2022-2023/1ST/03_Nombre_derive_et_tangente/1B_taux_accroissement.tex

\documentclass[a4paper,10pt]{article}
\usepackage{myXsim}
\usepackage{tikz}
\usepackage{pgfplots}

\author{Benjamin Bertrand}
\title{Nombre dérivé et tangente - Cours}
\date{novembre 2022}

\pagestyle{empty}

\begin{document}

\maketitle

\section{Taux d'accroissement}

\begin{definition}[Taux d'accroissement]
    \begin{minipage}{0.5\linewidth}
        Soit $f$ une fonction, $a$ et $b$ deux nombres.

        \textbf{Le taux d'accroissement} de la fonction $f$ entre $a$ et $b$ se calcule par
        \[
            \frac{f(b) - f(a)}{b-a}
        \]

        \bigskip

        On interprète ce nombre comme la pente de la droite qui relie les points de la droite d'abscisse $a$ et $b$. Cette droite est appelé \textbf{corde}.
    \end{minipage}
    \hfill
    \begin{minipage}{0.45\linewidth}
        \begin{tikzpicture}
            \begin{axis}[
                axis lines = center,
                grid= both,
                xlabel = {$x$},
                xtick distance=1,
                ylabel = {$f(x)$},
                ytick distance=1,
                ]
                \addplot[domain=0:5,samples=20, color=red, very thick]{0.1*x^3 - 1.5*x + 1};
            \end{axis}
        \end{tikzpicture}
    \end{minipage}
\end{definition}

\paragraph{Exemples}
\begin{itemize}
    \item Calcul du taux d'accroissement entre $x = 1$ et $x = 4$ sur le graphique ci-dessus.

    \vspace{2cm}

    \item Soit $f(t) = 3t^2 + 2$ le taux d'accroissement entre $t=3$ et $t = 10$ est calculé:
    \vspace{2cm}
\end{itemize}

\afaire{Traiter les exemples}


\paragraph{Remarques}
\begin{itemize}
    \item Le taux d'accroissement est parfois nommé \textbf{taux de variations}.
    \item En économie, quand la fonction $f$ représente les coûts, le taux d'accroissement est appelé \textbf{coût marginal}. Il permet de savoir quel sera le coût si l'on décide d'ajouter une unité.
    \item En physique, quand la fonction $f$ représente la position, le taux d'accroissement est appelé \textbf{vitesse moyenne}.
        \[
            v_{moyenne} = \frac{\Delta p}{\Delta t} = \frac{p(t_2) - p(t_1)}{t_2 - t_1}
        \]
\end{itemize}

\end{document}