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TeX
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\documentclass[a4paper,12pt]{article}
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\usepackage{myXsim}
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\usepackage{pgfplots}
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\usetikzlibrary{decorations.markings}
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\pgfplotsset{compat=1.18}
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\title{ DM1 \hfill SCOPELLITI Martina}
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\tribe{1ST}
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\date{A rendre pour le lundi 27 mars 2023}
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\duree{}
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\xsimsetup{
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solution/print = false
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}
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\pagestyle{empty}
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\begin{document}
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\maketitle
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Le barème est donné à titre indicatif, il pourra être modifié.
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\begin{exercise}[subtitle={Polynôme de degré 2}]
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Développer les expressions suivantes pour vérifier que ce sont des polynômes de degré 2. Vous préciserez les valeurs de $a$, $b$ et $c$.
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\begin{multicols}{2}
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\begin{enumerate}
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\item $f(x) = (- 1x - 10)(6x - 10)$
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\item $g(x) = (- 8x - 7)^{2}$
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\item $h(x) = - 2 + x(6x - 10)$
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\item $i(x) = 5x^{2} + x(- 4x + 9)$
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\item $j(x) = - 10(x + 7)(x + 3)$
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\item $k(x) = 4(x - 10)(x - 3)$
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\end{enumerate}
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\end{multicols}
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\end{exercise}
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\begin{solution}
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\begin{enumerate}
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\item
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\begin{align*}
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f(x) &= (- 1x - 10)(6x - 10)\\&= (- x) \times 6x + (- x)(- 10) - 10 \times 6x - 10(- 10)\\&= - 1 \times 6 \times x^{1 + 1} - 10(- 1) \times x - 10 \times 6 \times x + 100\\&= 10x - 60x - 6x^{2} + 100\\&= (10 - 60) \times x - 6x^{2} + 100\\&= - 6x^{2} - 50x + 100
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\end{align*}
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C'est un polynôme de degré 2 avec $a = - 6$, $b = - 50$ et $c = 100$.
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\item
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\begin{align*}
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g(x) &= (- 8x - 7)^{2}\\&= (- 8x - 7)(- 8x - 7)\\&= - 8x \times - 8x - 8x(- 7) - 7 \times - 8x - 7(- 7)\\&= - 8(- 8) \times x^{1 + 1} - 7(- 8) \times x - 7(- 8) \times x + 49\\&= 56x + 56x + 64x^{2} + 49\\&= (56 + 56) \times x + 64x^{2} + 49\\&= 64x^{2} + 112x + 49
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\end{align*}
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C'est un polynôme de degré 2 avec $a = 64$, $b = 112$ et $c = 49$.
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\item
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\begin{align*}
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h(x) &= - 2 + x(6x - 10)\\&= - 2 + x \times 6x + x(- 10)\\&= 6x^{2} - 10x - 2
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\end{align*}
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C'est un polynôme de degré 2 avec $a = 6$, $b = - 10$ et $c = - 2$.
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\item
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\begin{align*}
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i(x) &= 5x^{2} + x(- 4x + 9)\\&= 5x^{2} + x \times - 4x + x \times 9\\&= 5x^{2} - 4x^{2} + 9x\\&= 5x^{2} - 4x^{2} + 9x\\&= (5 - 4) \times x^{2} + 9x\\&= x^{2} + 9x
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\end{align*}
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C'est un polynôme de degré 2 avec $a = 1$, $b = 9$ et $c = 0$.
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\item
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\begin{align*}
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j(x) &= - 10(x + 7)(x + 3)\\&= (- 10x - 10 \times 7)(x + 3)\\&= (- 10x - 70)(x + 3)\\&= - 10x \times x - 10x \times 3 - 70x - 70 \times 3\\&= 3(- 10) \times x - 210 - 10x^{2} - 70x\\&= - 30x - 210 - 10x^{2} - 70x\\&= - 10x^{2} - 30x - 70x - 210\\&= - 10x^{2} + (- 30 - 70) \times x - 210\\&= - 10x^{2} - 100x - 210
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\end{align*}
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C'est un polynôme de degré 2 avec $a = - 10$, $b = - 100$ et $c = - 210$.
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\item
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\begin{align*}
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k(x) &= 4(x - 10)(x - 3)\\&= (4x + 4(- 10))(x - 3)\\&= (4x - 40)(x - 3)\\&= 4x \times x + 4x(- 3) - 40x - 40(- 3)\\&= - 3 \times 4 \times x + 120 + 4x^{2} - 40x\\&= - 12x + 120 + 4x^{2} - 40x\\&= 4x^{2} - 12x - 40x + 120\\&= 4x^{2} + (- 12 - 40) \times x + 120\\&= 4x^{2} - 52x + 120
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\end{align*}
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C'est un polynôme de degré 2 avec $a = 4$, $b = - 52$ et $c = 120$.
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\end{enumerate}
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\end{solution}
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\begin{exercise}[subtitle={Étude de fonctions}]
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Soit $f(x) = - 9x^{2} - 153x - 630$ une fonction définie sur $\R$.
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\begin{enumerate}
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\item Calculer les valeurs suivantes
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\[
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f(1) \qquad f(-2)
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\]
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\item Dériver la fonction $f$
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\item Étudier le signe de $f'$ puis en déduire les variations de $f$.
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\item Est-ce que $f$ admet un maximum? un minimum? Calculer sa valeur.
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\end{enumerate}
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\end{exercise}
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\begin{solution}
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\begin{enumerate}
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\item On remplace $x$ par les valeurs demandées
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\[
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f(1) = - 9 \times 1^{2} - 153 \times 1 - 630=- 9 \times 1 - 153 - 630=- 9 - 783=- 792
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\]
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\[
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|
f(-1) = - 9 \times - 1^{2} - 153(- 1) - 630=- 9 \times 1 + 153 - 630=- 9 - 477=- 486
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\]
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\item Dérivation
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\[
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f'(x) = - 18x - 153
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\]
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\item Pas de solutions automatiques.
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|
\item Pas de solutions automatiques.
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\end{enumerate}
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\end{solution}
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\begin{exercise}[subtitle={Enclos}]
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Dans son garage, Jean a trouvé 28m de grillage. \\
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Il décide de l'utiliser pour faire un enclos rectangulaire. Afin d'obtenir un enclos encore plus grand, il veut utiliser le mur du jardin qui formera un côté. Le grillage formera les 3 autres.
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\begin{center}
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\includegraphics[scale=0.8]{./fig/enclos}
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\end{center}
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Comment placer les poteaux pour avoir un enclos le plus grand possible ?
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\textit{Cet exercice est un exercice de recherche. Vous êtes invité à utiliser les outils que vous voulez. Une part importante de la note sera dédiée à la rédaction et aux explications de ce que vous faites. Vous êtes encouragé à faire des schémas.}
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\textit{Si vous utilisez le tableur, vous devrez le mentionner et m'envoyer le tableur à l'adresse \url{benjamin.bertrand@ac-lyon.fr}}
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\end{exercise}
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\begin{solution}
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Formule de l'aire (en notant $x$ la longueur du côté de l'enclos à côté du mur)
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\[
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A(x) = x(28 - 2x) = - 2x^{2} + 28x
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\]
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On va donc étudier les variations de la fonction $A(x) = - 2x^{2} + 28x$
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\begin{itemize}
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\item Fonction dérivée : $A'(x) = - 4x + 28$
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\item On résout l'inéquation $A'(x) \geq 0$ pour déterminer quand la fonction $A'$ est positive.
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\begin{align*}
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A(x) & \geq 0 \\
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- 4x + 28 & \geq 0 \\
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- 4x + 28 + - 28 &\geq 0 + - 28 \\
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- 4x &\geq - 28 \\
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\frac{- 4x}{- 4} &\leq \frac{- 28}{- 4} \\
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x &\leq 7 \\
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\end{align*}
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Donc $A(x)$ est positif quand $x$ est plus \textbf{petit} que $7$
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\item
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\begin{center}
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\begin{tikzpicture}
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\tkzTabInit[lgt=3,espcl=4]{$x$/1,Signe de $f'(x)$/2, Variations de $f(x)$/2}{, $7$ ,}%
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\tkzTabLine{, +, z, -, }
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\tkzTabVar{-/ ,+/$f(7) = 98$ , -/}%
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|
\end{tikzpicture}
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|
\end{center}
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\end{itemize}
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Pour avoir le plus grand enclos, il faut placer les poteaux à 6m du mur et on aura alors un enclos de $72m^2$.
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\end{solution}
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\end{document}
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%%% Local Variables:
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%%% mode: latex
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%%% TeX-master: "master"
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%%% End:
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