2022-2023/1ST/Evaluations/DS_2023-03-30/exercises.tex

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2023-03-28 13:28:13 +00:00
\begin{exercise}[subtitle={Automatismes}, step={1}, points=7]
\begin{enumerate}
\item Soit $f(x) = -3x^2 + 2x - 10$. Calculer la valeur de $f(-3)$
\vspace{1cm}
\item Dériver la fonction $f(x) = 5x^3 + 3x + 2$
\vspace{1cm}
\item Développer l'expression suivante
\[
(2x-1)(-3x + 5)=
\]
\item Tracer l'allure graphique de la fonction $f(x) = -3x^2 + 3$
\vspace{2cm}
\item Compléter le tableau de signe de la fonction tracée ci-dessous
\begin{minipage}{0.5\linewidth}
\begin{tikzpicture}[xscale=0.6, yscale=0.3]
\tkzInit[xmin=-4,xmax=4,xstep=1,
ymin=-5,ymax=5,ystep=1]
\tkzGrid
\tkzAxeXY
\tkzFct[domain = -5:5,color=red,very thick]%
{-0.5*(x-3)*(x+2)};
\end{tikzpicture}
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.5\linewidth}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=2,espcl=3]{$x$/1,Signe de $f(x)$/2}{\hspace{5cm}, \hspace{5cm}}%
\tkzTabLine{,,}%
\end{tikzpicture}
\end{minipage}
\item Le prix d'un objet a diminué de 50\%. Par combien doit-on multiplier le nouveau prix pour revenir au prix initial?
\vspace{2cm}
\item On définit la suite
\[
u_0 = 10 \mbox{ et } u_{n+1} = u_n \times 3
\]
Calculer $u_3$
\end{enumerate}
\end{exercise}
\begin{exercise}[subtitle={Etude de fonction}, step={2}, points=10]
On définit la fonction $f(x) = 2x^2 + 4x - 30$.
\begin{enumerate}
\item Quel est le nom de ce type de fonction? Expliquer pourquoi et donner les valeurs de $a$, $b$ et $c$.
\item On cherche à factoriser la fonction $f$ pour ensuite étudier le signe.
\begin{enumerate}
\item Démontrer au $x=-5$ est une racine de la fonction $f$.
\item Parmi les valeurs la(les)quel(s) sont racine de la fonction $f$?
\[
-3 \qquad -1 \qquad 0 \qquad 2 \qquad 3
\]
\item Démontrer que $f(x) = 2(x-3)(x+5)$.
\item Étudier le signe de la fonction $f$
\end{enumerate}
\item On souhaite étudier les variations de la fonction $f$.
\begin{enumerate}
\item Calculer le dérivée de la fonction $f$.
\item Étudier le signe de la fonction dérivée de $f$ et en déduire les variations de $f$ (sous forme de tableau).
\item La fonction $f$ a-t-elle un minimum? un maximum? Où est-il atteint ?
\end{enumerate}
\item Tracer l'allure du graphique de la fonction $f$ et placé y les éléments remarquables trouvés aux questions précédentes.
\end{enumerate}
\end{exercise}
\begin{exercise}[subtitle={Population d'une ville}, step={2}, points=7]
On sintéresse à la population dune ville et on étudie plusieurs modèles dévolution de cette population. En 2018, la population de la ville était de \np{15000}habitants.
\begin{enumerate}
\item \textbf{Modèle 1}: On fait lhypothèse que le nombre dhabitants augmente de 1000 habitants par an. Pour tout entier naturel $n$, on note $u_n$ le nombre dhabitants pour lannée (2018+$n$).
On a ainsi $u_0 = \np{15000}$
\begin{enumerate}
\item Calculer $u_1$ et indiquer ce que cette quantité représente.
\item Quelle est la nature de la suite? Préciser les paramètres.
\item Quelle est de récurrence de cette suite?
\item Quelle formule doit-on taper dans la case \texttt{B3} le tableur puis étirer vers le bas pour calculer les valeurs de cette suite?
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.3]{./fig/tableur}
\end{center}
\end{enumerate}
\item \textbf{Modèle 2}: On fait l'hypothèse que le nombre d'habitants augmente de 4.7\% par ans. On note $v_n$ le nombre d'habitants pour l'année (2018+$n$).
On a ainsi $v_0 = \np{15000}$.
\begin{enumerate}
\item Calculer $v_1$ et $v_2$.
\item Quelle est nature de la suite? Préciser le paramètres.
\item Calculer, d'après ce modèle, le nombre d'habitant de la ville en 2023. Vous arrondirez les nombres à l'unité
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exercise}