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TeX
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\documentclass[a4paper,12pt]{article}
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\usepackage{myXsim}
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\usepackage{pgfplots}
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\usetikzlibrary{decorations.markings}
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\pgfplotsset{compat=1.18}
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\title{ DM1 \hfill }
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\tribe{1ST}
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\date{A rendre pour le lundi 27 mars 2023}
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\duree{}
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\xsimsetup{
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solution/print = false
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}
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\pagestyle{empty}
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\begin{document}
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\maketitle
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Le barème est donné à titre indicatif, il pourra être modifié.
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\begin{exercise}[subtitle={Polynôme de degré 2}]
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Développer les expressions suivantes pour vérifier que ce sont des polynômes de degré 2. Vous préciserez les valeurs de $a$, $b$ et $c$.
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\begin{multicols}{2}
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\begin{enumerate}
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\item $f(x) = (3x - 6)(- 7x - 6)$
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\item $g(x) = (- 3x + 10)^{2}$
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\item $h(x) = - 10 + x(- 7x - 4)$
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\item $i(x) = - 1x^{2} + x(- 8x - 4)$
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\item $j(x) = 6(x - 3)(x + 8)$
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\item $k(x) = 5(x + 6)(x - 10)$
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\end{enumerate}
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\end{multicols}
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\end{exercise}
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\begin{solution}
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\begin{enumerate}
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\item
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\begin{align*}
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f(x) &= (3x - 6)(- 7x - 6)\\&= 3x \times - 7x + 3x(- 6) - 6 \times - 7x - 6(- 6)\\&= 3(- 7) \times x^{1 + 1} - 6 \times 3 \times x - 6(- 7) \times x + 36\\&= - 18x + 42x - 21x^{2} + 36\\&= (- 18 + 42) \times x - 21x^{2} + 36\\&= - 21x^{2} + 24x + 36
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\end{align*}
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C'est un polynôme de degré 2 avec $a = - 21$, $b = 24$ et $c = 36$.
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\item
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\begin{align*}
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g(x) &= (- 3x + 10)^{2}\\&= (- 3x + 10)(- 3x + 10)\\&= - 3x \times - 3x - 3x \times 10 + 10 \times - 3x + 10 \times 10\\&= - 3(- 3) \times x^{1 + 1} + 10(- 3) \times x + 10(- 3) \times x + 100\\&= - 30x - 30x + 9x^{2} + 100\\&= (- 30 - 30) \times x + 9x^{2} + 100\\&= 9x^{2} - 60x + 100
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\end{align*}
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C'est un polynôme de degré 2 avec $a = 9$, $b = - 60$ et $c = 100$.
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\item
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\begin{align*}
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h(x) &= - 10 + x(- 7x - 4)\\&= - 10 + x \times - 7x + x(- 4)\\&= - 7x^{2} - 4x - 10
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\end{align*}
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C'est un polynôme de degré 2 avec $a = - 7$, $b = - 4$ et $c = - 10$.
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\item
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\begin{align*}
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i(x) &= - 1x^{2} + x(- 8x - 4)\\&= - x^{2} + x \times - 8x + x(- 4)\\&= - x^{2} - 8x^{2} - 4x\\&= - x^{2} - 8x^{2} - 4x\\&= (- 1 - 8) \times x^{2} - 4x\\&= - 9x^{2} - 4x
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\end{align*}
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C'est un polynôme de degré 2 avec $a = - 9$, $b = - 4$ et $c = 0$.
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\item
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\begin{align*}
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j(x) &= 6(x - 3)(x + 8)\\&= (6x + 6(- 3))(x + 8)\\&= (6x - 18)(x + 8)\\&= 6x \times x + 6x \times 8 - 18x - 18 \times 8\\&= 8 \times 6 \times x - 144 + 6x^{2} - 18x\\&= 48x - 144 + 6x^{2} - 18x\\&= 6x^{2} + 48x - 18x - 144\\&= 6x^{2} + (48 - 18) \times x - 144\\&= 6x^{2} + 30x - 144
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\end{align*}
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C'est un polynôme de degré 2 avec $a = 6$, $b = 30$ et $c = - 144$.
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\item
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\begin{align*}
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k(x) &= 5(x + 6)(x - 10)\\&= (5x + 5 \times 6)(x - 10)\\&= (5x + 30)(x - 10)\\&= 5x \times x + 5x(- 10) + 30x + 30(- 10)\\&= - 10 \times 5 \times x - 300 + 5x^{2} + 30x\\&= - 50x - 300 + 5x^{2} + 30x\\&= 5x^{2} - 50x + 30x - 300\\&= 5x^{2} + (- 50 + 30) \times x - 300\\&= 5x^{2} - 20x - 300
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\end{align*}
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C'est un polynôme de degré 2 avec $a = 5$, $b = - 20$ et $c = - 300$.
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\end{enumerate}
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\end{solution}
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\begin{exercise}[subtitle={Étude de fonctions}]
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Soit $f(x) = 6x^{2} - 48x - 120$ une fonction définie sur $\R$.
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\begin{enumerate}
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\item Calculer les valeurs suivantes
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\[
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f(1) \qquad f(-2)
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\]
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\item Dériver la fonction $f$
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\item Étudier le signe de $f'$ puis en déduire les variations de $f$.
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\item Est-ce que $f$ admet un maximum? un minimum? Calculer sa valeur.
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\end{enumerate}
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\end{exercise}
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\begin{solution}
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\begin{enumerate}
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\item On remplace $x$ par les valeurs demandées
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\[
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f(1) = 6 \times 1^{2} - 48 \times 1 - 120=6 \times 1 - 48 - 120=6 - 168=- 162
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\]
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\[
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f(-1) = 6 \times - 1^{2} - 48(- 1) - 120=6 \times 1 + 48 - 120=6 - 72=- 66
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\]
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\item Dérivation
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\[
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f'(x) = 12x - 48
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\]
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\item Pas de solutions automatiques.
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|
\item Pas de solutions automatiques.
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\end{enumerate}
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\end{solution}
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\begin{exercise}[subtitle={Enclos}]
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Dans son garage, Jean a trouvé 24m de grillage. \\
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Il décide de l'utiliser pour faire un enclos rectangulaire. Afin d'obtenir un enclos encore plus grand, il veut utiliser le mur du jardin qui formera un côté. Le grillage formera les 3 autres.
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\begin{center}
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\includegraphics[scale=0.8]{./fig/enclos}
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\end{center}
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Comment placer les poteaux pour avoir un enclos le plus grand possible ?
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\textit{Cet exercice est un exercice de recherche. Vous êtes invité à utiliser les outils que vous voulez. Une part importante de la note sera dédiée à la rédaction et aux explications de ce que vous faites. Vous êtes encouragé à faire des schémas.}
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\textit{Si vous utilisez le tableur, vous devrez le mentionner et m'envoyer le tableur à l'adresse \url{benjamin.bertrand@ac-lyon.fr}}
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\end{exercise}
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\begin{solution}
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Formule de l'aire (en notant $x$ la longueur du côté de l'enclos à côté du mur)
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\[
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A(x) = x(24 - 2x) = - 2x^{2} + 24x
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\]
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On va donc étudier les variations de la fonction $A(x) = - 2x^{2} + 24x$
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\begin{itemize}
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\item Fonction dérivée : $A'(x) = - 4x + 24$
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\item On résout l'inéquation $A'(x) \geq 0$ pour déterminer quand la fonction $A'$ est positive.
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\begin{align*}
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A(x) & \geq 0 \\
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- 4x + 24 & \geq 0 \\
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- 4x + 24 + - 24 &\geq 0 + - 24 \\
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- 4x &\geq - 24 \\
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\frac{- 4x}{- 4} &\leq \frac{- 24}{- 4} \\
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x &\leq 6 \\
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\end{align*}
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Donc $A(x)$ est positif quand $x$ est plus \textbf{petit} que $6$
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\item
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\begin{center}
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\begin{tikzpicture}
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\tkzTabInit[lgt=3,espcl=4]{$x$/1,Signe de $f'(x)$/2, Variations de $f(x)$/2}{, $6$ ,}%
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\tkzTabLine{, +, z, -, }
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\tkzTabVar{-/ ,+/$f(6) = 72$ , -/}%
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|
\end{tikzpicture}
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|
\end{center}
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\end{itemize}
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Pour avoir le plus grand enclos, il faut placer les poteaux à 6m du mur et on aura alors un enclos de $72m^2$.
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\end{solution}
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\end{document}
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%%% Local Variables:
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%%% mode: latex
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%%% TeX-master: "master"
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%%% End:
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