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TeX
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\documentclass[a4paper,12pt]{article}
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\usepackage{myXsim}
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\usepackage{pgfplots}
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\usetikzlibrary{decorations.markings}
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\pgfplotsset{compat=1.18}
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\title{ DM1 \hfill NAKIR SAILAH Mohamed}
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\tribe{1ST}
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\date{A rendre pour le lundi 27 mars 2023}
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\duree{}
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\xsimsetup{
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solution/print = false
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}
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\pagestyle{empty}
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\begin{document}
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\maketitle
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Le barème est donné à titre indicatif, il pourra être modifié.
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\begin{exercise}[subtitle={Polynôme de degré 2}]
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Développer les expressions suivantes pour vérifier que ce sont des polynômes de degré 2. Vous préciserez les valeurs de $a$, $b$ et $c$.
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\begin{multicols}{2}
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\begin{enumerate}
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\item $f(x) = (- 9x + 2)(- 6x + 2)$
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\item $g(x) = (8x + 2)^{2}$
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\item $h(x) = 2 + x(- 3x + 5)$
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\item $i(x) = 8x^{2} + x(5x + 8)$
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\item $j(x) = 10(x + 7)(x - 10)$
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\item $k(x) = - 4(x - 7)(x + 5)$
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\end{enumerate}
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\end{multicols}
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\end{exercise}
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\begin{solution}
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\begin{enumerate}
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\item
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\begin{align*}
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f(x) &= (- 9x + 2)(- 6x + 2)\\&= - 9x \times - 6x - 9x \times 2 + 2 \times - 6x + 2 \times 2\\&= - 9(- 6) \times x^{1 + 1} + 2(- 9) \times x + 2(- 6) \times x + 4\\&= - 18x - 12x + 54x^{2} + 4\\&= (- 18 - 12) \times x + 54x^{2} + 4\\&= 54x^{2} - 30x + 4
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\end{align*}
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C'est un polynôme de degré 2 avec $a = 54$, $b = - 30$ et $c = 4$.
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\item
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\begin{align*}
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g(x) &= (8x + 2)^{2}\\&= (8x + 2)(8x + 2)\\&= 8x \times 8x + 8x \times 2 + 2 \times 8x + 2 \times 2\\&= 8 \times 8 \times x^{1 + 1} + 2 \times 8 \times x + 2 \times 8 \times x + 4\\&= 16x + 16x + 64x^{2} + 4\\&= (16 + 16) \times x + 64x^{2} + 4\\&= 64x^{2} + 32x + 4
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\end{align*}
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C'est un polynôme de degré 2 avec $a = 64$, $b = 32$ et $c = 4$.
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\item
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\begin{align*}
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h(x) &= 2 + x(- 3x + 5)\\&= 2 + x \times - 3x + x \times 5\\&= - 3x^{2} + 5x + 2
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\end{align*}
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C'est un polynôme de degré 2 avec $a = - 3$, $b = 5$ et $c = 2$.
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\item
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\begin{align*}
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i(x) &= 8x^{2} + x(5x + 8)\\&= 8x^{2} + x \times 5x + x \times 8\\&= 8x^{2} + 5x^{2} + 8x\\&= 8x^{2} + 5x^{2} + 8x\\&= (8 + 5) \times x^{2} + 8x\\&= 13x^{2} + 8x
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\end{align*}
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C'est un polynôme de degré 2 avec $a = 13$, $b = 8$ et $c = 0$.
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\item
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\begin{align*}
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j(x) &= 10(x + 7)(x - 10)\\&= (10x + 10 \times 7)(x - 10)\\&= (10x + 70)(x - 10)\\&= 10x \times x + 10x(- 10) + 70x + 70(- 10)\\&= - 10 \times 10 \times x - 700 + 10x^{2} + 70x\\&= - 100x - 700 + 10x^{2} + 70x\\&= 10x^{2} - 100x + 70x - 700\\&= 10x^{2} + (- 100 + 70) \times x - 700\\&= 10x^{2} - 30x - 700
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\end{align*}
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C'est un polynôme de degré 2 avec $a = 10$, $b = - 30$ et $c = - 700$.
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\item
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\begin{align*}
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k(x) &= - 4(x - 7)(x + 5)\\&= (- 4x - 4(- 7))(x + 5)\\&= (- 4x + 28)(x + 5)\\&= - 4x \times x - 4x \times 5 + 28x + 28 \times 5\\&= 5(- 4) \times x + 140 - 4x^{2} + 28x\\&= - 20x + 140 - 4x^{2} + 28x\\&= - 4x^{2} - 20x + 28x + 140\\&= - 4x^{2} + (- 20 + 28) \times x + 140\\&= - 4x^{2} + 8x + 140
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\end{align*}
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C'est un polynôme de degré 2 avec $a = - 4$, $b = 8$ et $c = 140$.
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\end{enumerate}
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\end{solution}
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\begin{exercise}[subtitle={Étude de fonctions}]
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Soit $f(x) = 2x^{2} - 28x + 80$ une fonction définie sur $\R$.
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\begin{enumerate}
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\item Calculer les valeurs suivantes
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\[
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f(1) \qquad f(-2)
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\]
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\item Dériver la fonction $f$
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\item Étudier le signe de $f'$ puis en déduire les variations de $f$.
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\item Est-ce que $f$ admet un maximum? un minimum? Calculer sa valeur.
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\end{enumerate}
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\end{exercise}
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\begin{solution}
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\begin{enumerate}
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\item On remplace $x$ par les valeurs demandées
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\[
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f(1) = 2 \times 1^{2} - 28 \times 1 + 80=2 \times 1 - 28 + 80=2 + 52=54
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\]
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\[
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f(-1) = 2 \times - 1^{2} - 28(- 1) + 80=2 \times 1 + 28 + 80=2 + 108=110
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\]
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\item Dérivation
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\[
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f'(x) = 4x - 28
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\]
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\item Pas de solutions automatiques.
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|
\item Pas de solutions automatiques.
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\end{enumerate}
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\end{solution}
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\begin{exercise}[subtitle={Enclos}]
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Dans son garage, Jean a trouvé 29m de grillage. \\
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Il décide de l'utiliser pour faire un enclos rectangulaire. Afin d'obtenir un enclos encore plus grand, il veut utiliser le mur du jardin qui formera un côté. Le grillage formera les 3 autres.
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\begin{center}
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\includegraphics[scale=0.8]{./fig/enclos}
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\end{center}
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Comment placer les poteaux pour avoir un enclos le plus grand possible ?
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\textit{Cet exercice est un exercice de recherche. Vous êtes invité à utiliser les outils que vous voulez. Une part importante de la note sera dédiée à la rédaction et aux explications de ce que vous faites. Vous êtes encouragé à faire des schémas.}
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\textit{Si vous utilisez le tableur, vous devrez le mentionner et m'envoyer le tableur à l'adresse \url{benjamin.bertrand@ac-lyon.fr}}
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\end{exercise}
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\begin{solution}
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Formule de l'aire (en notant $x$ la longueur du côté de l'enclos à côté du mur)
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\[
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A(x) = x(29 - 2x) = - 2x^{2} + 29x
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\]
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On va donc étudier les variations de la fonction $A(x) = - 2x^{2} + 29x$
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\begin{itemize}
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\item Fonction dérivée : $A'(x) = - 4x + 29$
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\item On résout l'inéquation $A'(x) \geq 0$ pour déterminer quand la fonction $A'$ est positive.
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\begin{align*}
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A(x) & \geq 0 \\
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- 4x + 29 & \geq 0 \\
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- 4x + 29 + - 29 &\geq 0 + - 29 \\
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- 4x &\geq - 29 \\
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\frac{- 4x}{- 4} &\leq \frac{- 29}{- 4} \\
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x &\leq \dfrac{29}{4} \\
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\end{align*}
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Donc $A(x)$ est positif quand $x$ est plus \textbf{petit} que $\dfrac{29}{4}$
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\item
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\begin{center}
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\begin{tikzpicture}
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\tkzTabInit[lgt=3,espcl=4]{$x$/1,Signe de $f'(x)$/2, Variations de $f(x)$/2}{, $\dfrac{29}{4}$ ,}%
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|
\tkzTabLine{, +, z, -, }
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\tkzTabVar{-/ ,+/$f(\dfrac{29}{4}) = \dfrac{1682}{16}$ , -/}%
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|
\end{tikzpicture}
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|
\end{center}
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|
\end{itemize}
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Pour avoir le plus grand enclos, il faut placer les poteaux à 6m du mur et on aura alors un enclos de $72m^2$.
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\end{solution}
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\end{document}
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%%% Local Variables:
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%%% mode: latex
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%%% TeX-master: "master"
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%%% End:
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