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\documentclass[a4paper,12pt]{article}
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\usepackage{myXsim}
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\usepackage{pgfplots}
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\usetikzlibrary{decorations.markings}
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\pgfplotsset{compat=1.18}
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\title{ DM1 \hfill NEIVA Diego}
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\tribe{1ST}
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\date{A rendre pour le lundi 27 mars 2023}
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\duree{}
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\xsimsetup{
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solution/print = false
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}
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\pagestyle{empty}
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\begin{document}
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\maketitle
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Le barème est donné à titre indicatif, il pourra être modifié.
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\begin{exercise}[subtitle={Polynôme de degré 2}]
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Développer les expressions suivantes pour vérifier que ce sont des polynômes de degré 2. Vous préciserez les valeurs de $a$, $b$ et $c$.
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\begin{multicols}{2}
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\begin{enumerate}
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\item $f(x) = (10x + 6)(5x + 6)$
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\item $g(x) = (- 3x - 8)^{2}$
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\item $h(x) = 5 + x(6x + 10)$
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\item $i(x) = 2x^{2} + x(3x + 3)$
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\item $j(x) = 10(x - 2)(x + 8)$
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\item $k(x) = - 8(x - 1)(x - 9)$
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\end{enumerate}
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\end{multicols}
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\end{exercise}
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\begin{solution}
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\begin{enumerate}
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\item
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\begin{align*}
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f(x) &= (10x + 6)(5x + 6)\\&= 10x \times 5x + 10x \times 6 + 6 \times 5x + 6 \times 6\\&= 10 \times 5 \times x^{1 + 1} + 6 \times 10 \times x + 6 \times 5 \times x + 36\\&= 60x + 30x + 50x^{2} + 36\\&= (60 + 30) \times x + 50x^{2} + 36\\&= 50x^{2} + 90x + 36
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\end{align*}
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C'est un polynôme de degré 2 avec $a = 50$, $b = 90$ et $c = 36$.
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\item
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\begin{align*}
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g(x) &= (- 3x - 8)^{2}\\&= (- 3x - 8)(- 3x - 8)\\&= - 3x \times - 3x - 3x(- 8) - 8 \times - 3x - 8(- 8)\\&= - 3(- 3) \times x^{1 + 1} - 8(- 3) \times x - 8(- 3) \times x + 64\\&= 24x + 24x + 9x^{2} + 64\\&= (24 + 24) \times x + 9x^{2} + 64\\&= 9x^{2} + 48x + 64
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\end{align*}
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C'est un polynôme de degré 2 avec $a = 9$, $b = 48$ et $c = 64$.
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\item
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\begin{align*}
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h(x) &= 5 + x(6x + 10)\\&= 5 + x \times 6x + x \times 10\\&= 6x^{2} + 10x + 5
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\end{align*}
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C'est un polynôme de degré 2 avec $a = 6$, $b = 10$ et $c = 5$.
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\item
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\begin{align*}
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i(x) &= 2x^{2} + x(3x + 3)\\&= 2x^{2} + x \times 3x + x \times 3\\&= 2x^{2} + 3x^{2} + 3x\\&= 2x^{2} + 3x^{2} + 3x\\&= (2 + 3) \times x^{2} + 3x\\&= 5x^{2} + 3x
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\end{align*}
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C'est un polynôme de degré 2 avec $a = 5$, $b = 3$ et $c = 0$.
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\item
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\begin{align*}
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j(x) &= 10(x - 2)(x + 8)\\&= (10x + 10(- 2))(x + 8)\\&= (10x - 20)(x + 8)\\&= 10x \times x + 10x \times 8 - 20x - 20 \times 8\\&= 8 \times 10 \times x - 160 + 10x^{2} - 20x\\&= 80x - 160 + 10x^{2} - 20x\\&= 10x^{2} + 80x - 20x - 160\\&= 10x^{2} + (80 - 20) \times x - 160\\&= 10x^{2} + 60x - 160
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\end{align*}
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C'est un polynôme de degré 2 avec $a = 10$, $b = 60$ et $c = - 160$.
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\item
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\begin{align*}
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k(x) &= - 8(x - 1)(x - 9)\\&= (- 8x - 8(- 1))(x - 9)\\&= (- 8x + 8)(x - 9)\\&= - 8x \times x - 8x(- 9) + 8x + 8(- 9)\\&= - 9(- 8) \times x - 72 - 8x^{2} + 8x\\&= 72x - 72 - 8x^{2} + 8x\\&= - 8x^{2} + 72x + 8x - 72\\&= - 8x^{2} + (72 + 8) \times x - 72\\&= - 8x^{2} + 80x - 72
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\end{align*}
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C'est un polynôme de degré 2 avec $a = - 8$, $b = 80$ et $c = - 72$.
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\end{enumerate}
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\end{solution}
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\begin{exercise}[subtitle={Étude de fonctions}]
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Soit $f(x) = - 4x^{2} - 8x + 60$ une fonction définie sur $\R$.
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\begin{enumerate}
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\item Calculer les valeurs suivantes
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\[
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f(1) \qquad f(-2)
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\]
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\item Dériver la fonction $f$
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\item Étudier le signe de $f'$ puis en déduire les variations de $f$.
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\item Est-ce que $f$ admet un maximum? un minimum? Calculer sa valeur.
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\end{enumerate}
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\end{exercise}
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\begin{solution}
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\begin{enumerate}
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\item On remplace $x$ par les valeurs demandées
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\[
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f(1) = - 4 \times 1^{2} - 8 \times 1 + 60=- 4 \times 1 - 8 + 60=- 4 + 52=48
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\]
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\[
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f(-1) = - 4 \times - 1^{2} - 8(- 1) + 60=- 4 \times 1 + 8 + 60=- 4 + 68=64
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\]
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\item Dérivation
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\[
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f'(x) = - 8x - 8
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\]
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\item Pas de solutions automatiques.
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|
\item Pas de solutions automatiques.
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\end{enumerate}
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\end{solution}
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\begin{exercise}[subtitle={Enclos}]
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Dans son garage, Jean a trouvé 35m de grillage. \\
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Il décide de l'utiliser pour faire un enclos rectangulaire. Afin d'obtenir un enclos encore plus grand, il veut utiliser le mur du jardin qui formera un côté. Le grillage formera les 3 autres.
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\begin{center}
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\includegraphics[scale=0.8]{./fig/enclos}
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\end{center}
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Comment placer les poteaux pour avoir un enclos le plus grand possible ?
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\textit{Cet exercice est un exercice de recherche. Vous êtes invité à utiliser les outils que vous voulez. Une part importante de la note sera dédiée à la rédaction et aux explications de ce que vous faites. Vous êtes encouragé à faire des schémas.}
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\textit{Si vous utilisez le tableur, vous devrez le mentionner et m'envoyer le tableur à l'adresse \url{benjamin.bertrand@ac-lyon.fr}}
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\end{exercise}
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\begin{solution}
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Formule de l'aire (en notant $x$ la longueur du côté de l'enclos à côté du mur)
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\[
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A(x) = x(35 - 2x) = - 2x^{2} + 35x
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\]
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On va donc étudier les variations de la fonction $A(x) = - 2x^{2} + 35x$
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\begin{itemize}
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\item Fonction dérivée : $A'(x) = - 4x + 35$
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\item On résout l'inéquation $A'(x) \geq 0$ pour déterminer quand la fonction $A'$ est positive.
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\begin{align*}
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A(x) & \geq 0 \\
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- 4x + 35 & \geq 0 \\
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- 4x + 35 + - 35 &\geq 0 + - 35 \\
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- 4x &\geq - 35 \\
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\frac{- 4x}{- 4} &\leq \frac{- 35}{- 4} \\
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x &\leq \dfrac{35}{4} \\
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\end{align*}
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Donc $A(x)$ est positif quand $x$ est plus \textbf{petit} que $\dfrac{35}{4}$
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\item
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\begin{center}
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\begin{tikzpicture}
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\tkzTabInit[lgt=3,espcl=4]{$x$/1,Signe de $f'(x)$/2, Variations de $f(x)$/2}{, $\dfrac{35}{4}$ ,}%
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\tkzTabLine{, +, z, -, }
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\tkzTabVar{-/ ,+/$f(\dfrac{35}{4}) = \dfrac{2450}{16}$ , -/}%
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\end{tikzpicture}
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\end{center}
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\end{itemize}
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Pour avoir le plus grand enclos, il faut placer les poteaux à 6m du mur et on aura alors un enclos de $72m^2$.
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\end{solution}
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\end{document}
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%%% TeX-master: "master"
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