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\documentclass[a4paper,12pt]{article}
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\usepackage{myXsim}
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\usepackage{pgfplots}
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\usetikzlibrary{decorations.markings}
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\pgfplotsset{compat=1.18}
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\title{ DM1 \hfill HAMMOUDI Lyna}
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\tribe{1ST}
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\date{A rendre pour le lundi 27 mars 2023}
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\duree{}
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\xsimsetup{
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solution/print = false
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}
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\pagestyle{empty}
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\begin{document}
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\maketitle
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Le barème est donné à titre indicatif, il pourra être modifié.
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\begin{exercise}[subtitle={Polynôme de degré 2}]
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Développer les expressions suivantes pour vérifier que ce sont des polynômes de degré 2. Vous préciserez les valeurs de $a$, $b$ et $c$.
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\begin{multicols}{2}
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\begin{enumerate}
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\item $f(x) = (- 7x + 10)(- 8x + 10)$
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\item $g(x) = (6x - 2)^{2}$
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\item $h(x) = 2 + x(- 5x + 4)$
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\item $i(x) = - 9x^{2} + x(3x - 2)$
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\item $j(x) = 6(x + 9)(x + 10)$
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\item $k(x) = - 8(x - 10)(x - 4)$
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\end{enumerate}
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\end{multicols}
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\end{exercise}
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\begin{solution}
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\begin{enumerate}
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\item
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\begin{align*}
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f(x) &= (- 7x + 10)(- 8x + 10)\\&= - 7x \times - 8x - 7x \times 10 + 10 \times - 8x + 10 \times 10\\&= - 7(- 8) \times x^{1 + 1} + 10(- 7) \times x + 10(- 8) \times x + 100\\&= - 70x - 80x + 56x^{2} + 100\\&= (- 70 - 80) \times x + 56x^{2} + 100\\&= 56x^{2} - 150x + 100
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\end{align*}
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C'est un polynôme de degré 2 avec $a = 56$, $b = - 150$ et $c = 100$.
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\item
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\begin{align*}
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g(x) &= (6x - 2)^{2}\\&= (6x - 2)(6x - 2)\\&= 6x \times 6x + 6x(- 2) - 2 \times 6x - 2(- 2)\\&= 6 \times 6 \times x^{1 + 1} - 2 \times 6 \times x - 2 \times 6 \times x + 4\\&= - 12x - 12x + 36x^{2} + 4\\&= (- 12 - 12) \times x + 36x^{2} + 4\\&= 36x^{2} - 24x + 4
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\end{align*}
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C'est un polynôme de degré 2 avec $a = 36$, $b = - 24$ et $c = 4$.
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\item
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\begin{align*}
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h(x) &= 2 + x(- 5x + 4)\\&= 2 + x \times - 5x + x \times 4\\&= - 5x^{2} + 4x + 2
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\end{align*}
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C'est un polynôme de degré 2 avec $a = - 5$, $b = 4$ et $c = 2$.
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\item
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\begin{align*}
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i(x) &= - 9x^{2} + x(3x - 2)\\&= - 9x^{2} + x \times 3x + x(- 2)\\&= - 9x^{2} + 3x^{2} - 2x\\&= - 9x^{2} + 3x^{2} - 2x\\&= (- 9 + 3) \times x^{2} - 2x\\&= - 6x^{2} - 2x
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\end{align*}
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C'est un polynôme de degré 2 avec $a = - 6$, $b = - 2$ et $c = 0$.
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\item
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\begin{align*}
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j(x) &= 6(x + 9)(x + 10)\\&= (6x + 6 \times 9)(x + 10)\\&= (6x + 54)(x + 10)\\&= 6x \times x + 6x \times 10 + 54x + 54 \times 10\\&= 10 \times 6 \times x + 540 + 6x^{2} + 54x\\&= 60x + 540 + 6x^{2} + 54x\\&= 6x^{2} + 60x + 54x + 540\\&= 6x^{2} + (60 + 54) \times x + 540\\&= 6x^{2} + 114x + 540
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\end{align*}
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C'est un polynôme de degré 2 avec $a = 6$, $b = 114$ et $c = 540$.
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\item
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\begin{align*}
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k(x) &= - 8(x - 10)(x - 4)\\&= (- 8x - 8(- 10))(x - 4)\\&= (- 8x + 80)(x - 4)\\&= - 8x \times x - 8x(- 4) + 80x + 80(- 4)\\&= - 4(- 8) \times x - 320 - 8x^{2} + 80x\\&= 32x - 320 - 8x^{2} + 80x\\&= - 8x^{2} + 32x + 80x - 320\\&= - 8x^{2} + (32 + 80) \times x - 320\\&= - 8x^{2} + 112x - 320
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\end{align*}
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C'est un polynôme de degré 2 avec $a = - 8$, $b = 112$ et $c = - 320$.
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\end{enumerate}
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\end{solution}
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\begin{exercise}[subtitle={Étude de fonctions}]
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Soit $f(x) = - x^{2} - 2x + 48$ une fonction définie sur $\R$.
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\begin{enumerate}
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\item Calculer les valeurs suivantes
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\[
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f(1) \qquad f(-2)
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\]
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\item Dériver la fonction $f$
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\item Étudier le signe de $f'$ puis en déduire les variations de $f$.
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\item Est-ce que $f$ admet un maximum? un minimum? Calculer sa valeur.
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\end{enumerate}
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\end{exercise}
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\begin{solution}
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\begin{enumerate}
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\item On remplace $x$ par les valeurs demandées
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\[
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f(1) = - 1^{2} - 2 \times 1 + 48=- 1 - 2 + 48=- 1 + 46=45
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\]
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\[
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f(-1) = - - 1^{2} - 2(- 1) + 48=- 1 + 2 + 48=- 1 + 50=49
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\]
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\item Dérivation
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\[
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f'(x) = - 2x - 2
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\]
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\item Pas de solutions automatiques.
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|
\item Pas de solutions automatiques.
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\end{enumerate}
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\end{solution}
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\begin{exercise}[subtitle={Enclos}]
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Dans son garage, Jean a trouvé 37m de grillage. \\
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Il décide de l'utiliser pour faire un enclos rectangulaire. Afin d'obtenir un enclos encore plus grand, il veut utiliser le mur du jardin qui formera un côté. Le grillage formera les 3 autres.
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\begin{center}
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\includegraphics[scale=0.8]{./fig/enclos}
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\end{center}
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Comment placer les poteaux pour avoir un enclos le plus grand possible ?
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\textit{Cet exercice est un exercice de recherche. Vous êtes invité à utiliser les outils que vous voulez. Une part importante de la note sera dédiée à la rédaction et aux explications de ce que vous faites. Vous êtes encouragé à faire des schémas.}
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\textit{Si vous utilisez le tableur, vous devrez le mentionner et m'envoyer le tableur à l'adresse \url{benjamin.bertrand@ac-lyon.fr}}
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\end{exercise}
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\begin{solution}
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Formule de l'aire (en notant $x$ la longueur du côté de l'enclos à côté du mur)
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\[
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A(x) = x(37 - 2x) = - 2x^{2} + 37x
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\]
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On va donc étudier les variations de la fonction $A(x) = - 2x^{2} + 37x$
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\begin{itemize}
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\item Fonction dérivée : $A'(x) = - 4x + 37$
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\item On résout l'inéquation $A'(x) \geq 0$ pour déterminer quand la fonction $A'$ est positive.
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\begin{align*}
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A(x) & \geq 0 \\
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- 4x + 37 & \geq 0 \\
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- 4x + 37 + - 37 &\geq 0 + - 37 \\
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- 4x &\geq - 37 \\
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\frac{- 4x}{- 4} &\leq \frac{- 37}{- 4} \\
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x &\leq \dfrac{37}{4} \\
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\end{align*}
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Donc $A(x)$ est positif quand $x$ est plus \textbf{petit} que $\dfrac{37}{4}$
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\item
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\begin{center}
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\begin{tikzpicture}
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\tkzTabInit[lgt=3,espcl=4]{$x$/1,Signe de $f'(x)$/2, Variations de $f(x)$/2}{, $\dfrac{37}{4}$ ,}%
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\tkzTabLine{, +, z, -, }
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\tkzTabVar{-/ ,+/$f(\dfrac{37}{4}) = \dfrac{2738}{16}$ , -/}%
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|
\end{tikzpicture}
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|
\end{center}
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|
\end{itemize}
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Pour avoir le plus grand enclos, il faut placer les poteaux à 6m du mur et on aura alors un enclos de $72m^2$.
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\end{solution}
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\end{document}
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%%% Local Variables:
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%%% mode: latex
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%%% TeX-master: "master"
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%%% End:
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