2022-2023/1ST/05_Fonction_derivee/exercises.tex

\begin{exercise}[subtitle={Construction de la fonction derivée}, step={1}, origin={Ma tête}, topics={ Fonction dérivée }, tags={ Dérivation }]
    Pour chacun des graphiques ci-dessous compléter les tableaux pour trouver les nombres dérivés.
    \begin{enumerate}
        \item ~

            \begin{minipage}{0.4\textwidth}
                \begin{tikzpicture}[yscale=.45, xscale=1]
                    \tkzInit[xmin=-3,xmax=3,xstep=1,
                    ymin=-5,ymax=5,ystep=1]
                    \tkzGrid
                    \tkzAxeXY[up space=0.5,right space=.5]
                    \tkzFct[domain = -3:3, line width=1pt]{-x**2}
                \end{tikzpicture}
            \end{minipage}
            \hfill
            \begin{minipage}{0.5\textwidth}
                \begin{tabular}{|m{2cm}|c|}
                    \hline
                    x & Nombre dérivé $f'(x)$\\
                    \hline
                    -2 & \\
                    \hline
                    -1 &  \\
                    \hline
                    0 &  \\
                    \hline
                    1 &  \\
                    \hline
                    2 &  \\
                    \hline
                \end{tabular}
            \end{minipage}

    \item ~

            \begin{minipage}{0.4\textwidth}
                \begin{tikzpicture}[yscale=.35, xscale=1]
                    \tkzInit[xmin=-3,xmax=3,xstep=1,
                    ymin=-7,ymax=7,ystep=1]
                    \tkzGrid
                    \tkzAxeXY[up space=0.5,right space=.5]
                    \tkzFct[domain = -3:3, line width=1pt]{0.5*x**2 - 2}
                \end{tikzpicture}
            \end{minipage}
            \hfill
            \begin{minipage}{0.5\textwidth}
                \begin{tabular}{|m{2cm}|c|}
                    \hline
                    x & Nombre dérivé $f'(x)$\\
                    \hline
                    -2 & \\
                    \hline
                    -1 &  \\
                    \hline
                    0 &  \\
                    \hline
                    1 &  \\
                    \hline
                    2 &  \\
                    \hline
                \end{tabular}
            \end{minipage}
        \item Pour les deux fonctions précédentes, à partir des valeurs déjà trouvées, ne pourrait-on pas trouver une formule qui pourrait calculer tous les nombres dérivés de ces fonctions? \\ Combien vaudrait dans chacun des cas $f'(10)$? $f'(0,5)$?
    \end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}[subtitle={Gestion hôtelière}, step={1}, origin={???}, topics={ Fonction dérivée }, tags={ Dérivation }]
    Le nombre d'offre "séjour exclusif" vendues peut être modélisé par la fonction suivante $N(x) = -0.6x + 219$ où $x$ désigne le prix de vente en euro.
    \begin{enumerate}
        \item On se place dans le cas où le prix de vente est de 150\euro.
            \begin{enumerate}
                \item Combien d'offres seront vendues dans ce cas?
                \item Quel sera alors les recettes pour cette vente?
            \end{enumerate}
        \item Mêmes questions dans le cas où le prix est de 200\euro? 300\euro.
        \item Est-il vrai que plus le nombre d'offres vendues est élévé plus les recettes le seront aussi?
        \item On veut étudier ces recettes. On note $R(x)$ la fonction qui modélise les recettes et où $x$ représente le prix de vente.
            \begin{enumerate}
                \item Expliquer que l'on a $R(x) = -0.6x^2 + 219x$
                \item Calculer la dérivée de $R$.
                \item Dresser le tableau de variations de $R$.
                \item En déduire le prix de vente qui permet d'avoir une recette maximale. Combien vaut alors cette recette?
            \end{enumerate}
    \end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}[subtitle={Crème de beauté}, step={1}, origin={???}, topics={ Fonction dérivée }, tags={ Dérivation }]
    Une entreprise fabrique des flacons de crème de beauté. Cette entreprise peut fabriquer jusqu'à 60 flacons par jour.
    \begin{enumerate}
        \item Chaque flacon est vendu 250\euro. On note $R(x)$ les recettes des ventes journalière des flacons où $x$ désigne le nombre de flacon produit. Déterminer l'expression de $R$ en fonction de $x$.
        \item L'étude des coûts a mené à les modéliser par la fonction $C(x) = x^2 + 160x +800$. On note $B(x)$ la fonction qui modélise les bénéfices (recettes moins les coûts).
            \begin{enumerate}
                \item Est-il vrai que plus l'entreprise produit et vend plus elle fait des bénéfices?
                \item Démontrer que $B(x) = -x^2 + 90x -800$
                \item Calculer la dérivée $B'$ de $B$.
                \item En déduire le tableau de variations de $B$
                \item Combien de flacons doivent être produit pour maximiser les bénéfices? Quels seront alors ces bénéfices?
            \end{enumerate}
    \end{enumerate}
\end{exercise}