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TeX
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\documentclass[a4paper,12pt]{article}
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\usepackage{myXsim}
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\usepackage{pgfplots}
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\usetikzlibrary{decorations.markings}
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\pgfplotsset{compat=1.18}
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\title{ DM1 \hfill VAN ES Tristan}
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\tribe{1ST}
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\date{A rendre pour le lundi 27 mars 2023}
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\duree{}
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\xsimsetup{
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solution/print = false
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}
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\pagestyle{empty}
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\begin{document}
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\maketitle
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Le barème est donné à titre indicatif, il pourra être modifié.
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\begin{exercise}[subtitle={Polynôme de degré 2}]
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Développer les expressions suivantes pour vérifier que ce sont des polynômes de degré 2. Vous préciserez les valeurs de $a$, $b$ et $c$.
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\begin{multicols}{2}
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\begin{enumerate}
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\item $f(x) = (- 9x + 3)(- 9x + 3)$
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\item $g(x) = (- 3x + 6)^{2}$
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\item $h(x) = 10 + x(6x - 7)$
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\item $i(x) = - 1x^{2} + x(- 10x - 4)$
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\item $j(x) = 4(x - 3)(x + 4)$
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\item $k(x) = 4(x + 9)(x + 3)$
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\end{enumerate}
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\end{multicols}
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\end{exercise}
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\begin{solution}
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\begin{enumerate}
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\item
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\begin{align*}
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f(x) &= (- 9x + 3)(- 9x + 3)\\&= - 9x \times - 9x - 9x \times 3 + 3 \times - 9x + 3 \times 3\\&= - 9(- 9) \times x^{1 + 1} + 3(- 9) \times x + 3(- 9) \times x + 9\\&= - 27x - 27x + 81x^{2} + 9\\&= (- 27 - 27) \times x + 81x^{2} + 9\\&= 81x^{2} - 54x + 9
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\end{align*}
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C'est un polynôme de degré 2 avec $a = 81$, $b = - 54$ et $c = 9$.
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\item
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\begin{align*}
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g(x) &= (- 3x + 6)^{2}\\&= (- 3x + 6)(- 3x + 6)\\&= - 3x \times - 3x - 3x \times 6 + 6 \times - 3x + 6 \times 6\\&= - 3(- 3) \times x^{1 + 1} + 6(- 3) \times x + 6(- 3) \times x + 36\\&= - 18x - 18x + 9x^{2} + 36\\&= (- 18 - 18) \times x + 9x^{2} + 36\\&= 9x^{2} - 36x + 36
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\end{align*}
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C'est un polynôme de degré 2 avec $a = 9$, $b = - 36$ et $c = 36$.
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\item
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\begin{align*}
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h(x) &= 10 + x(6x - 7)\\&= 10 + x \times 6x + x(- 7)\\&= 6x^{2} - 7x + 10
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\end{align*}
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C'est un polynôme de degré 2 avec $a = 6$, $b = - 7$ et $c = 10$.
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\item
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\begin{align*}
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i(x) &= - 1x^{2} + x(- 10x - 4)\\&= - x^{2} + x \times - 10x + x(- 4)\\&= - x^{2} - 10x^{2} - 4x\\&= - x^{2} - 10x^{2} - 4x\\&= (- 1 - 10) \times x^{2} - 4x\\&= - 11x^{2} - 4x
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\end{align*}
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C'est un polynôme de degré 2 avec $a = - 11$, $b = - 4$ et $c = 0$.
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\item
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\begin{align*}
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j(x) &= 4(x - 3)(x + 4)\\&= (4x + 4(- 3))(x + 4)\\&= (4x - 12)(x + 4)\\&= 4x \times x + 4x \times 4 - 12x - 12 \times 4\\&= 4 \times 4 \times x - 48 + 4x^{2} - 12x\\&= 16x - 48 + 4x^{2} - 12x\\&= 4x^{2} + 16x - 12x - 48\\&= 4x^{2} + (16 - 12) \times x - 48\\&= 4x^{2} + 4x - 48
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\end{align*}
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C'est un polynôme de degré 2 avec $a = 4$, $b = 4$ et $c = - 48$.
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\item
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\begin{align*}
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k(x) &= 4(x + 9)(x + 3)\\&= (4x + 4 \times 9)(x + 3)\\&= (4x + 36)(x + 3)\\&= 4x \times x + 4x \times 3 + 36x + 36 \times 3\\&= 3 \times 4 \times x + 108 + 4x^{2} + 36x\\&= 12x + 108 + 4x^{2} + 36x\\&= 4x^{2} + 12x + 36x + 108\\&= 4x^{2} + (12 + 36) \times x + 108\\&= 4x^{2} + 48x + 108
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\end{align*}
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C'est un polynôme de degré 2 avec $a = 4$, $b = 48$ et $c = 108$.
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\end{enumerate}
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\end{solution}
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\begin{exercise}[subtitle={Étude de fonctions}]
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Soit $f(x) = 3x^{2} + 12x - 180$ une fonction définie sur $\R$.
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\begin{enumerate}
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\item Calculer les valeurs suivantes
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\[
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f(1) \qquad f(-2)
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\]
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\item Dériver la fonction $f$
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\item Étudier le signe de $f'$ puis en déduire les variations de $f$.
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\item Est-ce que $f$ admet un maximum? un minimum? Calculer sa valeur.
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\end{enumerate}
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\end{exercise}
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\begin{solution}
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\begin{enumerate}
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\item On remplace $x$ par les valeurs demandées
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\[
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f(1) = 3 \times 1^{2} + 12 \times 1 - 180=3 \times 1 + 12 - 180=3 - 168=- 165
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\]
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\[
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f(-1) = 3 \times - 1^{2} + 12(- 1) - 180=3 \times 1 - 12 - 180=3 - 192=- 189
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\]
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\item Dérivation
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\[
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f'(x) = 6x + 12
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\]
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\item Pas de solutions automatiques.
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|
\item Pas de solutions automatiques.
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\end{enumerate}
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\end{solution}
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\begin{exercise}[subtitle={Enclos}]
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Dans son garage, Jean a trouvé 15m de grillage. \\
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Il décide de l'utiliser pour faire un enclos rectangulaire. Afin d'obtenir un enclos encore plus grand, il veut utiliser le mur du jardin qui formera un côté. Le grillage formera les 3 autres.
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\begin{center}
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\includegraphics[scale=0.8]{./fig/enclos}
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\end{center}
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Comment placer les poteaux pour avoir un enclos le plus grand possible ?
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\textit{Cet exercice est un exercice de recherche. Vous êtes invité à utiliser les outils que vous voulez. Une part importante de la note sera dédiée à la rédaction et aux explications de ce que vous faites. Vous êtes encouragé à faire des schémas.}
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\textit{Si vous utilisez le tableur, vous devrez le mentionner et m'envoyer le tableur à l'adresse \url{benjamin.bertrand@ac-lyon.fr}}
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\end{exercise}
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\begin{solution}
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Formule de l'aire (en notant $x$ la longueur du côté de l'enclos à côté du mur)
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\[
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A(x) = x(15 - 2x) = - 2x^{2} + 15x
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\]
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On va donc étudier les variations de la fonction $A(x) = - 2x^{2} + 15x$
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\begin{itemize}
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\item Fonction dérivée : $A'(x) = - 4x + 15$
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\item On résout l'inéquation $A'(x) \geq 0$ pour déterminer quand la fonction $A'$ est positive.
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\begin{align*}
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A(x) & \geq 0 \\
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- 4x + 15 & \geq 0 \\
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- 4x + 15 + - 15 &\geq 0 + - 15 \\
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- 4x &\geq - 15 \\
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\frac{- 4x}{- 4} &\leq \frac{- 15}{- 4} \\
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x &\leq \dfrac{15}{4} \\
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\end{align*}
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Donc $A(x)$ est positif quand $x$ est plus \textbf{petit} que $\dfrac{15}{4}$
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\item
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\begin{center}
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\begin{tikzpicture}
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\tkzTabInit[lgt=3,espcl=4]{$x$/1,Signe de $f'(x)$/2, Variations de $f(x)$/2}{, $\dfrac{15}{4}$ ,}%
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\tkzTabLine{, +, z, -, }
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|
\tkzTabVar{-/ ,+/$f(\dfrac{15}{4}) = \dfrac{450}{16}$ , -/}%
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|
\end{tikzpicture}
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|
\end{center}
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|
\end{itemize}
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Pour avoir le plus grand enclos, il faut placer les poteaux à 6m du mur et on aura alors un enclos de $72m^2$.
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\end{solution}
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\end{document}
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%%% Local Variables:
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%%% mode: latex
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%%% TeX-master: "master"
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%%% End:
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