2022-2023/1ST/Evaluations/DS_2023-05-03/exercises.tex

\begin{exercise}[subtitle={Automatismes}, step={1}, origin={ma tête}, topics={  }, tags={  }]
    \begin{enumerate}
        \item Développer l'expression suivante $(7-3x)(7+3x)$
            \vfill
        \item Calculer l'image de -1 par la fonction $f(x)=-2x^2 - 3$
            \vfill
        \item Résoudre l'équation $5x - 7 = 3x - 19$.
            \vfill
        \item Dériver la fonction suivante: $f(x) = 5x^3 - 10x^2 + 3x - 1$
            \vfill
        \item Dériver la fonction suivante: $f(x) = 5x^3 - 10x^2 + 3x - 1$
            \vfill
        \item Dans une ferme, il y a 15 poules ce qui représente 25\% du total des animaux. \\Combien y a-t-il d'animaux en tout?
          \vfill
        \item Une quantité est augmenté de 40\%. Par combien est-elle augmentée?
          \vfill
        \item On décide de diminuer la production de déchets de 4\% par ans. Aujourd'hui on est à \np{40000} tonnes de déchets par ans.
          On modélise la quantité de déchets produit par ans par la suite $(u_n)$.

            Quelle est la nature de la suite ? Préciser les paramètres.
            \vfill
    \end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}[subtitle={Étude de fonction}, step={2}, origin={ma tête}, topics={ Fonctions, Dérivation }, points={9}]
    On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = 0.5x^2 + x - 1.5$
    \begin{enumerate}
        \item Parmi les nombres $a$, $b$ et $c$, lesquels sont des racines de $f$ ?
            \[
                a = 1 \qquad b = 2 \qquad c = -3
            \]
        \item Montrer que la forme factorisée de la fonction $f$ est $f(x) = 0.5(x-1)(x+3)$.
        \item Tracer le tableau de signe de la fonction $f$.
        \item On souhaite étudier les variations de la fonction $f$.
            \begin{enumerate}
                \item Calculer $f'(x)$ la fonction dérivée de $f$.
                \item Étudier le signe de $f'(x)$.
                \item En déduire le tableau de variations de $f(x)$.
            \end{enumerate}
        \item Parmi les courbes ci-dessous, déterminer celle représentant la fonction $f$. Vous justifierez votre choix.

          \begin{center}
            \begin{tikzpicture}[xscale=0.8, yscale=0.8]
              \tkzInit[xmin=-5,xmax=5,xstep=1,
              ymin=-5,ymax=5,ystep=1]
              \tkzGrid
              \tkzAxeXY
              \tkzFct[domain = -5:5,color=red,very thick]{0.5*(x-1)*(x+3)};
              \tkzFct[domain = -5:5,color=blue,very thick]{-0.5*(x-1)*(x+3)};
              \tkzFct[domain = -5:5,color=green,very thick]{0.5*(x+1)*(x-3)};
              \tkzFct[domain = -5:5,color=gray,very thick]{(x+1)*(x-3)};
            \end{tikzpicture}
          \end{center}

    \end{enumerate}

    \pagebreak
\end{exercise}

\begin{exercise}[subtitle={Probabilités conditionnelles}, step={2}, origin={ma tête}, topics={ Probabilités conditionnelles  }, points={6}]
    Une agence a lancé une campagne de publicité afin de faire connaître un nouveau produit. Elle a réalisé un sondage sur 1200 d'une zone géographique déterminée afin de connaître l'impact de cette campagne.
    \begin{itemize}
        \item 28\% des personnes interrogées ont plus de 60 ans. Parmi elles, 40\% ont déclaré connaître le produit.
        \item 42\% des personnes interrogées ont entre 25 et 60 ans. Parmi elles, 55\% ont déclaré connaître le produit.
        \item Parmi les moins de 25 ans, 25\% ont déclaré ne par connaître le produit.
    \end{itemize}
    On choisit au hasard une personne interrogée par l’agence de publicité et on considère les évènements suivants :
    \begin{itemize}
        \item S : « la personne interrogée a plus de 60 ans » ;
        \item M : « la personne interrogée a entre 25 et 60 ans » ;
        \item J : « la personne interrogée a moins de 25 ans » ;
        \item C : « la personne interrogée déclare connaitre le produit ».
    \end{itemize}
    \begin{enumerate}
        \item Compléter le tableau suivant. Vous détaillerez vos calculs sur votre copie.

          \begin{center}
            \begin{tabular}{|c|c|c|c|}
              \hline
                & Connaît le produit & Ne connaît pas & Total \\
                \hline
              Plus de 60ans & & & \\
              \hline
              Entre 25 et 60 ans & & & \\
              \hline
              Moins de 25 ans& & & \\
              \hline
              Total & & & \\
              \hline
            \end{tabular}
          \end{center}

        \item Calculer la probabilité que la personne interrogée ait entre 25 et 60 ans et déclare ne pas connaître le produit. Comment peut-on noter cette ensemble?
        \item Pour chacun des ensembles suivants, le décrire en français puis calculer sa probabilité.
            \[
                S\cap C \qquad \overline{C} \qquad J\cup C \qquad S \cup \overline{C}
            \]
    \end{enumerate}
\end{exercise}