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\documentclass[a4paper,12pt]{article}
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\usepackage{myXsim}
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\usepackage{pgfplots}
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\usetikzlibrary{decorations.markings}
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\pgfplotsset{compat=1.18}
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\title{ DM1 \hfill BLONDIN Damien}
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\tribe{1ST}
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\date{A rendre pour le lundi 27 mars 2023}
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\duree{}
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\xsimsetup{
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solution/print = false
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}
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\pagestyle{empty}
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\begin{document}
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\maketitle
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Le barème est donné à titre indicatif, il pourra être modifié.
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\begin{exercise}[subtitle={Polynôme de degré 2}]
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Développer les expressions suivantes pour vérifier que ce sont des polynômes de degré 2. Vous préciserez les valeurs de $a$, $b$ et $c$.
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\begin{multicols}{2}
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\begin{enumerate}
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\item $f(x) = (- 4x + 4)(10x + 4)$
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\item $g(x) = (4x + 6)^{2}$
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\item $h(x) = 6 + x(3x + 4)$
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\item $i(x) = - 2x^{2} + x(- 7x - 3)$
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\item $j(x) = - 3(x + 9)(x + 10)$
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\item $k(x) = - 1(x - 6)(x + 8)$
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\end{enumerate}
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\end{multicols}
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\end{exercise}
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\begin{solution}
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\begin{enumerate}
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\item
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\begin{align*}
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f(x) &= (- 4x + 4)(10x + 4)\\&= - 4x \times 10x - 4x \times 4 + 4 \times 10x + 4 \times 4\\&= - 4 \times 10 \times x^{1 + 1} + 4(- 4) \times x + 4 \times 10 \times x + 16\\&= - 16x + 40x - 40x^{2} + 16\\&= (- 16 + 40) \times x - 40x^{2} + 16\\&= - 40x^{2} + 24x + 16
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\end{align*}
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C'est un polynôme de degré 2 avec $a = - 40$, $b = 24$ et $c = 16$.
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\item
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\begin{align*}
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g(x) &= (4x + 6)^{2}\\&= (4x + 6)(4x + 6)\\&= 4x \times 4x + 4x \times 6 + 6 \times 4x + 6 \times 6\\&= 4 \times 4 \times x^{1 + 1} + 6 \times 4 \times x + 6 \times 4 \times x + 36\\&= 24x + 24x + 16x^{2} + 36\\&= (24 + 24) \times x + 16x^{2} + 36\\&= 16x^{2} + 48x + 36
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\end{align*}
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C'est un polynôme de degré 2 avec $a = 16$, $b = 48$ et $c = 36$.
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\item
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\begin{align*}
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h(x) &= 6 + x(3x + 4)\\&= 6 + x \times 3x + x \times 4\\&= 3x^{2} + 4x + 6
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\end{align*}
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C'est un polynôme de degré 2 avec $a = 3$, $b = 4$ et $c = 6$.
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\item
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\begin{align*}
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i(x) &= - 2x^{2} + x(- 7x - 3)\\&= - 2x^{2} + x \times - 7x + x(- 3)\\&= - 2x^{2} - 7x^{2} - 3x\\&= - 2x^{2} - 7x^{2} - 3x\\&= (- 2 - 7) \times x^{2} - 3x\\&= - 9x^{2} - 3x
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\end{align*}
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C'est un polynôme de degré 2 avec $a = - 9$, $b = - 3$ et $c = 0$.
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\item
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\begin{align*}
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j(x) &= - 3(x + 9)(x + 10)\\&= (- 3x - 3 \times 9)(x + 10)\\&= (- 3x - 27)(x + 10)\\&= - 3x \times x - 3x \times 10 - 27x - 27 \times 10\\&= 10(- 3) \times x - 270 - 3x^{2} - 27x\\&= - 30x - 270 - 3x^{2} - 27x\\&= - 3x^{2} - 30x - 27x - 270\\&= - 3x^{2} + (- 30 - 27) \times x - 270\\&= - 3x^{2} - 57x - 270
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\end{align*}
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C'est un polynôme de degré 2 avec $a = - 3$, $b = - 57$ et $c = - 270$.
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\item
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\begin{align*}
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k(x) &= - 1(x - 6)(x + 8)\\&= (- 1x - 1(- 6))(x + 8)\\&= (- x + 6)(x + 8)\\&= (- x) \times x + (- x) \times 8 + 6x + 6 \times 8\\&= 8(- 1) \times x + 48 - x^{2} + 6x\\&= - 8x + 48 - x^{2} + 6x\\&= - x^{2} - 8x + 6x + 48\\&= - x^{2} + (- 8 + 6) \times x + 48\\&= - x^{2} - 2x + 48
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\end{align*}
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C'est un polynôme de degré 2 avec $a = - 1$, $b = - 2$ et $c = 48$.
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\end{enumerate}
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\end{solution}
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\begin{exercise}[subtitle={Étude de fonctions}]
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Soit $f(x) = 10x^{2} + 60x + 50$ une fonction définie sur $\R$.
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\begin{enumerate}
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\item Calculer les valeurs suivantes
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\[
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f(1) \qquad f(-2)
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\]
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\item Dériver la fonction $f$
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\item Étudier le signe de $f'$ puis en déduire les variations de $f$.
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\item Est-ce que $f$ admet un maximum? un minimum? Calculer sa valeur.
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\end{enumerate}
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\end{exercise}
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\begin{solution}
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\begin{enumerate}
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\item On remplace $x$ par les valeurs demandées
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\[
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f(1) = 10 \times 1^{2} + 60 \times 1 + 50=10 \times 1 + 60 + 50=10 + 110=120
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\]
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\[
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f(-1) = 10 \times - 1^{2} + 60(- 1) + 50=10 \times 1 - 60 + 50=10 - 10=0
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\]
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\item Dérivation
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\[
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f'(x) = 20x + 60
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\]
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\item Pas de solutions automatiques.
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|
\item Pas de solutions automatiques.
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\end{enumerate}
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\end{solution}
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\begin{exercise}[subtitle={Enclos}]
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Dans son garage, Jean a trouvé 30m de grillage. \\
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Il décide de l'utiliser pour faire un enclos rectangulaire. Afin d'obtenir un enclos encore plus grand, il veut utiliser le mur du jardin qui formera un côté. Le grillage formera les 3 autres.
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\begin{center}
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\includegraphics[scale=0.8]{./fig/enclos}
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\end{center}
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Comment placer les poteaux pour avoir un enclos le plus grand possible ?
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\textit{Cet exercice est un exercice de recherche. Vous êtes invité à utiliser les outils que vous voulez. Une part importante de la note sera dédiée à la rédaction et aux explications de ce que vous faites. Vous êtes encouragé à faire des schémas.}
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\textit{Si vous utilisez le tableur, vous devrez le mentionner et m'envoyer le tableur à l'adresse \url{benjamin.bertrand@ac-lyon.fr}}
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\end{exercise}
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\begin{solution}
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Formule de l'aire (en notant $x$ la longueur du côté de l'enclos à côté du mur)
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\[
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A(x) = x(30 - 2x) = - 2x^{2} + 30x
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\]
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On va donc étudier les variations de la fonction $A(x) = - 2x^{2} + 30x$
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\begin{itemize}
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\item Fonction dérivée : $A'(x) = - 4x + 30$
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\item On résout l'inéquation $A'(x) \geq 0$ pour déterminer quand la fonction $A'$ est positive.
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\begin{align*}
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A(x) & \geq 0 \\
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- 4x + 30 & \geq 0 \\
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- 4x + 30 + - 30 &\geq 0 + - 30 \\
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- 4x &\geq - 30 \\
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\frac{- 4x}{- 4} &\leq \frac{- 30}{- 4} \\
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x &\leq \dfrac{15}{2} \\
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\end{align*}
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Donc $A(x)$ est positif quand $x$ est plus \textbf{petit} que $\dfrac{15}{2}$
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\item
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\begin{center}
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\begin{tikzpicture}
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\tkzTabInit[lgt=3,espcl=4]{$x$/1,Signe de $f'(x)$/2, Variations de $f(x)$/2}{, $\dfrac{15}{2}$ ,}%
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\tkzTabLine{, +, z, -, }
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\tkzTabVar{-/ ,+/$f(\dfrac{15}{2}) = \dfrac{450}{4}$ , -/}%
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\end{tikzpicture}
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|
\end{center}
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|
\end{itemize}
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Pour avoir le plus grand enclos, il faut placer les poteaux à 6m du mur et on aura alors un enclos de $72m^2$.
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\end{solution}
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\end{document}
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%%% Local Variables:
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%%% mode: latex
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%%% TeX-master: "master"
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%%% End:
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