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\documentclass[a4paper,12pt]{article}
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\usepackage{myXsim}
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\usepackage{pgfplots}
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\usetikzlibrary{decorations.markings}
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\pgfplotsset{compat=1.18}
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\title{ DM1 \hfill ZINBI Myriem}
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\tribe{1ST}
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\date{A rendre pour le lundi 27 mars 2023}
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\duree{}
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\xsimsetup{
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solution/print = false
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}
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\pagestyle{empty}
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\begin{document}
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\maketitle
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Le barème est donné à titre indicatif, il pourra être modifié.
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\begin{exercise}[subtitle={Polynôme de degré 2}]
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Développer les expressions suivantes pour vérifier que ce sont des polynômes de degré 2. Vous préciserez les valeurs de $a$, $b$ et $c$.
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\begin{multicols}{2}
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\begin{enumerate}
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\item $f(x) = (- 1x + 9)(- 7x + 9)$
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\item $g(x) = (2x + 2)^{2}$
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\item $h(x) = 7 + x(- 10x - 3)$
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\item $i(x) = - 1x^{2} + x(10x - 9)$
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\item $j(x) = - 4(x + 10)(x + 4)$
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\item $k(x) = - 6(x - 7)(x - 10)$
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\end{enumerate}
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\end{multicols}
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\end{exercise}
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\begin{solution}
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\begin{enumerate}
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\item
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\begin{align*}
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f(x) &= (- 1x + 9)(- 7x + 9)\\&= (- x) \times - 7x + (- x) \times 9 + 9 \times - 7x + 9 \times 9\\&= - 1(- 7) \times x^{1 + 1} + 9(- 1) \times x + 9(- 7) \times x + 81\\&= - 9x - 63x + 7x^{2} + 81\\&= (- 9 - 63) \times x + 7x^{2} + 81\\&= 7x^{2} - 72x + 81
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\end{align*}
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C'est un polynôme de degré 2 avec $a = 7$, $b = - 72$ et $c = 81$.
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\item
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\begin{align*}
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g(x) &= (2x + 2)^{2}\\&= (2x + 2)(2x + 2)\\&= 2x \times 2x + 2x \times 2 + 2 \times 2x + 2 \times 2\\&= 2 \times 2 \times x^{1 + 1} + 2 \times 2 \times x + 2 \times 2 \times x + 4\\&= 4x + 4x + 4x^{2} + 4\\&= (4 + 4) \times x + 4x^{2} + 4\\&= 4x^{2} + 8x + 4
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\end{align*}
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C'est un polynôme de degré 2 avec $a = 4$, $b = 8$ et $c = 4$.
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\item
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\begin{align*}
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h(x) &= 7 + x(- 10x - 3)\\&= 7 + x \times - 10x + x(- 3)\\&= - 10x^{2} - 3x + 7
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\end{align*}
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C'est un polynôme de degré 2 avec $a = - 10$, $b = - 3$ et $c = 7$.
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\item
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\begin{align*}
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i(x) &= - 1x^{2} + x(10x - 9)\\&= - x^{2} + x \times 10x + x(- 9)\\&= - x^{2} + 10x^{2} - 9x\\&= - x^{2} + 10x^{2} - 9x\\&= (- 1 + 10) \times x^{2} - 9x\\&= 9x^{2} - 9x
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\end{align*}
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C'est un polynôme de degré 2 avec $a = 9$, $b = - 9$ et $c = 0$.
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\item
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\begin{align*}
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j(x) &= - 4(x + 10)(x + 4)\\&= (- 4x - 4 \times 10)(x + 4)\\&= (- 4x - 40)(x + 4)\\&= - 4x \times x - 4x \times 4 - 40x - 40 \times 4\\&= 4(- 4) \times x - 160 - 4x^{2} - 40x\\&= - 16x - 160 - 4x^{2} - 40x\\&= - 4x^{2} - 16x - 40x - 160\\&= - 4x^{2} + (- 16 - 40) \times x - 160\\&= - 4x^{2} - 56x - 160
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\end{align*}
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C'est un polynôme de degré 2 avec $a = - 4$, $b = - 56$ et $c = - 160$.
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\item
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\begin{align*}
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k(x) &= - 6(x - 7)(x - 10)\\&= (- 6x - 6(- 7))(x - 10)\\&= (- 6x + 42)(x - 10)\\&= - 6x \times x - 6x(- 10) + 42x + 42(- 10)\\&= - 10(- 6) \times x - 420 - 6x^{2} + 42x\\&= 60x - 420 - 6x^{2} + 42x\\&= - 6x^{2} + 60x + 42x - 420\\&= - 6x^{2} + (60 + 42) \times x - 420\\&= - 6x^{2} + 102x - 420
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\end{align*}
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C'est un polynôme de degré 2 avec $a = - 6$, $b = 102$ et $c = - 420$.
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\end{enumerate}
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\end{solution}
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\begin{exercise}[subtitle={Étude de fonctions}]
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Soit $f(x) = 3x^{2} - 147$ une fonction définie sur $\R$.
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\begin{enumerate}
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\item Calculer les valeurs suivantes
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\[
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f(1) \qquad f(-2)
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\]
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\item Dériver la fonction $f$
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\item Étudier le signe de $f'$ puis en déduire les variations de $f$.
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\item Est-ce que $f$ admet un maximum? un minimum? Calculer sa valeur.
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\end{enumerate}
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\end{exercise}
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\begin{solution}
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\begin{enumerate}
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\item On remplace $x$ par les valeurs demandées
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\[
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f(1) = 3 \times 1^{2} - 147=3 \times 1 - 147=3 - 147=- 144
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\]
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\[
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|
f(-1) = 3 \times - 1^{2} - 147=3 \times 1 - 147=3 - 147=- 144
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\]
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\item Dérivation
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\[
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f'(x) = 6x
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\]
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\item Pas de solutions automatiques.
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|
\item Pas de solutions automatiques.
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\end{enumerate}
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\end{solution}
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\begin{exercise}[subtitle={Enclos}]
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Dans son garage, Jean a trouvé 35m de grillage. \\
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Il décide de l'utiliser pour faire un enclos rectangulaire. Afin d'obtenir un enclos encore plus grand, il veut utiliser le mur du jardin qui formera un côté. Le grillage formera les 3 autres.
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\begin{center}
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\includegraphics[scale=0.8]{./fig/enclos}
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\end{center}
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Comment placer les poteaux pour avoir un enclos le plus grand possible ?
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\textit{Cet exercice est un exercice de recherche. Vous êtes invité à utiliser les outils que vous voulez. Une part importante de la note sera dédiée à la rédaction et aux explications de ce que vous faites. Vous êtes encouragé à faire des schémas.}
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\textit{Si vous utilisez le tableur, vous devrez le mentionner et m'envoyer le tableur à l'adresse \url{benjamin.bertrand@ac-lyon.fr}}
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\end{exercise}
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\begin{solution}
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Formule de l'aire (en notant $x$ la longueur du côté de l'enclos à côté du mur)
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\[
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A(x) = x(35 - 2x) = - 2x^{2} + 35x
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\]
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On va donc étudier les variations de la fonction $A(x) = - 2x^{2} + 35x$
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\begin{itemize}
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\item Fonction dérivée : $A'(x) = - 4x + 35$
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\item On résout l'inéquation $A'(x) \geq 0$ pour déterminer quand la fonction $A'$ est positive.
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\begin{align*}
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A(x) & \geq 0 \\
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- 4x + 35 & \geq 0 \\
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- 4x + 35 + - 35 &\geq 0 + - 35 \\
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- 4x &\geq - 35 \\
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\frac{- 4x}{- 4} &\leq \frac{- 35}{- 4} \\
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x &\leq \dfrac{35}{4} \\
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\end{align*}
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Donc $A(x)$ est positif quand $x$ est plus \textbf{petit} que $\dfrac{35}{4}$
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\item
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\begin{center}
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\begin{tikzpicture}
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\tkzTabInit[lgt=3,espcl=4]{$x$/1,Signe de $f'(x)$/2, Variations de $f(x)$/2}{, $\dfrac{35}{4}$ ,}%
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\tkzTabLine{, +, z, -, }
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\tkzTabVar{-/ ,+/$f(\dfrac{35}{4}) = \dfrac{2450}{16}$ , -/}%
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|
\end{tikzpicture}
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|
\end{center}
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|
\end{itemize}
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Pour avoir le plus grand enclos, il faut placer les poteaux à 6m du mur et on aura alors un enclos de $72m^2$.
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\end{solution}
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\end{document}
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%%% Local Variables:
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%%% mode: latex
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%%% TeX-master: "master"
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%%% End:
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