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\documentclass[a4paper,12pt]{article}
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\usepackage{myXsim}
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\usepackage{pgfplots}
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\usetikzlibrary{decorations.markings}
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\pgfplotsset{compat=1.18}
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\title{ DM1 \hfill DA COSTA QUEIROGA Délinda}
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\tribe{1ST}
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\date{A rendre pour le lundi 27 mars 2023}
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\duree{}
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\xsimsetup{
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solution/print = false
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}
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\pagestyle{empty}
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\begin{document}
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\maketitle
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Le barème est donné à titre indicatif, il pourra être modifié.
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\begin{exercise}[subtitle={Polynôme de degré 2}]
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Développer les expressions suivantes pour vérifier que ce sont des polynômes de degré 2. Vous préciserez les valeurs de $a$, $b$ et $c$.
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\begin{multicols}{2}
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\begin{enumerate}
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\item $f(x) = (2x - 2)(3x - 2)$
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\item $g(x) = (- 6x + 5)^{2}$
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\item $h(x) = 10 + x(4x + 9)$
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\item $i(x) = 4x^{2} + x(- 10x - 8)$
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\item $j(x) = 7(x + 3)(x - 6)$
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\item $k(x) = - 5(x + 3)(x - 3)$
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\end{enumerate}
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\end{multicols}
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\end{exercise}
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\begin{solution}
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\begin{enumerate}
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\item
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\begin{align*}
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f(x) &= (2x - 2)(3x - 2)\\&= 2x \times 3x + 2x(- 2) - 2 \times 3x - 2(- 2)\\&= 2 \times 3 \times x^{1 + 1} - 2 \times 2 \times x - 2 \times 3 \times x + 4\\&= - 4x - 6x + 6x^{2} + 4\\&= (- 4 - 6) \times x + 6x^{2} + 4\\&= 6x^{2} - 10x + 4
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\end{align*}
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C'est un polynôme de degré 2 avec $a = 6$, $b = - 10$ et $c = 4$.
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\item
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\begin{align*}
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g(x) &= (- 6x + 5)^{2}\\&= (- 6x + 5)(- 6x + 5)\\&= - 6x \times - 6x - 6x \times 5 + 5 \times - 6x + 5 \times 5\\&= - 6(- 6) \times x^{1 + 1} + 5(- 6) \times x + 5(- 6) \times x + 25\\&= - 30x - 30x + 36x^{2} + 25\\&= (- 30 - 30) \times x + 36x^{2} + 25\\&= 36x^{2} - 60x + 25
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\end{align*}
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C'est un polynôme de degré 2 avec $a = 36$, $b = - 60$ et $c = 25$.
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\item
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\begin{align*}
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h(x) &= 10 + x(4x + 9)\\&= 10 + x \times 4x + x \times 9\\&= 4x^{2} + 9x + 10
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\end{align*}
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C'est un polynôme de degré 2 avec $a = 4$, $b = 9$ et $c = 10$.
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\item
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\begin{align*}
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i(x) &= 4x^{2} + x(- 10x - 8)\\&= 4x^{2} + x \times - 10x + x(- 8)\\&= 4x^{2} - 10x^{2} - 8x\\&= 4x^{2} - 10x^{2} - 8x\\&= (4 - 10) \times x^{2} - 8x\\&= - 6x^{2} - 8x
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\end{align*}
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C'est un polynôme de degré 2 avec $a = - 6$, $b = - 8$ et $c = 0$.
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\item
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\begin{align*}
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j(x) &= 7(x + 3)(x - 6)\\&= (7x + 7 \times 3)(x - 6)\\&= (7x + 21)(x - 6)\\&= 7x \times x + 7x(- 6) + 21x + 21(- 6)\\&= - 6 \times 7 \times x - 126 + 7x^{2} + 21x\\&= - 42x - 126 + 7x^{2} + 21x\\&= 7x^{2} - 42x + 21x - 126\\&= 7x^{2} + (- 42 + 21) \times x - 126\\&= 7x^{2} - 21x - 126
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\end{align*}
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C'est un polynôme de degré 2 avec $a = 7$, $b = - 21$ et $c = - 126$.
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\item
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\begin{align*}
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k(x) &= - 5(x + 3)(x - 3)\\&= (- 5x - 5 \times 3)(x - 3)\\&= (- 5x - 15)(x - 3)\\&= - 5x \times x - 5x(- 3) - 15x - 15(- 3)\\&= - 3(- 5) \times x + 45 - 5x^{2} - 15x\\&= 15x + 45 - 5x^{2} - 15x\\&= - 5x^{2} + 15x - 15x + 45\\&= - 5x^{2} + (15 - 15) \times x + 45\\&= - 5x^{2} + 45
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\end{align*}
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C'est un polynôme de degré 2 avec $a = - 5$, $b = 0$ et $c = 45$.
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\end{enumerate}
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\end{solution}
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\begin{exercise}[subtitle={Étude de fonctions}]
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Soit $f(x) = - 7x^{2} + 91x - 280$ une fonction définie sur $\R$.
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\begin{enumerate}
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\item Calculer les valeurs suivantes
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\[
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f(1) \qquad f(-2)
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\]
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\item Dériver la fonction $f$
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\item Étudier le signe de $f'$ puis en déduire les variations de $f$.
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\item Est-ce que $f$ admet un maximum? un minimum? Calculer sa valeur.
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\end{enumerate}
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\end{exercise}
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\begin{solution}
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\begin{enumerate}
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\item On remplace $x$ par les valeurs demandées
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\[
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f(1) = - 7 \times 1^{2} + 91 \times 1 - 280=- 7 \times 1 + 91 - 280=- 7 - 189=- 196
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\]
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\[
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f(-1) = - 7 \times - 1^{2} + 91(- 1) - 280=- 7 \times 1 - 91 - 280=- 7 - 371=- 378
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\]
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\item Dérivation
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\[
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f'(x) = - 14x + 91
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\]
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\item Pas de solutions automatiques.
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|
\item Pas de solutions automatiques.
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\end{enumerate}
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\end{solution}
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\begin{exercise}[subtitle={Enclos}]
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Dans son garage, Jean a trouvé 23m de grillage. \\
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Il décide de l'utiliser pour faire un enclos rectangulaire. Afin d'obtenir un enclos encore plus grand, il veut utiliser le mur du jardin qui formera un côté. Le grillage formera les 3 autres.
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\begin{center}
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\includegraphics[scale=0.8]{./fig/enclos}
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\end{center}
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Comment placer les poteaux pour avoir un enclos le plus grand possible ?
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\textit{Cet exercice est un exercice de recherche. Vous êtes invité à utiliser les outils que vous voulez. Une part importante de la note sera dédiée à la rédaction et aux explications de ce que vous faites. Vous êtes encouragé à faire des schémas.}
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\textit{Si vous utilisez le tableur, vous devrez le mentionner et m'envoyer le tableur à l'adresse \url{benjamin.bertrand@ac-lyon.fr}}
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\end{exercise}
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\begin{solution}
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Formule de l'aire (en notant $x$ la longueur du côté de l'enclos à côté du mur)
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\[
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A(x) = x(23 - 2x) = - 2x^{2} + 23x
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\]
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On va donc étudier les variations de la fonction $A(x) = - 2x^{2} + 23x$
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\begin{itemize}
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\item Fonction dérivée : $A'(x) = - 4x + 23$
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\item On résout l'inéquation $A'(x) \geq 0$ pour déterminer quand la fonction $A'$ est positive.
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\begin{align*}
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A(x) & \geq 0 \\
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- 4x + 23 & \geq 0 \\
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- 4x + 23 + - 23 &\geq 0 + - 23 \\
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- 4x &\geq - 23 \\
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\frac{- 4x}{- 4} &\leq \frac{- 23}{- 4} \\
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x &\leq \dfrac{23}{4} \\
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\end{align*}
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Donc $A(x)$ est positif quand $x$ est plus \textbf{petit} que $\dfrac{23}{4}$
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\item
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\begin{center}
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\begin{tikzpicture}
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\tkzTabInit[lgt=3,espcl=4]{$x$/1,Signe de $f'(x)$/2, Variations de $f(x)$/2}{, $\dfrac{23}{4}$ ,}%
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|
\tkzTabLine{, +, z, -, }
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\tkzTabVar{-/ ,+/$f(\dfrac{23}{4}) = \dfrac{1058}{16}$ , -/}%
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|
\end{tikzpicture}
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|
\end{center}
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|
\end{itemize}
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Pour avoir le plus grand enclos, il faut placer les poteaux à 6m du mur et on aura alors un enclos de $72m^2$.
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\end{solution}
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\end{document}
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%%% Local Variables:
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%%% mode: latex
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%%% TeX-master: "master"
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%%% End:
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