378
|
||||
\end{align*}
|
||||
C'est un polynôme de degré 2 avec $a = - 9$, $b = - 9$ et $c = 378$.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{solution}
|
||||
|
||||
|
||||
\begin{exercise}[subtitle={Étude de fonctions}]
|
||||
Soit $f(x) = 5x^{2} - 45x + 90$ une fonction définie sur $\R$.
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Calculer les valeurs suivantes
|
||||
\[
|
||||
f(1) \qquad f(-2)
|
||||
\]
|
||||
\item Dériver la fonction $f$
|
||||
\item Étudier le signe de $f'$ puis en déduire les variations de $f$.
|
||||
\item Est-ce que $f$ admet un maximum? un minimum? Calculer sa valeur.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{exercise}
|
||||
|
||||
\begin{solution}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item On remplace $x$ par les valeurs demandées
|
||||
\[
|
||||
f(1) = 5 \times 1^{2} - 45 \times 1 + 90=5 \times 1 - 45 + 90=5 + 45=50
|
||||
\]
|
||||
\[
|
||||
f(-1) = 5 \times - 1^{2} - 45(- 1) + 90=5 \times 1 + 45 + 90=5 + 135=140
|
||||
\]
|
||||
\item Dérivation
|
||||
\[
|
||||
f'(x) = 10x - 45
|
||||
\]
|
||||
|
||||
\item Pas de solutions automatiques.
|
||||
\item Pas de solutions automatiques.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{solution}
|
||||
|
||||
\begin{exercise}[subtitle={Enclos}]
|
||||
Dans son garage, Jean a trouvé 37m de grillage. \\
|
||||
Il décide de l'utiliser pour faire un enclos rectangulaire. Afin d'obtenir un enclos encore plus grand, il veut utiliser le mur du jardin qui formera un côté. Le grillage formera les 3 autres.
|
||||
|
||||
\begin{center}
|
||||
\includegraphics[scale=0.8]{./fig/enclos}
|
||||
\end{center}
|
||||
|
||||
Comment placer les poteaux pour avoir un enclos le plus grand possible ?
|
||||
|
||||
\textit{Cet exercice est un exercice de recherche. Vous êtes invité à utiliser les outils que vous voulez. Une part importante de la note sera dédiée à la rédaction et aux explications de ce que vous faites. Vous êtes encouragé à faire des schémas.}
|
||||
|
||||
\textit{Si vous utilisez le tableur, vous devrez le mentionner et m'envoyer le tableur à l'adresse \url{benjamin.bertrand@ac-lyon.fr}}
|
||||
|
||||
\end{exercise}
|
||||
|
||||
\begin{solution}
|
||||
Formule de l'aire (en notant $x$ la longueur du côté de l'enclos à côté du mur)
|
||||
\[
|
||||
A(x) = x(37 - 2x) = - 2x^{2} + 37x
|
||||
\]
|
||||
On va donc étudier les variations de la fonction $A(x) = - 2x^{2} + 37x$
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item Fonction dérivée : $A'(x) = - 4x + 37$
|
||||
\item On résout l'inéquation $A'(x) \geq 0$ pour déterminer quand la fonction $A'$ est positive.
|
||||
\begin{align*}
|
||||
A(x) & \geq 0 \\
|
||||
- 4x + 37 & \geq 0 \\
|
||||
- 4x + 37 + - 37 &\geq 0 + - 37 \\
|
||||
- 4x &\geq - 37 \\
|
||||
\frac{- 4x}{- 4} &\leq \frac{- 37}{- 4} \\
|
||||
x &\leq \dfrac{37}{4} \\
|
||||
\end{align*}
|
||||
Donc $A(x)$ est positif quand $x$ est plus \textbf{petit} que $\dfrac{37}{4}$
|
||||
\item
|
||||
\begin{center}
|
||||
\begin{tikzpicture}
|
||||
\tkzTabInit[lgt=3,espcl=4]{$x$/1,Signe de $f'(x)$/2, Variations de $f(x)$/2}{, $\dfrac{37}{4}$ ,}%
|
||||
\tkzTabLine{, +, z, -, }
|
||||
\tkzTabVar{-/ ,+/$f(\dfrac{37}{4}) = \dfrac{2738}{16}$ , -/}%
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\end{center}
|
||||
\end{itemize}
|
||||
Pour avoir le plus grand enclos, il faut placer les poteaux à 6m du mur et on aura alors un enclos de $72m^2$.
|
||||
|
||||
\end{solution}
|
||||
\end{document}
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%%% Local Variables:
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%%% mode: latex
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%%% TeX-master: "master"
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@ -0,0 +1,158 @@
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\documentclass[a4paper,12pt]{article}
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||||
\usepackage{myXsim}
|
||||
\usepackage{pgfplots}
|
||||
\usetikzlibrary{decorations.markings}
|
||||
\pgfplotsset{compat=1.18}
|
||||
|
||||
\title{ DM1 \hfill BOUQUARD James}
|
||||
\tribe{1ST}
|
||||
\date{A rendre pour le lundi 27 mars 2023}
|
||||
\duree{}
|
||||
|
||||
\xsimsetup{
|
||||
solution/print = true
|
||||
}
|
||||
|
||||
|
||||
\pagestyle{empty}
|
||||
|
||||
\begin{document}
|
||||
\maketitle
|
||||
|
||||
Le barème est donné à titre indicatif, il pourra être modifié.
|
||||
|
||||
\begin{exercise}[subtitle={Polynôme de degré 2}]
|
||||
|
||||
Développer les expressions suivantes pour vérifier que ce sont des polynômes de degré 2. Vous préciserez les valeurs de $a$, $b$ et $c$.
|
||||
\begin{multicols}{2}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item $f(x) = (3x - 1)(9x - 1)$
|
||||
\item $g(x) = (- 2x + 4)^{2}$
|
||||
\item $h(x) = 2 + x(5x + 8)$
|
||||
\item $i(x) = - 1x^{2} + x(5x - 7)$
|
||||
\item $j(x) = - 8(x + 5)(x + 4)$
|
||||
\item $k(x) = 2(x + 8)(x + 3)$
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{multicols}
|
||||
\end{exercise}
|
||||
|
||||
\begin{solution}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item
|
||||
\begin{align*}
|
||||
f(x) &= (3x - 1)(9x - 1)\\&= 3x \times 9x + 3x(- 1) - 1 \times 9x - 1(- 1)\\&= 3 \times 9 \times x^{1 + 1} - 1 \times 3 \times x - 1 \times 9 \times x + 1\\&= - 3x - 9x + 27x^{2} + 1\\&= (- 3 - 9) \times x + 27x^{2} + 1\\&= 27x^{2} - 12x + 1
|
||||
\end{align*}
|
||||
C'est un polynôme de degré 2 avec $a = 27$, $b = - 12$ et $c = 1$.
|
||||
\item
|
||||
\begin{align*}
|
||||
g(x) &= (- 2x + 4)^{2}\\&= (- 2x + 4)(- 2x + 4)\\&= - 2x \times - 2x - 2x \times 4 + 4 \times - 2x + 4 \times 4\\&= - 2(- 2) \times x^{1 + 1} + 4(- 2) \times x + 4(- 2) \times x + 16\\&= - 8x - 8x + 4x^{2} + 16\\&= (- 8 - 8) \times x + 4x^{2} + 16\\&= 4x^{2} - 16x + 16
|
||||
\end{align*}
|
||||
C'est un polynôme de degré 2 avec $a = 4$, $b = - 16$ et $c = 16$.
|
||||
\item
|
||||
\begin{align*}
|
||||
h(x) &= 2 + x(5x + 8)\\&= 2 + x \times 5x + x \times 8\\&= 5x^{2} + 8x + 2
|
||||
\end{align*}
|
||||
C'est un polynôme de degré 2 avec $a = 5$, $b = 8$ et $c = 2$.
|
||||
\item
|
||||
\begin{align*}
|
||||
i(x) &= - 1x^{2} + x(5x - 7)\\&= - x^{2} + x \times 5x + x(- 7)\\&= - x^{2} + 5x^{2} - 7x\\&= - x^{2} + 5x^{2} - 7x\\&= (- 1 + 5) \times x^{2} - 7x\\&= 4x^{2} - 7x
|
||||
\end{align*}
|
||||
C'est un polynôme de degré 2 avec $a = 4$, $b = - 7$ et $c = 0$.
|
||||
\item
|
||||
\begin{align*}
|
||||
j(x) &= - 8(x + 5)(x + 4)\\&= (- 8x - 8 \times 5)(x + 4)\\&= (- 8x - 40)(x + 4)\\&= - 8x \times x - 8x \times 4 - 40x - 40 \times 4\\&= 4(- 8) \times x - 160 - 8x^{2} - 40x\\&= - 32x - 160 - 8x^{2} - 40x\\&= - 8x^{2} - 32x - 40x - 160\\&= - 8x^{2} + (- 32 - 40) \times x - 160\\&= - 8x^{2} - 72x - 160
|
||||
\end{align*}
|
||||
C'est un polynôme de degré 2 avec $a = - 8$, $b = - 72$ et $c = - 160$.
|
||||
\item
|
||||
\begin{align*}
|
||||
k(x) &= 2(x + 8)(x + 3)\\&= (2x + 2 \times 8)(x + 3)\\&= (2x + 16)(x + 3)\\&= 2x \times x + 2x \times 3 + 16x + 16 \times 3\\&= 3 \times 2 \times x + 48 + 2x^{2} + 16x\\&= 6x + 48 + 2x^{2} + 16x\\&= 2x^{2} + 6x + 16x + 48\\&= 2x^{2} + (6 + 16) \times x + 48\\&= 2x^{2} + 22x + 48
|
||||
\end{align*}
|
||||
C'est un polynôme de degré 2 avec $a = 2$, $b = 22$ et $c = 48$.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{solution}
|
||||
|
||||
|
||||
\begin{exercise}[subtitle={Étude de fonctions}]
|
||||
Soit $f(x) = 5x^{2} - 15x - 140$ une fonction définie sur $\R$.
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Calculer les valeurs suivantes
|
||||
\[
|
||||
f(1) \qquad f(-2)
|
||||
\]
|
||||
\item Dériver la fonction $f$
|
||||
\item Étudier le signe de $f'$ puis en déduire les variations de $f$.
|
||||
\item Est-ce que $f$ admet un maximum? un minimum? Calculer sa valeur.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{exercise}
|
||||
|
||||
\begin{solution}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item On remplace $x$ par les valeurs demandées
|
||||
\[
|
||||
f(1) = 5 \times 1^{2} - 15 \times 1 - 140=5 \times 1 - 15 - 140=5 - 155=- 150
|
||||
\]
|
||||
\[
|
||||
f(-1) = 5 \times - 1^{2} - 15(- 1) - 140=5 \times 1 + 15 - 140=5 - 125=- 120
|
||||
\]
|
||||
\item Dérivation
|
||||
\[
|
||||
f'(x) = 10x - 15
|
||||
\]
|
||||
|
||||
\item Pas de solutions automatiques.
|
||||
\item Pas de solutions automatiques.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{solution}
|
||||
|
||||
\begin{exercise}[subtitle={Enclos}]
|
||||
Dans son garage, Jean a trouvé 21m de grillage. \\
|
||||
Il décide de l'utiliser pour faire un enclos rectangulaire. Afin d'obtenir un enclos encore plus grand, il veut utiliser le mur du jardin qui formera un côté. Le grillage formera les 3 autres.
|
||||
|
||||
\begin{center}
|
||||
\includegraphics[scale=0.8]{./fig/enclos}
|
||||
\end{center}
|
||||
|
||||
Comment placer les poteaux pour avoir un enclos le plus grand possible ?
|
||||
|
||||
\textit{Cet exercice est un exercice de recherche. Vous êtes invité à utiliser les outils que vous voulez. Une part importante de la note sera dédiée à la rédaction et aux explications de ce que vous faites. Vous êtes encouragé à faire des schémas.}
|
||||
|
||||
\textit{Si vous utilisez le tableur, vous devrez le mentionner et m'envoyer le tableur à l'adresse \url{benjamin.bertrand@ac-lyon.fr}}
|
||||
|
||||
\end{exercise}
|
||||
|
||||
\begin{solution}
|
||||
Formule de l'aire (en notant $x$ la longueur du côté de l'enclos à côté du mur)
|
||||
\[
|
||||
A(x) = x(21 - 2x) = - 2x^{2} + 21x
|
||||
\]
|
||||
On va donc étudier les variations de la fonction $A(x) = - 2x^{2} + 21x$
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item Fonction dérivée : $A'(x) = - 4x + 21$
|
||||
\item On résout l'inéquation $A'(x) \geq 0$ pour déterminer quand la fonction $A'$ est positive.
|
||||
\begin{align*}
|
||||
A(x) & \geq 0 \\
|
||||
- 4x + 21 & \geq 0 \\
|
||||
- 4x + 21 + - 21 &\geq 0 + - 21 \\
|
||||
- 4x &\geq - 21 \\
|
||||
\frac{- 4x}{- 4} &\leq \frac{- 21}{- 4} \\
|
||||
x &\leq \dfrac{21}{4} \\
|
||||
\end{align*}
|
||||
Donc $A(x)$ est positif quand $x$ est plus \textbf{petit} que $\dfrac{21}{4}$
|
||||
\item
|
||||
\begin{center}
|
||||
\begin{tikzpicture}
|
||||
\tkzTabInit[lgt=3,espcl=4]{$x$/1,Signe de $f'(x)$/2, Variations de $f(x)$/2}{, $\dfrac{21}{4}$ ,}%
|
||||
\tkzTabLine{, +, z, -, }
|
||||
\tkzTabVar{-/ ,+/$f(\dfrac{21}{4}) = \dfrac{882}{16}$ , -/}%
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\end{center}
|
||||
\end{itemize}
|
||||
Pour avoir le plus grand enclos, il faut placer les poteaux à 6m du mur et on aura alors un enclos de $72m^2$.
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||||
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||||
\end{solution}
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||||
\end{document}
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%%% Local Variables:
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%%% mode: latex
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%%% TeX-master: "master"
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%%% End:
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Binary file not shown.
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@ -0,0 +1,158 @@
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\documentclass[a4paper,12pt]{article}
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||||
\usepackage{myXsim}
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||||
\usepackage{pgfplots}
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||||
\usetikzlibrary{decorations.markings}
|
||||
\pgfplotsset{compat=1.18}
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||||
|
||||
\title{ DM1 \hfill DA COSTA QUEIROGA Délinda}
|
||||
\tribe{1ST}
|
||||
\date{A rendre pour le lundi 27 mars 2023}
|
||||
\duree{}
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||||
\xsimsetup{
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||||
solution/print = true
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}
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||||
\pagestyle{empty}
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||||
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||||
\begin{document}
|
||||
\maketitle
|
||||
|
||||
Le barème est donné à titre indicatif, il pourra être modifié.
|
||||
|
||||
\begin{exercise}[subtitle={Polynôme de degré 2}]
|
||||
|
||||
Développer les expressions suivantes pour vérifier que ce sont des polynômes de degré 2. Vous préciserez les valeurs de $a$, $b$ et $c$.
|
||||
\begin{multicols}{2}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item $f(x) = (2x - 2)(3x - 2)$
|
||||
\item $g(x) = (- 6x + 5)^{2}$
|
||||
\item $h(x) = 10 + x(4x + 9)$
|
||||
\item $i(x) = 4x^{2} + x(- 10x - 8)$
|
||||
\item $j(x) = 7(x + 3)(x - 6)$
|
||||
\item $k(x) = - 5(x + 3)(x - 3)$
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{multicols}
|
||||
\end{exercise}
|
||||
|
||||
\begin{solution}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item
|
||||
\begin{align*}
|
||||
f(x) &= (2x - 2)(3x - 2)\\&= 2x \times 3x + 2x(- 2) - 2 \times 3x - 2(- 2)\\&= 2 \times 3 \times x^{1 + 1} - 2 \times 2 \times x - 2 \times 3 \times x + 4\\&= - 4x - 6x + 6x^{2} + 4\\&= (- 4 - 6) \times x + 6x^{2} + 4\\&= 6x^{2} - 10x + 4
|
||||
\end{align*}
|
||||
C'est un polynôme de degré 2 avec $a = 6$, $b = - 10$ et $c = 4$.
|
||||
\item
|
||||
\begin{align*}
|
||||
g(x) &= (- 6x + 5)^{2}\\&= (- 6x + 5)(- 6x + 5)\\&= - 6x \times - 6x - 6x \times 5 + 5 \times - 6x + 5 \times 5\\&= - 6(- 6) \times x^{1 + 1} + 5(- 6) \times x + 5(- 6) \times x + 25\\&= - 30x - 30x + 36x^{2} + 25\\&= (- 30 - 30) \times x + 36x^{2} + 25\\&= 36x^{2} - 60x + 25
|
||||
\end{align*}
|
||||
C'est un polynôme de degré 2 avec $a = 36$, $b = - 60$ et $c = 25$.
|
||||
\item
|
||||
\begin{align*}
|
||||
h(x) &= 10 + x(4x + 9)\\&= 10 + x \times 4x + x \times 9\\&= 4x^{2} + 9x + 10
|
||||
\end{align*}
|
||||
C'est un polynôme de degré 2 avec $a = 4$, $b = 9$ et $c = 10$.
|
||||
\item
|
||||
\begin{align*}
|
||||
i(x) &= 4x^{2} + x(- 10x - 8)\\&= 4x^{2} + x \times - 10x + x(- 8)\\&= 4x^{2} - 10x^{2} - 8x\\&= 4x^{2} - 10x^{2} - 8x\\&= (4 - 10) \times x^{2} - 8x\\&= - 6x^{2} - 8x
|
||||
\end{align*}
|
||||
C'est un polynôme de degré 2 avec $a = - 6$, $b = - 8$ et $c = 0$.
|
||||
\item
|
||||
\begin{align*}
|
||||
j(x) &= 7(x + 3)(x - 6)\\&= (7x + 7 \times 3)(x - 6)\\&= (7x + 21)(x - 6)\\&= 7x \times x + 7x(- 6) + 21x + 21(- 6)\\&= - 6 \times 7 \times x - 126 + 7x^{2} + 21x\\&= - 42x - 126 + 7x^{2} + 21x\\&= 7x^{2} - 42x + 21x - 126\\&= 7x^{2} + (- 42 + 21) \times x - 126\\&= 7x^{2} - 21x - 126
|
||||
\end{align*}
|
||||
C'est un polynôme de degré 2 avec $a = 7$, $b = - 21$ et $c = - 126$.
|
||||
\item
|
||||
\begin{align*}
|
||||
k(x) &= - 5(x + 3)(x - 3)\\&= (- 5x - 5 \times 3)(x - 3)\\&= (- 5x - 15)(x - 3)\\&= - 5x \times x - 5x(- 3) - 15x - 15(- 3)\\&= - 3(- 5) \times x + 45 - 5x^{2} - 15x\\&= 15x + 45 - 5x^{2} - 15x\\&= - 5x^{2} + 15x - 15x + 45\\&= - 5x^{2} + (15 - 15) \times x + 45\\&= - 5x^{2} + 45
|
||||
\end{align*}
|
||||
C'est un polynôme de degré 2 avec $a = - 5$, $b = 0$ et $c = 45$.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{solution}
|
||||
|
||||
|
||||
\begin{exercise}[subtitle={Étude de fonctions}]
|
||||
Soit $f(x) = - 7x^{2} + 91x - 280$ une fonction définie sur $\R$.
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Calculer les valeurs suivantes
|
||||
\[
|
||||
f(1) \qquad f(-2)
|
||||
\]
|
||||
\item Dériver la fonction $f$
|
||||
\item Étudier le signe de $f'$ puis en déduire les variations de $f$.
|
||||
\item Est-ce que $f$ admet un maximum? un minimum? Calculer sa valeur.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{exercise}
|
||||
|
||||
\begin{solution}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item On remplace $x$ par les valeurs demandées
|
||||
\[
|
||||
f(1) = - 7 \times 1^{2} + 91 \times 1 - 280=- 7 \times 1 + 91 - 280=- 7 - 189=- 196
|
||||
\]
|
||||
\[
|
||||
f(-1) = - 7 \times - 1^{2} + 91(- 1) - 280=- 7 \times 1 - 91 - 280=- 7 - 371=- 378
|
||||
\]
|
||||
\item Dérivation
|
||||
\[
|
||||
f'(x) = - 14x + 91
|
||||
\]
|
||||
|
||||
\item Pas de solutions automatiques.
|
||||
\item Pas de solutions automatiques.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{solution}
|
||||
|
||||
\begin{exercise}[subtitle={Enclos}]
|
||||
Dans son garage, Jean a trouvé 23m de grillage. \\
|
||||
Il décide de l'utiliser pour faire un enclos rectangulaire. Afin d'obtenir un enclos encore plus grand, il veut utiliser le mur du jardin qui formera un côté. Le grillage formera les 3 autres.
|
||||
|
||||
\begin{center}
|
||||
\includegraphics[scale=0.8]{./fig/enclos}
|
||||
\end{center}
|
||||
|
||||
Comment placer les poteaux pour avoir un enclos le plus grand possible ?
|
||||
|
||||
\textit{Cet exercice est un exercice de recherche. Vous êtes invité à utiliser les outils que vous voulez. Une part importante de la note sera dédiée à la rédaction et aux explications de ce que vous faites. Vous êtes encouragé à faire des schémas.}
|
||||
|
||||
\textit{Si vous utilisez le tableur, vous devrez le mentionner et m'envoyer le tableur à l'adresse \url{benjamin.bertrand@ac-lyon.fr}}
|
||||
|
||||
\end{exercise}
|
||||
|
||||
\begin{solution}
|
||||
Formule de l'aire (en notant $x$ la longueur du côté de l'enclos à côté du mur)
|
||||
\[
|
||||
A(x) = x(23 - 2x) = - 2x^{2} + 23x
|
||||
\]
|
||||
On va donc étudier les variations de la fonction $A(x) = - 2x^{2} + 23x$
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item Fonction dérivée : $A'(x) = - 4x + 23$
|
||||
\item On résout l'inéquation $A'(x) \geq 0$ pour déterminer quand la fonction $A'$ est positive.
|
||||
\begin{align*}
|
||||
A(x) & \geq 0 \\
|
||||
- 4x + 23 & \geq 0 \\
|
||||
- 4x + 23 + - 23 &\geq 0 + - 23 \\
|
||||
- 4x &\geq - 23 \\
|
||||
\frac{- 4x}{- 4} &\leq \frac{- 23}{- 4} \\
|
||||
x &\leq \dfrac{23}{4} \\
|
||||
\end{align*}
|
||||
Donc $A(x)$ est positif quand $x$ est plus \textbf{petit} que $\dfrac{23}{4}$
|
||||
\item
|
||||
\begin{center}
|
||||
\begin{tikzpicture}
|
||||
\tkzTabInit[lgt=3,espcl=4]{$x$/1,Signe de $f'(x)$/2, Variations de $f(x)$/2}{, $\dfrac{23}{4}$ ,}%
|
||||
\tkzTabLine{, +, z, -, }
|
||||
\tkzTabVar{-/ ,+/$f(\dfrac{23}{4}) = \dfrac{1058}{16}$ , -/}%
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\end{center}
|
||||
\end{itemize}
|
||||
Pour avoir le plus grand enclos, il faut placer les poteaux à 6m du mur et on aura alors un enclos de $72m^2$.
|
||||
|
||||
\end{solution}
|
||||
\end{document}
|
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%%% Local Variables:
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%%% mode: latex
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%%% TeX-master: "master"
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%%% End:
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Binary file not shown.
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@ -0,0 +1,158 @@
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\documentclass[a4paper,12pt]{article}
|
||||
\usepackage{myXsim}
|
||||
\usepackage{pgfplots}
|
||||
\usetikzlibrary{decorations.markings}
|
||||
\pgfplotsset{compat=1.18}
|
||||
|
||||
\title{ DM1 \hfill GNUI Kadia}
|
||||
\tribe{1ST}
|
||||
\date{A rendre pour le lundi 27 mars 2023}
|
||||
\duree{}
|
||||
|
||||
\xsimsetup{
|
||||
solution/print = true
|
||||
}
|
||||
|
||||
|
||||
\pagestyle{empty}
|
||||
|
||||
\begin{document}
|
||||
\maketitle
|
||||
|
||||
Le barème est donné à titre indicatif, il pourra être modifié.
|
||||
|
||||
\begin{exercise}[subtitle={Polynôme de degré 2}]
|
||||
|
||||
Développer les expressions suivantes pour vérifier que ce sont des polynômes de degré 2. Vous préciserez les valeurs de $a$, $b$ et $c$.
|
||||
\begin{multicols}{2}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item $f(x) = (- 4x - 1)(- 8x - 1)$
|
||||
\item $g(x) = (7x + 8)^{2}$
|
||||
\item $h(x) = 3 + x(7x + 7)$
|
||||
\item $i(x) = - 9x^{2} + x(- 3x + 10)$
|
||||
\item $j(x) = - 5(x + 7)(x + 5)$
|
||||
\item $k(x) = - 4(x - 6)(x + 2)$
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{multicols}
|
||||
\end{exercise}
|
||||
|
||||
\begin{solution}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item
|
||||
\begin{align*}
|
||||
f(x) &= (- 4x - 1)(- 8x - 1)\\&= - 4x \times - 8x - 4x(- 1) - 1 \times - 8x - 1(- 1)\\&= - 4(- 8) \times x^{1 + 1} - 1(- 4) \times x - 1(- 8) \times x + 1\\&= 4x + 8x + 32x^{2} + 1\\&= (4 + 8) \times x + 32x^{2} + 1\\&= 32x^{2} + 12x + 1
|
||||
\end{align*}
|
||||
C'est un polynôme de degré 2 avec $a = 32$, $b = 12$ et $c = 1$.
|
||||
\item
|
||||
\begin{align*}
|
||||
g(x) &= (7x + 8)^{2}\\&= (7x + 8)(7x + 8)\\&= 7x \times 7x + 7x \times 8 + 8 \times 7x + 8 \times 8\\&= 7 \times 7 \times x^{1 + 1} + 8 \times 7 \times x + 8 \times 7 \times x + 64\\&= 56x + 56x + 49x^{2} + 64\\&= (56 + 56) \times x + 49x^{2} + 64\\&= 49x^{2} + 112x + 64
|
||||
\end{align*}
|
||||
C'est un polynôme de degré 2 avec $a = 49$, $b = 112$ et $c = 64$.
|
||||
\item
|
||||
\begin{align*}
|
||||
h(x) &= 3 + x(7x + 7)\\&= 3 + x \times 7x + x \times 7\\&= 7x^{2} + 7x + 3
|
||||
\end{align*}
|
||||
C'est un polynôme de degré 2 avec $a = 7$, $b = 7$ et $c = 3$.
|
||||
\item
|
||||
\begin{align*}
|
||||
i(x) &= - 9x^{2} + x(- 3x + 10)\\&= - 9x^{2} + x \times - 3x + x \times 10\\&= - 9x^{2} - 3x^{2} + 10x\\&= - 9x^{2} - 3x^{2} + 10x\\&= (- 9 - 3) \times x^{2} + 10x\\&= - 12x^{2} + 10x
|
||||
\end{align*}
|
||||
C'est un polynôme de degré 2 avec $a = - 12$, $b = 10$ et $c = 0$.
|
||||
\item
|
||||
\begin{align*}
|
||||
j(x) &= - 5(x + 7)(x + 5)\\&= (- 5x - 5 \times 7)(x + 5)\\&= (- 5x - 35)(x + 5)\\&= - 5x \times x - 5x \times 5 - 35x - 35 \times 5\\&= 5(- 5) \times x - 175 - 5x^{2} - 35x\\&= - 25x - 175 - 5x^{2} - 35x\\&= - 5x^{2} - 25x - 35x - 175\\&= - 5x^{2} + (- 25 - 35) \times x - 175\\&= - 5x^{2} - 60x - 175
|
||||
\end{align*}
|
||||
C'est un polynôme de degré 2 avec $a = - 5$, $b = - 60$ et $c = - 175$.
|
||||
\item
|
||||
\begin{align*}
|
||||
k(x) &= - 4(x - 6)(x + 2)\\&= (- 4x - 4(- 6))(x + 2)\\&= (- 4x + 24)(x + 2)\\&= - 4x \times x - 4x \times 2 + 24x + 24 \times 2\\&= 2(- 4) \times x + 48 - 4x^{2} + 24x\\&= - 8x + 48 - 4x^{2} + 24x\\&= - 4x^{2} - 8x + 24x + 48\\&= - 4x^{2} + (- 8 + 24) \times x + 48\\&= - 4x^{2} + 16x + 48
|
||||
\end{align*}
|
||||
C'est un polynôme de degré 2 avec $a = - 4$, $b = 16$ et $c = 48$.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{solution}
|
||||
|
||||
|
||||
\begin{exercise}[subtitle={Étude de fonctions}]
|
||||
Soit $f(x) = - 3x^{2} - 33x - 30$ une fonction définie sur $\R$.
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Calculer les valeurs suivantes
|
||||
\[
|
||||
f(1) \qquad f(-2)
|
||||
\]
|
||||
\item Dériver la fonction $f$
|
||||
\item Étudier le signe de $f'$ puis en déduire les variations de $f$.
|
||||
\item Est-ce que $f$ admet un maximum? un minimum? Calculer sa valeur.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{exercise}
|
||||
|
||||
\begin{solution}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item On remplace $x$ par les valeurs demandées
|
||||
\[
|
||||
f(1) = - 3 \times 1^{2} - 33 \times 1 - 30=- 3 \times 1 - 33 - 30=- 3 - 63=- 66
|
||||
\]
|
||||
\[
|
||||
f(-1) = - 3 \times - 1^{2} - 33(- 1) - 30=- 3 \times 1 + 33 - 30=- 3 + 3=0
|
||||
\]
|
||||
\item Dérivation
|
||||
\[
|
||||
f'(x) = - 6x - 33
|
||||
\]
|
||||
|
||||
\item Pas de solutions automatiques.
|
||||
\item Pas de solutions automatiques.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{solution}
|
||||
|
||||
\begin{exercise}[subtitle={Enclos}]
|
||||
Dans son garage, Jean a trouvé 35m de grillage. \\
|
||||
Il décide de l'utiliser pour faire un enclos rectangulaire. Afin d'obtenir un enclos encore plus grand, il veut utiliser le mur du jardin qui formera un côté. Le grillage formera les 3 autres.
|
||||
|
||||
\begin{center}
|
||||
\includegraphics[scale=0.8]{./fig/enclos}
|
||||
\end{center}
|
||||
|
||||
Comment placer les poteaux pour avoir un enclos le plus grand possible ?
|
||||
|
||||
\textit{Cet exercice est un exercice de recherche. Vous êtes invité à utiliser les outils que vous voulez. Une part importante de la note sera dédiée à la rédaction et aux explications de ce que vous faites. Vous êtes encouragé à faire des schémas.}
|
||||
|
||||
\textit{Si vous utilisez le tableur, vous devrez le mentionner et m'envoyer le tableur à l'adresse \url{benjamin.bertrand@ac-lyon.fr}}
|
||||
|
||||
\end{exercise}
|
||||
|
||||
\begin{solution}
|
||||
Formule de l'aire (en notant $x$ la longueur du côté de l'enclos à côté du mur)
|
||||
\[
|
||||
A(x) = x(35 - 2x) = - 2x^{2} + 35x
|
||||
\]
|
||||
On va donc étudier les variations de la fonction $A(x) = - 2x^{2} + 35x$
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item Fonction dérivée : $A'(x) = - 4x + 35$
|
||||
\item On résout l'inéquation $A'(x) \geq 0$ pour déterminer quand la fonction $A'$ est positive.
|
||||
\begin{align*}
|
||||
A(x) & \geq 0 \\
|
||||
- 4x + 35 & \geq 0 \\
|
||||
- 4x + 35 + - 35 &\geq 0 + - 35 \\
|
||||
- 4x &\geq - 35 \\
|
||||
\frac{- 4x}{- 4} &\leq \frac{- 35}{- 4} \\
|
||||
x &\leq \dfrac{35}{4} \\
|
||||
\end{align*}
|
||||
Donc $A(x)$ est positif quand $x$ est plus \textbf{petit} que $\dfrac{35}{4}$
|
||||
\item
|
||||
\begin{center}
|
||||
\begin{tikzpicture}
|
||||
\tkzTabInit[lgt=3,espcl=4]{$x$/1,Signe de $f'(x)$/2, Variations de $f(x)$/2}{, $\dfrac{35}{4}$ ,}%
|
||||
\tkzTabLine{, +, z, -, }
|
||||
\tkzTabVar{-/ ,+/$f(\dfrac{35}{4}) = \dfrac{2450}{16}$ , -/}%
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\end{center}
|
||||
\end{itemize}
|
||||
Pour avoir le plus grand enclos, il faut placer les poteaux à 6m du mur et on aura alors un enclos de $72m^2$.
|
||||
|
||||
\end{solution}
|
||||
\end{document}
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%%% Local Variables:
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%%% mode: latex
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%%% TeX-master: "master"
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%%% End:
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Binary file not shown.
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@ -0,0 +1,158 @@
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\documentclass[a4paper,12pt]{article}
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||||
\usepackage{myXsim}
|
||||
\usepackage{pgfplots}
|
||||
\usetikzlibrary{decorations.markings}
|
||||
\pgfplotsset{compat=1.18}
|
||||
|
||||
\title{ DM1 \hfill HAMMOUDI Lyna}
|
||||
\tribe{1ST}
|
||||
\date{A rendre pour le lundi 27 mars 2023}
|
||||
\duree{}
|
||||
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||||
\xsimsetup{
|
||||
solution/print = true
|
||||
}
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||||
|
||||
|
||||
\pagestyle{empty}
|
||||
|
||||
\begin{document}
|
||||
\maketitle
|
||||
|
||||
Le barème est donné à titre indicatif, il pourra être modifié.
|
||||
|
||||
\begin{exercise}[subtitle={Polynôme de degré 2}]
|
||||
|
||||
Développer les expressions suivantes pour vérifier que ce sont des polynômes de degré 2. Vous préciserez les valeurs de $a$, $b$ et $c$.
|
||||
\begin{multicols}{2}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item $f(x) = (- 7x + 10)(- 8x + 10)$
|
||||
\item $g(x) = (6x - 2)^{2}$
|
||||
\item $h(x) = 2 + x(- 5x + 4)$
|
||||
\item $i(x) = - 9x^{2} + x(3x - 2)$
|
||||
\item $j(x) = 6(x + 9)(x + 10)$
|
||||
\item $k(x) = - 8(x - 10)(x - 4)$
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{multicols}
|
||||
\end{exercise}
|
||||
|
||||
\begin{solution}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item
|
||||
\begin{align*}
|
||||
f(x) &= (- 7x + 10)(- 8x + 10)\\&= - 7x \times - 8x - 7x \times 10 + 10 \times - 8x + 10 \times 10\\&= - 7(- 8) \times x^{1 + 1} + 10(- 7) \times x + 10(- 8) \times x + 100\\&= - 70x - 80x + 56x^{2} + 100\\&= (- 70 - 80) \times x + 56x^{2} + 100\\&= 56x^{2} - 150x + 100
|
||||
\end{align*}
|
||||
C'est un polynôme de degré 2 avec $a = 56$, $b = - 150$ et $c = 100$.
|
||||
\item
|
||||
\begin{align*}
|
||||
g(x) &= (6x - 2)^{2}\\&= (6x - 2)(6x - 2)\\&= 6x \times 6x + 6x(- 2) - 2 \times 6x - 2(- 2)\\&= 6 \times 6 \times x^{1 + 1} - 2 \times 6 \times x - 2 \times 6 \times x + 4\\&= - 12x - 12x + 36x^{2} + 4\\&= (- 12 - 12) \times x + 36x^{2} + 4\\&= 36x^{2} - 24x + 4
|
||||
\end{align*}
|
||||
C'est un polynôme de degré 2 avec $a = 36$, $b = - 24$ et $c = 4$.
|
||||
\item
|
||||
\begin{align*}
|
||||
h(x) &= 2 + x(- 5x + 4)\\&= 2 + x \times - 5x + x \times 4\\&= - 5x^{2} + 4x + 2
|
||||
\end{align*}
|
||||
C'est un polynôme de degré 2 avec $a = - 5$, $b = 4$ et $c = 2$.
|
||||
\item
|
||||
\begin{align*}
|
||||
i(x) &= - 9x^{2} + x(3x - 2)\\&= - 9x^{2} + x \times 3x + x(- 2)\\&= - 9x^{2} + 3x^{2} - 2x\\&= - 9x^{2} + 3x^{2} - 2x\\&= (- 9 + 3) \times x^{2} - 2x\\&= - 6x^{2} - 2x
|
||||
\end{align*}
|
||||
C'est un polynôme de degré 2 avec $a = - 6$, $b = - 2$ et $c = 0$.
|
||||
\item
|
||||
\begin{align*}
|
||||
j(x) &= 6(x + 9)(x + 10)\\&= (6x + 6 \times 9)(x + 10)\\&= (6x + 54)(x + 10)\\&= 6x \times x + 6x \times 10 + 54x + 54 \times 10\\&= 10 \times 6 \times x + 540 + 6x^{2} + 54x\\&= 60x + 540 + 6x^{2} + 54x\\&= 6x^{2} + 60x + 54x + 540\\&= 6x^{2} + (60 + 54) \times x + 540\\&= 6x^{2} + 114x + 540
|
||||
\end{align*}
|
||||
C'est un polynôme de degré 2 avec $a = 6$, $b = 114$ et $c = 540$.
|
||||
\item
|
||||
\begin{align*}
|
||||
k(x) &= - 8(x - 10)(x - 4)\\&= (- 8x - 8(- 10))(x - 4)\\&= (- 8x + 80)(x - 4)\\&= - 8x \times x - 8x(- 4) + 80x + 80(- 4)\\&= - 4(- 8) \times x - 320 - 8x^{2} + 80x\\&= 32x - 320 - 8x^{2} + 80x\\&= - 8x^{2} + 32x + 80x - 320\\&= - 8x^{2} + (32 + 80) \times x - 320\\&= - 8x^{2} + 112x - 320
|
||||
\end{align*}
|
||||
C'est un polynôme de degré 2 avec $a = - 8$, $b = 112$ et $c = - 320$.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{solution}
|
||||
|
||||
|
||||
\begin{exercise}[subtitle={Étude de fonctions}]
|
||||
Soit $f(x) = - x^{2} - 2x + 48$ une fonction définie sur $\R$.
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Calculer les valeurs suivantes
|
||||
\[
|
||||
f(1) \qquad f(-2)
|
||||
\]
|
||||
\item Dériver la fonction $f$
|
||||
\item Étudier le signe de $f'$ puis en déduire les variations de $f$.
|
||||
\item Est-ce que $f$ admet un maximum? un minimum? Calculer sa valeur.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{exercise}
|
||||
|
||||
\begin{solution}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item On remplace $x$ par les valeurs demandées
|
||||
\[
|
||||
f(1) = - 1^{2} - 2 \times 1 + 48=- 1 - 2 + 48=- 1 + 46=45
|
||||
\]
|
||||
\[
|
||||
f(-1) = - - 1^{2} - 2(- 1) + 48=- 1 + 2 + 48=- 1 + 50=49
|
||||
\]
|
||||
\item Dérivation
|
||||
\[
|
||||
f'(x) = - 2x - 2
|
||||
\]
|
||||
|
||||
\item Pas de solutions automatiques.
|
||||
\item Pas de solutions automatiques.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{solution}
|
||||
|
||||
\begin{exercise}[subtitle={Enclos}]
|
||||
Dans son garage, Jean a trouvé 37m de grillage. \\
|
||||
Il décide de l'utiliser pour faire un enclos rectangulaire. Afin d'obtenir un enclos encore plus grand, il veut utiliser le mur du jardin qui formera un côté. Le grillage formera les 3 autres.
|
||||
|
||||
\begin{center}
|
||||
\includegraphics[scale=0.8]{./fig/enclos}
|
||||
\end{center}
|
||||
|
||||
Comment placer les poteaux pour avoir un enclos le plus grand possible ?
|
||||
|
||||
\textit{Cet exercice est un exercice de recherche. Vous êtes invité à utiliser les outils que vous voulez. Une part importante de la note sera dédiée à la rédaction et aux explications de ce que vous faites. Vous êtes encouragé à faire des schémas.}
|
||||
|
||||
\textit{Si vous utilisez le tableur, vous devrez le mentionner et m'envoyer le tableur à l'adresse \url{benjamin.bertrand@ac-lyon.fr}}
|
||||
|
||||
\end{exercise}
|
||||
|
||||
\begin{solution}
|
||||
Formule de l'aire (en notant $x$ la longueur du côté de l'enclos à côté du mur)
|
||||
\[
|
||||
A(x) = x(37 - 2x) = - 2x^{2} + 37x
|
||||
\]
|
||||
On va donc étudier les variations de la fonction $A(x) = - 2x^{2} + 37x$
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item Fonction dérivée : $A'(x) = - 4x + 37$
|
||||
\item On résout l'inéquation $A'(x) \geq 0$ pour déterminer quand la fonction $A'$ est positive.
|
||||
\begin{align*}
|
||||
A(x) & \geq 0 \\
|
||||
- 4x + 37 & \geq 0 \\
|
||||
- 4x + 37 + - 37 &\geq 0 + - 37 \\
|
||||
- 4x &\geq - 37 \\
|
||||
\frac{- 4x}{- 4} &\leq \frac{- 37}{- 4} \\
|
||||
x &\leq \dfrac{37}{4} \\
|
||||
\end{align*}
|
||||
Donc $A(x)$ est positif quand $x$ est plus \textbf{petit} que $\dfrac{37}{4}$
|
||||
\item
|
||||
\begin{center}
|
||||
\begin{tikzpicture}
|
||||
\tkzTabInit[lgt=3,espcl=4]{$x$/1,Signe de $f'(x)$/2, Variations de $f(x)$/2}{, $\dfrac{37}{4}$ ,}%
|
||||
\tkzTabLine{, +, z, -, }
|
||||
\tkzTabVar{-/ ,+/$f(\dfrac{37}{4}) = \dfrac{2738}{16}$ , -/}%
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\end{center}
|
||||
\end{itemize}
|
||||
Pour avoir le plus grand enclos, il faut placer les poteaux à 6m du mur et on aura alors un enclos de $72m^2$.
|
||||
|
||||
\end{solution}
|
||||
\end{document}
|
||||
|
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%%% Local Variables:
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%%% mode: latex
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%%% TeX-master: "master"
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%%% End:
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Binary file not shown.
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@ -0,0 +1,158 @@
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|||
\documentclass[a4paper,12pt]{article}
|
||||
\usepackage{myXsim}
|
||||
\usepackage{pgfplots}
|
||||
\usetikzlibrary{decorations.markings}
|
||||
\pgfplotsset{compat=1.18}
|
||||
|
||||
\title{ DM1 \hfill KITOUNI Zakaria}
|
||||
\tribe{1ST}
|
||||
\date{A rendre pour le lundi 27 mars 2023}
|
||||
\duree{}
|
||||
|
||||
\xsimsetup{
|
||||
solution/print = true
|
||||
}
|
||||
|
||||
|
||||
\pagestyle{empty}
|
||||
|
||||
\begin{document}
|
||||
\maketitle
|
||||
|
||||
Le barème est donné à titre indicatif, il pourra être modifié.
|
||||
|
||||
\begin{exercise}[subtitle={Polynôme de degré 2}]
|
||||
|
||||
Développer les expressions suivantes pour vérifier que ce sont des polynômes de degré 2. Vous préciserez les valeurs de $a$, $b$ et $c$.
|
||||
\begin{multicols}{2}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item $f(x) = (- 7x - 6)(- 10x - 6)$
|
||||
\item $g(x) = (4x + 2)^{2}$
|
||||
\item $h(x) = 8 + x(- 9x + 7)$
|
||||
\item $i(x) = 9x^{2} + x(9x - 5)$
|
||||
\item $j(x) = - 1(x - 6)(x - 7)$
|
||||
\item $k(x) = - 7(x - 1)(x + 3)$
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{multicols}
|
||||
\end{exercise}
|
||||
|
||||
\begin{solution}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item
|
||||
\begin{align*}
|
||||
f(x) &= (- 7x - 6)(- 10x - 6)\\&= - 7x \times - 10x - 7x(- 6) - 6 \times - 10x - 6(- 6)\\&= - 7(- 10) \times x^{1 + 1} - 6(- 7) \times x - 6(- 10) \times x + 36\\&= 42x + 60x + 70x^{2} + 36\\&= (42 + 60) \times x + 70x^{2} + 36\\&= 70x^{2} + 102x + 36
|
||||
\end{align*}
|
||||
C'est un polynôme de degré 2 avec $a = 70$, $b = 102$ et $c = 36$.
|
||||
\item
|
||||
\begin{align*}
|
||||
g(x) &= (4x + 2)^{2}\\&= (4x + 2)(4x + 2)\\&= 4x \times 4x + 4x \times 2 + 2 \times 4x + 2 \times 2\\&= 4 \times 4 \times x^{1 + 1} + 2 \times 4 \times x + 2 \times 4 \times x + 4\\&= 8x + 8x + 16x^{2} + 4\\&= (8 + 8) \times x + 16x^{2} + 4\\&= 16x^{2} + 16x + 4
|
||||
\end{align*}
|
||||
C'est un polynôme de degré 2 avec $a = 16$, $b = 16$ et $c = 4$.
|
||||
\item
|
||||
\begin{align*}
|
||||
h(x) &= 8 + x(- 9x + 7)\\&= 8 + x \times - 9x + x \times 7\\&= - 9x^{2} + 7x + 8
|
||||
\end{align*}
|
||||
C'est un polynôme de degré 2 avec $a = - 9$, $b = 7$ et $c = 8$.
|
||||
\item
|
||||
\begin{align*}
|
||||
i(x) &= 9x^{2} + x(9x - 5)\\&= 9x^{2} + x \times 9x + x(- 5)\\&= 9x^{2} + 9x^{2} - 5x\\&= 9x^{2} + 9x^{2} - 5x\\&= (9 + 9) \times x^{2} - 5x\\&= 18x^{2} - 5x
|
||||
\end{align*}
|
||||
C'est un polynôme de degré 2 avec $a = 18$, $b = - 5$ et $c = 0$.
|
||||
\item
|
||||
\begin{align*}
|
||||
j(x) &= - 1(x - 6)(x - 7)\\&= (- 1x - 1(- 6))(x - 7)\\&= (- x + 6)(x - 7)\\&= (- x) \times x + (- x)(- 7) + 6x + 6(- 7)\\&= - 7(- 1) \times x - 42 - x^{2} + 6x\\&= 7x - 42 - x^{2} + 6x\\&= - x^{2} + 7x + 6x - 42\\&= - x^{2} + (7 + 6) \times x - 42\\&= - x^{2} + 13x - 42
|
||||
\end{align*}
|
||||
C'est un polynôme de degré 2 avec $a = - 1$, $b = 13$ et $c = - 42$.
|
||||
\item
|
||||
\begin{align*}
|
||||
k(x) &= - 7(x - 1)(x + 3)\\&= (- 7x - 7(- 1))(x + 3)\\&= (- 7x + 7)(x + 3)\\&= - 7x \times x - 7x \times 3 + 7x + 7 \times 3\\&= 3(- 7) \times x + 21 - 7x^{2} + 7x\\&= - 21x + 21 - 7x^{2} + 7x\\&= - 7x^{2} - 21x + 7x + 21\\&= - 7x^{2} + (- 21 + 7) \times x + 21\\&= - 7x^{2} - 14x + 21
|
||||
\end{align*}
|
||||
C'est un polynôme de degré 2 avec $a = - 7$, $b = - 14$ et $c = 21$.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{solution}
|
||||
|
||||
|
||||
\begin{exercise}[subtitle={Étude de fonctions}]
|
||||
Soit $f(x) = 3x^{2} - 3x - 126$ une fonction définie sur $\R$.
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Calculer les valeurs suivantes
|
||||
\[
|
||||
f(1) \qquad f(-2)
|
||||
\]
|
||||
\item Dériver la fonction $f$
|
||||
\item Étudier le signe de $f'$ puis en déduire les variations de $f$.
|
||||
\item Est-ce que $f$ admet un maximum? un minimum? Calculer sa valeur.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{exercise}
|
||||
|
||||
\begin{solution}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item On remplace $x$ par les valeurs demandées
|
||||
\[
|
||||
f(1) = 3 \times 1^{2} - 3 \times 1 - 126=3 \times 1 - 3 - 126=3 - 129=- 126
|
||||
\]
|
||||
\[
|
||||
f(-1) = 3 \times - 1^{2} - 3(- 1) - 126=3 \times 1 + 3 - 126=3 - 123=- 120
|
||||
\]
|
||||
\item Dérivation
|
||||
\[
|
||||
f'(x) = 6x - 3
|
||||
\]
|
||||
|
||||
\item Pas de solutions automatiques.
|
||||
\item Pas de solutions automatiques.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{solution}
|
||||
|
||||
\begin{exercise}[subtitle={Enclos}]
|
||||
Dans son garage, Jean a trouvé 29m de grillage. \\
|
||||
Il décide de l'utiliser pour faire un enclos rectangulaire. Afin d'obtenir un enclos encore plus grand, il veut utiliser le mur du jardin qui formera un côté. Le grillage formera les 3 autres.
|
||||
|
||||
\begin{center}
|
||||
\includegraphics[scale=0.8]{./fig/enclos}
|
||||
\end{center}
|
||||
|
||||
Comment placer les poteaux pour avoir un enclos le plus grand possible ?
|
||||
|
||||
\textit{Cet exercice est un exercice de recherche. Vous êtes invité à utiliser les outils que vous voulez. Une part importante de la note sera dédiée à la rédaction et aux explications de ce que vous faites. Vous êtes encouragé à faire des schémas.}
|
||||
|
||||
\textit{Si vous utilisez le tableur, vous devrez le mentionner et m'envoyer le tableur à l'adresse \url{benjamin.bertrand@ac-lyon.fr}}
|
||||
|
||||
\end{exercise}
|
||||
|
||||
\begin{solution}
|
||||
Formule de l'aire (en notant $x$ la longueur du côté de l'enclos à côté du mur)
|
||||
\[
|
||||
A(x) = x(29 - 2x) = - 2x^{2} + 29x
|
||||
\]
|
||||
On va donc étudier les variations de la fonction $A(x) = - 2x^{2} + 29x$
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item Fonction dérivée : $A'(x) = - 4x + 29$
|
||||
\item On résout l'inéquation $A'(x) \geq 0$ pour déterminer quand la fonction $A'$ est positive.
|
||||
\begin{align*}
|
||||
A(x) & \geq 0 \\
|
||||
- 4x + 29 & \geq 0 \\
|
||||
- 4x + 29 + - 29 &\geq 0 + - 29 \\
|
||||
- 4x &\geq - 29 \\
|
||||
\frac{- 4x}{- 4} &\leq \frac{- 29}{- 4} \\
|
||||
x &\leq \dfrac{29}{4} \\
|
||||
\end{align*}
|
||||
Donc $A(x)$ est positif quand $x$ est plus \textbf{petit} que $\dfrac{29}{4}$
|
||||
\item
|
||||
\begin{center}
|
||||
\begin{tikzpicture}
|
||||
\tkzTabInit[lgt=3,espcl=4]{$x$/1,Signe de $f'(x)$/2, Variations de $f(x)$/2}{, $\dfrac{29}{4}$ ,}%
|
||||
\tkzTabLine{, +, z, -, }
|
||||
\tkzTabVar{-/ ,+/$f(\dfrac{29}{4}) = \dfrac{1682}{16}$ , -/}%
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\end{center}
|
||||
\end{itemize}
|
||||
Pour avoir le plus grand enclos, il faut placer les poteaux à 6m du mur et on aura alors un enclos de $72m^2$.
|
||||
|
||||
\end{solution}
|
||||
\end{document}
|
||||
|
||||
%%% Local Variables:
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%%% mode: latex
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%%% TeX-master: "master"
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%%% End:
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Binary file not shown.
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@ -0,0 +1,158 @@
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|||
\documentclass[a4paper,12pt]{article}
|
||||
\usepackage{myXsim}
|
||||
\usepackage{pgfplots}
|
||||
\usetikzlibrary{decorations.markings}
|
||||
\pgfplotsset{compat=1.18}
|
||||
|
||||
\title{ DM1 \hfill LAFAVERGES Joana}
|
||||
\tribe{1ST}
|
||||
\date{A rendre pour le lundi 27 mars 2023}
|
||||
\duree{}
|
||||
|
||||
\xsimsetup{
|
||||
solution/print = true
|
||||
}
|
||||
|
||||
|
||||
\pagestyle{empty}
|
||||
|
||||
\begin{document}
|
||||
\maketitle
|
||||
|
||||
Le barème est donné à titre indicatif, il pourra être modifié.
|
||||
|
||||
\begin{exercise}[subtitle={Polynôme de degré 2}]
|
||||
|
||||
Développer les expressions suivantes pour vérifier que ce sont des polynômes de degré 2. Vous préciserez les valeurs de $a$, $b$ et $c$.
|
||||
\begin{multicols}{2}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item $f(x) = (10x + 7)(4x + 7)$
|
||||
\item $g(x) = (- 5x - 3)^{2}$
|
||||
\item $h(x) = - 4 + x(- 2x + 2)$
|
||||
\item $i(x) = 3x^{2} + x(- 4x - 9)$
|
||||
\item $j(x) = - 5(x + 3)(x - 10)$
|
||||
\item $k(x) = 8(x - 2)(x - 6)$
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{multicols}
|
||||
\end{exercise}
|
||||
|
||||
\begin{solution}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item
|
||||
\begin{align*}
|
||||
f(x) &= (10x + 7)(4x + 7)\\&= 10x \times 4x + 10x \times 7 + 7 \times 4x + 7 \times 7\\&= 10 \times 4 \times x^{1 + 1} + 7 \times 10 \times x + 7 \times 4 \times x + 49\\&= 70x + 28x + 40x^{2} + 49\\&= (70 + 28) \times x + 40x^{2} + 49\\&= 40x^{2} + 98x + 49
|
||||
\end{align*}
|
||||
C'est un polynôme de degré 2 avec $a = 40$, $b = 98$ et $c = 49$.
|
||||
\item
|
||||
\begin{align*}
|
||||
g(x) &= (- 5x - 3)^{2}\\&= (- 5x - 3)(- 5x - 3)\\&= - 5x \times - 5x - 5x(- 3) - 3 \times - 5x - 3(- 3)\\&= - 5(- 5) \times x^{1 + 1} - 3(- 5) \times x - 3(- 5) \times x + 9\\&= 15x + 15x + 25x^{2} + 9\\&= (15 + 15) \times x + 25x^{2} + 9\\&= 25x^{2} + 30x + 9
|
||||
\end{align*}
|
||||
C'est un polynôme de degré 2 avec $a = 25$, $b = 30$ et $c = 9$.
|
||||
\item
|
||||
\begin{align*}
|
||||
h(x) &= - 4 + x(- 2x + 2)\\&= - 4 + x \times - 2x + x \times 2\\&= - 2x^{2} + 2x - 4
|
||||
\end{align*}
|
||||
C'est un polynôme de degré 2 avec $a = - 2$, $b = 2$ et $c = - 4$.
|
||||
\item
|
||||
\begin{align*}
|
||||
i(x) &= 3x^{2} + x(- 4x - 9)\\&= 3x^{2} + x \times - 4x + x(- 9)\\&= 3x^{2} - 4x^{2} - 9x\\&= 3x^{2} - 4x^{2} - 9x\\&= (3 - 4) \times x^{2} - 9x\\&= - x^{2} - 9x
|
||||
\end{align*}
|
||||
C'est un polynôme de degré 2 avec $a = - 1$, $b = - 9$ et $c = 0$.
|
||||
\item
|
||||
\begin{align*}
|
||||
j(x) &= - 5(x + 3)(x - 10)\\&= (- 5x - 5 \times 3)(x - 10)\\&= (- 5x - 15)(x - 10)\\&= - 5x \times x - 5x(- 10) - 15x - 15(- 10)\\&= - 10(- 5) \times x + 150 - 5x^{2} - 15x\\&= 50x + 150 - 5x^{2} - 15x\\&= - 5x^{2} + 50x - 15x + 150\\&= - 5x^{2} + (50 - 15) \times x + 150\\&= - 5x^{2} + 35x + 150
|
||||
\end{align*}
|
||||
C'est un polynôme de degré 2 avec $a = - 5$, $b = 35$ et $c = 150$.
|
||||
\item
|
||||
\begin{align*}
|
||||
k(x) &= 8(x - 2)(x - 6)\\&= (8x + 8(- 2))(x - 6)\\&= (8x - 16)(x - 6)\\&= 8x \times x + 8x(- 6) - 16x - 16(- 6)\\&= - 6 \times 8 \times x + 96 + 8x^{2} - 16x\\&= - 48x + 96 + 8x^{2} - 16x\\&= 8x^{2} - 48x - 16x + 96\\&= 8x^{2} + (- 48 - 16) \times x + 96\\&= 8x^{2} - 64x + 96
|
||||
\end{align*}
|
||||
C'est un polynôme de degré 2 avec $a = 8$, $b = - 64$ et $c = 96$.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{solution}
|
||||
|
||||
|
||||
\begin{exercise}[subtitle={Étude de fonctions}]
|
||||
Soit $f(x) = 6x^{2} - 36x + 48$ une fonction définie sur $\R$.
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Calculer les valeurs suivantes
|
||||
\[
|
||||
f(1) \qquad f(-2)
|
||||
\]
|
||||
\item Dériver la fonction $f$
|
||||
\item Étudier le signe de $f'$ puis en déduire les variations de $f$.
|
||||
\item Est-ce que $f$ admet un maximum? un minimum? Calculer sa valeur.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{exercise}
|
||||
|
||||
\begin{solution}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item On remplace $x$ par les valeurs demandées
|
||||
\[
|
||||
f(1) = 6 \times 1^{2} - 36 \times 1 + 48=6 \times 1 - 36 + 48=6 + 12=18
|
||||
\]
|
||||
\[
|
||||
f(-1) = 6 \times - 1^{2} - 36(- 1) + 48=6 \times 1 + 36 + 48=6 + 84=90
|
||||
\]
|
||||
\item Dérivation
|
||||
\[
|
||||
f'(x) = 12x - 36
|
||||
\]
|
||||
|
||||
\item Pas de solutions automatiques.
|
||||
\item Pas de solutions automatiques.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{solution}
|
||||
|
||||
\begin{exercise}[subtitle={Enclos}]
|
||||
Dans son garage, Jean a trouvé 27m de grillage. \\
|
||||
Il décide de l'utiliser pour faire un enclos rectangulaire. Afin d'obtenir un enclos encore plus grand, il veut utiliser le mur du jardin qui formera un côté. Le grillage formera les 3 autres.
|
||||
|
||||
\begin{center}
|
||||
\includegraphics[scale=0.8]{./fig/enclos}
|
||||
\end{center}
|
||||
|
||||
Comment placer les poteaux pour avoir un enclos le plus grand possible ?
|
||||
|
||||
\textit{Cet exercice est un exercice de recherche. Vous êtes invité à utiliser les outils que vous voulez. Une part importante de la note sera dédiée à la rédaction et aux explications de ce que vous faites. Vous êtes encouragé à faire des schémas.}
|
||||
|
||||
\textit{Si vous utilisez le tableur, vous devrez le mentionner et m'envoyer le tableur à l'adresse \url{benjamin.bertrand@ac-lyon.fr}}
|
||||
|
||||
\end{exercise}
|
||||
|
||||
\begin{solution}
|
||||
Formule de l'aire (en notant $x$ la longueur du côté de l'enclos à côté du mur)
|
||||
\[
|
||||
A(x) = x(27 - 2x) = - 2x^{2} + 27x
|
||||
\]
|
||||
On va donc étudier les variations de la fonction $A(x) = - 2x^{2} + 27x$
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item Fonction dérivée : $A'(x) = - 4x + 27$
|
||||
\item On résout l'inéquation $A'(x) \geq 0$ pour déterminer quand la fonction $A'$ est positive.
|
||||
\begin{align*}
|
||||
A(x) & \geq 0 \\
|
||||
- 4x + 27 & \geq 0 \\
|
||||
- 4x + 27 + - 27 &\geq 0 + - 27 \\
|
||||
- 4x &\geq - 27 \\
|
||||
\frac{- 4x}{- 4} &\leq \frac{- 27}{- 4} \\
|
||||
x &\leq \dfrac{27}{4} \\
|
||||
\end{align*}
|
||||
Donc $A(x)$ est positif quand $x$ est plus \textbf{petit} que $\dfrac{27}{4}$
|
||||
\item
|
||||
\begin{center}
|
||||
\begin{tikzpicture}
|
||||
\tkzTabInit[lgt=3,espcl=4]{$x$/1,Signe de $f'(x)$/2, Variations de $f(x)$/2}{, $\dfrac{27}{4}$ ,}%
|
||||
\tkzTabLine{, +, z, -, }
|
||||
\tkzTabVar{-/ ,+/$f(\dfrac{27}{4}) = \dfrac{1458}{16}$ , -/}%
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\end{center}
|
||||
\end{itemize}
|
||||
Pour avoir le plus grand enclos, il faut placer les poteaux à 6m du mur et on aura alors un enclos de $72m^2$.
|
||||
|
||||
\end{solution}
|
||||
\end{document}
|
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|
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%%% Local Variables:
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%%% mode: latex
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%%% TeX-master: "master"
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%%% End:
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Binary file not shown.
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@ -0,0 +1,158 @@
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|||
\documentclass[a4paper,12pt]{article}
|
||||
\usepackage{myXsim}
|
||||
\usepackage{pgfplots}
|
||||
\usetikzlibrary{decorations.markings}
|
||||
\pgfplotsset{compat=1.18}
|
||||
|
||||
\title{ DM1 \hfill NAKIR SAILAH Mohamed}
|
||||
\tribe{1ST}
|
||||
\date{A rendre pour le lundi 27 mars 2023}
|
||||
\duree{}
|
||||
|
||||
\xsimsetup{
|
||||
solution/print = true
|
||||
}
|
||||
|
||||
|
||||
\pagestyle{empty}
|
||||
|
||||
\begin{document}
|
||||
\maketitle
|
||||
|
||||
Le barème est donné à titre indicatif, il pourra être modifié.
|
||||
|
||||
\begin{exercise}[subtitle={Polynôme de degré 2}]
|
||||
|
||||
Développer les expressions suivantes pour vérifier que ce sont des polynômes de degré 2. Vous préciserez les valeurs de $a$, $b$ et $c$.
|
||||
\begin{multicols}{2}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item $f(x) = (- 9x + 2)(- 6x + 2)$
|
||||
\item $g(x) = (8x + 2)^{2}$
|
||||
\item $h(x) = 2 + x(- 3x + 5)$
|
||||
\item $i(x) = 8x^{2} + x(5x + 8)$
|
||||
\item $j(x) = 10(x + 7)(x - 10)$
|
||||
\item $k(x) = - 4(x - 7)(x + 5)$
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{multicols}
|
||||
\end{exercise}
|
||||
|
||||
\begin{solution}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item
|
||||
\begin{align*}
|
||||
f(x) &= (- 9x + 2)(- 6x + 2)\\&= - 9x \times - 6x - 9x \times 2 + 2 \times - 6x + 2 \times 2\\&= - 9(- 6) \times x^{1 + 1} + 2(- 9) \times x + 2(- 6) \times x + 4\\&= - 18x - 12x + 54x^{2} + 4\\&= (- 18 - 12) \times x + 54x^{2} + 4\\&= 54x^{2} - 30x + 4
|
||||
\end{align*}
|
||||
C'est un polynôme de degré 2 avec $a = 54$, $b = - 30$ et $c = 4$.
|
||||
\item
|
||||
\begin{align*}
|
||||
g(x) &= (8x + 2)^{2}\\&= (8x + 2)(8x + 2)\\&= 8x \times 8x + 8x \times 2 + 2 \times 8x + 2 \times 2\\&= 8 \times 8 \times x^{1 + 1} + 2 \times 8 \times x + 2 \times 8 \times x + 4\\&= 16x + 16x + 64x^{2} + 4\\&= (16 + 16) \times x + 64x^{2} + 4\\&= 64x^{2} + 32x + 4
|
||||
\end{align*}
|
||||
C'est un polynôme de degré 2 avec $a = 64$, $b = 32$ et $c = 4$.
|
||||
\item
|
||||
\begin{align*}
|
||||
h(x) &= 2 + x(- 3x + 5)\\&= 2 + x \times - 3x + x \times 5\\&= - 3x^{2} + 5x + 2
|
||||
\end{align*}
|
||||
C'est un polynôme de degré 2 avec $a = - 3$, $b = 5$ et $c = 2$.
|
||||
\item
|
||||
\begin{align*}
|
||||
i(x) &= 8x^{2} + x(5x + 8)\\&= 8x^{2} + x \times 5x + x \times 8\\&= 8x^{2} + 5x^{2} + 8x\\&= 8x^{2} + 5x^{2} + 8x\\&= (8 + 5) \times x^{2} + 8x\\&= 13x^{2} + 8x
|
||||
\end{align*}
|
||||
C'est un polynôme de degré 2 avec $a = 13$, $b = 8$ et $c = 0$.
|
||||
\item
|
||||
\begin{align*}
|
||||
j(x) &= 10(x + 7)(x - 10)\\&= (10x + 10 \times 7)(x - 10)\\&= (10x + 70)(x - 10)\\&= 10x \times x + 10x(- 10) + 70x + 70(- 10)\\&= - 10 \times 10 \times x - 700 + 10x^{2} + 70x\\&= - 100x - 700 + 10x^{2} + 70x\\&= 10x^{2} - 100x + 70x - 700\\&= 10x^{2} + (- 100 + 70) \times x - 700\\&= 10x^{2} - 30x - 700
|
||||
\end{align*}
|
||||
C'est un polynôme de degré 2 avec $a = 10$, $b = - 30$ et $c = - 700$.
|
||||
\item
|
||||
\begin{align*}
|
||||
k(x) &= - 4(x - 7)(x + 5)\\&= (- 4x - 4(- 7))(x + 5)\\&= (- 4x + 28)(x + 5)\\&= - 4x \times x - 4x \times 5 + 28x + 28 \times 5\\&= 5(- 4) \times x + 140 - 4x^{2} + 28x\\&= - 20x + 140 - 4x^{2} + 28x\\&= - 4x^{2} - 20x + 28x + 140\\&= - 4x^{2} + (- 20 + 28) \times x + 140\\&= - 4x^{2} + 8x + 140
|
||||
\end{align*}
|
||||
C'est un polynôme de degré 2 avec $a = - 4$, $b = 8$ et $c = 140$.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{solution}
|
||||
|
||||
|
||||
\begin{exercise}[subtitle={Étude de fonctions}]
|
||||
Soit $f(x) = 2x^{2} - 28x + 80$ une fonction définie sur $\R$.
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Calculer les valeurs suivantes
|
||||
\[
|
||||
f(1) \qquad f(-2)
|
||||
\]
|
||||
\item Dériver la fonction $f$
|
||||
\item Étudier le signe de $f'$ puis en déduire les variations de $f$.
|
||||
\item Est-ce que $f$ admet un maximum? un minimum? Calculer sa valeur.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{exercise}
|
||||
|
||||
\begin{solution}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item On remplace $x$ par les valeurs demandées
|
||||
\[
|
||||
f(1) = 2 \times 1^{2} - 28 \times 1 + 80=2 \times 1 - 28 + 80=2 + 52=54
|
||||
\]
|
||||
\[
|
||||
f(-1) = 2 \times - 1^{2} - 28(- 1) + 80=2 \times 1 + 28 + 80=2 + 108=110
|
||||
\]
|
||||
\item Dérivation
|
||||
\[
|
||||
f'(x) = 4x - 28
|
||||
\]
|
||||
|
||||
\item Pas de solutions automatiques.
|
||||
\item Pas de solutions automatiques.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{solution}
|
||||
|
||||
\begin{exercise}[subtitle={Enclos}]
|
||||
Dans son garage, Jean a trouvé 29m de grillage. \\
|
||||
Il décide de l'utiliser pour faire un enclos rectangulaire. Afin d'obtenir un enclos encore plus grand, il veut utiliser le mur du jardin qui formera un côté. Le grillage formera les 3 autres.
|
||||
|
||||
\begin{center}
|
||||
\includegraphics[scale=0.8]{./fig/enclos}
|
||||
\end{center}
|
||||
|
||||
Comment placer les poteaux pour avoir un enclos le plus grand possible ?
|
||||
|
||||
\textit{Cet exercice est un exercice de recherche. Vous êtes invité à utiliser les outils que vous voulez. Une part importante de la note sera dédiée à la rédaction et aux explications de ce que vous faites. Vous êtes encouragé à faire des schémas.}
|
||||
|
||||
\textit{Si vous utilisez le tableur, vous devrez le mentionner et m'envoyer le tableur à l'adresse \url{benjamin.bertrand@ac-lyon.fr}}
|
||||
|
||||
\end{exercise}
|
||||
|
||||
\begin{solution}
|
||||
Formule de l'aire (en notant $x$ la longueur du côté de l'enclos à côté du mur)
|
||||
\[
|
||||
A(x) = x(29 - 2x) = - 2x^{2} + 29x
|
||||
\]
|
||||
On va donc étudier les variations de la fonction $A(x) = - 2x^{2} + 29x$
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item Fonction dérivée : $A'(x) = - 4x + 29$
|
||||
\item On résout l'inéquation $A'(x) \geq 0$ pour déterminer quand la fonction $A'$ est positive.
|
||||
\begin{align*}
|
||||
A(x) & \geq 0 \\
|
||||
- 4x + 29 & \geq 0 \\
|
||||
- 4x + 29 + - 29 &\geq 0 + - 29 \\
|
||||
- 4x &\geq - 29 \\
|
||||
\frac{- 4x}{- 4} &\leq \frac{- 29}{- 4} \\
|
||||
x &\leq \dfrac{29}{4} \\
|
||||
\end{align*}
|
||||
Donc $A(x)$ est positif quand $x$ est plus \textbf{petit} que $\dfrac{29}{4}$
|
||||
\item
|
||||
\begin{center}
|
||||
\begin{tikzpicture}
|
||||
\tkzTabInit[lgt=3,espcl=4]{$x$/1,Signe de $f'(x)$/2, Variations de $f(x)$/2}{, $\dfrac{29}{4}$ ,}%
|
||||
\tkzTabLine{, +, z, -, }
|
||||
\tkzTabVar{-/ ,+/$f(\dfrac{29}{4}) = \dfrac{1682}{16}$ , -/}%
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\end{center}
|
||||
\end{itemize}
|
||||
Pour avoir le plus grand enclos, il faut placer les poteaux à 6m du mur et on aura alors un enclos de $72m^2$.
|
||||
|
||||
\end{solution}
|
||||
\end{document}
|
||||
|
||||
%%% Local Variables:
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%%% mode: latex
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%%% TeX-master: "master"
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%%% End:
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Binary file not shown.
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@ -0,0 +1,158 @@
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|||
\documentclass[a4paper,12pt]{article}
|
||||
\usepackage{myXsim}
|
||||
\usepackage{pgfplots}
|
||||
\usetikzlibrary{decorations.markings}
|
||||
\pgfplotsset{compat=1.18}
|
||||
|
||||
\title{ DM1 \hfill NEIVA Diego}
|
||||
\tribe{1ST}
|
||||
\date{A rendre pour le lundi 27 mars 2023}
|
||||
\duree{}
|
||||
|
||||
\xsimsetup{
|
||||
solution/print = true
|
||||
}
|
||||
|
||||
|
||||
\pagestyle{empty}
|
||||
|
||||
\begin{document}
|
||||
\maketitle
|
||||
|
||||
Le barème est donné à titre indicatif, il pourra être modifié.
|
||||
|
||||
\begin{exercise}[subtitle={Polynôme de degré 2}]
|
||||
|
||||
Développer les expressions suivantes pour vérifier que ce sont des polynômes de degré 2. Vous préciserez les valeurs de $a$, $b$ et $c$.
|
||||
\begin{multicols}{2}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item $f(x) = (10x + 6)(5x + 6)$
|
||||
\item $g(x) = (- 3x - 8)^{2}$
|
||||
\item $h(x) = 5 + x(6x + 10)$
|
||||
\item $i(x) = 2x^{2} + x(3x + 3)$
|
||||
\item $j(x) = 10(x - 2)(x + 8)$
|
||||
\item $k(x) = - 8(x - 1)(x - 9)$
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{multicols}
|
||||
\end{exercise}
|
||||
|
||||
\begin{solution}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item
|
||||
\begin{align*}
|
||||
f(x) &= (10x + 6)(5x + 6)\\&= 10x \times 5x + 10x \times 6 + 6 \times 5x + 6 \times 6\\&= 10 \times 5 \times x^{1 + 1} + 6 \times 10 \times x + 6 \times 5 \times x + 36\\&= 60x + 30x + 50x^{2} + 36\\&= (60 + 30) \times x + 50x^{2} + 36\\&= 50x^{2} + 90x + 36
|
||||
\end{align*}
|
||||
C'est un polynôme de degré 2 avec $a = 50$, $b = 90$ et $c = 36$.
|
||||
\item
|
||||
\begin{align*}
|
||||
g(x) &= (- 3x - 8)^{2}\\&= (- 3x - 8)(- 3x - 8)\\&= - 3x \times - 3x - 3x(- 8) - 8 \times - 3x - 8(- 8)\\&= - 3(- 3) \times x^{1 + 1} - 8(- 3) \times x - 8(- 3) \times x + 64\\&= 24x + 24x + 9x^{2} + 64\\&= (24 + 24) \times x + 9x^{2} + 64\\&= 9x^{2} + 48x + 64
|
||||
\end{align*}
|
||||
C'est un polynôme de degré 2 avec $a = 9$, $b = 48$ et $c = 64$.
|
||||
\item
|
||||
\begin{align*}
|
||||
h(x) &= 5 + x(6x + 10)\\&= 5 + x \times 6x + x \times 10\\&= 6x^{2} + 10x + 5
|
||||
\end{align*}
|
||||
C'est un polynôme de degré 2 avec $a = 6$, $b = 10$ et $c = 5$.
|
||||
\item
|
||||
\begin{align*}
|
||||
i(x) &= 2x^{2} + x(3x + 3)\\&= 2x^{2} + x \times 3x + x \times 3\\&= 2x^{2} + 3x^{2} + 3x\\&= 2x^{2} + 3x^{2} + 3x\\&= (2 + 3) \times x^{2} + 3x\\&= 5x^{2} + 3x
|
||||
\end{align*}
|
||||
C'est un polynôme de degré 2 avec $a = 5$, $b = 3$ et $c = 0$.
|
||||
\item
|
||||
\begin{align*}
|
||||
j(x) &= 10(x - 2)(x + 8)\\&= (10x + 10(- 2))(x + 8)\\&= (10x - 20)(x + 8)\\&= 10x \times x + 10x \times 8 - 20x - 20 \times 8\\&= 8 \times 10 \times x - 160 + 10x^{2} - 20x\\&= 80x - 160 + 10x^{2} - 20x\\&= 10x^{2} + 80x - 20x - 160\\&= 10x^{2} + (80 - 20) \times x - 160\\&= 10x^{2} + 60x - 160
|
||||
\end{align*}
|
||||
C'est un polynôme de degré 2 avec $a = 10$, $b = 60$ et $c = - 160$.
|
||||
\item
|
||||
\begin{align*}
|
||||
k(x) &= - 8(x - 1)(x - 9)\\&= (- 8x - 8(- 1))(x - 9)\\&= (- 8x + 8)(x - 9)\\&= - 8x \times x - 8x(- 9) + 8x + 8(- 9)\\&= - 9(- 8) \times x - 72 - 8x^{2} + 8x\\&= 72x - 72 - 8x^{2} + 8x\\&= - 8x^{2} + 72x + 8x - 72\\&= - 8x^{2} + (72 + 8) \times x - 72\\&= - 8x^{2} + 80x - 72
|
||||
\end{align*}
|
||||
C'est un polynôme de degré 2 avec $a = - 8$, $b = 80$ et $c = - 72$.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{solution}
|
||||
|
||||
|
||||
\begin{exercise}[subtitle={Étude de fonctions}]
|
||||
Soit $f(x) = - 4x^{2} - 8x + 60$ une fonction définie sur $\R$.
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Calculer les valeurs suivantes
|
||||
\[
|
||||
f(1) \qquad f(-2)
|
||||
\]
|
||||
\item Dériver la fonction $f$
|
||||
\item Étudier le signe de $f'$ puis en déduire les variations de $f$.
|
||||
\item Est-ce que $f$ admet un maximum? un minimum? Calculer sa valeur.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{exercise}
|
||||
|
||||
\begin{solution}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item On remplace $x$ par les valeurs demandées
|
||||
\[
|
||||
f(1) = - 4 \times 1^{2} - 8 \times 1 + 60=- 4 \times 1 - 8 + 60=- 4 + 52=48
|
||||
\]
|
||||
\[
|
||||
f(-1) = - 4 \times - 1^{2} - 8(- 1) + 60=- 4 \times 1 + 8 + 60=- 4 + 68=64
|
||||
\]
|
||||
\item Dérivation
|
||||
\[
|
||||
f'(x) = - 8x - 8
|
||||
\]
|
||||
|
||||
\item Pas de solutions automatiques.
|
||||
\item Pas de solutions automatiques.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{solution}
|
||||
|
||||
\begin{exercise}[subtitle={Enclos}]
|
||||
Dans son garage, Jean a trouvé 35m de grillage. \\
|
||||
Il décide de l'utiliser pour faire un enclos rectangulaire. Afin d'obtenir un enclos encore plus grand, il veut utiliser le mur du jardin qui formera un côté. Le grillage formera les 3 autres.
|
||||
|
||||
\begin{center}
|
||||
\includegraphics[scale=0.8]{./fig/enclos}
|
||||
\end{center}
|
||||
|
||||
Comment placer les poteaux pour avoir un enclos le plus grand possible ?
|
||||
|
||||
\textit{Cet exercice est un exercice de recherche. Vous êtes invité à utiliser les outils que vous voulez. Une part importante de la note sera dédiée à la rédaction et aux explications de ce que vous faites. Vous êtes encouragé à faire des schémas.}
|
||||
|
||||
\textit{Si vous utilisez le tableur, vous devrez le mentionner et m'envoyer le tableur à l'adresse \url{benjamin.bertrand@ac-lyon.fr}}
|
||||
|
||||
\end{exercise}
|
||||
|
||||
\begin{solution}
|
||||
Formule de l'aire (en notant $x$ la longueur du côté de l'enclos à côté du mur)
|
||||
\[
|
||||
A(x) = x(35 - 2x) = - 2x^{2} + 35x
|
||||
\]
|
||||
On va donc étudier les variations de la fonction $A(x) = - 2x^{2} + 35x$
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item Fonction dérivée : $A'(x) = - 4x + 35$
|
||||
\item On résout l'inéquation $A'(x) \geq 0$ pour déterminer quand la fonction $A'$ est positive.
|
||||
\begin{align*}
|
||||
A(x) & \geq 0 \\
|
||||
- 4x + 35 & \geq 0 \\
|
||||
- 4x + 35 + - 35 &\geq 0 + - 35 \\
|
||||
- 4x &\geq - 35 \\
|
||||
\frac{- 4x}{- 4} &\leq \frac{- 35}{- 4} \\
|
||||
x &\leq \dfrac{35}{4} \\
|
||||
\end{align*}
|
||||
Donc $A(x)$ est positif quand $x$ est plus \textbf{petit} que $\dfrac{35}{4}$
|
||||
\item
|
||||
\begin{center}
|
||||
\begin{tikzpicture}
|
||||
\tkzTabInit[lgt=3,espcl=4]{$x$/1,Signe de $f'(x)$/2, Variations de $f(x)$/2}{, $\dfrac{35}{4}$ ,}%
|
||||
\tkzTabLine{, +, z, -, }
|
||||
\tkzTabVar{-/ ,+/$f(\dfrac{35}{4}) = \dfrac{2450}{16}$ , -/}%
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\end{center}
|
||||
\end{itemize}
|
||||
Pour avoir le plus grand enclos, il faut placer les poteaux à 6m du mur et on aura alors un enclos de $72m^2$.
|
||||
|
||||
\end{solution}
|
||||
\end{document}
|
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|
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%%% Local Variables:
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%%% mode: latex
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%%% TeX-master: "master"
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%%% End:
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Binary file not shown.
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@ -0,0 +1,158 @@
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|||
\documentclass[a4paper,12pt]{article}
|
||||
\usepackage{myXsim}
|
||||
\usepackage{pgfplots}
|
||||
\usetikzlibrary{decorations.markings}
|
||||
\pgfplotsset{compat=1.18}
|
||||
|
||||
\title{ DM1 \hfill SAADI Yazid}
|
||||
\tribe{1ST}
|
||||
\date{A rendre pour le lundi 27 mars 2023}
|
||||
\duree{}
|
||||
|
||||
\xsimsetup{
|
||||
solution/print = true
|
||||
}
|
||||
|
||||
|
||||
\pagestyle{empty}
|
||||
|
||||
\begin{document}
|
||||
\maketitle
|
||||
|
||||
Le barème est donné à titre indicatif, il pourra être modifié.
|
||||
|
||||
\begin{exercise}[subtitle={Polynôme de degré 2}]
|
||||
|
||||
Développer les expressions suivantes pour vérifier que ce sont des polynômes de degré 2. Vous préciserez les valeurs de $a$, $b$ et $c$.
|
||||
\begin{multicols}{2}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item $f(x) = (- 8x - 2)(- 6x - 2)$
|
||||
\item $g(x) = (7x + 8)^{2}$
|
||||
\item $h(x) = - 7 + x(- 1x - 10)$
|
||||
\item $i(x) = 2x^{2} + x(6x + 6)$
|
||||
\item $j(x) = - 9(x - 9)(x + 10)$
|
||||
\item $k(x) = 4(x - 9)(x - 8)$
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{multicols}
|
||||
\end{exercise}
|
||||
|
||||
\begin{solution}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item
|
||||
\begin{align*}
|
||||
f(x) &= (- 8x - 2)(- 6x - 2)\\&= - 8x \times - 6x - 8x(- 2) - 2 \times - 6x - 2(- 2)\\&= - 8(- 6) \times x^{1 + 1} - 2(- 8) \times x - 2(- 6) \times x + 4\\&= 16x + 12x + 48x^{2} + 4\\&= (16 + 12) \times x + 48x^{2} + 4\\&= 48x^{2} + 28x + 4
|
||||
\end{align*}
|
||||
C'est un polynôme de degré 2 avec $a = 48$, $b = 28$ et $c = 4$.
|
||||
\item
|
||||
\begin{align*}
|
||||
g(x) &= (7x + 8)^{2}\\&= (7x + 8)(7x + 8)\\&= 7x \times 7x + 7x \times 8 + 8 \times 7x + 8 \times 8\\&= 7 \times 7 \times x^{1 + 1} + 8 \times 7 \times x + 8 \times 7 \times x + 64\\&= 56x + 56x + 49x^{2} + 64\\&= (56 + 56) \times x + 49x^{2} + 64\\&= 49x^{2} + 112x + 64
|
||||
\end{align*}
|
||||
C'est un polynôme de degré 2 avec $a = 49$, $b = 112$ et $c = 64$.
|
||||
\item
|
||||
\begin{align*}
|
||||
h(x) &= - 7 + x(- 1x - 10)\\&= - 7 + x(- x) + x(- 10)\\&= - x^{2} - 10x - 7
|
||||
\end{align*}
|
||||
C'est un polynôme de degré 2 avec $a = - 1$, $b = - 10$ et $c = - 7$.
|
||||
\item
|
||||
\begin{align*}
|
||||
i(x) &= 2x^{2} + x(6x + 6)\\&= 2x^{2} + x \times 6x + x \times 6\\&= 2x^{2} + 6x^{2} + 6x\\&= 2x^{2} + 6x^{2} + 6x\\&= (2 + 6) \times x^{2} + 6x\\&= 8x^{2} + 6x
|
||||
\end{align*}
|
||||
C'est un polynôme de degré 2 avec $a = 8$, $b = 6$ et $c = 0$.
|
||||
\item
|
||||
\begin{align*}
|
||||
j(x) &= - 9(x - 9)(x + 10)\\&= (- 9x - 9(- 9))(x + 10)\\&= (- 9x + 81)(x + 10)\\&= - 9x \times x - 9x \times 10 + 81x + 81 \times 10\\&= 10(- 9) \times x + 810 - 9x^{2} + 81x\\&= - 90x + 810 - 9x^{2} + 81x\\&= - 9x^{2} - 90x + 81x + 810\\&= - 9x^{2} + (- 90 + 81) \times x + 810\\&= - 9x^{2} - 9x + 810
|
||||
\end{align*}
|
||||
C'est un polynôme de degré 2 avec $a = - 9$, $b = - 9$ et $c = 810$.
|
||||
\item
|
||||
\begin{align*}
|
||||
k(x) &= 4(x - 9)(x - 8)\\&= (4x + 4(- 9))(x - 8)\\&= (4x - 36)(x - 8)\\&= 4x \times x + 4x(- 8) - 36x - 36(- 8)\\&= - 8 \times 4 \times x + 288 + 4x^{2} - 36x\\&= - 32x + 288 + 4x^{2} - 36x\\&= 4x^{2} - 32x - 36x + 288\\&= 4x^{2} + (- 32 - 36) \times x + 288\\&= 4x^{2} - 68x + 288
|
||||
\end{align*}
|
||||
C'est un polynôme de degré 2 avec $a = 4$, $b = - 68$ et $c = 288$.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{solution}
|
||||
|
||||
|
||||
\begin{exercise}[subtitle={Étude de fonctions}]
|
||||
Soit $f(x) = 3x^{2} - 39x + 90$ une fonction définie sur $\R$.
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Calculer les valeurs suivantes
|
||||
\[
|
||||
f(1) \qquad f(-2)
|
||||
\]
|
||||
\item Dériver la fonction $f$
|
||||
\item Étudier le signe de $f'$ puis en déduire les variations de $f$.
|
||||
\item Est-ce que $f$ admet un maximum? un minimum? Calculer sa valeur.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{exercise}
|
||||
|
||||
\begin{solution}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item On remplace $x$ par les valeurs demandées
|
||||
\[
|
||||
f(1) = 3 \times 1^{2} - 39 \times 1 + 90=3 \times 1 - 39 + 90=3 + 51=54
|
||||
\]
|
||||
\[
|
||||
f(-1) = 3 \times - 1^{2} - 39(- 1) + 90=3 \times 1 + 39 + 90=3 + 129=132
|
||||
\]
|
||||
\item Dérivation
|
||||
\[
|
||||
f'(x) = 6x - 39
|
||||
\]
|
||||
|
||||
\item Pas de solutions automatiques.
|
||||
\item Pas de solutions automatiques.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{solution}
|
||||
|
||||
\begin{exercise}[subtitle={Enclos}]
|
||||
Dans son garage, Jean a trouvé 20m de grillage. \\
|
||||
Il décide de l'utiliser pour faire un enclos rectangulaire. Afin d'obtenir un enclos encore plus grand, il veut utiliser le mur du jardin qui formera un côté. Le grillage formera les 3 autres.
|
||||
|
||||
\begin{center}
|
||||
\includegraphics[scale=0.8]{./fig/enclos}
|
||||
\end{center}
|
||||
|
||||
Comment placer les poteaux pour avoir un enclos le plus grand possible ?
|
||||
|
||||
\textit{Cet exercice est un exercice de recherche. Vous êtes invité à utiliser les outils que vous voulez. Une part importante de la note sera dédiée à la rédaction et aux explications de ce que vous faites. Vous êtes encouragé à faire des schémas.}
|
||||
|
||||
\textit{Si vous utilisez le tableur, vous devrez le mentionner et m'envoyer le tableur à l'adresse \url{benjamin.bertrand@ac-lyon.fr}}
|
||||
|
||||
\end{exercise}
|
||||
|
||||
\begin{solution}
|
||||
Formule de l'aire (en notant $x$ la longueur du côté de l'enclos à côté du mur)
|
||||
\[
|
||||
A(x) = x(20 - 2x) = - 2x^{2} + 20x
|
||||
\]
|
||||
On va donc étudier les variations de la fonction $A(x) = - 2x^{2} + 20x$
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item Fonction dérivée : $A'(x) = - 4x + 20$
|
||||
\item On résout l'inéquation $A'(x) \geq 0$ pour déterminer quand la fonction $A'$ est positive.
|
||||
\begin{align*}
|
||||
A(x) & \geq 0 \\
|
||||
- 4x + 20 & \geq 0 \\
|
||||
- 4x + 20 + - 20 &\geq 0 + - 20 \\
|
||||
- 4x &\geq - 20 \\
|
||||
\frac{- 4x}{- 4} &\leq \frac{- 20}{- 4} \\
|
||||
x &\leq 5 \\
|
||||
\end{align*}
|
||||
Donc $A(x)$ est positif quand $x$ est plus \textbf{petit} que $5$
|
||||
\item
|
||||
\begin{center}
|
||||
\begin{tikzpicture}
|
||||
\tkzTabInit[lgt=3,espcl=4]{$x$/1,Signe de $f'(x)$/2, Variations de $f(x)$/2}{, $5$ ,}%
|
||||
\tkzTabLine{, +, z, -, }
|
||||
\tkzTabVar{-/ ,+/$f(5) = 50$ , -/}%
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\end{center}
|
||||
\end{itemize}
|
||||
Pour avoir le plus grand enclos, il faut placer les poteaux à 6m du mur et on aura alors un enclos de $72m^2$.
|
||||
|
||||
\end{solution}
|
||||
\end{document}
|
||||
|
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%%% Local Variables:
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%%% mode: latex
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%%% TeX-master: "master"
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%%% End:
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Binary file not shown.
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@ -0,0 +1,158 @@
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|||
\documentclass[a4paper,12pt]{article}
|
||||
\usepackage{myXsim}
|
||||
\usepackage{pgfplots}
|
||||
\usetikzlibrary{decorations.markings}
|
||||
\pgfplotsset{compat=1.18}
|
||||
|
||||
\title{ DM1 \hfill SCOPELLITI Martina}
|
||||
\tribe{1ST}
|
||||
\date{A rendre pour le lundi 27 mars 2023}
|
||||
\duree{}
|
||||
|
||||
\xsimsetup{
|
||||
solution/print = true
|
||||
}
|
||||
|
||||
|
||||
\pagestyle{empty}
|
||||
|
||||
\begin{document}
|
||||
\maketitle
|
||||
|
||||
Le barème est donné à titre indicatif, il pourra être modifié.
|
||||
|
||||
\begin{exercise}[subtitle={Polynôme de degré 2}]
|
||||
|
||||
Développer les expressions suivantes pour vérifier que ce sont des polynômes de degré 2. Vous préciserez les valeurs de $a$, $b$ et $c$.
|
||||
\begin{multicols}{2}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item $f(x) = (- 1x - 10)(6x - 10)$
|
||||
\item $g(x) = (- 8x - 7)^{2}$
|
||||
\item $h(x) = - 2 + x(6x - 10)$
|
||||
\item $i(x) = 5x^{2} + x(- 4x + 9)$
|
||||
\item $j(x) = - 10(x + 7)(x + 3)$
|
||||
\item $k(x) = 4(x - 10)(x - 3)$
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{multicols}
|
||||
\end{exercise}
|
||||
|
||||
\begin{solution}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item
|
||||
\begin{align*}
|
||||
f(x) &= (- 1x - 10)(6x - 10)\\&= (- x) \times 6x + (- x)(- 10) - 10 \times 6x - 10(- 10)\\&= - 1 \times 6 \times x^{1 + 1} - 10(- 1) \times x - 10 \times 6 \times x + 100\\&= 10x - 60x - 6x^{2} + 100\\&= (10 - 60) \times x - 6x^{2} + 100\\&= - 6x^{2} - 50x + 100
|
||||
\end{align*}
|
||||
C'est un polynôme de degré 2 avec $a = - 6$, $b = - 50$ et $c = 100$.
|
||||
\item
|
||||
\begin{align*}
|
||||
g(x) &= (- 8x - 7)^{2}\\&= (- 8x - 7)(- 8x - 7)\\&= - 8x \times - 8x - 8x(- 7) - 7 \times - 8x - 7(- 7)\\&= - 8(- 8) \times x^{1 + 1} - 7(- 8) \times x - 7(- 8) \times x + 49\\&= 56x + 56x + 64x^{2} + 49\\&= (56 + 56) \times x + 64x^{2} + 49\\&= 64x^{2} + 112x + 49
|
||||
\end{align*}
|
||||
C'est un polynôme de degré 2 avec $a = 64$, $b = 112$ et $c = 49$.
|
||||
\item
|
||||
\begin{align*}
|
||||
h(x) &= - 2 + x(6x - 10)\\&= - 2 + x \times 6x + x(- 10)\\&= 6x^{2} - 10x - 2
|
||||
\end{align*}
|
||||
C'est un polynôme de degré 2 avec $a = 6$, $b = - 10$ et $c = - 2$.
|
||||
\item
|
||||
\begin{align*}
|
||||
i(x) &= 5x^{2} + x(- 4x + 9)\\&= 5x^{2} + x \times - 4x + x \times 9\\&= 5x^{2} - 4x^{2} + 9x\\&= 5x^{2} - 4x^{2} + 9x\\&= (5 - 4) \times x^{2} + 9x\\&= x^{2} + 9x
|
||||
\end{align*}
|
||||
C'est un polynôme de degré 2 avec $a = 1$, $b = 9$ et $c = 0$.
|
||||
\item
|
||||
\begin{align*}
|
||||
j(x) &= - 10(x + 7)(x + 3)\\&= (- 10x - 10 \times 7)(x + 3)\\&= (- 10x - 70)(x + 3)\\&= - 10x \times x - 10x \times 3 - 70x - 70 \times 3\\&= 3(- 10) \times x - 210 - 10x^{2} - 70x\\&= - 30x - 210 - 10x^{2} - 70x\\&= - 10x^{2} - 30x - 70x - 210\\&= - 10x^{2} + (- 30 - 70) \times x - 210\\&= - 10x^{2} - 100x - 210
|
||||
\end{align*}
|
||||
C'est un polynôme de degré 2 avec $a = - 10$, $b = - 100$ et $c = - 210$.
|
||||
\item
|
||||
\begin{align*}
|
||||
k(x) &= 4(x - 10)(x - 3)\\&= (4x + 4(- 10))(x - 3)\\&= (4x - 40)(x - 3)\\&= 4x \times x + 4x(- 3) - 40x - 40(- 3)\\&= - 3 \times 4 \times x + 120 + 4x^{2} - 40x\\&= - 12x + 120 + 4x^{2} - 40x\\&= 4x^{2} - 12x - 40x + 120\\&= 4x^{2} + (- 12 - 40) \times x + 120\\&= 4x^{2} - 52x + 120
|
||||
\end{align*}
|
||||
C'est un polynôme de degré 2 avec $a = 4$, $b = - 52$ et $c = 120$.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{solution}
|
||||
|
||||
|
||||
\begin{exercise}[subtitle={Étude de fonctions}]
|
||||
Soit $f(x) = - 9x^{2} - 153x - 630$ une fonction définie sur $\R$.
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Calculer les valeurs suivantes
|
||||
\[
|
||||
f(1) \qquad f(-2)
|
||||
\]
|
||||
\item Dériver la fonction $f$
|
||||
\item Étudier le signe de $f'$ puis en déduire les variations de $f$.
|
||||
\item Est-ce que $f$ admet un maximum? un minimum? Calculer sa valeur.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{exercise}
|
||||
|
||||
\begin{solution}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item On remplace $x$ par les valeurs demandées
|
||||
\[
|
||||
f(1) = - 9 \times 1^{2} - 153 \times 1 - 630=- 9 \times 1 - 153 - 630=- 9 - 783=- 792
|
||||
\]
|
||||
\[
|
||||
f(-1) = - 9 \times - 1^{2} - 153(- 1) - 630=- 9 \times 1 + 153 - 630=- 9 - 477=- 486
|
||||
\]
|
||||
\item Dérivation
|
||||
\[
|
||||
f'(x) = - 18x - 153
|
||||
\]
|
||||
|
||||
\item Pas de solutions automatiques.
|
||||
\item Pas de solutions automatiques.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{solution}
|
||||
|
||||
\begin{exercise}[subtitle={Enclos}]
|
||||
Dans son garage, Jean a trouvé 28m de grillage. \\
|
||||
Il décide de l'utiliser pour faire un enclos rectangulaire. Afin d'obtenir un enclos encore plus grand, il veut utiliser le mur du jardin qui formera un côté. Le grillage formera les 3 autres.
|
||||
|
||||
\begin{center}
|
||||
\includegraphics[scale=0.8]{./fig/enclos}
|
||||
\end{center}
|
||||
|
||||
Comment placer les poteaux pour avoir un enclos le plus grand possible ?
|
||||
|
||||
\textit{Cet exercice est un exercice de recherche. Vous êtes invité à utiliser les outils que vous voulez. Une part importante de la note sera dédiée à la rédaction et aux explications de ce que vous faites. Vous êtes encouragé à faire des schémas.}
|
||||
|
||||
\textit{Si vous utilisez le tableur, vous devrez le mentionner et m'envoyer le tableur à l'adresse \url{benjamin.bertrand@ac-lyon.fr}}
|
||||
|
||||
\end{exercise}
|
||||
|
||||
\begin{solution}
|
||||
Formule de l'aire (en notant $x$ la longueur du côté de l'enclos à côté du mur)
|
||||
\[
|
||||
A(x) = x(28 - 2x) = - 2x^{2} + 28x
|
||||
\]
|
||||
On va donc étudier les variations de la fonction $A(x) = - 2x^{2} + 28x$
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item Fonction dérivée : $A'(x) = - 4x + 28$
|
||||
\item On résout l'inéquation $A'(x) \geq 0$ pour déterminer quand la fonction $A'$ est positive.
|
||||
\begin{align*}
|
||||
A(x) & \geq 0 \\
|
||||
- 4x + 28 & \geq 0 \\
|
||||
- 4x + 28 + - 28 &\geq 0 + - 28 \\
|
||||
- 4x &\geq - 28 \\
|
||||
\frac{- 4x}{- 4} &\leq \frac{- 28}{- 4} \\
|
||||
x &\leq 7 \\
|
||||
\end{align*}
|
||||
Donc $A(x)$ est positif quand $x$ est plus \textbf{petit} que $7$
|
||||
\item
|
||||
\begin{center}
|
||||
\begin{tikzpicture}
|
||||
\tkzTabInit[lgt=3,espcl=4]{$x$/1,Signe de $f'(x)$/2, Variations de $f(x)$/2}{, $7$ ,}%
|
||||
\tkzTabLine{, +, z, -, }
|
||||
\tkzTabVar{-/ ,+/$f(7) = 98$ , -/}%
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\end{center}
|
||||
\end{itemize}
|
||||
Pour avoir le plus grand enclos, il faut placer les poteaux à 6m du mur et on aura alors un enclos de $72m^2$.
|
||||
|
||||
\end{solution}
|
||||
\end{document}
|
||||
|
||||
%%% Local Variables:
|
||||
%%% mode: latex
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%%% TeX-master: "master"
|
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%%% End:
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Binary file not shown.
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@ -0,0 +1,158 @@
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|||
\documentclass[a4paper,12pt]{article}
|
||||
\usepackage{myXsim}
|
||||
\usepackage{pgfplots}
|
||||
\usetikzlibrary{decorations.markings}
|
||||
\pgfplotsset{compat=1.18}
|
||||
|
||||
\title{ DM1 \hfill SORIANO Johan}
|
||||
\tribe{1ST}
|
||||
\date{A rendre pour le lundi 27 mars 2023}
|
||||
\duree{}
|
||||
|
||||
\xsimsetup{
|
||||
solution/print = true
|
||||
}
|
||||
|
||||
|
||||
\pagestyle{empty}
|
||||
|
||||
\begin{document}
|
||||
\maketitle
|
||||
|
||||
Le barème est donné à titre indicatif, il pourra être modifié.
|
||||
|
||||
\begin{exercise}[subtitle={Polynôme de degré 2}]
|
||||
|
||||
Développer les expressions suivantes pour vérifier que ce sont des polynômes de degré 2. Vous préciserez les valeurs de $a$, $b$ et $c$.
|
||||
\begin{multicols}{2}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item $f(x) = (5x - 2)(5x - 2)$
|
||||
\item $g(x) = (- 4x - 4)^{2}$
|
||||
\item $h(x) = - 9 + x(- 9x + 5)$
|
||||
\item $i(x) = - 4x^{2} + x(5x - 4)$
|
||||
\item $j(x) = 3(x - 10)(x - 6)$
|
||||
\item $k(x) = 6(x + 7)(x - 9)$
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{multicols}
|
||||
\end{exercise}
|
||||
|
||||
\begin{solution}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item
|
||||
\begin{align*}
|
||||
f(x) &= (5x - 2)(5x - 2)\\&= 5x \times 5x + 5x(- 2) - 2 \times 5x - 2(- 2)\\&= 5 \times 5 \times x^{1 + 1} - 2 \times 5 \times x - 2 \times 5 \times x + 4\\&= - 10x - 10x + 25x^{2} + 4\\&= (- 10 - 10) \times x + 25x^{2} + 4\\&= 25x^{2} - 20x + 4
|
||||
\end{align*}
|
||||
C'est un polynôme de degré 2 avec $a = 25$, $b = - 20$ et $c = 4$.
|
||||
\item
|
||||
\begin{align*}
|
||||
g(x) &= (- 4x - 4)^{2}\\&= (- 4x - 4)(- 4x - 4)\\&= - 4x \times - 4x - 4x(- 4) - 4 \times - 4x - 4(- 4)\\&= - 4(- 4) \times x^{1 + 1} - 4(- 4) \times x - 4(- 4) \times x + 16\\&= 16x + 16x + 16x^{2} + 16\\&= (16 + 16) \times x + 16x^{2} + 16\\&= 16x^{2} + 32x + 16
|
||||
\end{align*}
|
||||
C'est un polynôme de degré 2 avec $a = 16$, $b = 32$ et $c = 16$.
|
||||
\item
|
||||
\begin{align*}
|
||||
h(x) &= - 9 + x(- 9x + 5)\\&= - 9 + x \times - 9x + x \times 5\\&= - 9x^{2} + 5x - 9
|
||||
\end{align*}
|
||||
C'est un polynôme de degré 2 avec $a = - 9$, $b = 5$ et $c = - 9$.
|
||||
\item
|
||||
\begin{align*}
|
||||
i(x) &= - 4x^{2} + x(5x - 4)\\&= - 4x^{2} + x \times 5x + x(- 4)\\&= - 4x^{2} + 5x^{2} - 4x\\&= - 4x^{2} + 5x^{2} - 4x\\&= (- 4 + 5) \times x^{2} - 4x\\&= x^{2} - 4x
|
||||
\end{align*}
|
||||
C'est un polynôme de degré 2 avec $a = 1$, $b = - 4$ et $c = 0$.
|
||||
\item
|
||||
\begin{align*}
|
||||
j(x) &= 3(x - 10)(x - 6)\\&= (3x + 3(- 10))(x - 6)\\&= (3x - 30)(x - 6)\\&= 3x \times x + 3x(- 6) - 30x - 30(- 6)\\&= - 6 \times 3 \times x + 180 + 3x^{2} - 30x\\&= - 18x + 180 + 3x^{2} - 30x\\&= 3x^{2} - 18x - 30x + 180\\&= 3x^{2} + (- 18 - 30) \times x + 180\\&= 3x^{2} - 48x + 180
|
||||
\end{align*}
|
||||
C'est un polynôme de degré 2 avec $a = 3$, $b = - 48$ et $c = 180$.
|
||||
\item
|
||||
\begin{align*}
|
||||
k(x) &= 6(x + 7)(x - 9)\\&= (6x + 6 \times 7)(x - 9)\\&= (6x + 42)(x - 9)\\&= 6x \times x + 6x(- 9) + 42x + 42(- 9)\\&= - 9 \times 6 \times x - 378 + 6x^{2} + 42x\\&= - 54x - 378 + 6x^{2} + 42x\\&= 6x^{2} - 54x + 42x - 378\\&= 6x^{2} + (- 54 + 42) \times x - 378\\&= 6x^{2} - 12x - 378
|
||||
\end{align*}
|
||||
C'est un polynôme de degré 2 avec $a = 6$, $b = - 12$ et $c = - 378$.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{solution}
|
||||
|
||||
|
||||
\begin{exercise}[subtitle={Étude de fonctions}]
|
||||
Soit $f(x) = - 7x^{2} + 21x + 28$ une fonction définie sur $\R$.
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Calculer les valeurs suivantes
|
||||
\[
|
||||
f(1) \qquad f(-2)
|
||||
\]
|
||||
\item Dériver la fonction $f$
|
||||
\item Étudier le signe de $f'$ puis en déduire les variations de $f$.
|
||||
\item Est-ce que $f$ admet un maximum? un minimum? Calculer sa valeur.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{exercise}
|
||||
|
||||
\begin{solution}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item On remplace $x$ par les valeurs demandées
|
||||
\[
|
||||
f(1) = - 7 \times 1^{2} + 21 \times 1 + 28=- 7 \times 1 + 21 + 28=- 7 + 49=42
|
||||
\]
|
||||
\[
|
||||
f(-1) = - 7 \times - 1^{2} + 21(- 1) + 28=- 7 \times 1 - 21 + 28=- 7 + 7=0
|
||||
\]
|
||||
\item Dérivation
|
||||
\[
|
||||
f'(x) = - 14x + 21
|
||||
\]
|
||||
|
||||
\item Pas de solutions automatiques.
|
||||
\item Pas de solutions automatiques.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{solution}
|
||||
|
||||
\begin{exercise}[subtitle={Enclos}]
|
||||
Dans son garage, Jean a trouvé 17m de grillage. \\
|
||||
Il décide de l'utiliser pour faire un enclos rectangulaire. Afin d'obtenir un enclos encore plus grand, il veut utiliser le mur du jardin qui formera un côté. Le grillage formera les 3 autres.
|
||||
|
||||
\begin{center}
|
||||
\includegraphics[scale=0.8]{./fig/enclos}
|
||||
\end{center}
|
||||
|
||||
Comment placer les poteaux pour avoir un enclos le plus grand possible ?
|
||||
|
||||
\textit{Cet exercice est un exercice de recherche. Vous êtes invité à utiliser les outils que vous voulez. Une part importante de la note sera dédiée à la rédaction et aux explications de ce que vous faites. Vous êtes encouragé à faire des schémas.}
|
||||
|
||||
\textit{Si vous utilisez le tableur, vous devrez le mentionner et m'envoyer le tableur à l'adresse \url{benjamin.bertrand@ac-lyon.fr}}
|
||||
|
||||
\end{exercise}
|
||||
|
||||
\begin{solution}
|
||||
Formule de l'aire (en notant $x$ la longueur du côté de l'enclos à côté du mur)
|
||||
\[
|
||||
A(x) = x(17 - 2x) = - 2x^{2} + 17x
|
||||
\]
|
||||
On va donc étudier les variations de la fonction $A(x) = - 2x^{2} + 17x$
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item Fonction dérivée : $A'(x) = - 4x + 17$
|
||||
\item On résout l'inéquation $A'(x) \geq 0$ pour déterminer quand la fonction $A'$ est positive.
|
||||
\begin{align*}
|
||||
A(x) & \geq 0 \\
|
||||
- 4x + 17 & \geq 0 \\
|
||||
- 4x + 17 + - 17 &\geq 0 + - 17 \\
|
||||
- 4x &\geq - 17 \\
|
||||
\frac{- 4x}{- 4} &\leq \frac{- 17}{- 4} \\
|
||||
x &\leq \dfrac{17}{4} \\
|
||||
\end{align*}
|
||||
Donc $A(x)$ est positif quand $x$ est plus \textbf{petit} que $\dfrac{17}{4}$
|
||||
\item
|
||||
\begin{center}
|
||||
\begin{tikzpicture}
|
||||
\tkzTabInit[lgt=3,espcl=4]{$x$/1,Signe de $f'(x)$/2, Variations de $f(x)$/2}{, $\dfrac{17}{4}$ ,}%
|
||||
\tkzTabLine{, +, z, -, }
|
||||
\tkzTabVar{-/ ,+/$f(\dfrac{17}{4}) = \dfrac{578}{16}$ , -/}%
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\end{center}
|
||||
\end{itemize}
|
||||
Pour avoir le plus grand enclos, il faut placer les poteaux à 6m du mur et on aura alors un enclos de $72m^2$.
|
||||
|
||||
\end{solution}
|
||||
\end{document}
|
||||
|
||||
%%% Local Variables:
|
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%%% mode: latex
|
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%%% TeX-master: "master"
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%%% End:
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Binary file not shown.
|
|
@ -0,0 +1,158 @@
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|||
\documentclass[a4paper,12pt]{article}
|
||||
\usepackage{myXsim}
|
||||
\usepackage{pgfplots}
|
||||
\usetikzlibrary{decorations.markings}
|
||||
\pgfplotsset{compat=1.18}
|
||||
|
||||
\title{ DM1 \hfill STRUKELJ Charles}
|
||||
\tribe{1ST}
|
||||
\date{A rendre pour le lundi 27 mars 2023}
|
||||
\duree{}
|
||||
|
||||
\xsimsetup{
|
||||
solution/print = true
|
||||
}
|
||||
|
||||
|
||||
\pagestyle{empty}
|
||||
|
||||
\begin{document}
|
||||
\maketitle
|
||||
|
||||
Le barème est donné à titre indicatif, il pourra être modifié.
|
||||
|
||||
\begin{exercise}[subtitle={Polynôme de degré 2}]
|
||||
|
||||
Développer les expressions suivantes pour vérifier que ce sont des polynômes de degré 2. Vous préciserez les valeurs de $a$, $b$ et $c$.
|
||||
\begin{multicols}{2}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item $f(x) = (8x + 9)(4x + 9)$
|
||||
\item $g(x) = (3x - 7)^{2}$
|
||||
\item $h(x) = 2 + x(5x - 7)$
|
||||
\item $i(x) = - 2x^{2} + x(- 3x - 10)$
|
||||
\item $j(x) = - 4(x - 1)(x - 5)$
|
||||
\item $k(x) = - 6(x + 4)(x + 8)$
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{multicols}
|
||||
\end{exercise}
|
||||
|
||||
\begin{solution}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item
|
||||
\begin{align*}
|
||||
f(x) &= (8x + 9)(4x + 9)\\&= 8x \times 4x + 8x \times 9 + 9 \times 4x + 9 \times 9\\&= 8 \times 4 \times x^{1 + 1} + 9 \times 8 \times x + 9 \times 4 \times x + 81\\&= 72x + 36x + 32x^{2} + 81\\&= (72 + 36) \times x + 32x^{2} + 81\\&= 32x^{2} + 108x + 81
|
||||
\end{align*}
|
||||
C'est un polynôme de degré 2 avec $a = 32$, $b = 108$ et $c = 81$.
|
||||
\item
|
||||
\begin{align*}
|
||||
g(x) &= (3x - 7)^{2}\\&= (3x - 7)(3x - 7)\\&= 3x \times 3x + 3x(- 7) - 7 \times 3x - 7(- 7)\\&= 3 \times 3 \times x^{1 + 1} - 7 \times 3 \times x - 7 \times 3 \times x + 49\\&= - 21x - 21x + 9x^{2} + 49\\&= (- 21 - 21) \times x + 9x^{2} + 49\\&= 9x^{2} - 42x + 49
|
||||
\end{align*}
|
||||
C'est un polynôme de degré 2 avec $a = 9$, $b = - 42$ et $c = 49$.
|
||||
\item
|
||||
\begin{align*}
|
||||
h(x) &= 2 + x(5x - 7)\\&= 2 + x \times 5x + x(- 7)\\&= 5x^{2} - 7x + 2
|
||||
\end{align*}
|
||||
C'est un polynôme de degré 2 avec $a = 5$, $b = - 7$ et $c = 2$.
|
||||
\item
|
||||
\begin{align*}
|
||||
i(x) &= - 2x^{2} + x(- 3x - 10)\\&= - 2x^{2} + x \times - 3x + x(- 10)\\&= - 2x^{2} - 3x^{2} - 10x\\&= - 2x^{2} - 3x^{2} - 10x\\&= (- 2 - 3) \times x^{2} - 10x\\&= - 5x^{2} - 10x
|
||||
\end{align*}
|
||||
C'est un polynôme de degré 2 avec $a = - 5$, $b = - 10$ et $c = 0$.
|
||||
\item
|
||||
\begin{align*}
|
||||
j(x) &= - 4(x - 1)(x - 5)\\&= (- 4x - 4(- 1))(x - 5)\\&= (- 4x + 4)(x - 5)\\&= - 4x \times x - 4x(- 5) + 4x + 4(- 5)\\&= - 5(- 4) \times x - 20 - 4x^{2} + 4x\\&= 20x - 20 - 4x^{2} + 4x\\&= - 4x^{2} + 20x + 4x - 20\\&= - 4x^{2} + (20 + 4) \times x - 20\\&= - 4x^{2} + 24x - 20
|
||||
\end{align*}
|
||||
C'est un polynôme de degré 2 avec $a = - 4$, $b = 24$ et $c = - 20$.
|
||||
\item
|
||||
\begin{align*}
|
||||
k(x) &= - 6(x + 4)(x + 8)\\&= (- 6x - 6 \times 4)(x + 8)\\&= (- 6x - 24)(x + 8)\\&= - 6x \times x - 6x \times 8 - 24x - 24 \times 8\\&= 8(- 6) \times x - 192 - 6x^{2} - 24x\\&= - 48x - 192 - 6x^{2} - 24x\\&= - 6x^{2} - 48x - 24x - 192\\&= - 6x^{2} + (- 48 - 24) \times x - 192\\&= - 6x^{2} - 72x - 192
|
||||
\end{align*}
|
||||
C'est un polynôme de degré 2 avec $a = - 6$, $b = - 72$ et $c = - 192$.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{solution}
|
||||
|
||||
|
||||
\begin{exercise}[subtitle={Étude de fonctions}]
|
||||
Soit $f(x) = 9x^{2} - 18x - 720$ une fonction définie sur $\R$.
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Calculer les valeurs suivantes
|
||||
\[
|
||||
f(1) \qquad f(-2)
|
||||
\]
|
||||
\item Dériver la fonction $f$
|
||||
\item Étudier le signe de $f'$ puis en déduire les variations de $f$.
|
||||
\item Est-ce que $f$ admet un maximum? un minimum? Calculer sa valeur.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{exercise}
|
||||
|
||||
\begin{solution}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item On remplace $x$ par les valeurs demandées
|
||||
\[
|
||||
f(1) = 9 \times 1^{2} - 18 \times 1 - 720=9 \times 1 - 18 - 720=9 - 738=- 729
|
||||
\]
|
||||
\[
|
||||
f(-1) = 9 \times - 1^{2} - 18(- 1) - 720=9 \times 1 + 18 - 720=9 - 702=- 693
|
||||
\]
|
||||
\item Dérivation
|
||||
\[
|
||||
f'(x) = 18x - 18
|
||||
\]
|
||||
|
||||
\item Pas de solutions automatiques.
|
||||
\item Pas de solutions automatiques.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{solution}
|
||||
|
||||
\begin{exercise}[subtitle={Enclos}]
|
||||
Dans son garage, Jean a trouvé 33m de grillage. \\
|
||||
Il décide de l'utiliser pour faire un enclos rectangulaire. Afin d'obtenir un enclos encore plus grand, il veut utiliser le mur du jardin qui formera un côté. Le grillage formera les 3 autres.
|
||||
|
||||
\begin{center}
|
||||
\includegraphics[scale=0.8]{./fig/enclos}
|
||||
\end{center}
|
||||
|
||||
Comment placer les poteaux pour avoir un enclos le plus grand possible ?
|
||||
|
||||
\textit{Cet exercice est un exercice de recherche. Vous êtes invité à utiliser les outils que vous voulez. Une part importante de la note sera dédiée à la rédaction et aux explications de ce que vous faites. Vous êtes encouragé à faire des schémas.}
|
||||
|
||||
\textit{Si vous utilisez le tableur, vous devrez le mentionner et m'envoyer le tableur à l'adresse \url{benjamin.bertrand@ac-lyon.fr}}
|
||||
|
||||
\end{exercise}
|
||||
|
||||
\begin{solution}
|
||||
Formule de l'aire (en notant $x$ la longueur du côté de l'enclos à côté du mur)
|
||||
\[
|
||||
A(x) = x(33 - 2x) = - 2x^{2} + 33x
|
||||
\]
|
||||
On va donc étudier les variations de la fonction $A(x) = - 2x^{2} + 33x$
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item Fonction dérivée : $A'(x) = - 4x + 33$
|
||||
\item On résout l'inéquation $A'(x) \geq 0$ pour déterminer quand la fonction $A'$ est positive.
|
||||
\begin{align*}
|
||||
A(x) & \geq 0 \\
|
||||
- 4x + 33 & \geq 0 \\
|
||||
- 4x + 33 + - 33 &\geq 0 + - 33 \\
|
||||
- 4x &\geq - 33 \\
|
||||
\frac{- 4x}{- 4} &\leq \frac{- 33}{- 4} \\
|
||||
x &\leq \dfrac{33}{4} \\
|
||||
\end{align*}
|
||||
Donc $A(x)$ est positif quand $x$ est plus \textbf{petit} que $\dfrac{33}{4}$
|
||||
\item
|
||||
\begin{center}
|
||||
\begin{tikzpicture}
|
||||
\tkzTabInit[lgt=3,espcl=4]{$x$/1,Signe de $f'(x)$/2, Variations de $f(x)$/2}{, $\dfrac{33}{4}$ ,}%
|
||||
\tkzTabLine{, +, z, -, }
|
||||
\tkzTabVar{-/ ,+/$f(\dfrac{33}{4}) = \dfrac{2178}{16}$ , -/}%
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\end{center}
|
||||
\end{itemize}
|
||||
Pour avoir le plus grand enclos, il faut placer les poteaux à 6m du mur et on aura alors un enclos de $72m^2$.
|
||||
|
||||
\end{solution}
|
||||
\end{document}
|
||||
|
||||
%%% Local Variables:
|
||||
%%% mode: latex
|
||||
%%% TeX-master: "master"
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%%% End:
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Binary file not shown.
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@ -0,0 +1,158 @@
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|||
\documentclass[a4paper,12pt]{article}
|
||||
\usepackage{myXsim}
|
||||
\usepackage{pgfplots}
|
||||
\usetikzlibrary{decorations.markings}
|
||||
\pgfplotsset{compat=1.18}
|
||||
|
||||
\title{ DM1 \hfill THERET Olympe}
|
||||
\tribe{1ST}
|
||||
\date{A rendre pour le lundi 27 mars 2023}
|
||||
\duree{}
|
||||
|
||||
\xsimsetup{
|
||||
solution/print = true
|
||||
}
|
||||
|
||||
|
||||
\pagestyle{empty}
|
||||
|
||||
\begin{document}
|
||||
\maketitle
|
||||
|
||||
Le barème est donné à titre indicatif, il pourra être modifié.
|
||||
|
||||
\begin{exercise}[subtitle={Polynôme de degré 2}]
|
||||
|
||||
Développer les expressions suivantes pour vérifier que ce sont des polynômes de degré 2. Vous préciserez les valeurs de $a$, $b$ et $c$.
|
||||
\begin{multicols}{2}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item $f(x) = (- 6x + 8)(7x + 8)$
|
||||
\item $g(x) = (- 8x + 5)^{2}$
|
||||
\item $h(x) = 4 + x(2x - 3)$
|
||||
\item $i(x) = - 5x^{2} + x(8x + 5)$
|
||||
\item $j(x) = - 7(x + 10)(x - 4)$
|
||||
\item $k(x) = 3(x + 8)(x + 8)$
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{multicols}
|
||||
\end{exercise}
|
||||
|
||||
\begin{solution}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item
|
||||
\begin{align*}
|
||||
f(x) &= (- 6x + 8)(7x + 8)\\&= - 6x \times 7x - 6x \times 8 + 8 \times 7x + 8 \times 8\\&= - 6 \times 7 \times x^{1 + 1} + 8(- 6) \times x + 8 \times 7 \times x + 64\\&= - 48x + 56x - 42x^{2} + 64\\&= (- 48 + 56) \times x - 42x^{2} + 64\\&= - 42x^{2} + 8x + 64
|
||||
\end{align*}
|
||||
C'est un polynôme de degré 2 avec $a = - 42$, $b = 8$ et $c = 64$.
|
||||
\item
|
||||
\begin{align*}
|
||||
g(x) &= (- 8x + 5)^{2}\\&= (- 8x + 5)(- 8x + 5)\\&= - 8x \times - 8x - 8x \times 5 + 5 \times - 8x + 5 \times 5\\&= - 8(- 8) \times x^{1 + 1} + 5(- 8) \times x + 5(- 8) \times x + 25\\&= - 40x - 40x + 64x^{2} + 25\\&= (- 40 - 40) \times x + 64x^{2} + 25\\&= 64x^{2} - 80x + 25
|
||||
\end{align*}
|
||||
C'est un polynôme de degré 2 avec $a = 64$, $b = - 80$ et $c = 25$.
|
||||
\item
|
||||
\begin{align*}
|
||||
h(x) &= 4 + x(2x - 3)\\&= 4 + x \times 2x + x(- 3)\\&= 2x^{2} - 3x + 4
|
||||
\end{align*}
|
||||
C'est un polynôme de degré 2 avec $a = 2$, $b = - 3$ et $c = 4$.
|
||||
\item
|
||||
\begin{align*}
|
||||
i(x) &= - 5x^{2} + x(8x + 5)\\&= - 5x^{2} + x \times 8x + x \times 5\\&= - 5x^{2} + 8x^{2} + 5x\\&= - 5x^{2} + 8x^{2} + 5x\\&= (- 5 + 8) \times x^{2} + 5x\\&= 3x^{2} + 5x
|
||||
\end{align*}
|
||||
C'est un polynôme de degré 2 avec $a = 3$, $b = 5$ et $c = 0$.
|
||||
\item
|
||||
\begin{align*}
|
||||
j(x) &= - 7(x + 10)(x - 4)\\&= (- 7x - 7 \times 10)(x - 4)\\&= (- 7x - 70)(x - 4)\\&= - 7x \times x - 7x(- 4) - 70x - 70(- 4)\\&= - 4(- 7) \times x + 280 - 7x^{2} - 70x\\&= 28x + 280 - 7x^{2} - 70x\\&= - 7x^{2} + 28x - 70x + 280\\&= - 7x^{2} + (28 - 70) \times x + 280\\&= - 7x^{2} - 42x + 280
|
||||
\end{align*}
|
||||
C'est un polynôme de degré 2 avec $a = - 7$, $b = - 42$ et $c = 280$.
|
||||
\item
|
||||
\begin{align*}
|
||||
k(x) &= 3(x + 8)(x + 8)\\&= (3x + 3 \times 8)(x + 8)\\&= (3x + 24)(x + 8)\\&= 3x \times x + 3x \times 8 + 24x + 24 \times 8\\&= 8 \times 3 \times x + 192 + 3x^{2} + 24x\\&= 24x + 192 + 3x^{2} + 24x\\&= 3x^{2} + 24x + 24x + 192\\&= 3x^{2} + (24 + 24) \times x + 192\\&= 3x^{2} + 48x + 192
|
||||
\end{align*}
|
||||
C'est un polynôme de degré 2 avec $a = 3$, $b = 48$ et $c = 192$.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{solution}
|
||||
|
||||
|
||||
\begin{exercise}[subtitle={Étude de fonctions}]
|
||||
Soit $f(x) = 5x^{2} - 70x + 240$ une fonction définie sur $\R$.
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Calculer les valeurs suivantes
|
||||
\[
|
||||
f(1) \qquad f(-2)
|
||||
\]
|
||||
\item Dériver la fonction $f$
|
||||
\item Étudier le signe de $f'$ puis en déduire les variations de $f$.
|
||||
\item Est-ce que $f$ admet un maximum? un minimum? Calculer sa valeur.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{exercise}
|
||||
|
||||
\begin{solution}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item On remplace $x$ par les valeurs demandées
|
||||
\[
|
||||
f(1) = 5 \times 1^{2} - 70 \times 1 + 240=5 \times 1 - 70 + 240=5 + 170=175
|
||||
\]
|
||||
\[
|
||||
f(-1) = 5 \times - 1^{2} - 70(- 1) + 240=5 \times 1 + 70 + 240=5 + 310=315
|
||||
\]
|
||||
\item Dérivation
|
||||
\[
|
||||
f'(x) = 10x - 70
|
||||
\]
|
||||
|
||||
\item Pas de solutions automatiques.
|
||||
\item Pas de solutions automatiques.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{solution}
|
||||
|
||||
\begin{exercise}[subtitle={Enclos}]
|
||||
Dans son garage, Jean a trouvé 29m de grillage. \\
|
||||
Il décide de l'utiliser pour faire un enclos rectangulaire. Afin d'obtenir un enclos encore plus grand, il veut utiliser le mur du jardin qui formera un côté. Le grillage formera les 3 autres.
|
||||
|
||||
\begin{center}
|
||||
\includegraphics[scale=0.8]{./fig/enclos}
|
||||
\end{center}
|
||||
|
||||
Comment placer les poteaux pour avoir un enclos le plus grand possible ?
|
||||
|
||||
\textit{Cet exercice est un exercice de recherche. Vous êtes invité à utiliser les outils que vous voulez. Une part importante de la note sera dédiée à la rédaction et aux explications de ce que vous faites. Vous êtes encouragé à faire des schémas.}
|
||||
|
||||
\textit{Si vous utilisez le tableur, vous devrez le mentionner et m'envoyer le tableur à l'adresse \url{benjamin.bertrand@ac-lyon.fr}}
|
||||
|
||||
\end{exercise}
|
||||
|
||||
\begin{solution}
|
||||
Formule de l'aire (en notant $x$ la longueur du côté de l'enclos à côté du mur)
|
||||
\[
|
||||
A(x) = x(29 - 2x) = - 2x^{2} + 29x
|
||||
\]
|
||||
On va donc étudier les variations de la fonction $A(x) = - 2x^{2} + 29x$
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item Fonction dérivée : $A'(x) = - 4x + 29$
|
||||
\item On résout l'inéquation $A'(x) \geq 0$ pour déterminer quand la fonction $A'$ est positive.
|
||||
\begin{align*}
|
||||
A(x) & \geq 0 \\
|
||||
- 4x + 29 & \geq 0 \\
|
||||
- 4x + 29 + - 29 &\geq 0 + - 29 \\
|
||||
- 4x &\geq - 29 \\
|
||||
\frac{- 4x}{- 4} &\leq \frac{- 29}{- 4} \\
|
||||
x &\leq \dfrac{29}{4} \\
|
||||
\end{align*}
|
||||
Donc $A(x)$ est positif quand $x$ est plus \textbf{petit} que $\dfrac{29}{4}$
|
||||
\item
|
||||
\begin{center}
|
||||
\begin{tikzpicture}
|
||||
\tkzTabInit[lgt=3,espcl=4]{$x$/1,Signe de $f'(x)$/2, Variations de $f(x)$/2}{, $\dfrac{29}{4}$ ,}%
|
||||
\tkzTabLine{, +, z, -, }
|
||||
\tkzTabVar{-/ ,+/$f(\dfrac{29}{4}) = \dfrac{1682}{16}$ , -/}%
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\end{center}
|
||||
\end{itemize}
|
||||
Pour avoir le plus grand enclos, il faut placer les poteaux à 6m du mur et on aura alors un enclos de $72m^2$.
|
||||
|
||||
\end{solution}
|
||||
\end{document}
|
||||
|
||||
%%% Local Variables:
|
||||
%%% mode: latex
|
||||
%%% TeX-master: "master"
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||||
%%% End:
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||||
Binary file not shown.
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|
@ -0,0 +1,158 @@
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|||
\documentclass[a4paper,12pt]{article}
|
||||
\usepackage{myXsim}
|
||||
\usepackage{pgfplots}
|
||||
\usetikzlibrary{decorations.markings}
|
||||
\pgfplotsset{compat=1.18}
|
||||
|
||||
\title{ DM1 \hfill }
|
||||
\tribe{1ST}
|
||||
\date{A rendre pour le lundi 27 mars 2023}
|
||||
\duree{}
|
||||
|
||||
\xsimsetup{
|
||||
solution/print = true
|
||||
}
|
||||
|
||||
|
||||
\pagestyle{empty}
|
||||
|
||||
\begin{document}
|
||||
\maketitle
|
||||
|
||||
Le barème est donné à titre indicatif, il pourra être modifié.
|
||||
|
||||
\begin{exercise}[subtitle={Polynôme de degré 2}]
|
||||
|
||||
Développer les expressions suivantes pour vérifier que ce sont des polynômes de degré 2. Vous préciserez les valeurs de $a$, $b$ et $c$.
|
||||
\begin{multicols}{2}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item $f(x) = (3x - 6)(- 7x - 6)$
|
||||
\item $g(x) = (- 3x + 10)^{2}$
|
||||
\item $h(x) = - 10 + x(- 7x - 4)$
|
||||
\item $i(x) = - 1x^{2} + x(- 8x - 4)$
|
||||
\item $j(x) = 6(x - 3)(x + 8)$
|
||||
\item $k(x) = 5(x + 6)(x - 10)$
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{multicols}
|
||||
\end{exercise}
|
||||
|
||||
\begin{solution}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item
|
||||
\begin{align*}
|
||||
f(x) &= (3x - 6)(- 7x - 6)\\&= 3x \times - 7x + 3x(- 6) - 6 \times - 7x - 6(- 6)\\&= 3(- 7) \times x^{1 + 1} - 6 \times 3 \times x - 6(- 7) \times x + 36\\&= - 18x + 42x - 21x^{2} + 36\\&= (- 18 + 42) \times x - 21x^{2} + 36\\&= - 21x^{2} + 24x + 36
|
||||
\end{align*}
|
||||
C'est un polynôme de degré 2 avec $a = - 21$, $b = 24$ et $c = 36$.
|
||||
\item
|
||||
\begin{align*}
|
||||
g(x) &= (- 3x + 10)^{2}\\&= (- 3x + 10)(- 3x + 10)\\&= - 3x \times - 3x - 3x \times 10 + 10 \times - 3x + 10 \times 10\\&= - 3(- 3) \times x^{1 + 1} + 10(- 3) \times x + 10(- 3) \times x + 100\\&= - 30x - 30x + 9x^{2} + 100\\&= (- 30 - 30) \times x + 9x^{2} + 100\\&= 9x^{2} - 60x + 100
|
||||
\end{align*}
|
||||
C'est un polynôme de degré 2 avec $a = 9$, $b = - 60$ et $c = 100$.
|
||||
\item
|
||||
\begin{align*}
|
||||
h(x) &= - 10 + x(- 7x - 4)\\&= - 10 + x \times - 7x + x(- 4)\\&= - 7x^{2} - 4x - 10
|
||||
\end{align*}
|
||||
C'est un polynôme de degré 2 avec $a = - 7$, $b = - 4$ et $c = - 10$.
|
||||
\item
|
||||
\begin{align*}
|
||||
i(x) &= - 1x^{2} + x(- 8x - 4)\\&= - x^{2} + x \times - 8x + x(- 4)\\&= - x^{2} - 8x^{2} - 4x\\&= - x^{2} - 8x^{2} - 4x\\&= (- 1 - 8) \times x^{2} - 4x\\&= - 9x^{2} - 4x
|
||||
\end{align*}
|
||||
C'est un polynôme de degré 2 avec $a = - 9$, $b = - 4$ et $c = 0$.
|
||||
\item
|
||||
\begin{align*}
|
||||
j(x) &= 6(x - 3)(x + 8)\\&= (6x + 6(- 3))(x + 8)\\&= (6x - 18)(x + 8)\\&= 6x \times x + 6x \times 8 - 18x - 18 \times 8\\&= 8 \times 6 \times x - 144 + 6x^{2} - 18x\\&= 48x - 144 + 6x^{2} - 18x\\&= 6x^{2} + 48x - 18x - 144\\&= 6x^{2} + (48 - 18) \times x - 144\\&= 6x^{2} + 30x - 144
|
||||
\end{align*}
|
||||
C'est un polynôme de degré 2 avec $a = 6$, $b = 30$ et $c = - 144$.
|
||||
\item
|
||||
\begin{align*}
|
||||
k(x) &= 5(x + 6)(x - 10)\\&= (5x + 5 \times 6)(x - 10)\\&= (5x + 30)(x - 10)\\&= 5x \times x + 5x(- 10) + 30x + 30(- 10)\\&= - 10 \times 5 \times x - 300 + 5x^{2} + 30x\\&= - 50x - 300 + 5x^{2} + 30x\\&= 5x^{2} - 50x + 30x - 300\\&= 5x^{2} + (- 50 + 30) \times x - 300\\&= 5x^{2} - 20x - 300
|
||||
\end{align*}
|
||||
C'est un polynôme de degré 2 avec $a = 5$, $b = - 20$ et $c = - 300$.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{solution}
|
||||
|
||||
|
||||
\begin{exercise}[subtitle={Étude de fonctions}]
|
||||
Soit $f(x) = 6x^{2} - 48x - 120$ une fonction définie sur $\R$.
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Calculer les valeurs suivantes
|
||||
\[
|
||||
f(1) \qquad f(-2)
|
||||
\]
|
||||
\item Dériver la fonction $f$
|
||||
\item Étudier le signe de $f'$ puis en déduire les variations de $f$.
|
||||
\item Est-ce que $f$ admet un maximum? un minimum? Calculer sa valeur.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{exercise}
|
||||
|
||||
\begin{solution}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item On remplace $x$ par les valeurs demandées
|
||||
\[
|
||||
f(1) = 6 \times 1^{2} - 48 \times 1 - 120=6 \times 1 - 48 - 120=6 - 168=- 162
|
||||
\]
|
||||
\[
|
||||
f(-1) = 6 \times - 1^{2} - 48(- 1) - 120=6 \times 1 + 48 - 120=6 - 72=- 66
|
||||
\]
|
||||
\item Dérivation
|
||||
\[
|
||||
f'(x) = 12x - 48
|
||||
\]
|
||||
|
||||
\item Pas de solutions automatiques.
|
||||
\item Pas de solutions automatiques.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{solution}
|
||||
|
||||
\begin{exercise}[subtitle={Enclos}]
|
||||
Dans son garage, Jean a trouvé 24m de grillage. \\
|
||||
Il décide de l'utiliser pour faire un enclos rectangulaire. Afin d'obtenir un enclos encore plus grand, il veut utiliser le mur du jardin qui formera un côté. Le grillage formera les 3 autres.
|
||||
|
||||
\begin{center}
|
||||
\includegraphics[scale=0.8]{./fig/enclos}
|
||||
\end{center}
|
||||
|
||||
Comment placer les poteaux pour avoir un enclos le plus grand possible ?
|
||||
|
||||
\textit{Cet exercice est un exercice de recherche. Vous êtes invité à utiliser les outils que vous voulez. Une part importante de la note sera dédiée à la rédaction et aux explications de ce que vous faites. Vous êtes encouragé à faire des schémas.}
|
||||
|
||||
\textit{Si vous utilisez le tableur, vous devrez le mentionner et m'envoyer le tableur à l'adresse \url{benjamin.bertrand@ac-lyon.fr}}
|
||||
|
||||
\end{exercise}
|
||||
|
||||
\begin{solution}
|
||||
Formule de l'aire (en notant $x$ la longueur du côté de l'enclos à côté du mur)
|
||||
\[
|
||||
A(x) = x(24 - 2x) = - 2x^{2} + 24x
|
||||
\]
|
||||
On va donc étudier les variations de la fonction $A(x) = - 2x^{2} + 24x$
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item Fonction dérivée : $A'(x) = - 4x + 24$
|
||||
\item On résout l'inéquation $A'(x) \geq 0$ pour déterminer quand la fonction $A'$ est positive.
|
||||
\begin{align*}
|
||||
A(x) & \geq 0 \\
|
||||
- 4x + 24 & \geq 0 \\
|
||||
- 4x + 24 + - 24 &\geq 0 + - 24 \\
|
||||
- 4x &\geq - 24 \\
|
||||
\frac{- 4x}{- 4} &\leq \frac{- 24}{- 4} \\
|
||||
x &\leq 6 \\
|
||||
\end{align*}
|
||||
Donc $A(x)$ est positif quand $x$ est plus \textbf{petit} que $6$
|
||||
\item
|
||||
\begin{center}
|
||||
\begin{tikzpicture}
|
||||
\tkzTabInit[lgt=3,espcl=4]{$x$/1,Signe de $f'(x)$/2, Variations de $f(x)$/2}{, $6$ ,}%
|
||||
\tkzTabLine{, +, z, -, }
|
||||
\tkzTabVar{-/ ,+/$f(6) = 72$ , -/}%
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\end{center}
|
||||
\end{itemize}
|
||||
Pour avoir le plus grand enclos, il faut placer les poteaux à 6m du mur et on aura alors un enclos de $72m^2$.
|
||||
|
||||
\end{solution}
|
||||
\end{document}
|
||||
|
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%%% Local Variables:
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%%% mode: latex
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%%% TeX-master: "master"
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%%% End:
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Binary file not shown.
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@ -0,0 +1,158 @@
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|||
\documentclass[a4paper,12pt]{article}
|
||||
\usepackage{myXsim}
|
||||
\usepackage{pgfplots}
|
||||
\usetikzlibrary{decorations.markings}
|
||||
\pgfplotsset{compat=1.18}
|
||||
|
||||
\title{ DM1 \hfill TODESCHINI Alissa}
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||||
\tribe{1ST}
|
||||
\date{A rendre pour le lundi 27 mars 2023}
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||||
\duree{}
|
||||
|
||||
\xsimsetup{
|
||||
solution/print = true
|
||||
}
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||||
|
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||||
\pagestyle{empty}
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||||
|
||||
\begin{document}
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||||
\maketitle
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||||
|
||||
Le barème est donné à titre indicatif, il pourra être modifié.
|
||||
|
||||
\begin{exercise}[subtitle={Polynôme de degré 2}]
|
||||
|
||||
Développer les expressions suivantes pour vérifier que ce sont des polynômes de degré 2. Vous préciserez les valeurs de $a$, $b$ et $c$.
|
||||
\begin{multicols}{2}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item $f(x) = (- 8x - 2)(- 7x - 2)$
|
||||
\item $g(x) = (6x + 5)^{2}$
|
||||
\item $h(x) = - 4 + x(6x - 1)$
|
||||
\item $i(x) = - 7x^{2} + x(- 6x - 3)$
|
||||
\item $j(x) = - 9(x - 4)(x - 4)$
|
||||
\item $k(x) = 8(x - 2)(x - 4)$
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{multicols}
|
||||
\end{exercise}
|
||||
|
||||
\begin{solution}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item
|
||||
\begin{align*}
|
||||
f(x) &= (- 8x - 2)(- 7x - 2)\\&= - 8x \times - 7x - 8x(- 2) - 2 \times - 7x - 2(- 2)\\&= - 8(- 7) \times x^{1 + 1} - 2(- 8) \times x - 2(- 7) \times x + 4\\&= 16x + 14x + 56x^{2} + 4\\&= (16 + 14) \times x + 56x^{2} + 4\\&= 56x^{2} + 30x + 4
|
||||
\end{align*}
|
||||
C'est un polynôme de degré 2 avec $a = 56$, $b = 30$ et $c = 4$.
|
||||
\item
|
||||
\begin{align*}
|
||||
g(x) &= (6x + 5)^{2}\\&= (6x + 5)(6x + 5)\\&= 6x \times 6x + 6x \times 5 + 5 \times 6x + 5 \times 5\\&= 6 \times 6 \times x^{1 + 1} + 5 \times 6 \times x + 5 \times 6 \times x + 25\\&= 30x + 30x + 36x^{2} + 25\\&= (30 + 30) \times x + 36x^{2} + 25\\&= 36x^{2} + 60x + 25
|
||||
\end{align*}
|
||||
C'est un polynôme de degré 2 avec $a = 36$, $b = 60$ et $c = 25$.
|
||||
\item
|
||||
\begin{align*}
|
||||
h(x) &= - 4 + x(6x - 1)\\&= - 4 + x \times 6x + x(- 1)\\&= 6x^{2} - x - 4
|
||||
\end{align*}
|
||||
C'est un polynôme de degré 2 avec $a = 6$, $b = - 1$ et $c = - 4$.
|
||||
\item
|
||||
\begin{align*}
|
||||
i(x) &= - 7x^{2} + x(- 6x - 3)\\&= - 7x^{2} + x \times - 6x + x(- 3)\\&= - 7x^{2} - 6x^{2} - 3x\\&= - 7x^{2} - 6x^{2} - 3x\\&= (- 7 - 6) \times x^{2} - 3x\\&= - 13x^{2} - 3x
|
||||
\end{align*}
|
||||
C'est un polynôme de degré 2 avec $a = - 13$, $b = - 3$ et $c = 0$.
|
||||
\item
|
||||
\begin{align*}
|
||||
j(x) &= - 9(x - 4)(x - 4)\\&= (- 9x - 9(- 4))(x - 4)\\&= (- 9x + 36)(x - 4)\\&= - 9x \times x - 9x(- 4) + 36x + 36(- 4)\\&= - 4(- 9) \times x - 144 - 9x^{2} + 36x\\&= 36x - 144 - 9x^{2} + 36x\\&= - 9x^{2} + 36x + 36x - 144\\&= - 9x^{2} + (36 + 36) \times x - 144\\&= - 9x^{2} + 72x - 144
|
||||
\end{align*}
|
||||
C'est un polynôme de degré 2 avec $a = - 9$, $b = 72$ et $c = - 144$.
|
||||
\item
|
||||
\begin{align*}
|
||||
k(x) &= 8(x - 2)(x - 4)\\&= (8x + 8(- 2))(x - 4)\\&= (8x - 16)(x - 4)\\&= 8x \times x + 8x(- 4) - 16x - 16(- 4)\\&= - 4 \times 8 \times x + 64 + 8x^{2} - 16x\\&= - 32x + 64 + 8x^{2} - 16x\\&= 8x^{2} - 32x - 16x + 64\\&= 8x^{2} + (- 32 - 16) \times x + 64\\&= 8x^{2} - 48x + 64
|
||||
\end{align*}
|
||||
C'est un polynôme de degré 2 avec $a = 8$, $b = - 48$ et $c = 64$.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{solution}
|
||||
|
||||
|
||||
\begin{exercise}[subtitle={Étude de fonctions}]
|
||||
Soit $f(x) = 2x^{2} - 162$ une fonction définie sur $\R$.
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Calculer les valeurs suivantes
|
||||
\[
|
||||
f(1) \qquad f(-2)
|
||||
\]
|
||||
\item Dériver la fonction $f$
|
||||
\item Étudier le signe de $f'$ puis en déduire les variations de $f$.
|
||||
\item Est-ce que $f$ admet un maximum? un minimum? Calculer sa valeur.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{exercise}
|
||||
|
||||
\begin{solution}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item On remplace $x$ par les valeurs demandées
|
||||
\[
|
||||
f(1) = 2 \times 1^{2} - 162=2 \times 1 - 162=2 - 162=- 160
|
||||
\]
|
||||
\[
|
||||
f(-1) = 2 \times - 1^{2} - 162=2 \times 1 - 162=2 - 162=- 160
|
||||
\]
|
||||
\item Dérivation
|
||||
\[
|
||||
f'(x) = 4x
|
||||
\]
|
||||
|
||||
\item Pas de solutions automatiques.
|
||||
\item Pas de solutions automatiques.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{solution}
|
||||
|
||||
\begin{exercise}[subtitle={Enclos}]
|
||||
Dans son garage, Jean a trouvé 37m de grillage. \\
|
||||
Il décide de l'utiliser pour faire un enclos rectangulaire. Afin d'obtenir un enclos encore plus grand, il veut utiliser le mur du jardin qui formera un côté. Le grillage formera les 3 autres.
|
||||
|
||||
\begin{center}
|
||||
\includegraphics[scale=0.8]{./fig/enclos}
|
||||
\end{center}
|
||||
|
||||
Comment placer les poteaux pour avoir un enclos le plus grand possible ?
|
||||
|
||||
\textit{Cet exercice est un exercice de recherche. Vous êtes invité à utiliser les outils que vous voulez. Une part importante de la note sera dédiée à la rédaction et aux explications de ce que vous faites. Vous êtes encouragé à faire des schémas.}
|
||||
|
||||
\textit{Si vous utilisez le tableur, vous devrez le mentionner et m'envoyer le tableur à l'adresse \url{benjamin.bertrand@ac-lyon.fr}}
|
||||
|
||||
\end{exercise}
|
||||
|
||||
\begin{solution}
|
||||
Formule de l'aire (en notant $x$ la longueur du côté de l'enclos à côté du mur)
|
||||
\[
|
||||
A(x) = x(37 - 2x) = - 2x^{2} + 37x
|
||||
\]
|
||||
On va donc étudier les variations de la fonction $A(x) = - 2x^{2} + 37x$
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item Fonction dérivée : $A'(x) = - 4x + 37$
|
||||
\item On résout l'inéquation $A'(x) \geq 0$ pour déterminer quand la fonction $A'$ est positive.
|
||||
\begin{align*}
|
||||
A(x) & \geq 0 \\
|
||||
- 4x + 37 & \geq 0 \\
|
||||
- 4x + 37 + - 37 &\geq 0 + - 37 \\
|
||||
- 4x &\geq - 37 \\
|
||||
\frac{- 4x}{- 4} &\leq \frac{- 37}{- 4} \\
|
||||
x &\leq \dfrac{37}{4} \\
|
||||
\end{align*}
|
||||
Donc $A(x)$ est positif quand $x$ est plus \textbf{petit} que $\dfrac{37}{4}$
|
||||
\item
|
||||
\begin{center}
|
||||
\begin{tikzpicture}
|
||||
\tkzTabInit[lgt=3,espcl=4]{$x$/1,Signe de $f'(x)$/2, Variations de $f(x)$/2}{, $\dfrac{37}{4}$ ,}%
|
||||
\tkzTabLine{, +, z, -, }
|
||||
\tkzTabVar{-/ ,+/$f(\dfrac{37}{4}) = \dfrac{2738}{16}$ , -/}%
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\end{center}
|
||||
\end{itemize}
|
||||
Pour avoir le plus grand enclos, il faut placer les poteaux à 6m du mur et on aura alors un enclos de $72m^2$.
|
||||
|
||||
\end{solution}
|
||||
\end{document}
|
||||
|
||||
%%% Local Variables:
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%%% mode: latex
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%%% TeX-master: "master"
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%%% End:
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Binary file not shown.
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|
@ -0,0 +1,158 @@
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|||
\documentclass[a4paper,12pt]{article}
|
||||
\usepackage{myXsim}
|
||||
\usepackage{pgfplots}
|
||||
\usetikzlibrary{decorations.markings}
|
||||
\pgfplotsset{compat=1.18}
|
||||
|
||||
\title{ DM1 \hfill VAN ES Tristan}
|
||||
\tribe{1ST}
|
||||
\date{A rendre pour le lundi 27 mars 2023}
|
||||
\duree{}
|
||||
|
||||
\xsimsetup{
|
||||
solution/print = true
|
||||
}
|
||||
|
||||
|
||||
\pagestyle{empty}
|
||||
|
||||
\begin{document}
|
||||
\maketitle
|
||||
|
||||
Le barème est donné à titre indicatif, il pourra être modifié.
|
||||
|
||||
\begin{exercise}[subtitle={Polynôme de degré 2}]
|
||||
|
||||
Développer les expressions suivantes pour vérifier que ce sont des polynômes de degré 2. Vous préciserez les valeurs de $a$, $b$ et $c$.
|
||||
\begin{multicols}{2}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item $f(x) = (- 9x + 3)(- 9x + 3)$
|
||||
\item $g(x) = (- 3x + 6)^{2}$
|
||||
\item $h(x) = 10 + x(6x - 7)$
|
||||
\item $i(x) = - 1x^{2} + x(- 10x - 4)$
|
||||
\item $j(x) = 4(x - 3)(x + 4)$
|
||||
\item $k(x) = 4(x + 9)(x + 3)$
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{multicols}
|
||||
\end{exercise}
|
||||
|
||||
\begin{solution}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item
|
||||
\begin{align*}
|
||||
f(x) &= (- 9x + 3)(- 9x + 3)\\&= - 9x \times - 9x - 9x \times 3 + 3 \times - 9x + 3 \times 3\\&= - 9(- 9) \times x^{1 + 1} + 3(- 9) \times x + 3(- 9) \times x + 9\\&= - 27x - 27x + 81x^{2} + 9\\&= (- 27 - 27) \times x + 81x^{2} + 9\\&= 81x^{2} - 54x + 9
|
||||
\end{align*}
|
||||
C'est un polynôme de degré 2 avec $a = 81$, $b = - 54$ et $c = 9$.
|
||||
\item
|
||||
\begin{align*}
|
||||
g(x) &= (- 3x + 6)^{2}\\&= (- 3x + 6)(- 3x + 6)\\&= - 3x \times - 3x - 3x \times 6 + 6 \times - 3x + 6 \times 6\\&= - 3(- 3) \times x^{1 + 1} + 6(- 3) \times x + 6(- 3) \times x + 36\\&= - 18x - 18x + 9x^{2} + 36\\&= (- 18 - 18) \times x + 9x^{2} + 36\\&= 9x^{2} - 36x + 36
|
||||
\end{align*}
|
||||
C'est un polynôme de degré 2 avec $a = 9$, $b = - 36$ et $c = 36$.
|
||||
\item
|
||||
\begin{align*}
|
||||
h(x) &= 10 + x(6x - 7)\\&= 10 + x \times 6x + x(- 7)\\&= 6x^{2} - 7x + 10
|
||||
\end{align*}
|
||||
C'est un polynôme de degré 2 avec $a = 6$, $b = - 7$ et $c = 10$.
|
||||
\item
|
||||
\begin{align*}
|
||||
i(x) &= - 1x^{2} + x(- 10x - 4)\\&= - x^{2} + x \times - 10x + x(- 4)\\&= - x^{2} - 10x^{2} - 4x\\&= - x^{2} - 10x^{2} - 4x\\&= (- 1 - 10) \times x^{2} - 4x\\&= - 11x^{2} - 4x
|
||||
\end{align*}
|
||||
C'est un polynôme de degré 2 avec $a = - 11$, $b = - 4$ et $c = 0$.
|
||||
\item
|
||||
\begin{align*}
|
||||
j(x) &= 4(x - 3)(x + 4)\\&= (4x + 4(- 3))(x + 4)\\&= (4x - 12)(x + 4)\\&= 4x \times x + 4x \times 4 - 12x - 12 \times 4\\&= 4 \times 4 \times x - 48 + 4x^{2} - 12x\\&= 16x - 48 + 4x^{2} - 12x\\&= 4x^{2} + 16x - 12x - 48\\&= 4x^{2} + (16 - 12) \times x - 48\\&= 4x^{2} + 4x - 48
|
||||
\end{align*}
|
||||
C'est un polynôme de degré 2 avec $a = 4$, $b = 4$ et $c = - 48$.
|
||||
\item
|
||||
\begin{align*}
|
||||
k(x) &= 4(x + 9)(x + 3)\\&= (4x + 4 \times 9)(x + 3)\\&= (4x + 36)(x + 3)\\&= 4x \times x + 4x \times 3 + 36x + 36 \times 3\\&= 3 \times 4 \times x + 108 + 4x^{2} + 36x\\&= 12x + 108 + 4x^{2} + 36x\\&= 4x^{2} + 12x + 36x + 108\\&= 4x^{2} + (12 + 36) \times x + 108\\&= 4x^{2} + 48x + 108
|
||||
\end{align*}
|
||||
C'est un polynôme de degré 2 avec $a = 4$, $b = 48$ et $c = 108$.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{solution}
|
||||
|
||||
|
||||
\begin{exercise}[subtitle={Étude de fonctions}]
|
||||
Soit $f(x) = 3x^{2} + 12x - 180$ une fonction définie sur $\R$.
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Calculer les valeurs suivantes
|
||||
\[
|
||||
f(1) \qquad f(-2)
|
||||
\]
|
||||
\item Dériver la fonction $f$
|
||||
\item Étudier le signe de $f'$ puis en déduire les variations de $f$.
|
||||
\item Est-ce que $f$ admet un maximum? un minimum? Calculer sa valeur.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{exercise}
|
||||
|
||||
\begin{solution}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item On remplace $x$ par les valeurs demandées
|
||||
\[
|
||||
f(1) = 3 \times 1^{2} + 12 \times 1 - 180=3 \times 1 + 12 - 180=3 - 168=- 165
|
||||
\]
|
||||
\[
|
||||
f(-1) = 3 \times - 1^{2} + 12(- 1) - 180=3 \times 1 - 12 - 180=3 - 192=- 189
|
||||
\]
|
||||
\item Dérivation
|
||||
\[
|
||||
f'(x) = 6x + 12
|
||||
\]
|
||||
|
||||
\item Pas de solutions automatiques.
|
||||
\item Pas de solutions automatiques.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{solution}
|
||||
|
||||
\begin{exercise}[subtitle={Enclos}]
|
||||
Dans son garage, Jean a trouvé 15m de grillage. \\
|
||||
Il décide de l'utiliser pour faire un enclos rectangulaire. Afin d'obtenir un enclos encore plus grand, il veut utiliser le mur du jardin qui formera un côté. Le grillage formera les 3 autres.
|
||||
|
||||
\begin{center}
|
||||
\includegraphics[scale=0.8]{./fig/enclos}
|
||||
\end{center}
|
||||
|
||||
Comment placer les poteaux pour avoir un enclos le plus grand possible ?
|
||||
|
||||
\textit{Cet exercice est un exercice de recherche. Vous êtes invité à utiliser les outils que vous voulez. Une part importante de la note sera dédiée à la rédaction et aux explications de ce que vous faites. Vous êtes encouragé à faire des schémas.}
|
||||
|
||||
\textit{Si vous utilisez le tableur, vous devrez le mentionner et m'envoyer le tableur à l'adresse \url{benjamin.bertrand@ac-lyon.fr}}
|
||||
|
||||
\end{exercise}
|
||||
|
||||
\begin{solution}
|
||||
Formule de l'aire (en notant $x$ la longueur du côté de l'enclos à côté du mur)
|
||||
\[
|
||||
A(x) = x(15 - 2x) = - 2x^{2} + 15x
|
||||
\]
|
||||
On va donc étudier les variations de la fonction $A(x) = - 2x^{2} + 15x$
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item Fonction dérivée : $A'(x) = - 4x + 15$
|
||||
\item On résout l'inéquation $A'(x) \geq 0$ pour déterminer quand la fonction $A'$ est positive.
|
||||
\begin{align*}
|
||||
A(x) & \geq 0 \\
|
||||
- 4x + 15 & \geq 0 \\
|
||||
- 4x + 15 + - 15 &\geq 0 + - 15 \\
|
||||
- 4x &\geq - 15 \\
|
||||
\frac{- 4x}{- 4} &\leq \frac{- 15}{- 4} \\
|
||||
x &\leq \dfrac{15}{4} \\
|
||||
\end{align*}
|
||||
Donc $A(x)$ est positif quand $x$ est plus \textbf{petit} que $\dfrac{15}{4}$
|
||||
\item
|
||||
\begin{center}
|
||||
\begin{tikzpicture}
|
||||
\tkzTabInit[lgt=3,espcl=4]{$x$/1,Signe de $f'(x)$/2, Variations de $f(x)$/2}{, $\dfrac{15}{4}$ ,}%
|
||||
\tkzTabLine{, +, z, -, }
|
||||
\tkzTabVar{-/ ,+/$f(\dfrac{15}{4}) = \dfrac{450}{16}$ , -/}%
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\end{center}
|
||||
\end{itemize}
|
||||
Pour avoir le plus grand enclos, il faut placer les poteaux à 6m du mur et on aura alors un enclos de $72m^2$.
|
||||
|
||||
\end{solution}
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||||
\end{document}
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%%% Local Variables:
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%%% mode: latex
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%%% TeX-master: "master"
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%%% End:
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Binary file not shown.
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@ -0,0 +1,158 @@
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\documentclass[a4paper,12pt]{article}
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||||
\usepackage{myXsim}
|
||||
\usepackage{pgfplots}
|
||||
\usetikzlibrary{decorations.markings}
|
||||
\pgfplotsset{compat=1.18}
|
||||
|
||||
\title{ DM1 \hfill YANIK Azra}
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||||
\tribe{1ST}
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||||
\date{A rendre pour le lundi 27 mars 2023}
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||||
\duree{}
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||||
\xsimsetup{
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||||
solution/print = true
|
||||
}
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||||
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\pagestyle{empty}
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||||
\begin{document}
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\maketitle
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||||
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||||
Le barème est donné à titre indicatif, il pourra être modifié.
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||||
|
||||
\begin{exercise}[subtitle={Polynôme de degré 2}]
|
||||
|
||||
Développer les expressions suivantes pour vérifier que ce sont des polynômes de degré 2. Vous préciserez les valeurs de $a$, $b$ et $c$.
|
||||
\begin{multicols}{2}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item $f(x) = (- 9x + 7)(- 5x + 7)$
|
||||
\item $g(x) = (6x - 5)^{2}$
|
||||
\item $h(x) = - 8 + x(- 3x - 7)$
|
||||
\item $i(x) = - 3x^{2} + x(- 3x + 3)$
|
||||
\item $j(x) = 4(x - 3)(x - 1)$
|
||||
\item $k(x) = - 6(x + 8)(x + 4)$
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{multicols}
|
||||
\end{exercise}
|
||||
|
||||
\begin{solution}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item
|
||||
\begin{align*}
|
||||
f(x) &= (- 9x + 7)(- 5x + 7)\\&= - 9x \times - 5x - 9x \times 7 + 7 \times - 5x + 7 \times 7\\&= - 9(- 5) \times x^{1 + 1} + 7(- 9) \times x + 7(- 5) \times x + 49\\&= - 63x - 35x + 45x^{2} + 49\\&= (- 63 - 35) \times x + 45x^{2} + 49\\&= 45x^{2} - 98x + 49
|
||||
\end{align*}
|
||||
C'est un polynôme de degré 2 avec $a = 45$, $b = - 98$ et $c = 49$.
|
||||
\item
|
||||
\begin{align*}
|
||||
g(x) &= (6x - 5)^{2}\\&= (6x - 5)(6x - 5)\\&= 6x \times 6x + 6x(- 5) - 5 \times 6x - 5(- 5)\\&= 6 \times 6 \times x^{1 + 1} - 5 \times 6 \times x - 5 \times 6 \times x + 25\\&= - 30x - 30x + 36x^{2} + 25\\&= (- 30 - 30) \times x + 36x^{2} + 25\\&= 36x^{2} - 60x + 25
|
||||
\end{align*}
|
||||
C'est un polynôme de degré 2 avec $a = 36$, $b = - 60$ et $c = 25$.
|
||||
\item
|
||||
\begin{align*}
|
||||
h(x) &= - 8 + x(- 3x - 7)\\&= - 8 + x \times - 3x + x(- 7)\\&= - 3x^{2} - 7x - 8
|
||||
\end{align*}
|
||||
C'est un polynôme de degré 2 avec $a = - 3$, $b = - 7$ et $c = - 8$.
|
||||
\item
|
||||
\begin{align*}
|
||||
i(x) &= - 3x^{2} + x(- 3x + 3)\\&= - 3x^{2} + x \times - 3x + x \times 3\\&= - 3x^{2} - 3x^{2} + 3x\\&= - 3x^{2} - 3x^{2} + 3x\\&= (- 3 - 3) \times x^{2} + 3x\\&= - 6x^{2} + 3x
|
||||
\end{align*}
|
||||
C'est un polynôme de degré 2 avec $a = - 6$, $b = 3$ et $c = 0$.
|
||||
\item
|
||||
\begin{align*}
|
||||
j(x) &= 4(x - 3)(x - 1)\\&= (4x + 4(- 3))(x - 1)\\&= (4x - 12)(x - 1)\\&= 4x \times x + 4x(- 1) - 12x - 12(- 1)\\&= - 1 \times 4 \times x + 12 + 4x^{2} - 12x\\&= - 4x + 12 + 4x^{2} - 12x\\&= 4x^{2} - 4x - 12x + 12\\&= 4x^{2} + (- 4 - 12) \times x + 12\\&= 4x^{2} - 16x + 12
|
||||
\end{align*}
|
||||
C'est un polynôme de degré 2 avec $a = 4$, $b = - 16$ et $c = 12$.
|
||||
\item
|
||||
\begin{align*}
|
||||
k(x) &= - 6(x + 8)(x + 4)\\&= (- 6x - 6 \times 8)(x + 4)\\&= (- 6x - 48)(x + 4)\\&= - 6x \times x - 6x \times 4 - 48x - 48 \times 4\\&= 4(- 6) \times x - 192 - 6x^{2} - 48x\\&= - 24x - 192 - 6x^{2} - 48x\\&= - 6x^{2} - 24x - 48x - 192\\&= - 6x^{2} + (- 24 - 48) \times x - 192\\&= - 6x^{2} - 72x - 192
|
||||
\end{align*}
|
||||
C'est un polynôme de degré 2 avec $a = - 6$, $b = - 72$ et $c = - 192$.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{solution}
|
||||
|
||||
|
||||
\begin{exercise}[subtitle={Étude de fonctions}]
|
||||
Soit $f(x) = - 2x^{2} - 32x - 120$ une fonction définie sur $\R$.
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Calculer les valeurs suivantes
|
||||
\[
|
||||
f(1) \qquad f(-2)
|
||||
\]
|
||||
\item Dériver la fonction $f$
|
||||
\item Étudier le signe de $f'$ puis en déduire les variations de $f$.
|
||||
\item Est-ce que $f$ admet un maximum? un minimum? Calculer sa valeur.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{exercise}
|
||||
|
||||
\begin{solution}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item On remplace $x$ par les valeurs demandées
|
||||
\[
|
||||
f(1) = - 2 \times 1^{2} - 32 \times 1 - 120=- 2 \times 1 - 32 - 120=- 2 - 152=- 154
|
||||
\]
|
||||
\[
|
||||
f(-1) = - 2 \times - 1^{2} - 32(- 1) - 120=- 2 \times 1 + 32 - 120=- 2 - 88=- 90
|
||||
\]
|
||||
\item Dérivation
|
||||
\[
|
||||
f'(x) = - 4x - 32
|
||||
\]
|
||||
|
||||
\item Pas de solutions automatiques.
|
||||
\item Pas de solutions automatiques.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{solution}
|
||||
|
||||
\begin{exercise}[subtitle={Enclos}]
|
||||
Dans son garage, Jean a trouvé 30m de grillage. \\
|
||||
Il décide de l'utiliser pour faire un enclos rectangulaire. Afin d'obtenir un enclos encore plus grand, il veut utiliser le mur du jardin qui formera un côté. Le grillage formera les 3 autres.
|
||||
|
||||
\begin{center}
|
||||
\includegraphics[scale=0.8]{./fig/enclos}
|
||||
\end{center}
|
||||
|
||||
Comment placer les poteaux pour avoir un enclos le plus grand possible ?
|
||||
|
||||
\textit{Cet exercice est un exercice de recherche. Vous êtes invité à utiliser les outils que vous voulez. Une part importante de la note sera dédiée à la rédaction et aux explications de ce que vous faites. Vous êtes encouragé à faire des schémas.}
|
||||
|
||||
\textit{Si vous utilisez le tableur, vous devrez le mentionner et m'envoyer le tableur à l'adresse \url{benjamin.bertrand@ac-lyon.fr}}
|
||||
|
||||
\end{exercise}
|
||||
|
||||
\begin{solution}
|
||||
Formule de l'aire (en notant $x$ la longueur du côté de l'enclos à côté du mur)
|
||||
\[
|
||||
A(x) = x(30 - 2x) = - 2x^{2} + 30x
|
||||
\]
|
||||
On va donc étudier les variations de la fonction $A(x) = - 2x^{2} + 30x$
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item Fonction dérivée : $A'(x) = - 4x + 30$
|
||||
\item On résout l'inéquation $A'(x) \geq 0$ pour déterminer quand la fonction $A'$ est positive.
|
||||
\begin{align*}
|
||||
A(x) & \geq 0 \\
|
||||
- 4x + 30 & \geq 0 \\
|
||||
- 4x + 30 + - 30 &\geq 0 + - 30 \\
|
||||
- 4x &\geq - 30 \\
|
||||
\frac{- 4x}{- 4} &\leq \frac{- 30}{- 4} \\
|
||||
x &\leq \dfrac{15}{2} \\
|
||||
\end{align*}
|
||||
Donc $A(x)$ est positif quand $x$ est plus \textbf{petit} que $\dfrac{15}{2}$
|
||||
\item
|
||||
\begin{center}
|
||||
\begin{tikzpicture}
|
||||
\tkzTabInit[lgt=3,espcl=4]{$x$/1,Signe de $f'(x)$/2, Variations de $f(x)$/2}{, $\dfrac{15}{2}$ ,}%
|
||||
\tkzTabLine{, +, z, -, }
|
||||
\tkzTabVar{-/ ,+/$f(\dfrac{15}{2}) = \dfrac{450}{4}$ , -/}%
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\end{center}
|
||||
\end{itemize}
|
||||
Pour avoir le plus grand enclos, il faut placer les poteaux à 6m du mur et on aura alors un enclos de $72m^2$.
|
||||
|
||||
\end{solution}
|
||||
\end{document}
|
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|
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%%% Local Variables:
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%%% mode: latex
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%%% TeX-master: "master"
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%%% End:
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Binary file not shown.
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@ -0,0 +1,158 @@
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|||
\documentclass[a4paper,12pt]{article}
|
||||
\usepackage{myXsim}
|
||||
\usepackage{pgfplots}
|
||||
\usetikzlibrary{decorations.markings}
|
||||
\pgfplotsset{compat=1.18}
|
||||
|
||||
\title{ DM1 \hfill ZINBI Myriem}
|
||||
\tribe{1ST}
|
||||
\date{A rendre pour le lundi 27 mars 2023}
|
||||
\duree{}
|
||||
|
||||
\xsimsetup{
|
||||
solution/print = true
|
||||
}
|
||||
|
||||
|
||||
\pagestyle{empty}
|
||||
|
||||
\begin{document}
|
||||
\maketitle
|
||||
|
||||
Le barème est donné à titre indicatif, il pourra être modifié.
|
||||
|
||||
\begin{exercise}[subtitle={Polynôme de degré 2}]
|
||||
|
||||
Développer les expressions suivantes pour vérifier que ce sont des polynômes de degré 2. Vous préciserez les valeurs de $a$, $b$ et $c$.
|
||||
\begin{multicols}{2}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item $f(x) = (- 1x + 9)(- 7x + 9)$
|
||||
\item $g(x) = (2x + 2)^{2}$
|
||||
\item $h(x) = 7 + x(- 10x - 3)$
|
||||
\item $i(x) = - 1x^{2} + x(10x - 9)$
|
||||
\item $j(x) = - 4(x + 10)(x + 4)$
|
||||
\item $k(x) = - 6(x - 7)(x - 10)$
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{multicols}
|
||||
\end{exercise}
|
||||
|
||||
\begin{solution}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item
|
||||
\begin{align*}
|
||||
f(x) &= (- 1x + 9)(- 7x + 9)\\&= (- x) \times - 7x + (- x) \times 9 + 9 \times - 7x + 9 \times 9\\&= - 1(- 7) \times x^{1 + 1} + 9(- 1) \times x + 9(- 7) \times x + 81\\&= - 9x - 63x + 7x^{2} + 81\\&= (- 9 - 63) \times x + 7x^{2} + 81\\&= 7x^{2} - 72x + 81
|
||||
\end{align*}
|
||||
C'est un polynôme de degré 2 avec $a = 7$, $b = - 72$ et $c = 81$.
|
||||
\item
|
||||
\begin{align*}
|
||||
g(x) &= (2x + 2)^{2}\\&= (2x + 2)(2x + 2)\\&= 2x \times 2x + 2x \times 2 + 2 \times 2x + 2 \times 2\\&= 2 \times 2 \times x^{1 + 1} + 2 \times 2 \times x + 2 \times 2 \times x + 4\\&= 4x + 4x + 4x^{2} + 4\\&= (4 + 4) \times x + 4x^{2} + 4\\&= 4x^{2} + 8x + 4
|
||||
\end{align*}
|
||||
C'est un polynôme de degré 2 avec $a = 4$, $b = 8$ et $c = 4$.
|
||||
\item
|
||||
\begin{align*}
|
||||
h(x) &= 7 + x(- 10x - 3)\\&= 7 + x \times - 10x + x(- 3)\\&= - 10x^{2} - 3x + 7
|
||||
\end{align*}
|
||||
C'est un polynôme de degré 2 avec $a = - 10$, $b = - 3$ et $c = 7$.
|
||||
\item
|
||||
\begin{align*}
|
||||
i(x) &= - 1x^{2} + x(10x - 9)\\&= - x^{2} + x \times 10x + x(- 9)\\&= - x^{2} + 10x^{2} - 9x\\&= - x^{2} + 10x^{2} - 9x\\&= (- 1 + 10) \times x^{2} - 9x\\&= 9x^{2} - 9x
|
||||
\end{align*}
|
||||
C'est un polynôme de degré 2 avec $a = 9$, $b = - 9$ et $c = 0$.
|
||||
\item
|
||||
\begin{align*}
|
||||
j(x) &= - 4(x + 10)(x + 4)\\&= (- 4x - 4 \times 10)(x + 4)\\&= (- 4x - 40)(x + 4)\\&= - 4x \times x - 4x \times 4 - 40x - 40 \times 4\\&= 4(- 4) \times x - 160 - 4x^{2} - 40x\\&= - 16x - 160 - 4x^{2} - 40x\\&= - 4x^{2} - 16x - 40x - 160\\&= - 4x^{2} + (- 16 - 40) \times x - 160\\&= - 4x^{2} - 56x - 160
|
||||
\end{align*}
|
||||
C'est un polynôme de degré 2 avec $a = - 4$, $b = - 56$ et $c = - 160$.
|
||||
\item
|
||||
\begin{align*}
|
||||
k(x) &= - 6(x - 7)(x - 10)\\&= (- 6x - 6(- 7))(x - 10)\\&= (- 6x + 42)(x - 10)\\&= - 6x \times x - 6x(- 10) + 42x + 42(- 10)\\&= - 10(- 6) \times x - 420 - 6x^{2} + 42x\\&= 60x - 420 - 6x^{2} + 42x\\&= - 6x^{2} + 60x + 42x - 420\\&= - 6x^{2} + (60 + 42) \times x - 420\\&= - 6x^{2} + 102x - 420
|
||||
\end{align*}
|
||||
C'est un polynôme de degré 2 avec $a = - 6$, $b = 102$ et $c = - 420$.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{solution}
|
||||
|
||||
|
||||
\begin{exercise}[subtitle={Étude de fonctions}]
|
||||
Soit $f(x) = 3x^{2} - 147$ une fonction définie sur $\R$.
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Calculer les valeurs suivantes
|
||||
\[
|
||||
f(1) \qquad f(-2)
|
||||
\]
|
||||
\item Dériver la fonction $f$
|
||||
\item Étudier le signe de $f'$ puis en déduire les variations de $f$.
|
||||
\item Est-ce que $f$ admet un maximum? un minimum? Calculer sa valeur.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{exercise}
|
||||
|
||||
\begin{solution}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item On remplace $x$ par les valeurs demandées
|
||||
\[
|
||||
f(1) = 3 \times 1^{2} - 147=3 \times 1 - 147=3 - 147=- 144
|
||||
\]
|
||||
\[
|
||||
f(-1) = 3 \times - 1^{2} - 147=3 \times 1 - 147=3 - 147=- 144
|
||||
\]
|
||||
\item Dérivation
|
||||
\[
|
||||
f'(x) = 6x
|
||||
\]
|
||||
|
||||
\item Pas de solutions automatiques.
|
||||
\item Pas de solutions automatiques.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{solution}
|
||||
|
||||
\begin{exercise}[subtitle={Enclos}]
|
||||
Dans son garage, Jean a trouvé 35m de grillage. \\
|
||||
Il décide de l'utiliser pour faire un enclos rectangulaire. Afin d'obtenir un enclos encore plus grand, il veut utiliser le mur du jardin qui formera un côté. Le grillage formera les 3 autres.
|
||||
|
||||
\begin{center}
|
||||
\includegraphics[scale=0.8]{./fig/enclos}
|
||||
\end{center}
|
||||
|
||||
Comment placer les poteaux pour avoir un enclos le plus grand possible ?
|
||||
|
||||
\textit{Cet exercice est un exercice de recherche. Vous êtes invité à utiliser les outils que vous voulez. Une part importante de la note sera dédiée à la rédaction et aux explications de ce que vous faites. Vous êtes encouragé à faire des schémas.}
|
||||
|
||||
\textit{Si vous utilisez le tableur, vous devrez le mentionner et m'envoyer le tableur à l'adresse \url{benjamin.bertrand@ac-lyon.fr}}
|
||||
|
||||
\end{exercise}
|
||||
|
||||
\begin{solution}
|
||||
Formule de l'aire (en notant $x$ la longueur du côté de l'enclos à côté du mur)
|
||||
\[
|
||||
A(x) = x(35 - 2x) = - 2x^{2} + 35x
|
||||
\]
|
||||
On va donc étudier les variations de la fonction $A(x) = - 2x^{2} + 35x$
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item Fonction dérivée : $A'(x) = - 4x + 35$
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\item On résout l'inéquation $A'(x) \geq 0$ pour déterminer quand la fonction $A'$ est positive.
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\begin{align*}
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A(x) & \geq 0 \\
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- 4x + 35 & \geq 0 \\
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- 4x + 35 + - 35 &\geq 0 + - 35 \\
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- 4x &\geq - 35 \\
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\frac{- 4x}{- 4} &\leq \frac{- 35}{- 4} \\
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x &\leq \dfrac{35}{4} \\
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\end{align*}
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Donc $A(x)$ est positif quand $x$ est plus \textbf{petit} que $\dfrac{35}{4}$
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\item
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\begin{center}
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\begin{tikzpicture}
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\tkzTabInit[lgt=3,espcl=4]{$x$/1,Signe de $f'(x)$/2, Variations de $f(x)$/2}{, $\dfrac{35}{4}$ ,}%
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\tkzTabLine{, +, z, -, }
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\tkzTabVar{-/ ,+/$f(\dfrac{35}{4}) = \dfrac{2450}{16}$ , -/}%
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\end{tikzpicture}
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\end{center}
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\end{itemize}
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Pour avoir le plus grand enclos, il faut placer les poteaux à 6m du mur et on aura alors un enclos de $72m^2$.
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\end{solution}
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\end{document}
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%%% Local Variables:
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%%% mode: latex
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%%% TeX-master: "master"
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%%% End:
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