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\documentclass[a4paper,12pt]{article}
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\usepackage{myXsim}
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\usepackage{pgfplots}
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\usetikzlibrary{decorations.markings}
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\pgfplotsset{compat=1.18}
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\title{ DM1 \hfill BALTA Zina}
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\tribe{1ST}
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\date{A rendre pour le lundi 27 mars 2023}
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\duree{}
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\xsimsetup{
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solution/print = false
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}
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\pagestyle{empty}
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\begin{document}
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\maketitle
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Le barème est donné à titre indicatif, il pourra être modifié.
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\begin{exercise}[subtitle={Polynôme de degré 2}]
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Développer les expressions suivantes pour vérifier que ce sont des polynômes de degré 2. Vous préciserez les valeurs de $a$, $b$ et $c$.
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\begin{multicols}{2}
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\begin{enumerate}
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\item $f(x) = (- 4x - 9)(2x - 9)$
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\item $g(x) = (9x - 9)^{2}$
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\item $h(x) = 4 + x(8x - 1)$
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\item $i(x) = 9x^{2} + x(9x + 6)$
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\item $j(x) = - 5(x + 4)(x - 2)$
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\item $k(x) = - 9(x - 3)(x + 4)$
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\end{enumerate}
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\end{multicols}
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\end{exercise}
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\begin{solution}
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\begin{enumerate}
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\item
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\begin{align*}
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f(x) &= (- 4x - 9)(2x - 9)\\&= - 4x \times 2x - 4x(- 9) - 9 \times 2x - 9(- 9)\\&= - 4 \times 2 \times x^{1 + 1} - 9(- 4) \times x - 9 \times 2 \times x + 81\\&= 36x - 18x - 8x^{2} + 81\\&= (36 - 18) \times x - 8x^{2} + 81\\&= - 8x^{2} + 18x + 81
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\end{align*}
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C'est un polynôme de degré 2 avec $a = - 8$, $b = 18$ et $c = 81$.
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\item
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\begin{align*}
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g(x) &= (9x - 9)^{2}\\&= (9x - 9)(9x - 9)\\&= 9x \times 9x + 9x(- 9) - 9 \times 9x - 9(- 9)\\&= 9 \times 9 \times x^{1 + 1} - 9 \times 9 \times x - 9 \times 9 \times x + 81\\&= - 81x - 81x + 81x^{2} + 81\\&= (- 81 - 81) \times x + 81x^{2} + 81\\&= 81x^{2} - 162x + 81
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\end{align*}
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C'est un polynôme de degré 2 avec $a = 81$, $b = - 162$ et $c = 81$.
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\item
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\begin{align*}
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h(x) &= 4 + x(8x - 1)\\&= 4 + x \times 8x + x(- 1)\\&= 8x^{2} - x + 4
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\end{align*}
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C'est un polynôme de degré 2 avec $a = 8$, $b = - 1$ et $c = 4$.
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\item
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\begin{align*}
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i(x) &= 9x^{2} + x(9x + 6)\\&= 9x^{2} + x \times 9x + x \times 6\\&= 9x^{2} + 9x^{2} + 6x\\&= 9x^{2} + 9x^{2} + 6x\\&= (9 + 9) \times x^{2} + 6x\\&= 18x^{2} + 6x
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\end{align*}
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C'est un polynôme de degré 2 avec $a = 18$, $b = 6$ et $c = 0$.
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\item
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\begin{align*}
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j(x) &= - 5(x + 4)(x - 2)\\&= (- 5x - 5 \times 4)(x - 2)\\&= (- 5x - 20)(x - 2)\\&= - 5x \times x - 5x(- 2) - 20x - 20(- 2)\\&= - 2(- 5) \times x + 40 - 5x^{2} - 20x\\&= 10x + 40 - 5x^{2} - 20x\\&= - 5x^{2} + 10x - 20x + 40\\&= - 5x^{2} + (10 - 20) \times x + 40\\&= - 5x^{2} - 10x + 40
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\end{align*}
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C'est un polynôme de degré 2 avec $a = - 5$, $b = - 10$ et $c = 40$.
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\item
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\begin{align*}
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k(x) &= - 9(x - 3)(x + 4)\\&= (- 9x - 9(- 3))(x + 4)\\&= (- 9x + 27)(x + 4)\\&= - 9x \times x - 9x \times 4 + 27x + 27 \times 4\\&= 4(- 9) \times x + 108 - 9x^{2} + 27x\\&= - 36x + 108 - 9x^{2} + 27x\\&= - 9x^{2} - 36x + 27x + 108\\&= - 9x^{2} + (- 36 + 27) \times x + 108\\&= - 9x^{2} - 9x + 108
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\end{align*}
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C'est un polynôme de degré 2 avec $a = - 9$, $b = - 9$ et $c = 108$.
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\end{enumerate}
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\end{solution}
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\begin{exercise}[subtitle={Étude de fonctions}]
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Soit $f(x) = 5x^{2} + 70x + 200$ une fonction définie sur $\R$.
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\begin{enumerate}
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\item Calculer les valeurs suivantes
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\[
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f(1) \qquad f(-2)
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\]
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\item Dériver la fonction $f$
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\item Étudier le signe de $f'$ puis en déduire les variations de $f$.
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\item Est-ce que $f$ admet un maximum? un minimum? Calculer sa valeur.
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\end{enumerate}
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\end{exercise}
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\begin{solution}
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\begin{enumerate}
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\item On remplace $x$ par les valeurs demandées
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\[
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f(1) = 5 \times 1^{2} + 70 \times 1 + 200=5 \times 1 + 70 + 200=5 + 270=275
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\]
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\[
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f(-1) = 5 \times - 1^{2} + 70(- 1) + 200=5 \times 1 - 70 + 200=5 + 130=135
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\]
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\item Dérivation
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\[
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f'(x) = 10x + 70
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\]
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\item Pas de solutions automatiques.
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|
\item Pas de solutions automatiques.
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\end{enumerate}
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\end{solution}
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\begin{exercise}[subtitle={Enclos}]
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Dans son garage, Jean a trouvé 32m de grillage. \\
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Il décide de l'utiliser pour faire un enclos rectangulaire. Afin d'obtenir un enclos encore plus grand, il veut utiliser le mur du jardin qui formera un côté. Le grillage formera les 3 autres.
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\begin{center}
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\includegraphics[scale=0.8]{./fig/enclos}
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\end{center}
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Comment placer les poteaux pour avoir un enclos le plus grand possible ?
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\textit{Cet exercice est un exercice de recherche. Vous êtes invité à utiliser les outils que vous voulez. Une part importante de la note sera dédiée à la rédaction et aux explications de ce que vous faites. Vous êtes encouragé à faire des schémas.}
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\textit{Si vous utilisez le tableur, vous devrez le mentionner et m'envoyer le tableur à l'adresse \url{benjamin.bertrand@ac-lyon.fr}}
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\end{exercise}
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\begin{solution}
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Formule de l'aire (en notant $x$ la longueur du côté de l'enclos à côté du mur)
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\[
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A(x) = x(32 - 2x) = - 2x^{2} + 32x
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\]
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On va donc étudier les variations de la fonction $A(x) = - 2x^{2} + 32x$
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\begin{itemize}
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\item Fonction dérivée : $A'(x) = - 4x + 32$
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\item On résout l'inéquation $A'(x) \geq 0$ pour déterminer quand la fonction $A'$ est positive.
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\begin{align*}
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A(x) & \geq 0 \\
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- 4x + 32 & \geq 0 \\
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- 4x + 32 + - 32 &\geq 0 + - 32 \\
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- 4x &\geq - 32 \\
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\frac{- 4x}{- 4} &\leq \frac{- 32}{- 4} \\
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x &\leq 8 \\
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\end{align*}
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Donc $A(x)$ est positif quand $x$ est plus \textbf{petit} que $8$
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\item
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\begin{center}
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\begin{tikzpicture}
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\tkzTabInit[lgt=3,espcl=4]{$x$/1,Signe de $f'(x)$/2, Variations de $f(x)$/2}{, $8$ ,}%
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\tkzTabLine{, +, z, -, }
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\tkzTabVar{-/ ,+/$f(8) = 128$ , -/}%
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|
\end{tikzpicture}
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|
\end{center}
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\end{itemize}
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Pour avoir le plus grand enclos, il faut placer les poteaux à 6m du mur et on aura alors un enclos de $72m^2$.
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\end{solution}
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\end{document}
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%%% Local Variables:
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%%% mode: latex
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%%% TeX-master: "master"
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%%% End:
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