2022-2023/1ST/05_Fonction_derivee/exercises.tex

\begin{exercise}[subtitle={Construction de la fonction dérivée}, step={1}, origin={Ma tête}, topics={ Fonction dérivée }, tags={ Dérivation }, mode={\searchMode}]
    Pour chacun des graphiques ci-dessous compléter les tableaux pour trouver les nombres dérivés.
    \begin{enumerate}
        \item ~

            \begin{minipage}{0.4\textwidth}
                \begin{tikzpicture}[]
                    \begin{axis}[
                        axis lines = center,
                        grid = both,
                        xlabel = {$x$},
                        xtick distance=1,
                        ylabel = {$f(x)$},
                        ytick distance=1,
                        legend pos = north west,
                        ]
                        \addplot[domain=-3:3,samples=80, color=red, very thick]{-x^2};
                    \end{axis}
                \end{tikzpicture}
            \end{minipage}
            \hfill
            \begin{minipage}{0.5\textwidth}
                \begin{tabular}{|m{2cm}|c|}
                    \hline
                    x & Nombre dérivé $f'(x)$\\
                    \hline
                    -2 & \\
                    \hline
                    -1 &  \\
                    \hline
                    0 &  \\
                    \hline
                    1 &  \\
                    \hline
                    2 &  \\
                    \hline
                \end{tabular}
            \end{minipage}

    \item ~

            \begin{minipage}{0.4\textwidth}
                \begin{tikzpicture}
                    \begin{axis}[
                        axis lines = center,
                        grid = both,
                        xlabel = {$x$},
                        xtick distance=1,
                        ylabel = {$f(x)$},
                        ytick distance=1,
                        legend pos = north west,
                        ]
                        \addplot[domain=-3:3,samples=80, color=red, very thick]{3*x};
                    \end{axis}
                \end{tikzpicture}
            \end{minipage}
            \hfill
            \begin{minipage}{0.5\textwidth}
                \begin{tabular}{|m{2cm}|c|}
                    \hline
                    x & Nombre dérivé $f'(x)$\\
                    \hline
                    -2 & \\
                    \hline
                    -1 &  \\
                    \hline
                    0 &  \\
                    \hline
                    1 &  \\
                    \hline
                    2 &  \\
                    \hline
                \end{tabular}
            \end{minipage}
    \item ~

            \begin{minipage}{0.4\textwidth}
                \begin{tikzpicture}
                    \begin{axis}[
                        axis lines = center,
                        grid = both,
                        xlabel = {$x$},
                        xtick distance=1,
                        ylabel = {$f(x)$},
                        ytick distance=1,
                        legend pos = north west,
                        ]
                        \addplot[domain=-3:3,samples=80, color=red, very thick]{0.5*(x-1)^2-2};
                    \end{axis}
                \end{tikzpicture}
            \end{minipage}
            \hfill
            \begin{minipage}{0.5\textwidth}
                \begin{tabular}{|m{2cm}|c|}
                    \hline
                    x & Nombre dérivé $f'(x)$\\
                    \hline
                    -2 & \\
                    \hline
                    -1 &  \\
                    \hline
                    0 &  \\
                    \hline
                    1 &  \\
                    \hline
                    2 &  \\
                    \hline
                \end{tabular}
            \end{minipage}

        \item Pour chacune des fonctions précédentes, à partir des valeurs déjà trouvées, ne pourrait-on pas trouver une formule qui pourrait calculer tous les nombres dérivés de ces fonctions ? \\ Combien vaudrait dans chacun des cas $f'(10)$ ? $f'(0,5)$ ?
    \end{enumerate}
\pagebreak
\end{exercise}

\begin{exercise}[subtitle={Utilisation de la fonction dérivée}, step={1}, origin={Ma tête}, topics={ Fonction dérivée }, tags={ Dérivation }, mode={\trainMode}]
    Ci-dessous, vous trouverez des couples de fonction avec leur dérivée.

    \begin{center}
        \begin{tabular}{cp{2cm}c}
            $f(x) = 5x^3 - x^2 + 0.3x + 1$ & & $g(x) = 0.3x^5 - 3x^2 + 5x + 1$ \\
            $f'(x) = 15x^2 - 2x + 0.3$ & & $g'(x) = 1.5x^4 - 6x + 5$
        \end{tabular}
    \end{center}

    \begin{enumerate}
        \item Déterminer le nombre dérivé de la fonction $f$ au point d'abscisse $x=2$
        \item Que peut-on dire sur la croissance de la fonction $f$ autour du point d'abscisse $x=2$?
        \item Déterminer le nombre dérivé de la fonction $g$ au point d'abscisse $x=5$
        \item Que peut-on dire sur la croissance de la fonction $g$ autour du point d'abscisse $x=5$?
        \item Que peut-on dire sur la croissance de la fonction $f$ autour du point d'abscisse $x=1$?
        \item Que peut-on dire sur la croissance de la fonction $g$ autour du point d'abscisse $x=4$?
        \item Que peut-on dire sur la croissance de la fonction $f$ autour du point d'abscisse $x=111$?
        \item Vérifier vos résultats en traçant les fonctions $f$ et $g$ sur votre calculatrice.
    \end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}[subtitle={Calcul de la fonction dérivée}, step={1}, origin={Ma tête}, topics={ Fonction dérivée }, tags={ Dérivation }, mode={\groupMode}]
    \begin{center}
        \begin{tabular}{l|l|l|l|l}
            $f(x) = 2x + 1$ & $g(x) = 3$  & $h(x) = 5x + 1$ & $i(x) = x^2 + x + 1$ & $j(x) = 3x^2 - 10x - 100$\\
            $f'(x) = 2$   & $g'(x) = 0$ & $h'(x) =  5$      & $i'(x) = 2x + 1$     & $j'(x) = 6x - 10$
        \end{tabular}
    \end{center}

    En observant les couples fonctions et dérivées précédentes, déterminer les fonctions dérivées suivantes
    \begin{center}
        \begin{tabular}{l|l|l|l|l}
            $f(x) = 4$ & $g(x) = 3x+2$  & $h(x) = -7x + 19$ & $i(x) = x^2 + 3x + 9$ & $j(x) = 4x^2 - x - 100$\\
            $f'(x) = ...$   & $g'(x) = ...$ & $h'(x) = ... $      & $i'(x) = ...$     & $j'(x) = ...$
        \end{tabular}
    \end{center}

    Expliquer votre méthode pour déterminer ces dérivées.
\end{exercise}


% ------
% Fonction de degré 1

\begin{exercise}[subtitle={Fonction affines}, step={2}, origin={Ma tête}, topics={ Fonction dérivée }, tags={ Dérivation }, mode={\searchMode}]
    On définit la fonction $f(x) = 5x - 10$ dont on veut étudier les variations.
    \begin{enumerate}
        \item Calculer $f'(x)$ la fonction dérivée de $f(x)$.
        \item Quel est le signe de $f'(x)$? Que peut-on déduire sur la croissance de $f$?
        \item Recopier et compléter le tableau suivant
            \begin{center}
            \begin{tikzpicture}
                \tkzTabInit[lgt=3,espcl=10]{$x$/1,Signe de $f'(x)$/2, Variations de $f(x)$/2}{\hspace{5cm}, \hspace{5cm}}%
                \tkzTabLine{,,}%
                \tkzTabVar{,}%
            \end{tikzpicture}
            \end{center}
    \end{enumerate}
\end{exercise}

% ------
% Fonction de degré 2

\begin{exercise}[subtitle={Fonction polynôme}, step={2}, origin={Ma tête}, topics={ Fonction dérivée }, tags={ Dérivation }, mode={\searchMode}]
    On définit la fonction $f(x) = 3x^2 - 2x + 10$ dont on veut étudier les variations.
    \begin{enumerate}
        \item Calculer $f'(x)$ la fonction dérivée de $f(x)$.
        \item Quel est le signe de $f'(x)$?
        \item Recopier et compléter le tableau suivant
            \begin{center}
            \begin{tikzpicture}
                \tkzTabInit[lgt=3,espcl=10]{$x$/1,Signe de $f'(x)$/2, Variations de $f(x)$/2}{\hspace{5cm}, \hspace{5cm}}%
                \tkzTabLine{,,}%
                \tkzTabVar{,}%
            \end{tikzpicture}
            \end{center}
    \end{enumerate}
\end{exercise}

% ------
% Mise en situations

\begin{exercise}[subtitle={Gestion hôtelière}, step={3}, origin={???}, topics={ Fonction dérivée }, tags={ Dérivation }]
    Le nombre d'offre "séjour exclusif" vendues peut être modélisé par la fonction suivante $N(x) = -0.6x + 219$ où $x$ désigne le prix de vente en euro.
    \begin{enumerate}
        \item On se place dans le cas où le prix de vente est de 150\euro.
            \begin{enumerate}
                \item Combien d'offres seront vendues dans ce cas?
                \item Quel sera alors les recettes pour cette vente?
            \end{enumerate}
        \item Mêmes questions dans le cas où le prix est de 200\euro? 300\euro.
        \item Est-il vrai que plus le nombre d'offres vendues est élévé plus les recettes le seront aussi?
        \item On veut étudier ces recettes. On note $R(x)$ la fonction qui modélise les recettes et où $x$ représente le prix de vente.
            \begin{enumerate}
                \item Expliquer que l'on a $R(x) = -0.6x^2 + 219x$
                \item Calculer la dérivée de $R$.
                \item Dresser le tableau de variations de $R$.
                \item En déduire le prix de vente qui permet d'avoir une recette maximale. Combien vaut alors cette recette?
            \end{enumerate}
    \end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}[subtitle={Crème de beauté}, step={3}, origin={???}, topics={ Fonction dérivée }, tags={ Dérivation }]
    Une entreprise fabrique des flacons de crème de beauté. Cette entreprise peut fabriquer jusqu'à 60 flacons par jour.
    \begin{enumerate}
        \item Chaque flacon est vendu 250\euro. On note $R(x)$ les recettes des ventes journalière des flacons où $x$ désigne le nombre de flacon produit. Déterminer l'expression de $R$ en fonction de $x$.
        \item L'étude des coûts a mené à les modéliser par la fonction $C(x) = x^2 + 160x +800$. On note $B(x)$ la fonction qui modélise les bénéfices (recettes moins les coûts).
            \begin{enumerate}
                \item Est-il vrai que plus l'entreprise produit et vend plus elle fait des bénéfices?
                \item Démontrer que $B(x) = -x^2 + 90x -800$
                \item Calculer la dérivée $B'$ de $B$.
                \item En déduire le tableau de variations de $B$
                \item Combien de flacons doivent être produit pour maximiser les bénéfices? Quels seront alors ces bénéfices?
            \end{enumerate}
    \end{enumerate}
\end{exercise}