Feat: exercices techniques de dérivation
continuous-integration/drone/push Build is passing
Details
continuous-integration/drone/push Build is passing
Details
This commit is contained in:
parent
05b1b1b053
commit
c4dd2866c5
Binary file not shown.
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@ -1,23 +0,0 @@
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\documentclass[a4paper,10pt]{article}
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\usepackage{myXsim}
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\usepackage{tikz}
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\usepackage{pgfplots}
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\author{Benjamin Bertrand}
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\title{Fonction derivé - Exercices}
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\date{Janvier 2023}
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\DeclareExerciseCollection[step=1]{banque}
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\xsimsetup{collect}
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\pagestyle{empty}
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\begin{document}
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\input{exercises.tex}
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\printcollection{banque}
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\vfill
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\printcollection{banque}
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\end{document}
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@ -0,0 +1,309 @@
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\begin{exercise}[subtitle={Calculs de dérivée}, step={1}, origin={Ma tête}, topics={ Fonction dérivée }, tags={ Dérivation }, mode={\trainMode}]
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||||
Calculer les fonctions dérivées des fonctions suivantes
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\begin{multicols}{3}
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\begin{enumerate}
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\item $f(x) = - 6x - 7$
|
||||
\item $g(x) = 10x + 3$
|
||||
\item $h(x) = - 4x - 3$
|
||||
\item $i(x) = - 10x - 7$
|
||||
\item $j(x) = - 8x - 4$
|
||||
\item $k(x) = - 3x^{2} + 8x - 1$
|
||||
\item $l(x) = - 10x + 6$
|
||||
\item $m(x) = 10x^{2} + 5x + 6$
|
||||
\item $n(x) = - 10x^{2} + 6x - 2$
|
||||
\item $o(x) = 5x^{2}$
|
||||
\item $p(x) = - 9x^{2} + 4x$
|
||||
\item $q(x) = - 2x^{2} - 4$
|
||||
\end{enumerate}
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||||
\end{multicols}
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||||
\end{exercise}
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||||
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||||
\begin{solution}
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\begin{multicols}{2}
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||||
\begin{enumerate}
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||||
\item $f(x) = - 6x - 7$
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||||
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||||
\[
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||||
f'(x) = - 6
|
||||
\]
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||||
\item $g(x) = 10x + 3$
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||||
\[
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||||
g'(x) = 10
|
||||
\]
|
||||
\item $h(x) = - 4x - 3$
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||||
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||||
\[
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||||
h'(x) = - 4
|
||||
\]
|
||||
\item $i(x) = - 10x - 7$
|
||||
|
||||
\[
|
||||
i'(x) = - 10
|
||||
\]
|
||||
\item $j(x) = - 8x - 4$
|
||||
|
||||
\[
|
||||
j'(x) = - 8
|
||||
\]
|
||||
\item $k(x) = - 3x^{2} + 8x - 1$
|
||||
|
||||
\[
|
||||
k'(x) = - 6x + 8
|
||||
\]
|
||||
\item $l(x) = - 10x + 6$
|
||||
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||||
\[
|
||||
l'(x) = - 10
|
||||
\]
|
||||
\item $m(x) = 10x^{2} + 5x + 6$
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||||
|
||||
\[
|
||||
m'(x) = 20x + 5
|
||||
\]
|
||||
\item $n(x) = - 10x^{2} + 6x - 2$
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||||
|
||||
\[
|
||||
n'(x) = - 20x + 6
|
||||
\]
|
||||
\item $o(x) = 5x^{2}$
|
||||
|
||||
\[
|
||||
o'(x) = 10x
|
||||
\]
|
||||
\item $p(x) = - 9x^{2} + 4x$
|
||||
|
||||
\[
|
||||
p'(x) = - 18x + 4
|
||||
\]
|
||||
\item $q(x) = - 2x^{2} - 4$
|
||||
|
||||
\[
|
||||
q'(x) = - 4x
|
||||
\]
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{multicols}
|
||||
\end{solution}
|
||||
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||||
\begin{exercise}[subtitle={Fonction affines - technique}, step={2}, origin={Ma tête}, topics={ Fonction dérivée }, tags={ Dérivation }, mode={\trainMode}]
|
||||
Reprendre l'exercice précédent pour les fonctions suivantes:
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||||
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||||
\begin{multicols}{2}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item $f(x) = - 8x + 5$
|
||||
\item $g(x) = - 9x - 6$
|
||||
\item $h(x) = - 2x + 8$
|
||||
\item $i(x) = - 5x - 4$
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{multicols}
|
||||
\end{exercise}
|
||||
|
||||
\begin{solution}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Étude de la fonction $f(x) = - 8x + 5$
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item Fonction dérivée : $f'(x) = - 8$
|
||||
\item Comme $- 8 < 0$ la fonction est décroissante
|
||||
\item
|
||||
\begin{center}
|
||||
\begin{tikzpicture}
|
||||
\tkzTabInit[lgt=3,espcl=10]{$x$/1,Signe de $f'(x)$/2, Variations de $f(x)$/2}{\hspace{2cm}, \hspace{2cm}}%
|
||||
\tkzTabLine{,-,}%
|
||||
\tkzTabVar{+/ ,-/ }%
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\end{center}
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\item Étude de la fonction $g(x) = - 9x - 6$
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item Fonction dérivée : $g'(x) = - 9$
|
||||
\item Comme $- 9 < 0$ la fonction est décroissante
|
||||
\item
|
||||
\begin{center}
|
||||
\begin{tikzpicture}
|
||||
\tkzTabInit[lgt=3,espcl=10]{$x$/1,Signe de $f'(x)$/2, Variations de $f(x)$/2}{\hspace{2cm}, \hspace{2cm}}%
|
||||
\tkzTabLine{,-,}%
|
||||
\tkzTabVar{+/ ,-/ }%
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\end{center}
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\item Étude de la fonction $h(x) = - 2x + 8$
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item Fonction dérivée : $h'(x) = - 2$
|
||||
\item Comme $- 2 < 0$ la fonction est décroissante
|
||||
\item
|
||||
\begin{center}
|
||||
\begin{tikzpicture}
|
||||
\tkzTabInit[lgt=3,espcl=10]{$x$/1,Signe de $f'(x)$/2, Variations de $f(x)$/2}{\hspace{2cm}, \hspace{2cm}}%
|
||||
\tkzTabLine{,-,}%
|
||||
\tkzTabVar{+/ ,-/ }%
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\end{center}
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\item Étude de la fonction $i(x) = - 5x - 4$
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item Fonction dérivée : $i'(x) = - 5$
|
||||
\item Comme $- 5 < 0$ la fonction est décroissante
|
||||
\item
|
||||
\begin{center}
|
||||
\begin{tikzpicture}
|
||||
\tkzTabInit[lgt=3,espcl=10]{$x$/1,Signe de $f'(x)$/2, Variations de $f(x)$/2}{\hspace{2cm}, \hspace{2cm}}%
|
||||
\tkzTabLine{,-,}%
|
||||
\tkzTabVar{+/ ,-/ }%
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\end{center}
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{solution}
|
||||
|
||||
\begin{exercise}[subtitle={Fonction affines - technique}, step={2}, origin={Ma tête}, topics={ Fonction dérivée }, tags={ Dérivation }, mode={\trainMode}]
|
||||
Reprendre l'exercice précédent pour les fonctions suivantes :
|
||||
|
||||
\begin{multicols}{2}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item $f(x) = 3x^{2} + 10x - 3$
|
||||
\item $g(x) = 4x^{2} + 2x - 2$
|
||||
\item $h(x) = - 4x^{2} + 2x - 7$
|
||||
\item $i(x) = - 9x^{2} + 9x - 9$
|
||||
\item $j(x) = - x^{2} + 8x + 4$
|
||||
\item $k(x) = 6x^{2} + 9x + 9$
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{multicols}
|
||||
\end{exercise}
|
||||
|
||||
\begin{solution}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Étude de la fonction $f(x) = 3x^{2} + 10x - 3$
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item Fonction dérivée : $f'(x) = 6x + 10$
|
||||
\item On résout l'inéquation $f'(x) \geq 0$ pour déterminer quand la fonction $f'$ est positive.
|
||||
\begin{align*}
|
||||
f(x) & \geq 0 \\
|
||||
6x + 10 & \geq 0 \\
|
||||
6x + 10 + - 10 &\geq 0 + - 10 \\
|
||||
6x &\geq - 10 \\
|
||||
\frac{6x}{6} &\geq \frac{- 10}{6} \\
|
||||
x &\geq \dfrac{- 5}{3} \\
|
||||
\end{align*}
|
||||
Donc $f(x)$ est positif quand $x$ est plus \textbf{grand} que $\dfrac{- 5}{3}$
|
||||
\item
|
||||
\begin{center}
|
||||
\begin{tikzpicture}
|
||||
\tkzTabInit[lgt=3,espcl=4]{$x$/1,Signe de $f'(x)$/2, Variations de $f(x)$/2}{, $\dfrac{- 5}{3}$ ,}%
|
||||
\tkzTabLine{, -, z, +, }
|
||||
\tkzTabVar{+/ ,-/$f(\dfrac{- 5}{3}) = \dfrac{- 102}{9}$ , +/}%
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\end{center}
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\item Étude de la fonction $g(x) = 4x^{2} + 2x - 2$
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item Fonction dérivée : $g'(x) = 8x + 2$
|
||||
\item On résout l'inéquation $g'(x) \geq 0$ pour déterminer quand la fonction $g'$ est positive.
|
||||
\begin{align*}
|
||||
g(x) & \geq 0 \\
|
||||
8x + 2 & \geq 0 \\
|
||||
8x + 2 + - 2 &\geq 0 + - 2 \\
|
||||
8x &\geq - 2 \\
|
||||
\frac{8x}{8} &\geq \frac{- 2}{8} \\
|
||||
x &\geq \dfrac{- 1}{4} \\
|
||||
\end{align*}
|
||||
Donc $g(x)$ est positif quand $x$ est plus \textbf{grand} que $\dfrac{- 1}{4}$
|
||||
\item
|
||||
\begin{center}
|
||||
\begin{tikzpicture}
|
||||
\tkzTabInit[lgt=3,espcl=4]{$x$/1,Signe de $f'(x)$/2, Variations de $f(x)$/2}{, $\dfrac{- 1}{4}$ ,}%
|
||||
\tkzTabLine{, -, z, +, }
|
||||
\tkzTabVar{+/ ,-/$f(\dfrac{- 1}{4}) = \dfrac{- 36}{16}$ , +/}%
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\end{center}
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\item Étude de la fonction $h(x) = - 4x^{2} + 2x - 7$
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item Fonction dérivée : $h'(x) = - 8x + 2$
|
||||
\item On résout l'inéquation $h'(x) \geq 0$ pour déterminer quand la fonction $h'$ est positive.
|
||||
\begin{align*}
|
||||
h(x) & \geq 0 \\
|
||||
- 8x + 2 & \geq 0 \\
|
||||
- 8x + 2 + - 2 &\geq 0 + - 2 \\
|
||||
- 8x &\geq - 2 \\
|
||||
\frac{- 8x}{- 8} &\leq \frac{- 2}{- 8} \\
|
||||
x &\leq \dfrac{1}{4} \\
|
||||
\end{align*}
|
||||
Donc $h(x)$ est positif quand $x$ est plus \textbf{petit} que $\dfrac{1}{4}$
|
||||
\item
|
||||
\begin{center}
|
||||
\begin{tikzpicture}
|
||||
\tkzTabInit[lgt=3,espcl=4]{$x$/1,Signe de $f'(x)$/2, Variations de $f(x)$/2}{, $\dfrac{1}{4}$ ,}%
|
||||
\tkzTabLine{, +, z, -, }
|
||||
\tkzTabVar{-/ ,+/$f(\dfrac{1}{4}) = \dfrac{- 108}{16}$ , -/}%
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\end{center}
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\item Étude de la fonction $i(x) = - 9x^{2} + 9x - 9$
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item Fonction dérivée : $i'(x) = - 18x + 9$
|
||||
\item On résout l'inéquation $i'(x) \geq 0$ pour déterminer quand la fonction $i'$ est positive.
|
||||
\begin{align*}
|
||||
i(x) & \geq 0 \\
|
||||
- 18x + 9 & \geq 0 \\
|
||||
- 18x + 9 + - 9 &\geq 0 + - 9 \\
|
||||
- 18x &\geq - 9 \\
|
||||
\frac{- 18x}{- 18} &\leq \frac{- 9}{- 18} \\
|
||||
x &\leq \dfrac{1}{2} \\
|
||||
\end{align*}
|
||||
Donc $i(x)$ est positif quand $x$ est plus \textbf{petit} que $\dfrac{1}{2}$
|
||||
\item
|
||||
\begin{center}
|
||||
\begin{tikzpicture}
|
||||
\tkzTabInit[lgt=3,espcl=4]{$x$/1,Signe de $f'(x)$/2, Variations de $f(x)$/2}{, $\dfrac{1}{2}$ ,}%
|
||||
\tkzTabLine{, +, z, -, }
|
||||
\tkzTabVar{-/ ,+/$f(\dfrac{1}{2}) = \dfrac{- 27}{4}$ , -/}%
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\end{center}
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\item Étude de la fonction $j(x) = - x^{2} + 8x + 4$
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item Fonction dérivée : $j'(x) = - 2x + 8$
|
||||
\item On résout l'inéquation $j'(x) \geq 0$ pour déterminer quand la fonction $j'$ est positive.
|
||||
\begin{align*}
|
||||
j(x) & \geq 0 \\
|
||||
- 2x + 8 & \geq 0 \\
|
||||
- 2x + 8 + - 8 &\geq 0 + - 8 \\
|
||||
- 2x &\geq - 8 \\
|
||||
\frac{- 2x}{- 2} &\leq \frac{- 8}{- 2} \\
|
||||
x &\leq 4 \\
|
||||
\end{align*}
|
||||
Donc $j(x)$ est positif quand $x$ est plus \textbf{petit} que $4$
|
||||
\item
|
||||
\begin{center}
|
||||
\begin{tikzpicture}
|
||||
\tkzTabInit[lgt=3,espcl=4]{$x$/1,Signe de $f'(x)$/2, Variations de $f(x)$/2}{, $4$ ,}%
|
||||
\tkzTabLine{, +, z, -, }
|
||||
\tkzTabVar{-/ ,+/$f(4) = 20$ , -/}%
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\end{center}
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\item Étude de la fonction $k(x) = 6x^{2} + 9x + 9$
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item Fonction dérivée : $k'(x) = 12x + 9$
|
||||
\item On résout l'inéquation $k'(x) \geq 0$ pour déterminer quand la fonction $k'$ est positive.
|
||||
\begin{align*}
|
||||
k(x) & \geq 0 \\
|
||||
12x + 9 & \geq 0 \\
|
||||
12x + 9 + - 9 &\geq 0 + - 9 \\
|
||||
12x &\geq - 9 \\
|
||||
\frac{12x}{12} &\geq \frac{- 9}{12} \\
|
||||
x &\geq \dfrac{- 3}{4} \\
|
||||
\end{align*}
|
||||
Donc $k(x)$ est positif quand $x$ est plus \textbf{grand} que $\dfrac{- 3}{4}$
|
||||
\item
|
||||
\begin{center}
|
||||
\begin{tikzpicture}
|
||||
\tkzTabInit[lgt=3,espcl=4]{$x$/1,Signe de $f'(x)$/2, Variations de $f(x)$/2}{, $\dfrac{- 3}{4}$ ,}%
|
||||
\tkzTabLine{, -, z, +, }
|
||||
\tkzTabVar{+/ ,-/$f(\dfrac{- 3}{4}) = \dfrac{90}{16}$ , +/}%
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\end{center}
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{solution}
|
||||
|
|
@ -0,0 +1,12 @@
|
|||
# bopytex_config.py
|
||||
from mapytex.calculus.random import expression as random_expression
|
||||
from mapytex import render
|
||||
import random
|
||||
|
||||
random.seed(0) # Controlling the seed allows to make subject reproductible
|
||||
|
||||
render.set_render("tex")
|
||||
|
||||
direct_access = {
|
||||
"random_expression": random_expression,
|
||||
}
|
||||
|
|
@ -1,15 +1,21 @@
|
|||
\begin{exercise}[subtitle={Construction de la fonction derivée}, step={1}, origin={Ma tête}, topics={ Fonction dérivée }, tags={ Dérivation }]
|
||||
\begin{exercise}[subtitle={Construction de la fonction dérivée}, step={1}, origin={Ma tête}, topics={ Fonction dérivée }, tags={ Dérivation }, mode={\searchMode}]
|
||||
Pour chacun des graphiques ci-dessous compléter les tableaux pour trouver les nombres dérivés.
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item ~
|
||||
|
||||
\begin{minipage}{0.4\textwidth}
|
||||
\begin{tikzpicture}[yscale=.45, xscale=1]
|
||||
\tkzInit[xmin=-3,xmax=3,xstep=1,
|
||||
ymin=-5,ymax=5,ystep=1]
|
||||
\tkzGrid
|
||||
\tkzAxeXY[up space=0.5,right space=.5]
|
||||
\tkzFct[domain = -3:3, line width=1pt]{-x**2}
|
||||
\begin{tikzpicture}[]
|
||||
\begin{axis}[
|
||||
axis lines = center,
|
||||
grid = both,
|
||||
xlabel = {$x$},
|
||||
xtick distance=1,
|
||||
ylabel = {$f(x)$},
|
||||
ytick distance=1,
|
||||
legend pos = north west,
|
||||
]
|
||||
\addplot[domain=-3:3,samples=80, color=red, very thick]{-x^2};
|
||||
\end{axis}
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\end{minipage}
|
||||
\hfill
|
||||
|
|
@ -34,12 +40,18 @@
|
|||
\item ~
|
||||
|
||||
\begin{minipage}{0.4\textwidth}
|
||||
\begin{tikzpicture}[yscale=.35, xscale=1]
|
||||
\tkzInit[xmin=-3,xmax=3,xstep=1,
|
||||
ymin=-7,ymax=7,ystep=1]
|
||||
\tkzGrid
|
||||
\tkzAxeXY[up space=0.5,right space=.5]
|
||||
\tkzFct[domain = -3:3, line width=1pt]{0.5*x**2 - 2}
|
||||
\begin{tikzpicture}
|
||||
\begin{axis}[
|
||||
axis lines = center,
|
||||
grid = both,
|
||||
xlabel = {$x$},
|
||||
xtick distance=1,
|
||||
ylabel = {$f(x)$},
|
||||
ytick distance=1,
|
||||
legend pos = north west,
|
||||
]
|
||||
\addplot[domain=-3:3,samples=80, color=red, very thick]{3*x};
|
||||
\end{axis}
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\end{minipage}
|
||||
\hfill
|
||||
|
|
@ -60,11 +72,131 @@
|
|||
\hline
|
||||
\end{tabular}
|
||||
\end{minipage}
|
||||
\item Pour les deux fonctions précédentes, à partir des valeurs déjà trouvées, ne pourrait-on pas trouver une formule qui pourrait calculer tous les nombres dérivés de ces fonctions? \\ Combien vaudrait dans chacun des cas $f'(10)$? $f'(0,5)$?
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||||
\item ~
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||||
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\begin{minipage}{0.4\textwidth}
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||||
\begin{tikzpicture}
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||||
\begin{axis}[
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||||
axis lines = center,
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||||
grid = both,
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||||
xlabel = {$x$},
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||||
xtick distance=1,
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||||
ylabel = {$f(x)$},
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||||
ytick distance=1,
|
||||
legend pos = north west,
|
||||
]
|
||||
\addplot[domain=-3:3,samples=80, color=red, very thick]{0.5*(x-1)^2-2};
|
||||
\end{axis}
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\end{minipage}
|
||||
\hfill
|
||||
\begin{minipage}{0.5\textwidth}
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||||
\begin{tabular}{|m{2cm}|c|}
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||||
\hline
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||||
x & Nombre dérivé $f'(x)$\\
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||||
\hline
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||||
-2 & \\
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||||
\hline
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-1 & \\
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\hline
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0 & \\
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\hline
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||||
1 & \\
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\hline
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||||
2 & \\
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\hline
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||||
\end{tabular}
|
||||
\end{minipage}
|
||||
|
||||
\item Pour chacune des fonctions précédentes, à partir des valeurs déjà trouvées, ne pourrait-on pas trouver une formule qui pourrait calculer tous les nombres dérivés de ces fonctions ? \\ Combien vaudrait dans chacun des cas $f'(10)$ ? $f'(0,5)$ ?
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||||
\end{enumerate}
|
||||
\pagebreak
|
||||
\end{exercise}
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||||
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||||
\begin{exercise}[subtitle={Utilisation de la fonction dérivée}, step={1}, origin={Ma tête}, topics={ Fonction dérivée }, tags={ Dérivation }, mode={\trainMode}]
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||||
Ci-dessous, vous trouverez des couples de fonction avec leur dérivée.
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||||
|
||||
\begin{center}
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||||
\begin{tabular}{cp{2cm}c}
|
||||
$f(x) = 5x^3 - x^2 + 0.3x + 1$ & & $g(x) = 0.3x^5 - 3x^2 + 5x + 1$ \\
|
||||
$f'(x) = 15x^2 - 2x + 0.3$ & & $g'(x) = 1.5x^4 - 6x + 5$
|
||||
\end{tabular}
|
||||
\end{center}
|
||||
|
||||
\begin{enumerate}
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||||
\item Déterminer le nombre dérivé de la fonction $f$ au point d'abscisse $x=2$
|
||||
\item Que peut-on dire sur la croissance de la fonction $f$ autour du point d'abscisse $x=2$?
|
||||
\item Déterminer le nombre dérivé de la fonction $g$ au point d'abscisse $x=5$
|
||||
\item Que peut-on dire sur la croissance de la fonction $g$ autour du point d'abscisse $x=5$?
|
||||
\item Que peut-on dire sur la croissance de la fonction $f$ autour du point d'abscisse $x=1$?
|
||||
\item Que peut-on dire sur la croissance de la fonction $g$ autour du point d'abscisse $x=4$?
|
||||
\item Que peut-on dire sur la croissance de la fonction $f$ autour du point d'abscisse $x=111$?
|
||||
\item Vérifier vos résultats en traçant les fonctions $f$ et $g$ sur votre calculatrice.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{exercise}
|
||||
|
||||
\begin{exercise}[subtitle={Gestion hôtelière}, step={1}, origin={???}, topics={ Fonction dérivée }, tags={ Dérivation }]
|
||||
\begin{exercise}[subtitle={Calcul de la fonction dérivée}, step={1}, origin={Ma tête}, topics={ Fonction dérivée }, tags={ Dérivation }, mode={\groupMode}]
|
||||
\begin{center}
|
||||
\begin{tabular}{l|l|l|l|l}
|
||||
$f(x) = 2x + 1$ & $g(x) = 3$ & $h(x) = 5x + 1$ & $i(x) = x^2 + x + 1$ & $j(x) = 3x^2 - 10x - 100$\\
|
||||
$f'(x) = 2$ & $g'(x) = 0$ & $h'(x) = 5$ & $i'(x) = 2x + 1$ & $j'(x) = 6x - 10$
|
||||
\end{tabular}
|
||||
\end{center}
|
||||
|
||||
En observant les couples fonctions et dérivées précédentes, déterminer les fonctions dérivées suivantes
|
||||
\begin{center}
|
||||
\begin{tabular}{l|l|l|l|l}
|
||||
$f(x) = 4$ & $g(x) = 3x+2$ & $h(x) = -7x + 19$ & $i(x) = x^2 + 3x + 9$ & $j(x) = 4x^2 - x - 100$\\
|
||||
$f'(x) = ...$ & $g'(x) = ...$ & $h'(x) = ... $ & $i'(x) = ...$ & $j'(x) = ...$
|
||||
\end{tabular}
|
||||
\end{center}
|
||||
|
||||
Expliquer votre méthode pour déterminer ces dérivées.
|
||||
\end{exercise}
|
||||
|
||||
|
||||
% ------
|
||||
% Fonction de degré 1
|
||||
|
||||
\begin{exercise}[subtitle={Fonction affines}, step={2}, origin={Ma tête}, topics={ Fonction dérivée }, tags={ Dérivation }, mode={\searchMode}]
|
||||
On définit la fonction $f(x) = 5x - 10$ dont on veut étudier les variations.
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Calculer $f'(x)$ la fonction dérivée de $f(x)$.
|
||||
\item Quel est le signe de $f'(x)$? Que peut-on déduire sur la croissance de $f$?
|
||||
\item Recopier et compléter le tableau suivant
|
||||
\begin{center}
|
||||
\begin{tikzpicture}
|
||||
\tkzTabInit[lgt=3,espcl=10]{$x$/1,Signe de $f'(x)$/2, Variations de $f(x)$/2}{\hspace{5cm}, \hspace{5cm}}%
|
||||
\tkzTabLine{,,}%
|
||||
\tkzTabVar{,}%
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\end{center}
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{exercise}
|
||||
|
||||
% ------
|
||||
% Fonction de degré 2
|
||||
|
||||
\begin{exercise}[subtitle={Fonction polynôme}, step={2}, origin={Ma tête}, topics={ Fonction dérivée }, tags={ Dérivation }, mode={\searchMode}]
|
||||
On définit la fonction $f(x) = 3x^2 - 2x + 10$ dont on veut étudier les variations.
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Calculer $f'(x)$ la fonction dérivée de $f(x)$.
|
||||
\item Quel est le signe de $f'(x)$?
|
||||
\item Recopier et compléter le tableau suivant
|
||||
\begin{center}
|
||||
\begin{tikzpicture}
|
||||
\tkzTabInit[lgt=3,espcl=10]{$x$/1,Signe de $f'(x)$/2, Variations de $f(x)$/2}{\hspace{5cm}, \hspace{5cm}}%
|
||||
\tkzTabLine{,,}%
|
||||
\tkzTabVar{,}%
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\end{center}
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{exercise}
|
||||
|
||||
% ------
|
||||
% Mise en situations
|
||||
|
||||
\begin{exercise}[subtitle={Gestion hôtelière}, step={3}, origin={???}, topics={ Fonction dérivée }, tags={ Dérivation }]
|
||||
Le nombre d'offre "séjour exclusif" vendues peut être modélisé par la fonction suivante $N(x) = -0.6x + 219$ où $x$ désigne le prix de vente en euro.
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item On se place dans le cas où le prix de vente est de 150\euro.
|
||||
|
|
@ -84,7 +216,7 @@
|
|||
\end{enumerate}
|
||||
\end{exercise}
|
||||
|
||||
\begin{exercise}[subtitle={Crème de beauté}, step={1}, origin={???}, topics={ Fonction dérivée }, tags={ Dérivation }]
|
||||
\begin{exercise}[subtitle={Crème de beauté}, step={3}, origin={???}, topics={ Fonction dérivée }, tags={ Dérivation }]
|
||||
Une entreprise fabrique des flacons de crème de beauté. Cette entreprise peut fabriquer jusqu'à 60 flacons par jour.
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Chaque flacon est vendu 250\euro. On note $R(x)$ les recettes des ventes journalière des flacons où $x$ désigne le nombre de flacon produit. Déterminer l'expression de $R$ en fonction de $x$.
|
||||
|
|
|
|||
|
|
@ -2,7 +2,7 @@ Fonction dérivée
|
|||
################
|
||||
|
||||
:date: 2023-01-04
|
||||
:modified: 2023-01-04
|
||||
:modified: 2023-01-05
|
||||
:authors: Benjamin Bertrand
|
||||
:tags: Dérivation
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||||
:category: 1ST
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|
@ -31,13 +31,35 @@ Capacités attendues
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Progression
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||||
===========
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||||
Plan de travail
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||||
---------------
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||||
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||||
.. image:: ./plan_de_travail.pdf
|
||||
:height: 200px
|
||||
:alt: Plan de travail
|
||||
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||||
Solutions
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||||
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||||
.. image:: ./solutions.pdf
|
||||
:height: 200px
|
||||
:alt: Solution des exercices techniques
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||||
Étape 1: Découverte de la fonction dérivée
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------------------------------------------
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||||
À partir de graphique, les élèves tracent les tangentes et détermine les nombres dérivées. Ils doivent ensuite "deviner" la transformation de x vers le nombre dérivé.
|
||||
À partir de graphique, les élèves tracent les tangentes et détermine les nombres dérivés. Ils doivent ensuite "deviner" la transformation de x vers le nombre dérivé.
|
||||
|
||||
Ensuite, ils utilisent des fonctions dérivées pour calculer les nombres dérivés et connaître la croissance des fonctions.
|
||||
|
||||
Enfin, en groupe, ils vont devoir chercher une méthode pour calculer des fonctions dérivées et produire un bilan.
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||||
Bilan: notion de fonction dérivée et les formules.
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||||
Exercices techniques de dérivation.
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||||
Étape 2: Calculs de fonctions dérivées
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||||
--------------------------------------
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||||
|
||||
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|
|||
Binary file not shown.
|
|
@ -1,5 +1,7 @@
|
|||
\documentclass[a4paper,12pt]{article}
|
||||
\usepackage{myXsim}
|
||||
\usepackage{pgfplots}
|
||||
\pgfplotsset{compat=1.18}
|
||||
|
||||
\author{Benjamin Bertrand}
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||||
\title{Fonction dérivée - Plan de travail}
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||||
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@ -22,22 +24,31 @@
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|||
|
||||
Savoir-faire de la séquence
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||||
\begin{itemize}
|
||||
\item
|
||||
\item Interpréter géométriquement le nombre dérivé comme coefficient directeur de la tangente
|
||||
\item Calculer la dérivée d’une fonction polynôme de degré inférieur ou égal à deux.
|
||||
\item Déterminer le sens de variation d'un polynôme de degré inférieur ou égal à 2.
|
||||
\end{itemize}
|
||||
|
||||
\bigskip
|
||||
|
||||
Ordre des étapes à respecter
|
||||
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||||
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||||
\section{}
|
||||
\section{Découverte de la fonction dérivée}
|
||||
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||||
\listsectionexercises
|
||||
|
||||
\section{Utilisation de la fonction dérivée}
|
||||
|
||||
\listsectionexercises
|
||||
|
||||
\section{Étude de variation des fonctions}
|
||||
|
||||
\listsectionexercises
|
||||
|
||||
|
||||
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||||
\pagebreak
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||||
\input{exercises.tex}
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\input{1_techniques.tex}
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\printcollection{banque}
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|||
Binary file not shown.
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|
@ -22,6 +22,7 @@
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|||
\maketitle
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||||
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||||
\input{exercises.tex}
|
||||
\input{1_techniques.tex}
|
||||
%\printcollection{banque}
|
||||
%\printsolutions{exercises}
|
||||
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||||
|
|
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|||
|
|
@ -0,0 +1,182 @@
|
|||
\begin{exercise}[subtitle={Calculs de dérivée}, step={1}, origin={Ma tête}, topics={ Fonction dérivée }, tags={ Dérivation }, mode={\trainMode}]
|
||||
Calculer les fonctions dérivées des fonctions suivantes
|
||||
\Block{
|
||||
set fonctions = {
|
||||
"f": random_expression("{a}x + {b}", [],),
|
||||
"g": random_expression("{a}x + {b}", [],),
|
||||
|
||||
"h": random_expression("{a}x + {b}", [],),
|
||||
"i": random_expression("{a}x + {b}", [],),
|
||||
|
||||
"j": random_expression("{a}x + {b}", [],),
|
||||
"k": random_expression("{a}x^2 + {b}x + {c}", [],),
|
||||
|
||||
"l": random_expression("{a}x + {b}", [],),
|
||||
"m": random_expression("{a}x^2 + {b}x + {c}", [],),
|
||||
|
||||
"n": random_expression("{a}x^2 + {b}x + {c}", [],),
|
||||
"o": random_expression("{a}x^2", [],),
|
||||
|
||||
"p": random_expression("{a}x^2 + {b}x", [],),
|
||||
"q": random_expression("{a}x^2 + {c}", [],),
|
||||
}
|
||||
}
|
||||
\begin{multicols}{3}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
%- for name, f in fonctions.items()
|
||||
\item $\Var{name}(x) = \Var{f}$
|
||||
%- endfor
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{multicols}
|
||||
\end{exercise}
|
||||
|
||||
\begin{solution}
|
||||
\begin{multicols}{2}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
%- for name, f in fonctions.items()
|
||||
\item $\Var{name}(x) = \Var{f}$
|
||||
|
||||
\[
|
||||
\Var{name}'(x) = \Var{f.differentiate()}
|
||||
\]
|
||||
%- endfor
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{multicols}
|
||||
\end{solution}
|
||||
|
||||
\begin{exercise}[subtitle={Fonction affines - technique}, step={2}, origin={Ma tête}, topics={ Fonction dérivée }, tags={ Dérivation }, mode={\trainMode}]
|
||||
Reprendre l'exercice précédent pour les fonctions suivantes:
|
||||
\Block{
|
||||
set functions = {
|
||||
"f": random_expression("{a}x + {b}", [],),
|
||||
"g": random_expression("{a}x + {b}", [],),
|
||||
|
||||
"h": random_expression("{a}x + {b}", [],),
|
||||
"i": random_expression("{a}x + {b}", [],),
|
||||
}
|
||||
}
|
||||
\begin{multicols}{2}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
%- for name, f in functions.items()
|
||||
\item $\Var{name}(x) = \Var{f}$
|
||||
%- endfor
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{multicols}
|
||||
\end{exercise}
|
||||
|
||||
\begin{solution}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
%- for name, f in functions.items()
|
||||
\item Étude de la fonction $\Var{name}(x) = \Var{f}$
|
||||
%- set f1 = f.differentiate()
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item Fonction dérivée : $\Var{name}'(x) = \Var{f1}$
|
||||
%- if f1 > 0
|
||||
\item Comme $\Var{f1} > 0$ la fonction est croissante
|
||||
\item
|
||||
\begin{center}
|
||||
\begin{tikzpicture}
|
||||
\tkzTabInit[lgt=3,espcl=10]{$x$/1,Signe de $f'(x)$/2, Variations de $f(x)$/2}{\hspace{2cm}, \hspace{2cm}}%
|
||||
\tkzTabLine{,+,}%
|
||||
\tkzTabVar{-/ ,+/ }%
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\end{center}
|
||||
%- elif f1 < 0
|
||||
\item Comme $\Var{f1} < 0$ la fonction est décroissante
|
||||
\item
|
||||
\begin{center}
|
||||
\begin{tikzpicture}
|
||||
\tkzTabInit[lgt=3,espcl=10]{$x$/1,Signe de $f'(x)$/2, Variations de $f(x)$/2}{\hspace{2cm}, \hspace{2cm}}%
|
||||
\tkzTabLine{,-,}%
|
||||
\tkzTabVar{+/ ,-/ }%
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\end{center}
|
||||
%- endif
|
||||
\end{itemize}
|
||||
%- endfor
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{solution}
|
||||
|
||||
\begin{exercise}[subtitle={Fonction affines - technique}, step={2}, origin={Ma tête}, topics={ Fonction dérivée }, tags={ Dérivation }, mode={\trainMode}]
|
||||
Reprendre l'exercice précédent pour les fonctions suivantes :
|
||||
\Block{
|
||||
set functions = {
|
||||
"f": random_expression("{a}x^2 + {b}x + {c}", ["a>0"],),
|
||||
"g": random_expression("{a}x^2 + {b}x + {c}", ["a>0"],),
|
||||
|
||||
"h": random_expression("{a}x^2 + {b}x + {c}", [],),
|
||||
"i": random_expression("{a}x^2 + {b}x + {c}", [],),
|
||||
|
||||
"j": random_expression("{a}x^2 + {b}x + {c}", [],),
|
||||
"k": random_expression("{a}x^2 + {b}x + {c}", [],),
|
||||
}
|
||||
}
|
||||
\begin{multicols}{2}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
%- for name, f in functions.items()
|
||||
\item $\Var{name}(x) = \Var{f}$
|
||||
%- endfor
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{multicols}
|
||||
\end{exercise}
|
||||
|
||||
\begin{solution}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
%- for name, f in functions.items()
|
||||
\item Étude de la fonction $\Var{name}(x) = \Var{f}$
|
||||
%- set f1 = f.differentiate()
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item Fonction dérivée : $\Var{name}'(x) = \Var{f1}$
|
||||
%- if f1[1] > 0
|
||||
\item On résout l'inéquation $\Var{name}'(x) \geq 0$ pour déterminer quand la fonction $\Var{name}'$ est positive.
|
||||
%- set cst = -f1[0]
|
||||
%- set coef = f1[1]
|
||||
%- set racine = cst / coef
|
||||
\begin{align*}
|
||||
\Var{name}(x) & \geq 0 \\
|
||||
\Var{f1} & \geq 0 \\
|
||||
\Var{f1} + \Var{cst} &\geq 0 + \Var{cst} \\
|
||||
\Var{f1 + cst} &\geq \Var{0 + cst} \\
|
||||
\frac{\Var{f1 + cst}}{\Var{coef}} &\geq \frac{\Var{cst}}{\Var{coef}} \\
|
||||
x &\geq \Var{racine.simplify()} \\
|
||||
\end{align*}
|
||||
Donc $\Var{name}(x)$ est positif quand $x$ est plus \textbf{grand} que $\Var{racine.simplify()}$
|
||||
%- set racine = racine.simplify()
|
||||
%- set img_racine = f(racine)
|
||||
\item
|
||||
\begin{center}
|
||||
\begin{tikzpicture}
|
||||
\tkzTabInit[lgt=3,espcl=4]{$x$/1,Signe de $f'(x)$/2, Variations de $f(x)$/2}{, $\Var{racine}$ ,}%
|
||||
\tkzTabLine{, -, z, +, }
|
||||
\tkzTabVar{+/ ,-/$f(\Var{racine}) = \Var{img_racine}$ , +/}%
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\end{center}
|
||||
%- elif f1[1] < 0
|
||||
\item On résout l'inéquation $\Var{name}'(x) \geq 0$ pour déterminer quand la fonction $\Var{name}'$ est positive.
|
||||
%- set cst = -f1[0]
|
||||
%- set coef = f1[1]
|
||||
%- set racine = cst / coef
|
||||
\begin{align*}
|
||||
\Var{name}(x) & \geq 0 \\
|
||||
\Var{f1} & \geq 0 \\
|
||||
\Var{f1} + \Var{cst} &\geq 0 + \Var{cst} \\
|
||||
\Var{f1 + cst} &\geq \Var{0 + cst} \\
|
||||
\frac{\Var{f1 + cst}}{\Var{coef}} &\leq \frac{\Var{cst}}{\Var{coef}} \\
|
||||
x &\leq \Var{racine.simplify()} \\
|
||||
\end{align*}
|
||||
Donc $\Var{name}(x)$ est positif quand $x$ est plus \textbf{petit} que $\Var{racine.simplify()}$
|
||||
%- set racine = racine.simplify()
|
||||
%- set img_racine = f(racine)
|
||||
\item
|
||||
\begin{center}
|
||||
\begin{tikzpicture}
|
||||
\tkzTabInit[lgt=3,espcl=4]{$x$/1,Signe de $f'(x)$/2, Variations de $f(x)$/2}{, $\Var{racine}$ ,}%
|
||||
\tkzTabLine{, +, z, -, }
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||||
\tkzTabVar{-/ ,+/$f(\Var{racine}) = \Var{img_racine}$ , -/}%
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\end{tikzpicture}
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\end{center}
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%- endif
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\end{itemize}
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%- endfor
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\end{enumerate}
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\end{solution}
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