2022-2023/1ST/Evaluations/DS_2023-03-30/exercises.tex

\begin{exercise}[subtitle={Automatismes}, step={1}, points=7]
    \begin{enumerate}
        \item Soit $f(x) = -3x^2 + 2x - 10$. Calculer la valeur de $f(-3)$
            \vspace{1cm}
        \item Dériver la fonction $f(x) = 5x^3 + 3x + 2$

            \vspace{1cm}
        \item Développer l'expression suivante
            \[
                (2x-1)(-3x + 5)=
            \]
        \item Tracer l'allure graphique de la fonction $f(x) = -3x^2 + 3$
            \vspace{2cm}
        \item Compléter le tableau de signe de la fonction tracée ci-dessous

            \begin{minipage}{0.5\linewidth}
                \begin{tikzpicture}[xscale=0.6, yscale=0.3]
                    \tkzInit[xmin=-4,xmax=4,xstep=1,
                    ymin=-5,ymax=5,ystep=1]
                    \tkzGrid
                    \tkzAxeXY
                    \tkzFct[domain = -5:5,color=red,very thick]%
                    {-0.5*(x-3)*(x+2)};
                \end{tikzpicture}
            \end{minipage}
            \begin{minipage}{0.5\linewidth}
                \begin{tikzpicture}
                    \tkzTabInit[lgt=2,espcl=3]{$x$/1,Signe de $f(x)$/2}{\hspace{5cm}, \hspace{5cm}}%
                    \tkzTabLine{,,}%
                \end{tikzpicture}
            \end{minipage}

        \item Le prix d'un objet a diminué de 50\%. Par combien doit-on multiplier le nouveau prix pour revenir au prix initial?
            \vspace{2cm}
        \item On définit la suite
            \[
                u_0 = 10 \mbox{  et  } u_{n+1} = u_n \times 3
            \]
            Calculer $u_3$
    \end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}[subtitle={Etude de fonction}, step={2}, points=10]
    On définit la fonction $f(x) = 2x^2 + 4x - 30$.
    \begin{enumerate}
        \item Quel est le nom de ce type de fonction? Expliquer pourquoi et donner les valeurs de $a$, $b$ et $c$.
        \item On cherche à factoriser la fonction $f$ pour ensuite étudier le signe.
            \begin{enumerate}
                \item Démontrer au $x=-5$ est une racine de la fonction $f$.
                \item Parmi les valeurs la(les)quel(s) sont racine de la fonction $f$?
                    \[
                        -3 \qquad -1 \qquad 0 \qquad 2 \qquad 3
                    \]
                \item Démontrer que $f(x) = 2(x-3)(x+5)$.
                \item Étudier le signe de la fonction $f$
            \end{enumerate}
        \item On souhaite étudier les variations de la fonction $f$.
            \begin{enumerate}
                \item Calculer le dérivée de la fonction $f$.
                \item Étudier le signe de la fonction dérivée de $f$ et en déduire les variations de $f$ (sous forme de tableau).
                \item La fonction $f$ a-t-elle un minimum? un maximum? Où est-il atteint ?
            \end{enumerate}
        \item Tracer l'allure du graphique de la fonction $f$ et placé y les éléments remarquables trouvés aux questions précédentes.
    \end{enumerate}
\end{exercise}


\begin{exercise}[subtitle={Population d'une ville}, step={2}, points=7]
    On s’intéresse à la population d’une ville et on étudie plusieurs modèles d’évolution de cette population. En 2018, la population de la ville était de \np{15000}habitants.
    \begin{enumerate}
        \item \textbf{Modèle 1}: On fait l’hypothèse que le nombre d’habitants augmente de 1000 habitants par an. Pour tout entier naturel $n$, on note $u_n$ le nombre d’habitants pour l’année (2018+$n$).

            On a ainsi $u_0  = \np{15000}$
            \begin{enumerate}
                \item Calculer $u_1$ et indiquer ce que cette quantité représente.
                \item Quelle est la nature de la suite? Préciser les paramètres.
                \item Quelle est de récurrence de cette suite?
                \item Quelle formule doit-on taper dans la case \texttt{B3} le tableur puis étirer vers le bas pour calculer les valeurs de cette suite?
                    \begin{center}
                        \includegraphics[scale=0.3]{./fig/tableur}
                    \end{center}
            \end{enumerate}
        \item \textbf{Modèle 2}: On fait l'hypothèse que le nombre d'habitants augmente de 4.7\% par ans. On note $v_n$ le nombre d'habitants pour l'année (2018+$n$).

            On a ainsi $v_0 = \np{15000}$.
            \begin{enumerate}
                \item Calculer $v_1$ et $v_2$.
                \item Quelle est nature de la suite? Préciser le paramètres.
                \item Calculer, d'après ce modèle, le nombre d'habitant de la ville en 2023. Vous arrondirez les nombres à l'unité
            \end{enumerate}
    \end{enumerate}


\end{exercise}